Table Of Content

NNAASSAA TTeecchhnniiccaall MMeemmoorraanndduumm 110066880099 CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ffoorr AAnnaallyyzziinngg MMiixxeedd BBoouunnddaarryy VVaalluuee PPrroobblleemmss iinn EEllaassttiicciittyy SSuurryyaa NN.. PPaattnnaaiikk aanndd IIggoorr KKaalljjeevviicc OOhhiioo AAeerroossppaaccee IInnssttiittuuttee BBrrooookk PPaarrkk,, OOhhiioo DDaallee AA.. HHooppkkiinnss LLeewwiiss RReesseeaarrcchh CCeenntteerr CClleevveellaanndd,, OOhhiioo SSuunniill SSaaiiggaall CCaarrnneeggiiee MMeelllloonn UUnniivveerrssiittyy PPiittttssbbuurrgghh,, PPeennnnssyyllvvaanniiaa SSeepptteemmbbeerr 11999955 NNaattiioonnaall AAeerroonnaauuttiiccss aanndd SSppaaccee AAddmmiinniissttrraattiioonn ·· CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ffoorr MMiixxeedd BBoouunnddaarryy VVaalluuee PPrroobblleemmss iinn EEllaassttiicciittyy SSuurryyaa NN.. PPaattnnaaiikk aanndd IIggoorr KKaalljjeevviicc OOhhiioo AAeerroossppaaccee IInnssttiittuuttee 2222880000 CCeeddaarr PPooiinntt RRooaadd BBrrooookk PPaarrkk,, OOHH 4444114422 DDaallee AA.. HHooppkkiinnss NNaattiioonnaall AAeerroonnaauuttiiccss aanndd SSppaaccee AAddmmiinniissttrraattiioonn LLeewwiiss RReesseeaarrcchh CCeenntteerr 2211000000 BBrrooookkppaarrkk RRooaadd,, MMaaiill SSttoopp 4499--88 CClleevveellaanndd,, OOHH 4444113355 aanndd SSuunniill SSaaiiggaall CCaarrnneeggiiee MMeelllloonn UUnniivveerrssiittyy DDeeppaarrttmmeenntt ooff CCiivviill EEnnggiinneeeerriinngg PPiittttssbbuurrgghh,, PPAA 1155221133 AAbbssttrraacctt IInn eellaassttiicciittyy,, tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess,, wwhheerreeiinn ssttrreessss ppaarraammeetteerrss aarree ccoonnssiiddeerreedd aass tthhee pprriimmaarryy uunnkknnoowwnnss.. iiss kknnoowwnn aass tthhee BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ((BBMMFF)).. TThhee eexxiissttiinngg BBMMFF ccaann oonnllyy ssoollvvee ssttrreessss bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss;; iitt ccaannnnoott hhaannddllee tthhee mmoorree pprreevvaalleenntt ddiissppllaacceemmeenntt oorr mmiixxeedd bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss ooff eellaassttiicciittyy.. TThheerreeffoorree,, tthhiiss ffoorrmmuullaattiioonn.. wwhhiicchh hhaass rreessttrriicctteedd aapppplliiccaattiioonn,, ccoouulldd nnoott bbeeccoommee aa ttrruuee aalltteerrnnaattiivvee --ttoo tthhee NNaavviieerr''ss ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd,, wwhhiicchh ccaann ssoollvvee aallll tthhrreeee ttyyppeess ooff bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss.. TThhee rreessttrriiccttiioonnss iinn tthhee BBMMFFhhaavvee bbeeeenn aalllleevviiaatteedd bbyy aauuggmmeennttiinngg tthhee ccllaassssiiccaall ffoorrmmuullaattiioonn wwiitthh aa nnoovveell sseett ooff ccoonnddiittiioonnss iiddeennttiiffiieedd aass tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss.. TThhiiss nneeww mmeetthhoodd,, wwhhiicchh ccoommpplleetteess tthhee ccllaassssiiccaall ffoorrccee ffoorrmmuullaattiioonn,, hhaass bbeeeenn tteerrmmeedd tthhee CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ((CCBBMMFF)).. TThhee CCBBMMFF ccaann ssoollvvee ggeenneerraall eellaassttiicciittyy pprroobblleemmss wwiitthh ssttrreessss,, ddiissppllaacceemmeenntt.. aanndd mmiixxeedd bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss iinn tteerrmmss ooff ssttrreesssseess aass tthhee pprriimmaarryy uunnkknnoowwnnss.. TThhee CCBBMMFF iiss ddeerriivveedd ffrroomm tthhee ssttaattiioonnaarryy ccoonnddiittiioonn ooff tthhee vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall ooff tthhee IInntteeggrraatteedd FFoorrccee MMeetthhoodd.. IInn tthhee CCBBMMFF,, ssttrreesssseess ffoorr kkiinneemmaattiiccaallllyy ssttaabbllee ssttrruuccttuurreess ccaann bbee oobbttaaiinneedd wwiitthhoouutt aannyy rreeffeerreennccee ttoo tthhee ddiissppllaacceemmeennttss eeiitthheerr iinn tthhee ffiieelldd oorr oonn tthhee bboouunnddaarryy.. TThhiiss ppaappeerr pprreesseennttss tthhee CCBBMMFF aanndd iittss ddeerriivvaattiioonn ffrroomm tthhee vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall ooff tthhee IInntteeggrraatteedd FFoorrccee MMeetthhoodd.. SSeevveerraall eexxaammpplleess aarree pprreesseenntteedd ttoo ddeemmoonnssttrraattee tthhee aapppplliiccaabbiilliittyy ooff tthhee ccoommpplleetteedd ffoorrmmuullaattiioonn ffoorr aannaallyyzziinngg mmiixxeedd bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss uunnddeerr tthheerrmmoommeecchhaanniiccaall llooaaddss.. SSeelleecctteedd eexxaammppllee pprroobblleemmss iinncclluuddee aa ccyylliinnddrriiccaall sshheellll,, wwhheerreeiinn mmeemmbbrraannee aanndd bbeennddiinngg rreessppoonnsseess aarree ccoouupplleedd,, aanndd aa ccoommppoossiittee cciirrccuullaarr ppllaattee.. NN oorrnneennccllaattuurree AA ssttrraaiinn eenneerrggyy iinn tthhee IInntteeggrraatteedd FFoorrccee MMeetthhoodd ((IIFFMM)) ffuunnccttiioonnaall aa rraaddiiuuss ooff sshheellll ccoommpplleemmeennttaarryy ssttrraaiinn eenneerrggyy iinn tthhee IIFFMM ffuunnccttiioonnaall mmoodduulluuss ooff eellaassttiicciittyy mmaatteerriiaall mmaattrriixx ppllaattee oorr sshheellll tthhiicckknneessss ppllaattee oorr sshheellll rriiggiiddiittyy lleennggtthh ooff sshheellll ppllaattee bbeennddiinngg mmoommeennttss sshheellll bbeennddiinngg mmoommeenntt sshheellll ttaannggeennttiiaall ffoorrccee ddiirreeccttiioonnaall ccoossiinneess ooff tthhee oouuttwwaarrdd DDOOrrmmaall ccoommppoonneennttss ooff ssuurrffaaccee ttrraaccttiioonnss iinntteennssiittyy ooff tthhee ddiissttrriibbuutteedd llooaadd rraaddiiaall ccoooorrddiinnaatteess bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn iinn tteerrmmss ooff ssttrreesssseess ttrraaccttiioonn ccoonnddiittiioonnss iinn tteerrmmss ooff ssttrreesssseess tteemmppeerraattuurree aatt tthhee mmiiddssuurrffaaccee uu,,vv,,ww ttrraannssvveerrssee ddiissppllaacceemmeenntt ccoommppoonneennttss vv iitt,, pprreessccrriibbeedd bboouunnddaarryy ddiissppllaacceemmeennttss ww ppootteennttiiaall ooff eexxtteemmaallllooaaddss iinn tthhee IIFFMM ffuunnccttiioonnaall 22 XX,,YY CCaarrtteessiiaann ccoooorrddiinnaatteess ccoooorrddiinnaatteess ooff sshheellll ccoonnttoouurrss ccooeeffffiicciieenntt ooff tthheerrmmaall eexxppaannssiioonn ff33 ccyylliinnddrriiccaall sshheellll ppaarraammeetteerr rr bboouunnddaarryy ooff aann eellaassttiicc ccoonnttiinnuuuumm tteemmppeerraattuurree ddiiffffeerreennccee bbeettwweeeenn iinnnneerr aanndd oouutteerr ssuurrffaacceess ppllaannee ssttrraaiinn ccoommppoonneennttss vv PPooiissssoonn''ss rraattiioo rrrrcc rrrrcc nnPPss IIFFMM vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall ffoorr ppllaannee ssttrreessss,, ppllaatteess.. aanndd sshheellllss.. rreessppeeccttiivveellyy pp'' pp'' ss ppllaannee ssttrreessss ccoommppoonneennttss AAiirryy''ss ssttrreessss ffuunnccttiioonn ffoorr ppllaannee ssttrreessss sshheellll ssttrreessss ffuunnccttiioonn lljjIIpp((qq )) •• pp((pp..11 tt)) ppaarrttiiccuullaarr iinntteeggrraall ffoorr mmeecchhaanniiccaall aanndd tthheerrmmaall llooaaddss.. rreessppeeccttiivveellyy sshheellll ddoommaaiinn IInnttrroodduuccttiioonn TThhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess,, aallssoo kknnoowwnn aass tthhee BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ((BBMMFF)),, aanndd iittss vvaarriiaanntt,, tthhee AAiirryy''ss ssttrreessss ffuunnccttiioonn ffoorrmmuullaattiioonn,, wweerree tthhee pprreeffeerrrreedd ttoooollss ooff aannaallyyssiiss iinn eellaassttiicciittyy dduurriinngg tthhee 11994400''ss aanndd 11995500··ss..11··22 IInn ffaacctt,, ssoolluuttiioonnss ffoorr mmaannyy ccllaassssiiccaall eellaassttiicciittyy pprroobblleemmss hhaavvee bbeeeenn oobbttaaiinneedd vviiaa tthhee mmeetthhoodd ooffff oorrcceess.. 11--33 TThhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess,, hhoowweevveerr,, ccoouulldd nnoott ccoommppeettee wwiitthh tthhee NNaavviieerr''ss ddiissppllaacceemmeenntt ffoorrmmuullaattiioonn,, eessppeecciiaallllyy iinn aannaallyyzziinngg ppllaatteess aanndd sshheellllss wwiitthh ddiissppllaacceemmeenntt aanndd mmiixxeedd bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. TThhuuss,, tthhee aapppplliiccaattiioonn ooff tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess ddiimmiinniisshheedd,, aanndd tthhee ddiissppllaacceemmeenntt ffoorrmmuullaattiioonn ggaaiinneedd ppooppuullaarriittyy.. TThhee ddeemmiissee ooff tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess wwaass nnoott dduuee ttoo aannyy iinnttrriinnssiicc ggeenneerriicc ddeeffiicciieennccyy ooff tthhee mmeetthhoodd bbuutt ttoo tthhee iinnccoommpplleetteenneessss ooff tthhee ffoorrmmuullaattiioonn.. BBeeccaauussee aa sseett ooff bboouunnddaarryy eeqquuaattiioonnss wwaass mmiissssiinngg,, tthhee aapppplliiccaattiioonn ooff tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF wwaass rreessttrriicctteedd ttoo ssoollvviinngg oonnllyy pprroobblleemmss wwiitthh ssttrreessss bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. IInn ootthheerr wwoorrddss,, tthhee BBeellttrraammii--MMiicchheellll''ss ffoorrccee ffoorrmmuullaattiioonn ccaann bbee uusseedd ttoo ssoollvvee ssttrreessss bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss,, bbuutt iitt ccaannnnoott ssoollvvee tthhee mmoorree pprreevvaalleenntt ddiissppllaacceemmeenntt aanndd mmiixxeedd bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss.. TThhee 33 mmiissssiinngg sseett ooff eeqquuaattiioonnss,, wwhhiicchh ccoommpplleetteess tthhee BBMMFF,, hhaass bbeeeenn iiddeennttiiffiieedd aass tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss.. AAtt tthhiiss ttiimmee,, tthheessee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss hhaavvee bbeeeenn ddeerriivveedd oonnllyy ffrroomm aa vvaarriiaattiioonnaall ffoorrmmuullaattiioonn.. DDiirreecctt ddeerriivvaattiioonn ooff bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss iiss nnoott kknnoowwnn,, aanndd tthhiiss mmaayy bbee tthhee pprriimmaarryy rreeaassoonn wwhhyy tthheessee eeqquuaattiioonnss wweerree nnoott ffoorrmmuullaatteedd eeaarrlliieerr.. AAuuggmmeennttaattiioonn ooff tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF wwiitthh tthheessee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss rreessuulltteedd iinn aa nnoovveell ffoorrccee mmeetthhoodd----tthhee .... CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ((CCBBMMFF)).. TThhee CCBBMMFF bbeessttoowwss eeqquuaall eemmpphhaassiiss oonn ssttrreessss eeqquuiilliibbrriiuumm aanndd ssttrraaiinn ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss.. IItt iiss aass uunniivveerrssaall aass tthhee NNaavviieerr''ss ddiissppllaacceemmeenntt ffoorrmmuullaattiioonn,, ssoollvviinngg aallll tthhrreeee ccllaasssseess ooff eellaassttiicciittyy pprroobblleemmss:: ssttrreessss,, ddiissppllaacceemmeenntt,, aanndd mmiixxeedd bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss.. TThhuuss,, tthhee CCBBMMFF oovveerrccoommeess tthhee ddeeffiicciieennccyy ooff tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF.. TThhee CCBBMMFF ccaann pprroovviiddee ssoolluuttiioonn ttoo ssttrreesssseess wwiitthhoouutt aannyy rreeffeerreennccee ttoo tthhee ddiissppllaacceemmeennttss,, eeiitthheerr iinn tthhee ffiieelldd oorr oonn tthhee bboouunnddaarryy,, ffoorr kkiinneemmaattiiccaallllyy ssttaabbllee ssttrruuccttuurreess.. TThhee pprriimmaarryy ppuurrppoossee ooff tthhee ssttrruuccttuurraall aannaallyyssiiss iiss ttoo ddeetteerrmmiinnee tthhee iinntteerrnnaall ssttrreessss ssttaattee iinn aann eellaassttiicc ccoonnttiinnuuuumm.. IInn tthhee CCBBMMFF,, ssttrreesssseess aarree oobbttaaiinneedd ddiirreeccttllyy aass aa ssoolluuttiioonn ttoo aa sseett ooff eeqquuaattiioonnss ooff tthhiiss ffoorrmmuullaattiioonn.. DDiissppllaacceemmeennttss,, iiff rreeqquuiirreedd,, ccaann bbee ccaallccuullaatteedd ffrroomm ssttrreesssseess uussiinngg iinntteeggrraattiioonn.. IInn tthhee NNaavviieerr''ss ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd,, ddiissppllaacceemmeennttss ((wwhheetthheerr rreeqquuiirreedd oorr nnoott)) mmuusstt bbee ggeenneerraatteedd ffiirrsstt;; tthheenn ssttrreesssseess aarree ddeetteerrmmiinneedd iinnddiirreeccttllyy tthhrroouugghh ddiiffffeerreennttiiaattiioonn.. AAss aa rreessuulltt,, iinn tthhee ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd,, ssttrreesssseess ccaann bbeeccoommee iinnaaccccuurraattee,, eessppeecciiaallllyy wwhheenn aapppprrooxxiimmaattee tteecchhnniiqquueess aarree uusseedd.. IInn tthhee CCBBMMFF,, pprroobblleemmss wwiitthh tthheerrmmaall aanndd iinniittiiaall ssttrraaiinnss aarree hhaannddlleedd ddiirreeccttllyy bbyy tthhee ccoommppaattiibbiilliittyy ffoorrmmuullaattiioonn,, wwhheerreeaass iinn tthhee NNaavviieerr''ss ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd,, tthheeyy hhaavvee ttoo bbee ttrreeaatteedd iinnddiirreeccttllyy uussiinngg tthhee ccoonncceepptt ooff eeqquuiivvaalleenntt llooaaddss.. TThhee ddeevveellooppmmeenntt ooff tthhee CCBBMMFF iiss ffuurrtthheerr jjuussttiiffiieedd bbeeccaauussee aallll tthhee ssoolluuttiioonnss tthhaatt hhaavvee bbeeeenn oobbttaaiinneedd wwiitthh tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF hhaavvee ttoo bbee vveerriiffiieedd;; tthhaatt iiss,, iitt mmuusstt bbee ddeetteerrmmiinneedd wwhheetthheerr tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss hhaavvee bbeeeenn ssaattiissffiieedd oorr nnooll TThhee nnoonnccoommpplliiaannccee ooff bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ffoorr aa ccllaassssiiccaall eellaassttiicciittyy ssoolluuttiioonn iiss iinnddiiccaatteedd iinn RReeff.. 44.. TThhee nnoovveell bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss,, tthhee kkeeyy iinnggrreeddiieenntt iinn tthhee CCBBMMFF,, wweerree aacccciiddeennttaallllyy ddeerriivveedd aanndd tthheenn iiddeennttiiffiieedd dduurriinngg tthhee ffoorrmmuullaattiioonn ooff tthhee vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall55 ooff tthhee IInntteeggrraatteedd FFoorrccee MMeetthhoodd ((IIFFMM)) ffoorr tthhee ffiinniittee eelleemmeenntt ddiissccrreettee aannaallyyssiiss.. TThhee IIFFMM ffoorr tthhee ffiinniittee eelleemmeenntt aannaallyyssiiss,, wwhhiicchh ccaann bbee ccoonnssiiddeerreedd tthheeddiissccrreettiizzeedd vveerrssiioonn ooff tthhee CCBBMMFF,, aaccttuuaallllyy wwaass ffoorrmmuullaatteedd bbeeffoorree tthhee CCBBMMFF.. HHeenncceeffoorrtthh,, iinn tthhiiss ppaappeerr,, tthhee ffoorrccee mmeetthhoodd ffoorr aannaallyyzziinngg bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss iinn eellaassttiicciittyy aanndd ffoorr aannaallyyzziinngg ppllaatteess aanndd sshheellllss iiss ccaalllleedd tthhee CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ((CCBBMMFF)).. TThhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess ffoorr tthhee ffiinniittee eelleemmeenntt nnuummeerriiccaall aannaallyyssiiss iiss ssttiillll rreeffeerrrreedd ttoo aass tthhee IInntteeggrraatteedd FFoorrccee MMeetthhoodd ((IIFFMM)).. TThhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss wweerree rreeppoorrtteedd eeaarrlliieerr ffoorr ttwwoo--ddiimmeennssiioonnaall eellaassttiicciittyy pprroobblleemmss,,55 aanndd ssttrreessss aannaallyysseess 44 66 uussiinngg bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss wweerree ppuubblliisshheedd ffoorr rreeccttaanngguullaarr aanndd cciirrccuullaarr ppllaatteess iinn fflleexxuurree ffoorr mmeecchhaanniiccaall llooaaddss.. 44 -- -- ---- ------..--------~~ ,,------ TThhiiss ppaappeerr iinncclluuddeess tthhee ffoorrmmaall pprreesseennttaattiioonn ooff tthhee CCBBMMFF aanndd iittss aapppplliiccaattiioonn ttoo aannaallyyzziinngg cciirrccuullaarr ppllaatteess aanndd cciirrccuullaarr ccyylliinnddrriiccaall sshheellllss ssuubbjjeecctteedd ttoo bbootthh mmeecchhaanniiccaall aanndd tthheerrmmaall llooaaddss.. SSppeecciiaalliizzeedd eeqquuaattiioonnss ffoorr ppllaatteess aanndd sshheellllss aarree ddeerriivveedd ffrroomm tthhee ssttaattiioonnaarryy ccoonnddiittiioonn oofftthheeIIFFMM vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall,, aanndd sseevveerraall mmiixxeedd bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss aarree ssoollvveedd ttoo ddeemmoonnssttrraattee tthhee ccaappaabbiilliittyy oofftt hhee ffoorrmmuullaattiioonn.. TThhee ffiirrsstt pprroobblleemm iiss aa cciirrccuullaarr ppllaattee mmaaddee ooff ttwwoo ddiiffffeerreenntt mmaatteerriiaallss aanndd ssuubbjjeecctteedd ttoo tthheerrmmoommeecchhaanniiccaallllooaaddss.. TThhee ssoolluuttiioonn ooff tthhee ppllaattee eexxaammppllee ddeemmoonnssttrraatteess tthhee aapppplliiccaattiioonn ooff tthhee CCBBMMFF ttoo pprroobblleemmss wwiitthh ddiissppllaacceemmeenntt aanndd iinntteerrffaaccee ((oorr jjuummpp)) bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. CCyylliinnddrriiccaall sshheellllss aarree aannaallyyzzeedd nneexxtt.. TThhee sshheellll eexxaammpplleess ddeemmoonnssttrraattee tthhee uussee ooff tthhee CCBBMMFF wwhheenn mmeemmbbrraannee aanndd bbeennddiinngg rreessppoonnsseess aarree ccoouupplleedd.. IInn aaddddiittiioonn,, tthhiiss ppaappeerr sseerrvveess aass aann iinniittiiaall,, yyeett aann uunniiffiieedd aanndd ssyysstteemmaattiicc,, aatttteemmpptt ttoo bbrriinngg bbaacckk tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess ffoorr aannaallyyzziinngg ggeenneerraall eellaassttiicc ccoonnttiinnuuaa.. IItt iiss aannttiicciippaatteedd tthhaatt tthhee ddeevveellooppmmeenntt ooff tthhee CCBBMMFF ffoorr vvaarriioouuss sshheellll ssttrruuccttuurreess,, wwhheerreeiinn mmeemmbbrraannee aanndd bbeennddiinngg rreessppoonnsseess aarree ccoouupplleedd,, mmaayy bbeeccoommee aa ssiiggnniiffiiccaanntt aavveennuuee ffoorr rreesseeaarrcchh.. CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ooff EEllaassttiicciittyy TThhee bbaassiicc ccoonncceeppttss ooff tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess ((tthhee CCBBMMFF bbeeiinngg iittss ssppeecciiaalliizzaattiioonn ffoorr aannaallyyzziinngg eellaassttiicc ccoonnttiinnuuaa)) ccaann bbee iinniittiiaatteedd ffrroomm tthhee ssttrreessss--ssttrraaiinn llaaww,, wwhhiicchh iiss uunniivveerrssaall ttoo aallll aannaallyyssiiss ffoorrmmuullaattiioonnss.. TThhee ssttrreessss--ssttrraaiinn llaaww tthhaatt lliinnkkss ssttrreesssseess {{uu}} ttoo ssttrraaiinnss {{EE}} tthhrroouugghh aa kknnoowwnn mmaatteerriiaall mmaattrriixx [[GG]] ccaann bbee wwrriitttteenn aass {{uu}} == [[GG]]{{ee}} ((11)) TThhee ssttrreesssseess iinn EEqq.. ((11)) mmuusstt ssaattiissffyy tthhee ssttaattee ooff eeqquuiilliibbrriiuumm.. aanndd tthhee ssttrraaiinnss mmuusstt ssaattiissffyy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss.. IInn ootthheerr wwoorrddss,, tthhee ssttrreesssseess iinn tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess ccaann bbee ddeetteerrmmiinneedd ffrroomm tthhee ssttrreessss ssttrraaiinn llaaww ggiivveenn bbyy EEqq.. ((11)) aanndd ((II)) tthhee ssttrreessss eeqquuiilliibbrriiuumm eeqquuaattiioonnss aanndd ((IITT)) tthhee ssttrraaiinn ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss.. DDiissppllaacceemmeennttss aarree nnoott eesssseennttiiaall ffoorr tthhee ddeetteerrmmiinnaattiioonn ooff ssttrreesssseess.. AA ffiinniittee eellaassttiicc ccoonnttiinnuuuumm ccoonnssiissttss ooff aa ffiieelldd aanndd aa bboouunnddaarryy.. SSttrreesssseess aanndd ssttrraaiinnss mmuusstt ssaattiissffyy eeqquuiilliibbrriiuumm eeqquuaattiioonnss aanndd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss bbootthh iinn tthhee ffiieelldd aanndd oonn tthhee bboouunnddaarryy,, rreessppeeccttiivveellyy,, aass ((llaa)) SSttrreessss eeqquuiilliibbrriiuumm eeqquuaattiioonnss iinn tthhee ffiieelldd ((IIbb)) SSttrreessss eeqquuiilliibbrriiuumm eeqquuaattiioonnss oonn tthhee bboouunnddaarryy ((oorr ttrraaccttiioonn ccoonnddiittiioonnss)) ((IIIIaa)) SSttrraaiinn ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss iinn tthhee ffiieelldd ((lliibb)) SSttrraaiinn ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss oonn tthhee bboouunnddaarryy 55 IInn tthhee mmeetthhoodd ooff ffoorrcceess,, aallll eeqquuaattiioonn sseettss ((IIaa,, IIbb,, IIIIaa,, aanndd llIIbb)),, iinncclluuddiinngg tthhee ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss,, aarree eexxpprreesssseedd iinn tteerrmmss ooffss ttrreesssseess.. TThhee eeqquuaattiioonn sseett ooff tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF ccoonnttaaiinneedd ccoonnddiittiioonnss ((IIaa,, IIbb,, aanndd IITTaa)),, bbuutt iitt mmiisssseedd tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ((llIIbb)).. TThhee CCBBMMFF uuttiilliizzeess aallll ffoouurr ccoonnddiittiioonnss ((llaa,, llbb.. IITTaa,, aanndd llIIbb)).. GGoovveerrnniinngg EEqquuaattiioonnss ffoorr tthhee CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoonnnnuullaattiioonn CCoonnssiiddeerr tthhee CCBBMMFF eeqquuaattiioonnss iinn tthhee ffoolllloowwiinngg ppllaannee ssttrreessss pprroobblleemm.. FFoorr ssiimmpplliicciittyy aanndd ccllaarriittyy,, hhoommooggeenneeoouuss kkiinneemmaattiicc bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss aarree ccoonnssiiddeerreedd.. aanndd iinniittiiaall ddeeffoorrmmaattiioonnss aalloonngg wwiitthh bbooddyy ffoorrcceess aarree nneegglleecctteedd.. TThhee ddeerriivvaattiioonn ooff tthhee eeqquuaattiioonnss ffrroomm tthhee IIFFMM vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall ffoorr nnoonnhhoommooggeenneeoouuss bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss wwiitthh bbooddyy ffoorrcceess iiss ggiivveenn iinn RReeff.. 55 ''aanndd iiss nnoott rreeppeeaatteedd hheerree.. HHoowweevveerr,, aa bbrriieeff pprreesseennttaattiioonn ooff tthhee IIFFMM vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall iiss pprroovviiddeedd iinn tthhee aappppeennddiixx ffoorr qquuiicckk rreeffeerreennccee.. TThhee eeqquuaattiioonnss,, aass oobbttaaiinneedd ffrroomm tthhee IIFFMM ffuunnccttiioonnaall,, ccaann bbee sseeppaarraatteedd iinnttoo ffiivvee ggrroouuppss ((llaa,, IIbb,, IITTaa,, llIIbb,, aanndd iillll)) aass ffoolllloowwss:: GGrroouupp IIaa:: EEqquuiilliibbrriiuumm EEqquuaattiioonnss iinn tthhee FFiieelldd OOCCII oo''rrxxyy __oo__xxxx ++--oo--yy ==00 ((22aa)) ccIITT;; OOCCII yy ~~aaxx++ ----==OO ((22bb)) (())yy GGrroouupp IIbb:: BBoouunnccll..aarryy EEqquuiilliibbrriiuumm EEqquuaattiioonnss ((oorr TTrraaccttiioonn CCoonnddiittiioonnss)) ((33aa)) ((33bb)) wwhheerree CCIIXX"" CCIIyy'' aanndd ''rrxxyy aarree tthhrreeee ccoommppoonneennttss ooff tthhee ssttrreessss tteennssoorr;; nnxx aanndd nnyy aarree tthhee ddiirreeccttiioonn ccoossiinneess ooff tthhee oouuttwwaarrdd nnoorrmmaall vveeccttoorr;; aanndd PP;;rr aanndd PPyy aarree pprreessccrriibbeedd bboouunnddaarryy ttrraaccttiioonnss.. IInn tthhee ffiieelldd,, tthhee eeqquuiilliibbrriiuumm eeqquuaattiioonnss aarree ffuunnccttiioonnaallllyy iinnddeetteerrmmiinnaattee77 bbeeccaauussee tthhrreeee uunnkknnoowwnn ssttrreesssseess aarree eexxpprreesssseedd iinn tteerrmmss ooff ttwwoo ((GGrroouupp llaa)) eeqquuaattiioonnss.. GGrroouupp IITTaa:: FFiieelldd CCoommppaattiibbiilliittyy CCoonnddiittiioonn TThhee ffuunnccttiioonnaall iinnddeetteerrmmiinnaaccyy iinn tthhee ddoommaaiinn iiss aalllleevviiaatteedd tthhrroouugghh tthhee ffiieelldd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ooff SStt VVeennaanntt.. wwhhiicchh ccaann bbee wwrriitttteenn iinn tteerrmmss ooff tthhee ssttrraaiinn ccoommppoonneennttss aass 66 -- ---------------- ------.... ------------~~--~~ ((44)) aanndd iinn tteerrmmss ooff tthhee ssttrreesssseess aass ((55)) EEqquuaattiioonnss ((22)),, ((33)),, aanndd ((55)),, iinn eesssseennccee,, rreepprreesseenntt tthhee ssttrreessss oorr tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF iinn eellaassttiicciittyy tthhaatt wwaass ddeevveellooppeedd iinn 11990000..11 TThhiiss ffoorrmmuullaattiioonn,, wwhhiicchh iiss iinnccoommpplleettee,, ccaann oonnllyy ssoollvvee ssttrreessss bboouunnddaarryy vvaalluuee pprroobblleemmss.. GGrroouupp llIIbb:: BBoouunnddrruuyy CCoommppaattiibbiilliittyy CCoonnddiittiioonn ''TThhrreeee ssttrreesssseess oonn tthhee bboouunnddaarryy aarree eexxpprreesssseedd iinn tteerrmmss ooff ttwwoo ttrraaccttiioonn eeqquuaattiioonnss,, EEqqss.. ((33aa)) aanndd ((33bb)) ,, tthhuuss,, tthheerree iiss oonnee ddeeggrreeee ooff ffuunnccttiioonnaall iinnddeetteerrmmiinnaaccyy.. TThhee ffiieelldd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ggiivveenn iinn EEqq.. ((55)) aalllleevviiaatteedd ffuunnccttiioonnaall iinnddeetteerrmmiinnaaccyy iinn tthhee ffiieelldd.. HHoowweevveerr,, bbeeccaauussee SStt VVeennaanntt ddiidd nnoott ffoorrmmuullaattee tthhee ccoommppaattiibbiilliittyy oonn tthhee bboouunnddaarryy,, tthhee ssttrreesssseess tthheerree rreemmaaiinneedd iinnddeetteerrmmiinnaattee.. TThhee ffuunnccttiioonnaall iinnddeetteerrmmiinnaaccyy oonn tthhee bboouunnddaarryy,, wwhhiicchh mmaaddee tthhee BBeellttrraammii--MMiicchheellll ssttrreessss ffoorrmmuullaattiioonn iinnccoommpplleettee,, wwaass aalllleevviiaatteedd bbyy PPaattnnaaiillCCii wwiitthh tthhee ffoorrmmuullaattiioonn ooff tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn.. TThhiiss bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonn,, WWhheenn eexxpprreesssseedd iinn tteerrmmss ooff ssttrreesssseess ffoorr iissoottrrooppiicc mmaatteerriiaall,, hhaass tthhee ffoolllloowwiinngg ffoorrmm ((66)) TThhee sseett ooff tthhrreeee eeqquuaattiioonnss ccoonnssiissttiinngg ooff tthhee ttrraaccttiioonn ccoonnddiittiioonnss ggiivveenn iinn EEqqss.. ((33)) aanndd tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ggiivveenn iinn EEqq.. ((66)) eennssuurreess ssttrreessss ffuunnccttiioonnaall ddeetteerrmmiinnaaccyy oonn tthhee bboouunnddaarryy bbeeccaauussee tthhrreeee uunnkknnoowwnn ssttrreesssseess aarree eexxpprreesssseedd iinn tteerrmmss ooff tthhrreeee eeqquuaattiioonnss.. EEqquuaattiioonnss ((22)),, ((33)),, ((55)),, aanndd ((66)) rreepprreesseenntt tthhee CCBBMMFF,, wwhhiicchh eennssuurreess tthhee ffuunnccttiioonnaall ddeetteerrmmiinnaaccyy ooff tthhee ssttrreesssseess bbootthh iinn tthhee ffiieelldd aanndd oonn tthhee bboouunnddaarryy ooff aann eellaassttiicc ccoonnttiinnuuuumm.. TThhee CCBBMMFF ccaann ssoollvvee aa ggeenneerraall eellaassttiicc ccoonnttiinnuuuumm wwiitthh ssttrreessss,, ddiissppllaacceemmeenntt,, oorr mmiixxeedd bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. GGrroouupp IIIIII:: CCoonnttiinnuuiittyy CCoonnddiittiioonnss ((oorr DDiiSSll>>llaacceemmeenntt BBoouunnddaarryy CCoonnddiittiioonnss)) TThhee ssttaattiioonnaarryy ccoonnddiittiioonn ooff tthhee IIFFMM ffuunnccttiioonnaall,, ggiivveenn bbyy EEqq.. ((4488)) iinn tthhee aappppeennddiixx,, aallssoo yyiieellddss ttwwoo ddiissppllaacceemmeenntt bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss,, aanndd ffoorr tthhee hhoommooggeenneeoouuss ccaassee,, 77 uu==uu==OO ((aa)) vv==vv==OO ((bb)) ((77)) uu wwhheerree aanndd VV aarree pprreessccrriibbeedd bboouunnddaarryy ddiissppllaacceemmeennttss.. IInn tthhee CCBBMMFF,, tthhee ddiissppllaacceemmeenntt bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss ddoo nnoott aappppeeaarr eexxpplliicciittllyy iinn tthhee ssttrreessss ccaallccuullaattiioonnss,, pprroovviiddeedd tthhee ssttrruuccttuurree iiss kkiinneemmaattiiccaallllyy ssttaabbllee.. TThhee ddiissppllaacceemmeennttss,, iiff rreeqquuiirreedd,, ccaann bbee ccaallccuullaatteedd ffrroomm ssttrreesssseess bbyy iinntteeggrraattiioonn uussiinngg tthhee kkiinneemmaattiicc bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss..44,,66,,88,,99 CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn SSoolluuttiioonn SSttrraatteeggyy ffoorr CCoommppoossiittee CCoonnttiinnuuuumm ..aa ..aa TThhee CCBBMMFF ssoolluuttiioonn ssttrraatteeggyy ffoorr aa ccoommppoossiittee eellaassttiicc ccoonnttiinnuuuumm wwiitthh ffiieellddss ooff 11 aanndd 22,, aanndd ssttrreessss,, ddiissppllaacceemmeenntt,, aanndd rr rr rr bboouunnddaarriieess ooff ss'' uu'' aanndd tt,, rreessppeeccttiivveellyy ((FFiigg.. 11)),, aarree bbrriieeffllyy ddeessccrriibbeedd.. ..aa SStteepp 11:: SSaattiissffyy tthhee ffiieelldd eeqquuiilliibbrriiuumm aanndd ffiieelldd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ggiivveenn bbyy EEqqss.. ((22)) aanndd ((44)),, ffoorr bbootthh ddoommaaiinnss ll aanndd ~~.. ((IInn tthhee ddiissppllaacceemmeenntt ffoorrmmuullaattiioonn,, tthhee NNaavviieerr''ss eeqquuaattiioonnss33 hhaavvee ttoo bbee ssaattiissffiieedd..)) SStteepp 22:: SSaattiissffyy tthhee ttrraaccttiioonn bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss ggiivveenn iinn EEqqss.. ((33)) aanndd bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ggiivveenn iinn EEqq.. ((66)) rr oonn ccoonnttoouurrss TTss aanndd uu'' rreessppeeccttiivveellyy.. ((IInn tthhee ddiissppllaacceemmeenntt ffoorrmmuullaattiioonn,, eeqquuiivvaalleenntt ttrraaccttiioonn ccoonnddiittiioonnss wwrriitttteenn iinn tteerrmmss ooff rr ddiissppllaacceemmeennttss aanndd ddiissppllaacceemmeenntt bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss oonn ccoonnttoouurrss TTss aanndd uu'' rreessppeeccttiivveellyy,, hhaavvee ttoo bbee ssaattiissffiieedd..)) SStteepp iillll:: OOnn tthhee iinntteerrffaaccee bboouunnddaarryy,, rrffoo tthhrreeee ccoonnddiittiioonnss hhaavvee ttoo bbee ssaattiissffiieedd:: ttwwoo rreessiidduuaall eeqquuiilliibbrriiuumm eeqquuaattiioonnss,, ggllCCaa))--ggii((aa)) == 00 ((88aa)) ggIIIIllCCaa))--ggffCCaa)) == 00 ((88bb)) aanndd oonnee rreessiidduuaall ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn,, ((99)) ..aa TThhee ffuunnccttiioonnssgg((aa)) aanndd''RR((aa)) wweerree ddeeffiinneeddiinnEEqqss.. ((33)) aanndd ((66)),, aanndd tthhee ssuuppeerrssccrriippttss II aanndd IITT ddeennoottee tthhee ddoommaaiinnss ll aanndd~~,, rreessppeeccttiivveellyy.. ((IInn tthhee ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd aatt tthhee iinntteerrffaaccee bboouunnddaarryy,, ttwwoo ddiissppllaacceemmeenntt aanndd ttwwoo ttrraaccttiioonn ccoonnttiinnuuiittyy ccoonnddiittiioonnss hhaavvee ttoo bbee ssaattiissffiieedd..)) SStteepp 44:: OOnnccee tthhee ssoolluuttiioonn ffoorr ssttrreesssseess hhaass bbeeeenn oobbttaaiinneedd,, ddiissppllaacceemmeennttss,, iiff rreeqquuiirreedd,, ccaann bbee ccaallccuullaatteedd bbyy iinntteeggrraattiioonn.. TThhee eevvaalluuaattiioonn ooff iinntteeggrraattiioonn ccoonnssttaannttss rreeqquuiirreess tthhee kkiinneemmaattiicc bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. IInn tthhee NNaavviieerr''ss ffoorrmmuullaattiioonn,, tthhee ddiissppllaacceemmeennttss mmuusstt bbee ccaallccuullaatteedd wwhheetthheerr tthheeyy aarree rreeqquuiirreedd oorr nnoott SSttrreesssseess aarree tthheenn ccaallccuullaatteedd uussiinngg tthhee ddiiffffeerreennttiiaattiioonn aanndd tthhee ssttrreessss--ssttrraaiinn llaaww.. 88 TThhee ccoommppoossiittee ssttrruuccttuurree ccaann bbee ssoollvveedd bbyy tthhee CCBBMMFF oorr bbyy tthhee NNaavviieerr''ss ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd.. TThhee pprroobblleemm,, hhoowweevveerr,, rruu ccaannnnoott bbee ssoollvveedd bbyy tthhee ccllaassssiiccaall BBMMFF bbeeccaauussee ooff tthhee llaacckk ooff bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ffoorr tthhee bboouunnddaarryy aanndd ffoorr rr,,.. tthhee iinntteerrffaaccee ccoonnttoouurr PPrroo..ppeerrttiieess ooff CCoommppaattiibbiilliittyy CCoonnddiittiioonnss TTwwoo pprrooppeerrttiieess ooff ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ffoorr tthhee ccaassee ooff aa ppllaannee ssttrreessss pprroobblleemm aarree ggiivveenn iinn tthhiiss sseeccttiioonn.. ((11)) TThhee ffiieelldd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn,, wwrriitttteenn iinn tteerrmmss ooffdd iissppllaacceemmeenntt vvaarriiaabblleess,, uu aanndd vv,, bbeeccoommeess aa ttrriivviiaall ccoonnssttrraaiinntt,, ssuucchh aass aann iiddeennttiittyy [[ff((uu,,vv))--ff((uu,,vv))]] == 00,, wwhheerree ff rreepprreesseennttss tthhee ffiieelldd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ggiivveenn bbyy EEqq.. ((44)).. TThhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ggiivveenn bbyy EEqq.. ((66)),, hhoowweevveerr,, ddooeess nnoott bbeeccoommee aa ttrriivviiaall eeqquuaattiioonn wwhheenn wwrriitttteenn iinn tteerrmmss ooff ddiissppllaacceemmeennttss.. IInn tteerrmmss ooff ddiissppllaacceemmeennttss,, tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattllooiilliittyy ccoonnddiittiioonn ggiivveenn bbyy EEqq.. ((66)) bbeeccoommeess ;;PPvv __!!((ii;;22uu ;;PPVV))]]nn ++[[oo22uu __!!((oo22vv oo22UU))]]nn ==00 [[ ++ ++ ((1100)) ooXXddyy 22 iibb::22 ooXXddyy xx ooXXddyy 22 ddyy22 aaxxddyy YY TThhee nnoonnttrriivviiaall pprrooppeerrttyy ooff tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ccoonnttrraaddiiccttss tthhee ppooppuullaarr bbeelliieeff tthhaatt aallll ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss aarree aauuttoommaattiiccaallllyy ssaattiissffiieedd iinn tthhee ddiissppllaacceemmeenntt mmeetthhoodd.. ((22)) TThhee ffiieelldd ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn ccaann bbee ddeerriivveedd bbyy eelliimmiinnaattiinngg tthhee ddiissppllaacceemmeenntt ccoommppoonneennttss ffrroomm tthhee ssttrraaiinn ddiissppllaacceemmeenntt rreellaattiioonnss.. TThhiiss llooggiicc aass yyeett ccaannnnoott bbee eexxtteennddeedd ttoo ddeerriivvee tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonn.. AAtt pprreesseenntt,, tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ccaann bbee ggeenneerraatteedd oonnllyy ffrroomm tthhee JJFFMM vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall.. TThhiiss iiss,, ppeerrhhaappss,, aa pprriimmaarryy rreeaassoonn wwhhyy tthhee bboouunnddaarryy ccoommppaattiibbiilliittyy ccoonnddiittiioonnss ccoouulldd nnoott bbee ffoorrmmuullaatteedd eeaarrlliieerr.. AApppplliiccaattiioonnss ooff tthhee CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn IInn tthhiiss sseeccttiioonn,, tthhee CCBBMMFF iiss aapppplliieedd ttoo tthhee ssttrreessss aannaallyyssiiss ooff cciirrccuullaarr ppllaatteess aanndd cciirrccuullaarr ccyylliinnddrriiccaall sshheellllss.. GGoovveerrnniinngg eeqquuaattiioonnss ffoorr bbootthh ccaasseess aarree ddeerriivveedd ffrroomm tthhee ssttaattiioonnaarryy ccoonnddiittiioonn ooff tthhee IIFFMM ffuunnccttiioonnaall.. SSeevveerraall ~~xxaammppllee pprroobblleemmss aarree pprreesseenntteedd ttoo ddeemmoonnssttrraattee tthhee CCBBMMFF ssoolluuttiioonn pprroocceedduurree.. CCoommpplleetteedd BBeellttrraammii--MMiicchheellll FFoorrmmuullaattiioonn ffoorr BBeennddiinn&& ooff CCiirrccuullaarr PPllaatteess TThhee IIFFMM vvaarriiaattiioonnaall ffuunnccttiioonnaall ffoorr aa cciirrccuullaarr ppllaattee ssuubbjjeecctteedd ttoo mmeeccbbaanniiccaall aanndd tthheerrmmaall llooaaddss iiss ggiivveenn iinn tthhee aappppeennddiixx.. IIttss ssttaattiioonnaarryy ccoonnddiittiioonn yyiieellddss tthhee ffoolllloowwiinngg eeqquuaattiioonnss:: 99

NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity PDF

29 Pages·13.3 MB·English

by NASA Technical Reports Server (NTRS)

#additional_collections #NASA_NTRS_Archive

Checking for file health...

Save to my drive

Quick download

Download

Download NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity PDF Free - Full Version

by NASA Technical Reports Server (NTRS)| 29 pages| 13.3| English

Download NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity by NASA Technical Reports Server (NTRS) in PDF format completely FREE. No registration required, no payment needed. Get instant access to this valuable resource on PDFdrive.to!

Free Download PDF

About NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity

No description available for this book.

Detailed Information

Author:	NASA Technical Reports Server (NTRS)
Pages:	29
Language:	English
File Size:	13.3
Format:	PDF
Price:	FREE

Download Free PDF

Safe & Secure Download - No registration required

Why Choose PDFdrive for Your Free NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity Download?

100% Free: No hidden fees or subscriptions required for one book every day.
No Registration: Immediate access is available without creating accounts for one book every day.
Safe and Secure: Clean downloads without malware or viruses
Multiple Formats: PDF, MOBI, Mpub,... optimized for all devices
Educational Resource: Supporting knowledge sharing and learning

Frequently Asked Questions

Is it really free to download NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity PDF?

Yes, on https://PDFdrive.to you can download NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity by NASA Technical Reports Server (NTRS) completely free. We don't require any payment, subscription, or registration to access this PDF file. For 3 books every day.

How can I read NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity on my mobile device?

After downloading NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity PDF, you can open it with any PDF reader app on your phone or tablet. We recommend using Adobe Acrobat Reader, Apple Books, or Google Play Books for the best reading experience.

Is this the full version of NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity?

Yes, this is the complete PDF version of NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity by NASA Technical Reports Server (NTRS). You will be able to read the entire content as in the printed version without missing any pages.

Is it legal to download NASA Technical Reports Server (NTRS) 19950012494: Completed Beltrami-Michell formulation for analyzing mixed boundary value problems in elasticity PDF for free?

https://PDFdrive.to provides links to free educational resources available online. We do not store any files on our servers. Please be aware of copyright laws in your country before downloading.

The materials shared are intended for research, educational, and personal use in accordance with fair use principles.