Table Of ContentToNicole,CécileandOlivier
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Contents
Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chapter1.Sounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1. Soundpropagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Alookatthephysicalmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1.1. Massconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1.2. TheEulerequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1.3. Thestateequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2. Thewaveequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3. TheHelmholtzequation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.4. Soundintensity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2. Musictheoryinterlude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Intervals,octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Scientificpitchnotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3. Dividingtheoctaveintotwelvesemitones . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4. Diatonicscales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4.1. Majorscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4.2. Minorscales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. Differenttypesofsounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1. Periodicsounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1.1. Fourierseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2. Soundswithpartials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3. Continuousspectrumsounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.4. Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4. Representationofsound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1. Timeorfrequencyanalysis,discreteFouriertransform . . . . . . 35
1.4.2. Time-frequencyanalysis,thespectrogram . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.1. Discretespectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5
6 MusicandAcoustics
1.5.1.1. Transferfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1.2. Impulseresponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.2. Continuousspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3. Ideallow-pass,band-passandall-passfilters . . . . . . . . . . . . 42
1.6. Studyproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.1. Normalreflectiononawall(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.2. Combfilteringusingamicrophonelocatednearawall(**) . . . 45
1.6.3. Summingintensities(***) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.6.4. IntensityofaStandingWave(**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.5. Soundofasiren(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7. Practicalcomputerapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.1. Firstsound,vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.2. Modifyingtheparameters:thecommandfile . . . . . . . . . . . . 48
1.7.3. Creatingmorecomplexsounds:usingfunctions . . . . . . . . . . 48
1.7.3.1. Noiseandsireninterlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.4. Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7.4.1. Timeanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7.4.2. Frequencyanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7.4.3. Time-frequencyanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.7.5. Filtering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chapter2.MusicInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1. Strings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.1. Freevibrationsofastring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.2. Beats,chordsandconsonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2. Bars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1. Barfixedatbothends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.2. Barembeddedatoneend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3. Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4. Tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.1. Pressurecontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.1.1. Responsetoaharmonicexcitation . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.1.2. Theresonanceeffect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.1.3. Naturalmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.1.4. Theresultingsound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2. Speedcontrol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2.1. Responsetoaharmonicexcitation . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2.2. Resonanceandnaturalmodes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2.3. Commentsonphases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.3. Tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5. Timbreofinstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.1. Natureofthespectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.1.1. Harmonicsorpartials,thepiano’sinharmonicity. . . . . . . 75
Tabledesmatières 7
2.5.1.2. Richnessinhigherharmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.1.3. Differentharmonicsdistributions . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.1.4. Thepurposeoftheresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.2. Envelopeofthesound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.2.1. Calculationoftheenvelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.2.2. Usingseveralenvelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6. Studyproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.1. Vibrationsofastring(generalcase)(**) . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.2. Pluckedstring(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.3. Bowdrawnacrossastring(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6.4. Stringreducedtoonedegreeoffreedom(**). . . . . . . . . . . . 84
2.6.5. Coupledstring-bridgesystemandtheremanenceeffect(***) . . 85
2.6.6. Calculationoftheinharmonicityofarealstring(***). . . . . . . 87
2.6.7. Coincidencefrequencyofawaveinaboard(***) . . . . . . . . . 89
2.6.8. Resonanceofthebourdon(**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6.9. Resonanceofacylindricaldualcontrolledtube(**) . . . . . . . . 91
2.6.10.Resonanceofaconicaltube(1)(**). . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6.11.Resonanceofaconicaltube(2)(**). . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7. Practicalcomputerapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.1. Createyoursynthesizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.1.1. Writeyourinstrumentfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.1.2. Addanenvelope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.1.3. Andplayyourinstrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.2. Modifythetimbreofyourinstrument . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.7.3. Remanentsound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter3.ScalesandTemperaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1. ThePythagoreanscale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2. TheZarlinoscale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3. Thetemperedscales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1. Equaltemperament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.2. Ahistoricaltemperament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.3. Equaltemperamentwithperfectfifth . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.4. Thepracticeoftuners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.5. Thepracticeofmusicians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4. AbriefhistoryofA4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5. Givingnamestonotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6. Otherexamplesofscales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7. Studyproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7.1. Frequenciesofafewscales(***) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7.2. Beatsofthefifthsandthemajorthirds(*) . . . . . . . . . . . . . 105
3.8. Practicalcomputerapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8.1. Buildingafewscales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 MusicandAcoustics
3.8.2. Listeningtobeats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Chapter4.Psychoacoustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1. Soundintensityandloudness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.1.1. Thephon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1.2. Thesone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2. Theear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3. Frequencyandpitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.1. Themelscale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.2. Composedsounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.2.1. Pitchofsoundscomposedofharmonics . . . . . . . . . . . 113
4.3.2.2. Pitchofsoundscomposedofpartials . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.3. Anacousticillusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4. Frequencymasking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5. Studyproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.1. Equal-loudnesslevels(**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.2. Frequencymasking(**). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.3. Perpetuallyascendingsound(**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6. Practicalcomputerapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.1. Frequencymasking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2. Perpetuallyascendingscale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Chapter5.DigitalSound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1. Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1.1. TheNyquistcriterionandtheShannontheorem . . . . . . . . . . 122
5.1.1.1. Caseofasinusoidalsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1.1.2. Generalcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1.3. Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.1.1.4. Theoreticalimpossibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1.1.5. WhathappensiftheNyquistcriterionisnotmet? . . . . . . 125
5.1.2. Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.1.2.1. Errorduetoquantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.3. Reconstructionofthesoundsignal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2. Audiocompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.1. Psychoacousticcompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.2. Entropycompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3. DigitalfilteringandtheZ-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1. Digitalfiltering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2. TheZ-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2.2. Effectofadelay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.2.3. FilteringandZ-transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4. Studyproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Contents 9
5.4.1. Nyquistcriterion(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.2. Aliasingofanascendingsound(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.3. Anotherexampleofreconstruction(***) . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.4. Elementaryfilterbank(**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5. Practicalcomputerapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.1. Spectrumaliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5.2. Quantizationnoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Chapter6.SynthesisandSoundEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1. Synthesisofmusicalsounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1.1. Subtractivesynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1.2. Additivesynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1.3. FMsynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.1.4. Synthesisbasedontheuseofsampledsounds . . . . . . . . . . . 147
6.2. Timeeffects:echoandreverberation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.1. Simpleecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.2. Multipleecho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.3. Reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3.1. Usingtheimpulseresponse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.3.2. Usingechosandall-passfilters. . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3. Effectsbasedonspectrummodification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.1. The‘Wah-wah’effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.1.1. Anexampleofaband-passfilter . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.2. AMorFMtypesoundeffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.2.1. Vibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3.2.2. Leslieeffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4. Studyproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.4.1. TheDopplereffect(**) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.4.2. FMandChowning(***) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.5. Practicalcomputerapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5.1. Soundsynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.5.2. Chowningsynthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.3. Reverberation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.4. Vibrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.5.5. TheLeslieeffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
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Acknowledgements
I sincerely thank Brigitte Bidegaray and Bernard Poirée for their careful reading
andinsightfulremarks.
Ithankmycolleaguesandfriendsforthediscussionsandexchangesofideaswe
had, as well as for the help they provided while I was writing: Gustavo Buscaglia,
Vincent Gibiat, Claude Legros, Mohamed Masmoudi, Jean-Claude Risset, Vincent
VerfailleandPhilippeVilledieu.
Finally, I would also like to thank my colleagues at the INSA and at the MIP
laboratoryfortheirencouragementsduringmywritingofthisbook.
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Description:How can a piano tuner obtain such high precision with no other measuring device than their own ears? How can a sequence of notes seem to rise continuously despite coming back periodically to the same notes? What are the possibilities and the limits of digital sound? These are a few examples of quest
