Table Of ContentAdvances in Numerical Mathematics
Reinhold Schneider
Multiskalen- und Wavelet
Matrixkompression
Advances in Numerical Mathematics
Editors Hans Georg Bock Wolfgang Hackbusch
Mitchell Luskin Ralf Rannacher
Bernd Fischer Polynomial Based Iteration Methods for Symmetrie
Linear Systems
Ralf Kornhuber Adaptive Monotone Multigrid Methods for Nonlinear
Variational Problems
Dietmar Kröner Numerical Schemes for Conservation Laws
Andreas Prahl Projection and Quasi-Compressibility Methods for
Solving the lncompressible Navier-Stokes Equations
Reinhold Schneider Multiskalen- und Wavelet-Matrixkompression
Analysisbasierte Methoden zur effizienten Lösung
großer vollbesetzter Gleichungssysteme
Thomas Sonar Mehrdimensionale ENO-Verfahren
Rüdiger Verfürth A Review of APosteriori Error Estimation and
Adaptive Mesh-Refinement Techniques
Multiskalen- und Wavelet
Matrixkompression
Analysisbasierte Methoden zur
effizienten Lösung großer
vollbesetzter Gleichungssysteme
Von Prof. Dr. rer. nat. Reinhold Schneider
Technische Universität Chemnitz
83
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1998
Prof. Dr. rer. nat. Reinhold Schneider
Von 1975 bis 1982 Studium der Mathematik an der Technischen Hoch
schule Darmstadt, 1982 Diplom. Von 1984 bis 1989 wiss. Mitarbeiter am
FB Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt, 1989 Promotion.
Von 1989 bis 1992 wiss. Mitarbeiter in der DFG Forschergruppe: Inge
nieurwissenschaftliche und mathematische Analyse bruchmechanischer
und inelastischer Probleme, ab 1992 wiss. Assistent am FB Mathematik
der Technischen Hochschule Darmstadt, 1995 Habilitation und von 1995
bis 1996 Privatdozent am FB Mathematik der Technischen Hochschule
Darmstadt WS 1995/96 Vertretung einer C3-Professur in Numerik,
Universität GH Essen, SS 1996 Vertretung einer C3-Professur in Numerik,
RWTH Aachen. Seit WS 1996 C4-Professur Numerik (partielle Differential
gleichungen) an der TU Chemnitz-Zwickau.
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Schneider, Reinhold:
Multiskalen-und Wavelet-Matrixkompression : analysisbasierte
Methoden zur effizienten Lösung großer vollbesetzter
Gleichungssysteme I von Reinhold Schneider.
(Advances in numerical mathematics)
Zugl.: Darmstadt, Techn. Hochsch., HabiL-Sehr., 1995
ISBN 978-3-519-02739-3 ISBN 978-3-663-10851-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10851-1
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1998
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner Stuttgart 1998
Einband: Peter Pfitz, Stuttgart
Vorwort
Wir betrachten eine Methode zur effizienten numerischen Lösung einiger li
nearer Operatorgleichungen, dies können sowohl Integral-, als auch Differen
tialoperatoren sein. Zu diesem Zweck schlagen wir eine Wavelet-oder Multi
skalendarstellung vor. Wir zeigen, daß unter gewissen Voraussetzungen an die
Basen und die Operatoren die auftretenden Matrizen gleichmäßig konditio
niert und numerisch dünn besetzt sind. Wir zeigen, daß man diese Matrizen
durch clünn besetzte ersetzen kann, um damit das entstehende Gleichungssy
stem mit optimalem Aufwand O(N) oder zumindest fastoptimalen Aufwand
0( N log N) zu lösen, ohne die bestmögliche Konvergenzrate des zugrunde
liegenden Verfahrens, in der Regel Galerkin- oder Kollokationsverfahren, zu
verletzen.
Chemnitz, im Januar 1998 R. Schneider
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 7
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Beispiele von Problemen die zu großen voll besetzten Matrizen führen 11
1.4 Phasenraumlokalisierung und Multiresolutionsanalyse 13
1.5 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Grundlegende Definitionen 21
3 Pseudodifferentialoperatoren auf glatten Mannigfaltigkeiten 25
4 Einige praktische Beispiele 35
4.1 Operatoren der Ordnung Null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Stark Elliptische Randintegralgleichungen der Ordnung Null . . . . . . . 36
4.3 Operatoren beliebiger Ordnung r :j; 0 und Integralgleichungen erster Art 44
5 Multiskalenbasen 53
5.1 Ziele ..... . 53
.5.2 Multiskalen-Transformationen ...... . 62
5.3 Multiskalenbasen auf periodischem Gitter . 80
.5.4 Lokale Konstruktion für Mannigfaltigkeiten. 81
5.4.1 Multiwavelets ............ . 81
5.4.2 Multiskalenräume stetiger Funktionen . 89
5.5 Momentenbedingung . . . . . 94
5.6 Beispiele ........... . 97
5. 7 Der Unterteilungsalgorithmus 101
5.8 Interpolationsbasen ..... . 109
6 Approximationsverhalten und Normcharakterisierung 113
6.1 Approximation und Regularität .. 113
6.2 Diskrete Normcharakterisierungen . 124
6.3 Besovnormen . . . 131
6.4 Zusammenfassung 136
6 IN HALTSVERZEICHNIS
7 Multiskalendarstellung des Galerkin- und Kollokationsverfahrens 139
8 Galerkin-Verfahren 147
8.1 Vorkonditionierung des Galerkin-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 14 7
8.2 Optimale Konvergenzordnung des Multiskalen-Galerkinverfahren . 149
8.2.1 Einige grundlegende Abschätzungen 149
8.2.2 Zweite Kompression 158
8.2.:3 Zusammenfassung. 166
8.2.4 Konsistenzresultate . 167
8.2.5 Konvergenzraten .. 172
8.2.6 Aufwandsbetrachtungen 175
9 Kollokationsmethode 179
9.1 Kompression des Kollokationsverfahrens ....... . 179
9.2 Vorkonditionierung zur Kollokationsmethode ..... . 190
9.3 Komplexitätsbetrachtungen zum Kollokationsverfahren 192
10 Zusammenfassung 197
11 Direkte Quadratur 199
12 Numerische Experimente 207
12.1 Ziele .......................... . 207
12.2 Diskretisierung der Doppelschicht-Potentialgleichung 208
12.3 Ergebnisse der Parameterstudien ..... 215
12.4 Zusammenfassung unserer Beobachtungen 228
Literaturverzeichnis 233
Index 245
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Einleitung
Physikalische und ingenieurwissenschaftliche Modellbildungen führen zumeist zu
Differential- und Integralgleichungen, deren Lösung im Hinblick auf praktische Frage
stellungen, wie z.B. Bauwerkbelastbarkeit, aerodynamischer Auftrieb und Widerstand
etc., von größtem Interesse ist. Da die meisten Probleme dieser Art nicht explizit lösbar
oder berechenbar sind, bedient man sich numerischer Approximation und Lösung mit
Hilfe elektronischer Digitalrechner, ohne die die Komplexität der Berechnungen heut
zutage überhaupt nicht zu bewältigen wäre. Nun ist gerade irrfolge des Erfolgs dieser
numerischen Simulationen und der atemberaubenden Entwicklung der Computer das
Bedürfnis zur Lösung immer komplexerer Probleme geweckt worden und in den letz
ten Jahren stetig angewachsen. Aus einfachen Komplexitätsbetrachtungen erkennt man
jedoch, daß dennoch die Lösung einer Reihe äußerst interessanter und brennender Pro
bleme eine derartige Komplexität aufweist, anbetracht dessen es, trotz des rasanten
technologischen Fortschritts, als eine Utopie erscheint, diese mit herkömmlichen Me
thoden und Algorithmen zu lösen. Eine große und neuartige Herausforderung an die
moderne Mathematik liegt darin, durch das Verständnis von Algorithmen und ihrer
Neu-, Fort- und Weiterentwicklung uns der Lösung dieser Probleme näher zu bringen.
Eine entscheidende Stelle in dem gesamten Prozeß der numerischen Simulation
stellt die Lösung linearer Gleichungssysteme dar, und an vielen Stellen sind Matrix
Vektormultiplikationen auszuführen. Eine quadratische Matrix besitzt bekanntlich N2
Koeffizienten, wenn wir mit N die Zahl der Zeilen, bzw. die Zahl der Unbekannten des
zugehörigen Gleichungssystems bezeichnen. Rein technisch kann bei der Durchführung
der Matrix-Vektormultiplikation auf diejenigen Koeffizienten welche Null, oder aber
vernachlässigbar klein sind, vollkommen verzichtet werden, man muß diese weder ab
speichern noch irgendwelche arithmetischen Operationen mit ihnen ausführen (Sparse
Format). Besteht der Großteil der Matrix aus Nullen, man spricht hier von dünn be
setzten Matrizen, so reduziert sich in diesem Fall der Gesamtaufwand zur Matrix
Vektormultiplikation erheblich. Iterationsverfahren haben in der Regel die in diesem
Zusammenhang angenehme Eigenschaft, während des gesamten Lösungsprozesses die
8 KAPITEL 1. EINLEITUNG
Ausgangsmatrizen nicht zu verändern, nutzen also dadurch wesentlich den Vorteil einer
schwachen Besetzung. Damit ein Iterationsverfahren ein hinreichend gerraues Ergebnis
liefert hängt der Aufwand allerdings noch von weiteren Faktoren ab. Ein wichtiger Faktor
hierfür ist beispielsweise die Kondition. Die Komplexität zur iterativen Lösung linearer
Gleichungen, hierunter verstehen wir in diesem Zusammenhang die Anzahl der arith
metischen Operationen, wird zudem weitgehend von der Zahl der nichtverschwindenden
Einträge und der Anzahl der Iterationsschritte bestimmt. Diese Größen determinieren
den erforderlichen Speicherbedarf und die Anzahl der notwendigen arithmetischen Ope
rationen und dadurch die Rechenzeit des Verfahrens und sind somit ein Maßstab für des
sen Effizienz. Eine erfolgreiche Behandlung dieser Problematik erscheint auf den ersten
Blick ein rein algebraisches Problem, die Anstrengungen und Bemühungen von Numeri
kern in aller Welt hat die numerische lineare Algebra in den letzten Jahrzehnten zu einer
hohen Blüte getrieben [HAG], als einen der aktuellen Beiträge kann man beispielswei
se die Entwicklung der Krylovraummethoden z.B. [SAAD] aufführen. Mit wachsender
Feinheit der Diskretisierung und zunehmender Anzahl der Gleichungen gewinnen die
analytischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Operatoren und ihrer Approximati
onsverfahren zunehmende Bedeutung für eine effiziente numerische Behandlung der dis
kl·eten Gleichungen. So sind beispielsweise bei Verwendung der üblichen Finite Elemente,
Finite Differenzen oder auch Finite Volumen Verfahren zur numerischen Lösung partiel
ler Differentialgleichungen die Ausgangsmatrizen zwar alle dünn besetzt, aber wachsend
mit der Zahl der Unbekannten immer schlechter konditioniert. Mittlerweile gibt es eine
ganze Familie von Algorithmen, die die Methoden der numerischen linearen Algebra
kombinieren mit Ideen und Prinzipien, deren Wirkung einzig oder in erster Linie auf
der Analysis, bzw. den analytischen Eigenschaften der zugrundeliegenden Operatoren
und des Approximationsverfahrens beruhen. Diese Algorithmen ermöglichen es, für eine
Reihe von partiellen Differentialgleichungen, die ursprüngliche Komplexität beträchtlich
zu reduzieren. Von O(N2), bzw. gar O(N3) Operationen für die direkten Löser, redu
ziert sich der Aufwand auf O(N), also einem Aufwand der proportional oder beinahe
proportional zur Zahl der Unbekannten ist. Die Rede ist hier von den Multigridverfahren
[HAM, HAG, 0, RU].
Für Integralgleichungen, d.h. für Gleichungen, denen nichtlokale Operatoren zugrun
deliegen, sind die entsprechenden Ausgangsmatrizen jedoch in der Regel immer voll
oder weitgehend voll besetzt. Dies hat zur Folge, daß Integralgleichungsmethoden für
sehr komplexe Systeme, hierunter wollen wir hier eine sehr hohe Anzahl von Unbe
kannten verstehen (Zarge scale computi~g), zumeist mit einem unvertretbarem Aufwand
verbunden sind und in der Praxis, wenn irgendmöglich, bislang vermieden werden. Dem
gegenüber bieten Integralgleichungsmethoden vielerlei Vorteile wie hohe Genauigkeit
und Robustheit, ließe sich ihre Effizienz verbessern. Darüberhinaus gibt es natürlich
eine Vielzahl von Situationen in denen die Modellbildung, z.B. aufgrund nichtlokaler
Wechselwirkungen, zwingendermaßen zu Integralgleichungen führt, vergl. Kapitel 1.3.
Inhalt der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung und Untersuchung von Verfahren,
die den Aufwand zur Behandlung derart komplexer Matrizen und Gleichungssysteme
beträchtlich reduzieren und die es uns möglicherweise erlauben, ursprünglich vollbe-
