neki od osnovnih pojmova iz aritmetike i algebre

16 Pages·2015·0.49 MB·Croatian

BBoossnnaaiiHHeerrcceeggoovviinnaa
FFeeddeerraacciijjaaBBoossnneeiiHHeerrcceeggoovviinnee
TTuuzzllaannsskkiikkaannttoonn
JJUU““GGiimmnnaazziijjaaLLuukkaavvaacc””LLuukkaavvaacc
PPuubblliicciinnssttiittuuttiioonn““HHiigghhsscchhooooll””LLuukkaavvaacc
ÖÖffffeennttlliicchheeaannssttaalltt““GGyymmnnaassiiuumm””LLuukkaavvaacc
škola
ZZiimmsskkaašškkoollaaMMaatteemmaattiikkee,, LLuukkaavvaacc--jjaannuuaarraa22001155..ggooddiinnee
Mirsad SuljićMirsad Suljić
OO vvrrssttaammaa zzaaddaattaakkaa uu MMaatteemmaattiiccii
ii
PPoojjiinn aallggoorriittaamm zzaa rrjjeeššaavvaannjjee zzaaddaattaakkaa
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
OO vvrrssttaammaa zzaaddaattaakkaa uu MMaatteemmaattiiccii
Najveći dio matematičke djelatnosti u osnovnoj i srednjoj školi je rješavanje zadataka. Čak i prosječni
učenici,osimpodjelezadatakanaonelakšeioneteže,znajuda svizadacinisuistog"karaktera".
Ovde ćemodati jednu,istina uproštenu,podjelukoja biučenicima trebala biti jasna.Kriterijza tupodjela
nekabudenajčešćariječkojomzadatakpočinje.
1.Izračunaj-"računski"zadaciukojima primjenjujućidefinicijeipravilazaizvođenjealgebarskih
operacija,izračunavamobrojneimjernevrijednosti.UGeometrijitosunajčešćedužina,
površina,zapremina,veličinauglaislično.
2.Riješi-rješavanje,nalaženjerješenjajednačina,nejednačinainjihovihsistema.
3.Konstruiši-konstruktivnizadaci,kojećemorješavatiprimjenjujućistarogrčkiidealkonstrukcije,
koristećisamolinijarišestar.
4.Dokaži-dokazinajraznovrsnijiharitmetičkih,algebarskihigeometrijskihtvrđenja.
5.Zadacilogičkogtipaiproblemskizadaci- svrstalismoihuistugrupu,jernepostojijedinstvena
riječkojabiihodvajalaodgorespomenutih.
6.Kombinovanizadaci-"odsvegapomalo".
Naravno da ovakva podjela zadataka nije jedina moguća, pa zbog toga nije ni obavezujuća. Ipak, daje
prilično jasnuslikuokarakterupojedinihgrupazadataka.
PPoojjiinn aallggoorriittaamm zzaa rrjjeeššaavvaannjjee zzaaddaattaakkaa
Kratko o Đerđu Poji (George Pólya)
Rođen je 13. decembra 1887. godine u Budimpešti,
koja je tada bila u sastavu Austro - Ugarske
monarhije. Majka je bila Nijemica Ana, a otac
Mađar Jakab. U starosti od 95 godina, umro je 7.
septembra1985.godineuPaoloAltuuKaliforniji.
U periodu od 1914. do 1940. godine radi kao
profesor Matematike u Cirihu, a od 1940. do 1950.
djeluje na Stanford univerzitetu (USA), gdje postaje
profesoremeritus.
Slikalijevojeiz1973.godine.
1
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
Uvezisarješavanjem,nesamo matematičkihzadataka,senameće:
Osnovnopitanje:“Kakorješavatizadatke”?
Odgovor:“Morapostojatinekikonceptiplanrješavanja”.
Konceptiplanrješavanjaje,najedansasvimprihvatljivnačin,1966.godineizložiomađarskimatematičar
Đerđ Poja, koji je dobar dio svog naučnog rada posvetio unapređenju metodike učenja Matematike.
Njegovo osnovno usmjerenje je nastava u kojoj je dominantan zajednički rad učenika i nastavnika. Pri
tome nastavnici metodički vode i usmjeravaju svakog učenika do sticanja kompetencija (sposobnosti) za
samostalno rješavanje matematičkih zadataka. U svojoj, planetarno popularnoj, knjizi: "Kako ću riješiti
matematički zadatak" ? on predlaže jedan opšti algoritam za rješavanje matematičkih zadataka. Taj
algoritam, kao skup jasno definisanih pravila i procedura, je dat u obliku pitanja i predočen je u
nastupajućojtabeli.
Poja na kraju sugeriše najbitnije: "Korist od ovakvog pristupa rješavanju matematičkih zadataka će
bitisamoondaakoseon,utokuškolovanja,ponovinebrojenomnogoputa".
Štajenepoznato?
Štajezadano?
Kako glasi uslov koji povezuje poznate i nepoznate
1. Treba razumjeti zadatak
elemente?
Akojepotrebnonacrtajsliku!
Uvediodgovarajućeoznake!
Gdjepočeti?
Štaraditi?
Štaćutimepostići?
Dalisamtakavzadatakvećvidio?
Znamlisličanzadatak?
Znamlinekudefiniciju,theoremuilipravilokojebi
biloodpomoći?
2. Potraži vezu između zadanogi nepoznatog
Je li potrebno uvesti neki pomoćni elemenat radi
rješavanja?
Moželisezadatakdrugačijeformulisati?
Moguliriješitidiozadatka?
Jesamliiskoristiosvezadaneelemente?
Jesam li uzeo u obzir sve bitne elemente koji se
pojavljujuuzadatku?
Gdjepočeti?
Štaraditi?
Štaćutimepostići?
3. Izvrši svojplan
Provodimlisvojplanrješavanja?
Kontrolišisvakikorak!
Mogulijasnovidjetidajesvakikorakispravan?
Mogulikontrolisatirezultat?
4. Provjeri dobijeno rješenje Mogulidorezultatadoćidrugačije?
Mogulirezultatuočitinaprvipogled?
2
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
Ako bi Pojin algoritam 'zgusnuli' došli bi do sljedećeg. Od učenikovih prvih dodira sa Matematikom,
trebalobiupornoinisistiratina:
1.Učenikmoradarazumijezadatak.Zbogtogapostavkazadatkamorabitijasna,odnosnozapisana
korektnom matematičkom terminologijomisimbolikom.
2.Udaljemtokupotrebnojeodvojiti,separirati,štajenepoznato,štanamjezadanoikojiuslovipovezuju
tedvijegrupeveličina.
3.Ustanovitidalijeuslovmogućeispuniti.Možesedogoditi jeuslovdjelimičnodovoljaniličak
potpuno protivrječan,pajeneispunjiv.
4.Crtatislike,skiceuzpogodnoizabraneoznake,kojeumnogomeolakšavajupostupakrješavanja.
5.Odgovore,nakrajurješavanja,davatiupisanojformi,kojaobogaćujefondmatematičkihtermina.
6.Ukasnijimfazamaškolovanja,kadasepočinjurješavatizadaciopštijegtipa,trebakrozdiskusiju
rješenja,analiziratisvemogućeslučajeve.
KakoćemokoristitiPojinalgoritambitćepokazanounastupajućemzadatku.Prijetoganekolikoveć
spomenutihinovihnapomena,kadasetrebauhvatitiukoštacsamatematičkimzadatkom.
i) Nemažurbe. Neleti. Nemojmislitidanemašvremena!!!
ii)Koristianalitičkinačinrazmišljanjaizaključivanja.Tojenačinukomedatiproblemosvjetljavaš,sa
štojemogućevišestrana,‘razbijajući’gana jednostavnije dijelovekojisutivećpoznati ilisiih već
rješavao.Utomnačinumišljenjaspoznaješidaješodgovorenadvaključnapitanja“Zaštoikako”?
Ovakav načinzaključivanjajeprimjenljivusvimNaukama,anesamouMatematici.
iii)Kadagodtrebakoristisliku,skicuipogodneoznake. Kodoznakanemojrobovatistandardima. Ko
kažedasenepoznatamoraoznačavatiisključivosax?Skiciranja,odnosnoslikesupoželjne jerje
nedvojbenodavizuelnapercepcijaimapunojačumoćodsuhoparnogispisivanjagomileformula.
iv)Svakizadatakjeosimprimjenenaučenogaistovremenoiučenjenečeganovoga.Zato,učipostupke,a
ne bubajnapametzadatke.Bubanjejegubljenjevremena iprviuslov daneznašništa.Postupakaje
sigurnomanjenegozadataka,akadasezaborave,lakose“osvježe”.
v)Uvijekrazmislijesilineštosličnorješavao. Takoćešsamotkrivatinekenaizglednepovezivesituacije.
vi)SveizloženoćeteuvjeravatidaMatematikanijebašnekiprevelikibaukinepremostivapreprekada
riješišmnogeživotneprobleme.
ZapamtiovajPojinalgoritamidodatnenapomene,jerćeš svetokoristitii udaljemškolovanju,
bilokojegusmjerenjaibilokojegnivoaobrazovanja.
SlijediPrimjerukomesu“pomiješani”Teorijabrojeva,ElementarnaalgebraiGeometrija.
3
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
Primjer 1. Koliko ima različitih pravougaonika, čiji je obim 16cm, a stranice prirodni brojevi ?
Odsvihtakvihpravougaonika,odredionajkojiimanajveću(maksimalnu)površinu.
Rješenje.Nekajezadanipravougaonik,stranicaxiykaonaslici.
1.korak-zadano: 2.korak-tražise:
y i) obimpravougaonika, i) kojisutopravougaonici?
ii)straniceprirodnibrojevi. ii)kojiodnjihimanajvećupovršinu?
x
3.korak-napišimomatematičkomsimbolikomiodgovarajućimformulama zadaneitraženeveličine:
Obimpravougaonikajezbirdužinasvihnjegovihstranica,tj.
Ox yx yO2x2yO2x y.Uzzadanepodatkedobijamo:
O16cm2x y16cm/:2x y8....(1)
Odredimoprvookojimserazličitimpravougaonicimaradi.
Jednakost(1)jelinearnajednačinapox,ykojauopštemslučajuimabeskonačnomnogorješenja.
Da su stranice prirodni brojevi, skupovno zapisujemo kao: x,y N. Sada jednačina (1) nema
beskonačno mnogo rješenja, jer prirodnih brojeva čiji je zbir 8 ima konačno mnogo. Naime, i x i y su
prirodni brojeviza kojevrijedi: 1x,y8. Krećemo odprvogprirodnogbroja1.Predočimomoguće
kombinacijezbira(1)sljedećomtabelom:
x 1 2 3 4 5 6 7 Prebrojavanjem,utvrđujemo
y 7 6 5 4 3 2 1 daima7pravougaonika.
Ne žuri sa odgovorom. Svih 7 pravougaonika ispunjava uslov da su im obimi 16cm. Međutim, u
Geometriji su npr. pravougaonik stranica 3cm i 5cm i pravougaonik stranica 5cm i 3cm podudarni,
odnosno isti. Treba napuštati, neodređene pojmove dužina i širina, jer za nekoga je dužina ono što je
za drugoga širina. I običan, nematematički svijet, za sobu koja je pravougaonog oblika često kaže:
“Soba 4 sa 3”. Sada od onih 7 pravougaonika odstranimo zadnja 3 (ili prva 3) jer su međusobno
podudarni, pa je odgovor: “Postoje 4 različita pravougaonika”. Nema veze što je jedan od
pravougaonika, onaj stranica 4cm i 4cm, kvadrat. Kvadrat je samo specijalan slučaj pravougaonika.
“Odbacivanje”pravougaonikaje,izmeđuostalog,posljedicakomutativnostizbira,ovde x y yx.
Osim izloženog rješenja, prvi dio zadatka se može riješiti i pomoću grafika linearne funkcije. Zašto
baš koristeći funkciju. I u osnovnoj, pa čak i u srednjoj školi, se često jednačina ne definiše koristeći
prirodnu i jednostavnu formulaciju po kojoj je: “Jednačina jednakost dviju funkcija”. Ta suštinska
veza jednačine i funkcije često olakšava razmatranje i rješavanje, na prvi pogled komplikovanih
problema.
4
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
Posmatrajmojednačinu(1), x y8.Nijeteškovidjetidajeonaekvivalentnasa yx8...(2).
Zadnji zapis je samo eksplicitni oblik linearne funkcije oblika ykxn ili fxkxn , gdje je
k 1 i n8. Zbog prirode zadatka domen ove funkcije je podskup X skupa prirodnih brojeva N,
   
koji analitički pišemo kao: X  x 1x8 . Kodomen je analogno skup Y  y 1 y8 , tako da
nam za crtanje grafika treba samo prvi kvadrant Dekartove ravni (pravouglog koordinatnog sistema),
jer imamo “posla” sa pozitivnim brojevima. Dakle, jednačinu (1) rješavamo grafički. Na grafiku
dobijene funkcije posmatrat ćemo samo tačke čije su koordinate prirodni brojevi. Samo crtanje
grafikafunkcijejevećinipoznato,paganećemoobjašnjavatipreširoko.
▲ y
8
7
6
5 yx8
4
3
2
1
► x
O(0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8
Grafikfunkcijeodsjecanay-osiodsječak8,anulafunkcije(odsječaknax-osi)jetakođe8.Odječke
x y
na osama smo mogli dobiti i iz segmentnog oblika  1. Iz x y8 dijeljenjem i LS (lijeve
m n
x y
strane)i DS(desnestrane)sa8odmahdobijamo:  1.Tačke A,B,C,D,E,F,G leženagrafiku
8 8
funkcije yx8 i one su, slično tabeli, sa svojim koordinatama x,y moguća rješenja. Slika
predočava pravougaonike kojima je zajednički vrh, koordinantni početak, tačka O. Notirani preko
tjemena ti pravougaonici, njih 7 su: O7G1, O6F2, O5E3, O4D4, O3C5, O2B6 i O1A7. Od tih
mogućih rješenja usvajamo četiri. Odabir rješenja, kao neku vrstu granice ima tačku D4,4. Ovde
koordinatetačaka na grafikufunkcijeimajuulogudužinastranicapravougaonika,pa smo mogli pisati
x,yjedna stranica, druga stranica. Očito su i oblika x,8x ili 8 y,yi nije ih teško očitati.
Naslicisupotamnjenjemizdvojenadvapravougaonika.Vertikalniimastranice,zanemarimocm,1i7,
a horizontalni ima stranice 7 i 1. To su dva podudarna pravougaonika, jer ih rotacijama dovedemo do
poklapanja. Ako horizontalni (vertikalni) rotiramo oko zajedničkog vrha, tačke O za 90 (za 270 ),
onćesepreslikatiuvertikalni(horizontalni)pravougaonik.
5
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
Prvidiozadatka,kojijejednostavnalinearnaDiofantovajednačina, smoriješilinadvanačina.
Drugi dio zadatka, zahtjeva da od četiri različita pravougaonika, a ne od onih u prvih mah 7 nađenih,
odredimo onaj koji ima maksimalnu površinu. Posmatrajmo stranice pravougaonika kao uređene
parove. Stranice su u cm pa to nećemo posebno naglašavati. Dakle, imamo sljedeća četiri uređena
para: 1,7, 2,6, 3,5 i 4,4. Kako je površina pravougaonika jednaka proizvodu dužina stranica,
ovde formula ima oblik P(x,y)xy , a ne “bubatorsko” Pab . Nije teško zaključiti da vrijedi
produžena nejednakost P(1,7)7P(2,6)12P(3,5)15P(4,4)16 . Prema tome, najveću
površinu,odnađenihrazličitihpravougaonika, imakvadrationaiznosi 16cm2.
Napomena. Da je u zadatku precizirano umjesto “pravougaonika” “strogo pravougaonika” rješenje bi
izgledalodrugačije.Bilobitrirazličitapravougaonika,amaksimalnapovršinabiiznosila 15cm2.
DodatakRješenjuzadatka.
Određivanje pravougaonika maksimalne površine, nije bilo naročito teško zbog činjenice da smo
imali samo 4 pravougaonika, pa smo upoređivali 4 proizvoda. Šta da ih je bilo 400 ili 4 milijarde.
Provjeriti sve proizvode, pa od njih izabrati najveći,ne bi bilonemoguće, alibi bilo zamorno i mnogi
bi odustali. Razumno je pitanje: “Imali neki kraći, ili čak univezalni metod da riješimo, u bilo kom
slučaju, sličan problem” ? Imali smo zadani obim (zbir), a tražila se najveća površina (proizvod).
Može i ovakva formulacija: “Kakva treba da budu dva sabirka, da im proizvod bude maksimalan” ?
Matematikaimaodgovorenasvapitanja,painaovo.
Prije nego iskažemo theoremu koja daje odgovor na naše pitanje, definišimo dva važna pojma. To su
aritmetičkaigeometrijskasredina,kaonajvažnijipredstavnicibrojnihsredina(sredinabrojeva).
Nekasudatadvapozitivnarealnabrojaaib,simbolički: a,bR+,ili a,b0.Vrijededefinicije:
Definicija aritmetičke sredine. Aritmetička sredina brojeva a i b je njihov poluzbir, u oznaci
ab
Aa,b .
2
Definicija geometrijske sredine. Geometrijska sredina brojeva a i b je drugi korjen iz njihovog
proizvoda,uoznaci Ga,b ab .
Napomena. Ove dvije sredine se mogu definisati i za više od dva pozitivna realna broja, ali nam to u
ovomtrenutkunijecilj.
Theorema o nejednakosti brojnih sredina ( AG nejednakost ). “Geometrijska sredina dva broja
nikad nije veća (uvijek je manja ili jednaka) od aritmetičke sredine tih brojeva. Simbolički:
Ga,b A(a,b),gdjeznakjednakostivrijedisamoakoje ab”.
ab ab
Prvi dokaz ►Trebadokazatidaje ab  .Dokažimoekvivalentnutvrdnju:  ab .
2 2
Kakosu a,bR+,sigurnoje ab2 0.Nakon kvadriranjavrijedilanacimplikacija:
ab2 ab
a2 2abb2 0/4aba2 2abb2 4ab/:4 ab/   ab,štoznačida
4 2
je: Aa,bG(a,b) Q.E.D(Quoderatdemonstrandum-Štojeitrebalodokazati).
6
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
Zahvalnost Euklidu koji je tako završavao svoje dokaze. Danas se često koristi simbol ■ (prijedlog
Pola Halmoša, mađarskog matematičara). Simboli ►, Q.E.D ili ■, vizuelno odvajaju tvrdnju od
dokaza,kaoikrajdokazatheoreme.Svesevišenapuštadugokorišteno:“Timejedokazzavršen”.
ab
Drugi dokaz ►Dokažimodaje: ab  . Kakosu a,bR+,smijemokvadriratiiLSiDS
2
polaznenejednakostinakončegaimamo:
ab2 a2 2abb2
ab  ab /44aba2 2abb2 0a2 2abb2.
 2  4
DS zadnje nejednakosti je kvadrat razlike pa vrijedi 0ab2 ab2 0. Kako je kvadrat bilo
kog realnog broja uvijek nenegativan zadnja nejednakost je tačna za bilo koje a,b R +. Znak
jednakostićeočiglednovrijeditiakoje ab. Q.E.Dili■.
Zaštonamjeovatheoremavažna.Onaupravovežezbiriproizvod,kojisepojavljujuuzadatku,pana
osnovutogamožemoiskazatiisljedećutvrdnju,kojajeposljedicaAGnejednakosti.
Theorema. “Ako je zbir dva pozitivna broja konstantan, onda će proizvod tih brojeva biti
maksimalanakosuonimeđusobnojednaki”.
Kako je u zadatku x y8 const. , odmah na osnovu prethodne theoreme izlazi xy , ako je
max
x y.Sadaiz(1): 2x8x4,odnosno y4.Taj zaključakvećimamo.
Napomena.Maloprijespomenutatheoremavrijediizakonačanzbirukomeimavišeoddvasabirka.
Formulacijatetheoremebibila.
Theorema.“Nekasu x ,x ,....,x pozitivnirealnibrojevi.Akoje x x ....x const.,ondaje
1 2 n 1 2 n
proizvod x x ....x maksimalan,akoje x x ....x ”.
1 2 n 1 2 n
Drugi dio zadatka se može riješiti, između ostalog, i na sljedeća dva načina. Oba od njih podrazumjevaju
poznavanje osobina funkcija. Naime, površina pravougaonika Px,y koja je funkcija dviju realnih
promjenljivih, nakon smjene yx8, postaje funkcija jedne realne promjenljive Pxx2 8x . U
pitanjujekvadratnafunkcijaidaljitokrješenjazadatkamogupratitisrednjoškolci.Naovommjestujeveć
vidljiv značaj pojma funkcije. U prvom dijelu smo obim pravougaonika izrazili kao funkciju dvije
promjenljive,amaloprijesmotoučiniliisapovršinomtogistogpravougaonika.
Unižimrazredima srednješkoleseizučava parabola,kojajegrafikkvadratnefunkcije.Za njenocrtanje,u
slučaju realnih i različitih nula su dovoljne tri tačke. To su nule kvadratne funkcije i tjeme parabole.
‘Naša’parabolaimazaistarealneirazličitenule: x 0 i x 8.Njihnijeteškoodrediti.
1 2
Iz Pxx2 8xPx0 ako je x2 8x0xx80x0 ili x8.
Znasedakvadratnafunkcija fxax2 bxc , a0 dostižeekstremutjemenuparaboleito:
minimumakoje a0(okrenutanadole),odnosnomaksimumakoje a0(okrenutanagore)ion
x x 
seuobaslučajaizračunakaovrijednostfunkcije f 1 2 .
 2 
7
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
 b D 
Ovde nismo koristili koordinate tjemena T ,  gdje je Db2 4ac diskriminanta kvadratne
 2a 4a
funkcije. Naime, apscisa tjemena T je uvijek na sredini između nula. Parabola ima maksimum jer je
x x 08
a10 , dok je sredina između nula data sa: 1 2  4 , pa tačka maksimuma ima ordinatu
2 2
P P416 ismještenajeutjemenuparabole T(4,16).Vidinastupajućigrafik.
max
T(4,16)
y
f(x)=-x^2+8x
16
Naziv 1
Naziv 2
Naziv 3
14
12
10
8
Pxx2 8x
6
4
2
O x
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
x x
1 2
-2
-4
Završni razredi srednje škole izučavaju i izvode funkcije i njihovu primjenu na ispitivanje toka i crtanje
grafika realnih funkcija jedne promjenljive. Ovo što sada navodimo nije dato u obliku theorema. Dati su
opisno samo zaključci tih theorema. U tom smislu je važna napomena: “Nemoj bubati theoreme, slično
kao i formule, zapamti njihove zaključke i mogućnosti primjene”. U analizi realnih funkcija se napomene
dafunkcijamožedaimalokalniekstremunekojtački(stacionarnatačka)akojenjenprviizvodutojtački
jednaknuli.Okomseekstremuradiispitamonadva načina.
8
ZimskaškolaMatematike,Lukavac-januara2015.godine MirsadSuljić“OvrstamazadatakauMatematiciiPojinalgoritamzarješavanjezadataka”
i) Ispitujemo znak prvog izvoda. Interval u kome je prvi izvod negativan (pozitivan) je interval u kome
funkcija opada (raste). U stacionarnoj tački niti raste niti opada. Ako, prolaskom kroz stacionarnu tačku
funkcija promijeni opadanje u rast (rast u opadanje) u toj stacionarnoj tački ona ima lokalni minimum
(lokalnimaksimum).
Prvi izvod je P'x2x8P'x0 x4 . Stacionarna tačka x4 otvoreni interval realnih
brojeva , ‘razbije’ na dva, takođe otvorena intervala ,4 i 4, . Tabela najlakše ispita
znakprvogizvoda.
 4 
P'x2x8 + - P442 84P416
Pxx2 8x pa tačkamaksimuma(4,16).
Max
ii) Preko vrijednosti drugog izvoda ustacionarnoj tački. Neka je stacionarnatačka x , tj. P'x 0. Ako
0 0
je P''x 0,odnosno P''x 0 funkcijaimamaksimum, odnosno minimum.Akoje P''x 0 treba
0 0 0
daljeispitivati.Nađimodrugiizvod f-je Pxx2 8x.
Drugiizvod P''x20,pafunkcijaimaza x4 maksimalnuvrijednost P P416.
max
Sljedeći primjer pokazuje svu prednost dosljedne primjene Pojinog algoritma i analitičkog načina
mišljenja. Uzet je iz popularne knjige, već spomenutog, Pola Halmoša “Problem for Mathematicians
YoungandOld”. Izsamognazivaknjigesevidikojimjematematičarimanamjenjena.
Primjer 2.Na jednom teniskom turniru, koji se igra po principu“ko izgubi ispada”, učestvuje 1025
igrača.Kolikoćebitiukupnoodigranihmečeva?
Nećemo žuriti. Imamo vremena. Sam autor u komentaru ovog zadatka kaže: “Ovde nije pitanje da li će
neko ovaj, ipak jednostavni, problem riješiti. Poenta je u nalaženju rješenja, koje će osim estetske
vrijednosti, pogoditiusrceproblema”.
Mi ćemo zadatak poopštiti, predpostavljajući da na turniru učestvuje n - igrača. Ma koliko bilo veliko n,
sljedeća razmatranja su analitički logična i opravdana Znamo broj igrača. Traži se broj mečeva. Pravimo
sljedećiplan:
1.poslijesvakogmečatačnojedanigračispadaizdaljeigre,
2.pobjednikturnirajesamojedanigračkojinijeizgubionijedanmeč,
3.akojenapočetkubilonigrača,mečevejedokrajaturniraizgubilo n1 igrača,
4.tih n1 igračajeodigralotačno n1mečeva.
U ovim razmatranjima ništa nije sporno ni komplikovano, pa rješenje osim elegancije ima i svojstvo
poopštenja.Dakle,naturnirućebitiodigrano, 102511024meča. Ovdeimamoibijekcijukojasvakom
mečupridružiigračakojijeizgubiomeč.
9