módulo 1 – introdução ao dimensionamento de lajes de betão armado

20 Pages·2004·0.45 MB·Portuguese

by  Carla Alexandra

Betão Armado e Pré-Esforçado I
MÓDULO 1 – Introdução ao comportamento das estruturas de
betão armado

1. Comportamento do Betão Estrutural

Notações

f – resistência do material
f – tensão de rotura do betão à compressão
c
f - tensão de rotura do betão à tracção
ct
E – módulo de elasticidade do betão
c
f – tensão de cedência do aço
y
f – tensão de rotura do aço
u
E – módulo de elasticidade do aço
s

1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS

Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os
diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a
meio vão.

P
0.50
0.20
5.00
P/2 P/2
DEV
P/2
(+)
(-) P/2
DMF
(+)
PL/4

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Betão Armado e Pré-Esforçado I
Como se pode verificar, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando esta
secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões normais.
σ
2
h/2
G M
h/2
σ
y 1

M × y M I
Tensões: σ = ; σ = em que w = (módulo de flexão)
I máx w y
máx
b h3 2 b h2
(para uma secção rectangular, w = × = )
12 h 6

Para um determinado nível de carga P ocorrerá a fendilhação da secção de meio vão
(por ser a secção mais esforçada) e, consequentemente a rotura da viga.

Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-
deslocamento que ilustram o comportamento da viga de betão simples desde o início
do carregamento até à rotura (rotura frágil).

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento
M P
EI (rigidez de flexão)
1/R δ

Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão:

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σ

(20 a 80 MPa)
fc Índice c – “concrete”

f – tensão de rotura do betão à compressão
c
Ec (≈30 GPa)
f – tensão de rotura do betão à tracção
ct
E – módulo de elasticidade do betão
c
≈ 3.5‰ ε
fct (2 a 5 MPa)

Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um
material que possui uma boa resistência à compressão e uma baixa resistência à
tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão).

Cálculo do momento de fendilhação

Admite-se f = 2.0 MPa
ct
M M × v bh2
σ = = e w = (para uma secção rectangular)
w I 6
Deste modo, o momento de fendilhação pode ser calculado pela expressão:
0.20 × 0.502
M = f × w = 2 × 103 × = 16.7 kNm
cr ct 6

A carga P que provoca o início da fendilhação está associada ao momento de
fendilhação podendo ser calculada através da seguinte relação:
PL 4M 4 × 16.7
M = ⇒ P = cr = = 13.4 kN
cr 4 L 5

Conclusão: Uma viga de betão simples não explora a capacidade resistente do
material em compressão, e está associada a uma baixa capacidade de
carga (condicionada pela fendilhação) e a uma rotura frágil.
Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é
necessário ⇒ Betão armado (betão +armadura)

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1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO

Armadura: material dúctil com bom comportamento quer à tracção quer à compressão

σ

fu Índice s – “steel”
(200 a 800 MPa) fy
Índice y – “yeld” (cedência)
Es (≈200 GPa)
f + ≈ f -
y y
2.5 a 10% ε
fy

A introdução deste elemento no betão permite melhorar consideravelmente o
comportamento deste material, dado que, após a fendilhação, as tensões de tracção
passam a ser resistidas pela armadura.
Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-
deslocamento que ilustram o comportamento da viga de betão armado desde o início
do carregamento até à rotura.
a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento
M I P
II
(2) (3)
(1) - fendilhação do betão
(1)
Mcr (2) - cedência das armaduras
(3) - rotura
1/R δ

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1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO

Considere-se a seguinte secção de betão armado.
Admite-se:
A = 10.0 cm2
s
d
0.50
d = 0.45 m (altura útil da armadura)
E = 30 GPa
c
E = 200 GPa
0.20 s

(i) Cálculo da quantidade mínima de armadura a adoptar por forma a resistir às
tensões de tracção, após a fendilhação do betão

F
c
h 1
F ≥ F ⇔ A × f ≥ b × × f ⇔
s ct s, min yk 2 2 ct
0.5 1
Fct h/2 ⇔ As, min ≥ 0.2 × 4 × 2×103 × 400×103 × 104 = 1.25 cm2

f
b ct
(antes de fendilhar)

(ii) Cálculo do estado de tensão na secção imediatamente após a fendilhação do betão

Hipóteses consideradas:
− O betão não resiste à tracção
− As secções mantêm-se planas após a fendilhação
ε σ
c c
(Fc)
(-)
x
LN
d
z Mcr
(+)
ε σs (Fs)
s
b

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Cálculo da posição da linha neutra

Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada,
x = ∑Ai xi = bx × x/2 + As × Es/Ec × d ⇔ x bx + A × Es  = bx × x + A × Es × d ⇔
∑Ai bx + As × Es/Ec  s Ec  2 s Ec
E bx2 E bx2 E
⇔ bx2 + A × s × x = + A × s × d ⇔ = A × s (d - x)
s E 2 s E 2 s E
c c c
(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos)
Para a secção em estudo,
0.2x2 200
= 10×10-4 x (0.45 - x) ⇔ 0.1x2 + 6.67×10-3 - 0.03 = 0 ⇒ x = 0.143 m
2 30
x 0.143
z = d - = 0.45 - = 0.40 m
3 3

Cálculo da tensão no betão (σ )
c
M 16.7
Por equilíbrio: M = F × z = F × z =16.7 kNm ⇔ F = cr = = 41.8 kN
cr s c c z 0.40
σ × x × b 2F 2 × 41.8
F = c ⇔ σ = c = = 2923 kN/m2 ≅ 2.9 MPa
c 2 c bx 0.20 × 0.143

Cálculo da tensão nas armaduras (σ )
s
F 41.8
F = σ × A ⇔ σ = s = = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa
s s s s A 10 × 10-4
s

Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (ε e ε )
c s
ε = σc = 2923 = 0.097×10-3 ≅ 0.1‰
 c E 30×106
c
σ = E × ε ⇒
 σ 41800
ε = s = = 0.2‰
s E 200×106
s
ε x d - x 0.45 - 0.143
ou c = ⇒ ε = ε = × 0.097×10-3 = 0.2‰
ε d - x s x c 0.143
s
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εc = 0.1‰ -2.9
(-)
0.143
LN
1/R
(+)
εs = 0.2‰ 41.8
ε σ [MPa]
Cálculo da curvatura

1 ε + ε 0.1×10-3 + 0.2×10-3
= c s = = 6.67×10-4 m-1
R d 0.45

Antes da fendilhação,
2.0 εc
(-) σ 2.0
ε = c = = 6.67×10-5
c E 30×103
c

1 2 × 6.67×10-5
= = 2.67×10-4 m-1
R 0.5
(+)
2.0 εc
σ [MPa]
1 / R
Conforme se pode verificar, I ≅ 2.5
1 / R
II

1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO

Em estado II (estado fendilhado) a linha neutra é invariável, pelo que, a um acréscimo
do momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com
consequente aumento de tensões.
ε σ σ
c c1 c2
(-)
LN
M
(+)
σ σ
εs s1 s2
M M > M
1 2 1

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A continuação da aplicação da carga P conduz ao aumento das tensões nas fibras
(para a região de comportamento não linear).
σc1 σc2
Fc Fc
LN LN
z1 M1 z2 M2
M1 < M2
Fs1 Fs2

A variação do braço não é significativa (z ≅ z ), pelo que M ≅ z × F
1 2 y

Cálculo do momento de cedência da secção
σ = f = 400M Pa ⇒ F = 400×103 × 10×10-4 = 400 kN
s y s
z = 0.40m ⇒ M = 0.4 × 400 = 160 kNm
y

1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO / ESTRUTURA

a) Secção b) Estrutura
M I M I
II II
My = 160
Mcr = 16.7
1/R 1/R

As estruturas são compostas por inúmeras secções pelo que, o efeito da fendilhação
em algumas secções (perda de rigidez brusca nessas secções), vai conduzir a uma
diminuição gradual de rigidez da estrutura.
P
(2) (3)
(1)
δ

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1.6. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO ONDE OCORRE FENDILHAÇÃO NUMA VIGA PARA UM
DETERMINADO CARREGAMENTO

P
Região onde ocorre
DMF
fendilhação para Pmáx
Mcr
Mmáx

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2. O Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas

2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL

1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço

Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos
Estados Limite de Utilização:
(cid:137) Limitar a deformação (estruturas em geral)
 L 
δ ≤ δ ≅
serviço admissível  400
(cid:137) Controlar os níveis de fendilhação (estruturas de betão armado em particular)
ω ≤ ω (0.2 a 0.4mm)
serviço admissível
(cid:137) Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral)
(ex: controlo de frequências próprias de vibração)

2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas situações
de rotura (rotura local ou global da estrutura)
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos
Estados Limite Últimos
(cid:137) Flexão
(cid:137) Esforço transverso
(cid:137) Encurvadura
(cid:137) Equilíbrio

2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS
LIMITE ÚLTIMOS

1) Definição de valores característicos para:
(cid:137) valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos)
(cid:137) resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores).
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