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Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
Series: Mathematisches Institut der Universit~it Bonn
Adviser: .F Hirzebruch
750
sneJ Carsten neztnaJ
Moduln tim einem
h6chsten Gewicht
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New York 91 7 9
Autor
Jens Carsten Jantzen
Mathematisches Institut
Universit~t Bonn
Wegelerstr. 10
D-5300 Bonn
AMS Subject Classifications (1980): 17 B 10, 20 G 05, 22 E 47
ISBN 3-540-09558-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ISBN 0-387-09558-6 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1979
Printed in Germany
Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
2141/3140-543210
INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kapitel 1 : Moduln mit einem h~ehsten Gewicht . . . . . . 11
Kapitel 2 : Tensorprodukte und Verschiebungsprinzip. . . 42
Kapitel 3 : Assoziierte VarietNten und Bernsteln- V •
Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Kapitel 4 : Moduln mit h~chsten Gewichten fiber
k-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Kapitel 5 : Filtrierungen der Moduln - MultiplizitNt
Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Saehregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Einleitun~
In dieser Arbeit sollen gewisse Darstellungen komplexer halbeinfaeher Lie-
Algebren ~ untersucht werden. Wir interessieren uns fHr solche ~ -Moduln
die Hber ~ yon einer Gerade erzeugt werden, die unter einer Borel-Unteralgebra
b invariant ist. W~hlen wir eine Cartan-Unteralgebra h C b und setzen
= ~,~, so kSnnen wit genauer sagen: Wir betrachten ~-Moduln M, erzeugt
von einem Element v, das von n annulliert wird und auf dem h durch eine
Linearform % ~ h operiert. In diesem Fall heiBt M ein Modul zum hSchsten
Gewicht % und v ein erzeugendes primitives Element yon M.
Die Bezeichnung !'hSehstes Gewicht" hat ihren Ursprung in der folgenden Tat-
saehe: Als Vektorraum ist M die direkte Summe seiner Gewichtsr~ume
M ~ = {m ~MiHm = ~(H)m fHr alle H ~}
tiLn p 6 ~; die ~ mit M ~ # 0 heiSen die Gewichte von M. Nun kann man auf
h ~ in sehr natHrlieher Weise eine Ordnungsrelation einf~hren, die yon der Wahl yon
b abh~ngt. F~r einen Modul M zum h~chsten Gewieht % ist dann % das gr~Bte
Element unter den Gewichten von M.
Die ersten Moduln dieser Gestalt, die man land, waren die einfaehen, endlich
dimensionalen ~-Moduln. Nach E. Caftan gibt es zu jeder solehen Darstellung ein
hSchstes Gewicht %, und sie ist durch % eindeutig, bis auf ~quivalenz bestimmt;
die auftretenden % sind gerade die "dominanten Gewichte". Sparer traten fHr
= si(2,¢) unendlieh dimensionale Moduln zu hSchsten Gewichten bei der Klassifi-
kation der einfachen, unit~ren Darstellungen yon SL(2,~) durch Bargmann auf.
Allgemein betrachtete man (siehe Harish-Chandra ,~l ES~minaire Lie)
solche Moduln, um zum Beispiel einen einheitlichen Beweis f~r die Existenz der
einfaehen, endlieh dimensionalen Darstellungen zu finden. Dazu bildet man zun~chst
fHr jedes % ~ h ~ einen "universellen" Modul M(%) zum h~chsten Gewicht %
2
(yon Dixmier sparer Verma-Modul genannt): Man nimm~ die einhHllende Algebra U(g)
yon ~ und teilt durch das Linksideal, das offensichtlich ein erzeugendes
primitives Element in einem Modul zum hSchs=en Gewicht l annullieren muS:
M(1) = U(~)/(U(~)~ + ~ U(g) H( - I(H) ))I .
H E h
Jedes M(I) hat dann genau einen einfachen Restklassenmodul L(I), den (bis auf
Isomorphie eindeutig bestimmten) einfachen Modul zum hSchsten Gewieht .i
Es ist nun nicht schwer zu zeigen, dab L(I) fHr dominantes ~ endlich dimensional
ist; so erhglt man die gewiinschte Existenzaussage.
Nach dem geraume Zeit sp~ter Verma sowie Bernsteln, V • Gel'fand und dnaf'leG
genauere Einsichten in die Modulstruktur der M(I) gewonnen batten, - wir gehen
darauf noch ein - konnte man weitere Anwendungen der M(1) geben. oS fanden
Bernsteln, v . Gel'fand & Gel'fand selbst einen einfachen Beweis der Weylschen
Charakterformel ni( der Kostantschen Form |~,) und sie konstruierten eine Auf-
l~sung der endlich dimensionalen L(I) durch geeignete M(~), mit deren Hilfe sie
einen anderen Beweis des Satzes von Bott ~ber die Hi(~, L(1)) angeben konnten
Weitere Anwendungen sind algebraische Konstruktionen von Darstellungen halb-
einfacher Lie-gruppen in Her diskreten Serie (Enright-VaradarajanJ, Wallach 2)
und yon Verallgemeinerungen dieser Serie (Enright-Wallaeh, ~nright), sind
ein algebraischer Beweis der Bijektivitgt des Harish-Chandra-Homomorphismus bei
reellen halbeinfachen Lie-Algebren (Lepowsky )26 und die Klassifikation der
primitiven Ideale in U(~) (~Duflo). Auch bei der Untersuchung gewisser
Differentialoperatoren (Kostant ~, ~Kashiwara-VergI~e )~I erwiesen sich die
M(I) ng=zlich. Mit Hilfe yon Verallgemeinerungen dieser Moduln lieSen sich Kac-
Moody-Algebren (Kae, ~arland-eepowksy_~) und modulare Darstellungen halbeinfacher
algebraiseher Gruppen (LJantzen 2,4) erfolgreich untersuchen.
ne~mnoK wir nun zu dem, was Hber die M(1) bewiesen wurde. Wir haben oben be-
merkt, dab L(I) der einzige einfache Restklassenmodul von M(%) ist. Benutzt man
Harish-Chandras Beschreibung der zentralen Charaktere yon U(~), so folgt
einfach, dab M(%) eine endliche Jordan-H~ider-Reihe besitzt, deren einfache
Faktoren zu gewissen L(w(% + 0)-0) mit w ~ W isomorph sind. Dabei sei W die
Weylgruppe von ~ relativ ~ und 0 = ½ ~_~ e die halbe Su~me der positiven
~ER+
Wurzeln e6 R+, das hei~t, der Gewichte yon ~ in ~. Zur Vereinfachung
schreiben wir kgnftig w ~. = w(~ + )O -0.
Nun wird ein L(~) sicher in einer Jordan-H~ider-Reihe yon M(%) vor-
kommen, wenn es einen nicht trivialen Homomorphismus M(~) +M )~( gibt. Verma
zeigt nun, daS jeder solche Homomorphismus injektiv ist und dab Hom (M(~), M(%))
h~chstens eindimensional ist. Es gibt also h~chstens einen Untermodul yon M(%),
auf den wit M(~) isomorph abbilden k~nnen; gibt es einen so identifizieren wit
ihn mit M(~) und schreiben M(~) C M(%).
Bezeichnen wir f~r eine Wurzel e6R, die zugeh~rige Spiegelung mit s 6 W
und die duale Wurzel mit ev; es gilt also
s )~( = ~ - <9, v> ~ fdr alle 9 e ~.
Verma konnte weiter zeigen: FHr ~ ~ ~ und ~ 6 R+ mit < ~ + 0,~ ~ 6
gilt Hom (M(s .%), M(X)) # .O F~hren wit nun eine Ordnungsrelation ~ auf
h ~ ein und setzen dazu ~X genau dann, wenn es Wurzeln al,...,~r ~ R+ mit
= S~r .~. s 2 Sal.X und ~s i_l...Sal (X + 0), ~i ) ~ ~ f~r I ~ i ~ r
gibt. Wegen der Injektivitat der Homomorphismen M(s.~) +- M(~) mit
<% + ,O ~ V > ~ sagt das Theorem yon Verma nun:
)I( Aus ~1 fol%t M(~) CIM(I).
Bernsteln, v . Gel'land & Gel'fand konnten nun die Umkehrung yon )I( zeigen; sie
bewiesen sogar das folgende, st~rkere Resultat
)2( Ist L(~) ein einfacher Kompositionsfaktor yon M(%), so gilt ~.
Gleichzeitig geben Bern~tein, Gel'fand & Gel'fand aber auch ein Beispiel dafHr an,
dab (entgegen der Hoffnung Vermas) ein Untermodul M eines M(%) nicht yon den
in M enthaltenen M(~) erzeugt wird. Aquivalent dazu ist die Aussage: Die
Vielfachheit M(~) : L(~)~, mit der L(~) in einer Jordan-HSlder-Reihe von
M(%) als einfaeher Faktor auftritt, kann eeht grSBer als l sein. Es stellt sich
also nun die Frage: Wie grofl sind die Multiplizit~ten? Es ist dies das Problem,
mit dem sich die vorliegende Arbeit besch~ftigt.
Um die Vielfaehheiten M(%) : L(~) zu untersuchen, erweist es sich als
n~tzlich, anstelle des Wurzelsystems R und der Weylgruppe W die Teilmenge
R X = { ~6R i ~ + 0 ,crY> _~ Z }
und die Untergruppe W~ zu betrachten, die von den s o mit ~ ~R% erzeugt
wird. Nun ist R~ ein Wurzelsystem mit Weylgruppe W~, und R% hat genau eine
Basis B%, die in R+ enthalten ist. Wir setzen
R+(X) = {~ R+I <% + ,0 ~ 6 ~qNO}
und nennen genau dann antidominant, wenn R+(%) = ~ ist. Aus )I( und )2( folgt
)3( M(I) einfach < ,) .~ antidominant
Der erste Grund daf~r, zu R% und W% Hberzugehen, liegt nun darin: Ist
L(~) ein Kompositionsfaktor yon M(%), so gilt nicht nur ~ ~ W.% sondern
genauer ~ ~ W~ .~. Dies folgt nat~rlich aus (2), doch zeigen wir in (1.7), da~
dies auch unabh~ngig yon (2) fast trivial ist, und erhalten daraus einen einfachen
Beweis der Richtung " ~ " in (3). (Wir geben Hbrigens sp~ter (2.20, 5.3) zwei
hierauf aufbauende Beweise von (2), die (wie wit glauben) einfacher als der
urspr~ngliche von Bern~tein, Gel'fand und Gel'fand sind.)
Jedes Gewieht % ist unter W% zu genau einem antidominanten Gewicht kon-
jugiert; deshalb kSnnte man unser Problem auch so formulieren: Man berechne die
M(w,~) : L(w'.%)j mit ~ antidominant und w, w' C W~ Der zweite Grund dafHr,
R% zu betrachten, ist nun die Beobachtung, dab fdr antidominantes ~ diese
Vielfachheiten nur von w und w' abzuh~ngen scheinen, solange man R% und
B~ = {a 6 B% I<~ + O, eV> " 0 }
festh~It. Beweisen kSnnen wir in diese Richtung die beiden folgenden S~tze
(4.11, 2.15):
)4( Fdr ~, ~ 6 h -~ mit ~ = R und < ~+ P, v> = ~'~+ O, ~ V > f~r alle
~ R k S ilt
M(w.I) : L(w'.I) = M(w.~):L(w'.p)~ f~r alle w,w' .6 WI.
und
)5( Fdr antidominante X, ~6i h ~ mit B O X = Bp O und R%_~ = R silt:
bM(w,%) : L(w'.%) = M(w.~) : L(w'.~)~ f~r alle w,w' • W%.
(Man beachte: In )5( folgt R% = R aus R%_~ = R.) Beschr~nken wir uns auf
antidominante Gewichte und halten R% sowie B% O fest, so kSnnen wir (vergrSbernd)
sagen: Multiplizit~ten sind invariant unter Verschiebungen orthogonal zu R A und
unter solchen um ganzzahlige Gewichte, das hei8t, um v mit R~ = .R Kombiniert
man )4( und (5), so sieht man leicht: Kennt man fdr endlich viele, geeignet ge-
w~hlte ~ alle M(w.%) : L(w'.%)~, so kennt man alle Multiplizit~ten (fdr festes
~) dberhaupt. Man kann zum Beispiel zeigen (4.14):
(6) Es m~ge ~ keine einfachen Faktoren vom Typ F 4 oder En (mit n ~ {6,7,8})
enthalten. F~r antidominante Gewichte ,% ~ 6 h ~ mit R% = R B und B E =
B ° silt dann:
M(w.%) : L(w'o%)J = EM(w.~/) : L(w'.~) 3 fur alle w, w' ~ W% .
Man kann dureh Versch~r~ungen von )4( und )5( die Zahl der zu berechnenden
Multiplizit~ten weiter vermindern. Einmal kann man sich auf regul~re Gewichte
beschr~nken, auf X also mit ~ % + ,0 ~> # 0 fHr alle a ~ ,R wie der folgende
Satz zeigt (2.14):
)7( Seien %, ~ ~h ~_ antidominant mit R%_~ ~ R dnu-- X regul~r. FUr alle
w, w' ~ Wk mit w' B~°C R+ gilt dann
M(w.~) : L(w'.~) = M(w.M) : e(w'.M) ,
(Man ~berlegt sich leicht, da~ es zu jedem ein % wie im )7( gibt .2( )21
und dab W~.~ = {w'. ~i~ w' ~ W~, w' °~B C R+} ist. ) Zum anderen braucht man nur
Gewichte % mit ~B% = B=~q zu betrachten; denn )4( ist ein Spezialfall yon
)8( Seien %, ~ ~ h ~ antidominant und regul~r. Es gebe w I ~ W mit B%C WlB ~
und <% + 0,a~> = <Wl( ~ + 0),mY> f~r mile _~ B .X Dann gilt
M(w.%) : L(w'.%) = M(w wl.~ ) : L(w'wl.~) f~r alle w,w' ~ W%.
Dazu ~berlegt man sich noch, dab man zu jedem % ein und ein w I wie in )8(
mit #~B~ = ~B finden kann (4.5).
Haben wir bisher die Multiplizit~ten f~r versehiedene % verglichen, so wenden
wit uns nun einem festen X zu. Man zeigt da zun~chst (2.16, 5.19).
)9( Sei XE h antidominant und resul~r. F~r alle ~ E B% und w,w' E W%
silt
a) M(w.X) : L(w'.k)~l = M(w s )%. : L(w'.X) r___Nf w'(~ e R+,
b) M(w.%) : L(w'.%) = ~M(s w.X) : e(w'.%) rK__Hf w I-' ~ G~R+.
Dadurch wird die Zahl der wirklich zu berechnenden Multiplizit~ten weiter hermb-
gesetzt, allerdings kennen wir bisher nur eine explizit:
M(w.%) : L(w.X) = 1 fHr alle w ~ .W
Daraus kann man mit Hilfe yon )9( schon yon einer Reihe yon Vielfachheiten zeigen,
da~ sie gleich 1 sind (siehe z.B. 2.23.b). Es l~Bt sich jedoch das oben erw~hnte
Beispiel von Bernsteln, V . Gel'fand und Gel'fand so verallgemeinern (4.4 und 3.17/5.22).
(IO) Sei %~h +~ mit R+(%) = R+N R%. Es $ibt $enau dann ein w ~W% mit
)%(MS : L(w.%) i> 2, wenn das Wurzelsystem R% eine Komponente vom Rang
mindestens 3 besirzt.
(Der schwierig zu beweisende Tell ist bier, da~ fgr ~% 2 alle Multlplizit~ten
gleich 1 sind.) Man kann nun genau sagen, wann eine Vielfachheit gleich 1 ist;
dazu brauchen wit eine weitere Notation: Sei % 6h ~ antidominant und regul~r.
(Auf diesen Fall kSnnen wir uns nach )7( ja beschr~nken.) FOr alle w, w' ~ W~
setzen wir dann
rX(w,w') = ~{ ~ eR+(cid:127) R% w'. %9 s w.X ~w.% .}
(Diese Zahl h~ngt im Wirklichkeit nur von W% und B% ab und nicht mehr von %
selbst.) Nun gilt:
(ll) Sei e h: antidominant und regul~r. FOr w, w' C W% mit w'.%~w.%
sind ~quivalent
)i( LM(w.X) : L(w'.%) = I
(ii) FOr alle w I ~ W X mit w'.% ~Wl.X ~w.X gilt
r~(wl, w') = ~'R+(wl.k) - ~R+(w'.~).
Schildern wir nun den Aufbau dieser Arbeit; dabei erw~hnen wit gleichzeitig
die wichtigsten Methoden die zu den Beweisen der oben zitierten S~tze fHhren. Im
ersten Kapitel stellen wir die Grundlagen der Theorie dar; yon den Oblichen Dar-
stellungen (etwa in Dixmiers Buch)unterscheiden wir uns bier (~antzen 2 folgend)
dureh die Betonung der Gruppe W% (vgl. 1.8, 1.17). In Kapitel 2 betrachten wit
Tensorprodukte endlich und unendlich dimensionaler Darstellungen; dies ist eine
Methode, die schon Bernsteln, v . Gel'fand und Gel'fand zum Beweis yon )2( benutzten und
die in ~antzen 2 weiter ausgebaut wurde. Vor allem (5), aber auch )7( kSnnen als
