Moderne Methoden der Numerischen Mathematik: Tagung vom 10. bis 13. Juni 1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen Universität Clausthal

168 Pages·1976·4.43 MB·German

by  Prof. Dr. J. Albrecht (auth.)

ISNM
INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
Ch. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zurich; A. Ostrowski, Montagnola;
J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 32
Modeme Methoden
der Numerischen
Mathematik
Tagung vom 10. bis 13.Juni 1975 im Rahmen
der 200-Jahr-Feier der Technischen UniversiUit Clausthal
Herausgegeben von
J. ALBRECHT, Clausthal und L. CoLLATZ, Hamburg
1976
SPRINGER BASEL AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Moderne Methoden der numerischen Mathematik:
Tagung vom 10.-13. Juni 1975 im Rahmen d. 200-Jahr-Feier d. Techn. Univ. Clausthal.
Hrsg. von J. Albrecht u. L. Collatz. - 1. Aufl. - Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1976.
(International series of numerical mathematics; Vol. 32)
NE: Albrecht, Johannes [Hrsg.]; Technische Universität <Clausthal)
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1976
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1976
ISBN 978-3-7643-0854-4 ISBN 978-3-0348-5501-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5501-3
VORWORT
Der vorliegende Band gibt im wesentlichen Vortrage einer Tagung «Modeme
Methoden der Numerischen Mathematik» wieder, die yom 10. bis 13.Juni
1975 im Rahmen der 200-Jahr-Feier der Technischen Universitat Clausthal
stattfand und die durch verschiedene Beispiele sowohl Forschungsschwer
punkte als auch Anwendungen in anderen Wissenschaften zeigen sollte.
Folgende Gebiete kamen dabei zur Sprache: Eigenwertaufgaben, Iterationen
mit expandierenden und mit monotonen Operatoren, nichtlineare Schwin
gungen, Approximation, Interpolation und Quadratur, Ausgleichungen, Opti
mierung, optimale Steuerung, Diskretisierungsverfahren bei Anfangs- und
Randwertaufgaben, schnelle Fourier-Transformationen, Diffusionsgleichun
gen in biologischen Modellen und Identifizierungsprobleme.
Der Deutschen Forschungsgemeinschaft sei auch an dieser Stelle fUr die
Forderung der Tagung gedankt; dem Birkhauser Verlag gilt der Dank fUr die
Herausgabe dieses Bandes und fUr seine - wie stets - gute Ausstattung.
L. COLLATZ, J. ALBRECHT
INHALTSVERZEICHNIS
J. ALBRECHT:
Bemerkungen zur Newton-Iteration fUr A1I2 und A-I 9
P.M. ANSELONE:
Nonlinear operator Approximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ERICH BOHL:
Zur Anwendung von Differenzenschemen mit symmetrischen Formeln
bei Randwertaufgaben ......................................... 25
HELMUT BRASS:
Quadraturverfahren vom Gregoryschen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
HAROLD D. EIDSON, LARRY L. SCHUMAKER:
Spline solution of linear initial-and boundary-value problems ........ 67
ILIO GALLIGANI:
Identification problems in electrocardiology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
FRIEDRICH GOERISCH:
Ober eine Methode zum Vergleich von Schranken fUr Eigenwerte ..... 97
PETER HENRICI:
Einige Anwendungen der schnellen Fouriertransformation . . . . . . . . . .. III
GUNTER MEINARDUS:
Algebraische Formulierung von Spline-Interpolation en . . . . . . . . . . . . .. 125
P. SPELLUCCI:
Algorithms for rational discrete least aquares approximation part I:
Unconstrained optimization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139
H. WERNER:
Einige Beispiele kombinatorischer Aufgabenstellungen in den Geistes
wissenschaften .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159
H. WERNER:
Numerische Behandlung gewohnlicher Differentialgleichungen mit Hil-
fe von Spline-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 167
ISNM 32 Birkhauser Verlag, Basel und Stuttgart, 1976 9
QUAORATISCH KONVERGENTE ITERATIONSVERFAHREN ZUR
BERECHNUNG VON A1/2 UNO A-1
J. Albrecht
1. FaBt man die symmetrische, positiv definite Quadrat
wurzel A1/2 einer symmetrischen, positiv definiten Ma
trix A a1s Nu11ste11e des durch
TX=X2-A
definierten Operators T auf und zieht man zu ihrer Be
rechnung das Newton'sche Iterationsverfahren
(k=O,1 ,2, .•• )
heran, so ergibt sich wegen
T(X)H=XH+HX
die Iterationsvorschrift
(k=O,1,2, ••• ).
Wenn der k1einste und der groBte Eigenwert von A,
1~ und L~, bekannt sind, 1aBt sich ein weiterer A1go
rithmus angeben:
,
> (p=O, 1 ,2, ••• ) •
=l~
y o V.LOLO I
10
Satz 1.1: Konvergenz des Newton-Verfahrens bei Ver
tauschbarkeit
Unter den Voraussetzungen
1. Xo symmetrisch, positiv definit
2. AXo=XoA
gilt zunachst
1. Xk+1 symmetrisch, positiv definit
2. AXk+1=Xk+1A
(k=O,l ,2, ••• ) ;
3. XkXk+l=Xk+1Xk
4. XkAl/2=Al/2Xk
fur die "relativen Fehler"
E =(X +Al/2)-1 (X _Al/2) (k=O,l ,2, ••• )
k k k
folgt weiter
2
5.1. Ek+1=Ek (k=O , 1 , 2 , ••• ) ,
also
k
5 2 E =E2 (k=O,l ,2, ••• )
• • k 0
und - unter Verwendung der Spektralnorrn -
~Ek~=~Eo~2k
5.3. (k=O,l ,2, ••• ) ;
da stets
IEol
6. <1
ist, liegt imrner quadratische Konvergenz der Folge {Ek}
und darnit quadratische Konvergenz der Folge {Xk} vor.
11
Satz '.2: Optimale Anfangswerte
Unter der Voraussetzung
0<1 <A<L
0- - 0
fUhrt der Algorithmus~)
> (p=O", 2, ••• )
wegen
a <z (A)< -' (1 <A<L ;p=0,1,2, ••••• ),
p- p - a 0- - 0
p
also
1-a
_-----E.
(1 <A<L ;p=0,1,2, ••• )
1+a 0- - 0
p
auf eine Folge rationaler Tschebyscheff-Approximationen
der Null im Intervall 10~A~Lo' so daB durch
(p=0,1 ,2, ••• ) ,
W)Die ausfUhrlichere Schreibweise
(p=O, 1 ,2, ••• ) ;
(p=O, , ,2, ••• )
zeigt den Zusarnrnenhan~mit dem GauB'schen Arithmetisch
Geometrischen Mittel ~).
12
wobei
y (A 2) =).z ().) (p=O,1 ,2, ..• )
p P
ist, unter der Uber das Spektrum von A getroffenen An
nahme eine Folge optimaler Anfangswerte fUr das New
ton'sche Verfahren definiert wird. FUr ihre "relativen
Fehler"
F =(Y +A1/2)-1 (Y _A1/2) (p=O,1 ,2, •.. )
P P p
zp().)-1 1-a
=M a x - =---E
1 <A<L zp().)+1 1+ap
0- - 0
(p=O,1 ,2, .•• )
und damit
::::>
I: :::)
=ih11
IIF 11-: 2 (p=O,1,2, •.• ) ;
p+l 2
die Folge {F }oo konvergiert also schneller als die Folge
p q
{Ek}~ der relativen Fehler der von Xo=Yq(qE~o beliebig)
ausgehenden Newton'schen Iterationsfolge {Xk}~ •
Bemerkung. Wenn man die Vertauschbarkeit
(k=O , 1 , 2 , •.. )
bzw.
(p=O , 1 , 2 , •.. )
ausnutzen will, urn den Arbeitsaufwand zur Berechnung
von Xk+1 bzw. Yp+1 herabzusetzen, wenn man also gemaB
1 2
XkXk+1=2(Xk+A) (k=O,1,2, ••• )
bzw.
(p=O,1 ,2, .•• )