Table Of ContentModern General Relativity Lecture Notes
Mike Guidry
This document summarizes the first edition of Modern General Relativity:
Black Holes, Gravitational Waves, and Cosmology by Mike Guidry (Cam-
bridge University Press, 2019) in a format suitable for presentation. Sources
and references forthematerialcontained heremaybefound inthatbook.
Contents
I General Relativity 1
1 Introduction 3
2 CoordinateSystems and Transformations 7
2.1 CoordinateSystemsinEuclideanSpace . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Non-EuclideanGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Tensors and Covariance 55
3.1 SpacetimeCoordinatesand Transformations . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 CovarianceandTensorNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Tangentand Cotangent Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Coordinatesin Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Tensorsand CoordinateTransformations . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Tensorsas LinearMapsto Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7 TensorsSpecified by TransformationLaws . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8 Symmetricand AntisymmetricTensors . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.9 SummaryofAlgebraicTensorOperations . . . . . . . . . . . . . . 122
3.10 TensorCalculuson CurvedManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1
2 CONTENTS
3.11 TheCovariantDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.12 AbsoluteDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.13 LieDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.14 InvariantEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4 Lorentz Covarianceand Special Relativity 145
4.1 MinkowskiSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Tensorsin MinkowskiSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3 LorentzTransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.4 LightConeDiagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5 Causal StructureofSpacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.6 LorentzTransformationsinSpacetimeDiagrams . . . . . . . . . . 177
4.7 LorentzCovarianceofMaxwell’sEquations . . . . . . . . . . . . . 192
5 Lorentz-Invariant Dynamics 201
5.1 Geometrized Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.2 Velocityand MomentumforMassiveParticles . . . . . . . . . . . . 208
5.3 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4 PrincipleofExtremalProperTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.5 LightRays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.6 Observers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.7 Isometriesand KillingVectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6 The PrincipleofEquivalence 229
6.1 Inertial andGravitationalMass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2 Strong EquivalencePrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3 Deflection ofLightinaGravitationalField . . . . . . . . . . . . . 234
6.4 TheGravitationalRedshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.5 Equivalenceand Riemannian Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.6 Local InertialFrames andInertial Observers . . . . . . . . . . . . . 243
CONTENTS 3
6.7 LightconesinCurved Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.8 TheRoad to General Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7 Curved Spacetime andGeneral Covariance 249
7.1 CovarianceandPoincaré Transformations . . . . . . . . . . . . . . 250
7.2 Curved Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7.3 Curved 2DSpaces and GaussianCurvature . . . . . . . . . . . . . 252
7.4 A CovariantDescriptionofMatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.5 CovariantDerivativesand Parallel Transport . . . . . . . . . . . . . 267
7.6 Gravityand Curved Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.7 TheLocal InertialCoordinateSystem . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.8 TheAffineConnectionand theMetricTensor . . . . . . . . . . . . 283
7.9 UniquenessoftheAffineConnection . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8 The General Theory ofRelativity 289
8.1 Weak Field Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.2 Recipe forMotionina GravitationalField . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3 TowardsaCovariantTheory ofGravity . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.4 TheRiemann CurvatureTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.5 Instrinsicand ExtrinsicCurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.6 TheEinsteinEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.7 SolvingtheEinsteinequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
9 The Schwarzschild Spacetime 315
9.1 TheFormoftheMetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.2 MeasuringDistanceandTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.3 Precession ofOrbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
9.4 Radial Fall ofa TestParticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.5 OrbitsforLightRays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
9.6 Deflection ofLightinaGravitationalField . . . . . . . . . . . . . 360
4 CONTENTS
9.7 Shapiro TimeDelayofLight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.8 Gyroscopesin CurvedSpacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.9 GeodeticPrecession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.10 Gyroscopesin RotatingSpacetimes . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10 Neutron Stars and Pulsars 383
10.1 A QualitativePictureofNeutronStars . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.2 TheOppenheimer–VolkovEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.3 InterpretationoftheMassParameter . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
10.4 Pulsars and TestsofGeneral Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . 399
10.5 Precision TestsofGeneral Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
II Black Holes 419
11 Spherical BlackHoles 421
11.1 Schwarzschild Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.2 LightconeDescriptionofaTriptoaBlack Hole . . . . . . . . . . . 431
11.3 Eddington–FinkelsteinCoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
11.4 Kruskal–Szekeres Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
11.5 Black HoleTheoremsand Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . 460
12 Quantum Black Holes 463
12.1 Geodesicsand QuantumUncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
12.2 HawkingRadiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
12.3 MassEmissionRates and Black HoleTemperature . . . . . . . . . 470
12.4 MiniatureBlack Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
12.5 Black HoleThermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
12.6 TheFourLaws ofBlack HoleDynamics . . . . . . . . . . . . . . . 480
12.7 Gravityand QuantumMechanics: thePlanck Scale . . . . . . . . . 483
CONTENTS 5
12.8 Black Holes andInformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
13 Rotating BlackHoles 489
13.1 TheKerrSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
13.2 OrbitsintheKerrMetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
13.3 FrameDragging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
13.4 ExtractingRotationalEnergy fromBlack Holes . . . . . . . . . . . 514
14 ObservationalEvidence forBlack Holes 521
14.1 GravitationalCollapseand Observations . . . . . . . . . . . . . . . 522
14.2 SingularityTheoremsand Black Holes . . . . . . . . . . . . . . . . 523
14.3 ObservingBlack Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
14.4 Black HoleMassesin X-ray Binaries . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
14.5 SupermassiveBlack HolesintheCores ofGalaxies . . . . . . . . . 547
14.6 Intermediate-MassBlack Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
14.7 Black Holes intheEarlyUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
14.8 ShowMean EventHorizon! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
14.9 Summary: A Strong ButCircumstantialCase . . . . . . . . . . . . 569
15 BlackHolesas Central Engines 571
15.1 Black Holes as EnergySources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
15.2 Accretion and EnergyRelease forBlack Holes. . . . . . . . . . . . 574
15.3 MaximumEnergy Release inSpherical Accretion . . . . . . . . . . 575
15.4 Jetsand MagneticFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
15.5 RelativisticJets andApparent SuperluminalVelocities . . . . . . . 585
15.6 Quasars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
15.7 ActiveGalacticNuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
15.8 TheUnified ModelofAGNand Quasars . . . . . . . . . . . . . . . 611
15.9 Gamma-Ray Bursts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
6 CONTENTS
III Cosmology 675
16 The HubbleExpansion 677
16.1 TheStandard Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
16.2 TheHubbleLaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
16.3 LimitationsoftheStandard World Picture . . . . . . . . . . . . . . 709
17 Energy andMatter inthe Universe 711
17.1 ExpansionandNewtonianGravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
17.2 TheCritical Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
17.3 CosmicScale Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
17.4 PossibleExpansionHistories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
17.5 LookbackTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
17.6 TheInadequacyofDustModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
17.7 EvidenceforDark Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
17.8 Baryonicand Non-BaryonicMatter . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
17.9 BaryonicCandidates forDark Matter. . . . . . . . . . . . . . . . . 748
17.10 Candidates forNon-BaryonicDark Matter . . . . . . . . . . . . . 750
17.11 Dark Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753
17.12 Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754
17.13 DensityParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755
17.14 TheDeceleration Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
17.15 ProblemswithNewtonianCosmology . . . . . . . . . . . . . . . . 765
18 Friedmann Cosmologies 767
18.1 TheCosmologicalPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
18.2 Homogeneousand Isotropic2D Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 772
18.3 Homogeneousand Isotropic3D Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 774
18.4 TheRobertson–WalkerMetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
18.5 ComovingCoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
CONTENTS 7
18.6 Proper Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
18.7 TheHubbleLaw andtheRWMetric . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
18.8 Particleand EventHorizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
18.9 TheEinsteinEquationsfortheRWMetric . . . . . . . . . . . . . . 805
18.10 ResolutionofDifficultieswithNewtonianView . . . . . . . . . . . 815
19 Evolutionofthe Universe 817
19.1 Friedmann Cosmologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
19.2 Evolutionand Scaling ofDensityComponents . . . . . . . . . . . . 829
19.3 Flat, Single-ComponentUniverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
19.4 Full SolutionoftheFriedmannEquations . . . . . . . . . . . . . . 851
20 The Big Bang 881
20.1 Radiationand MatterDominatedUniverses . . . . . . . . . . . . . 882
20.2 EvolutionoftheEarlyUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
20.3 ThermodynamicsoftheBig Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
20.4 Nucleosynthesisand Cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
20.5 TheCosmicMicrowaveBackground . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
20.6 TheMicrowaveBackground Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . 926
20.7 Anisotropiesin theMicrowaveBackground . . . . . . . . . . . . . 930
20.8 TheOriginofCMBFluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
20.9 Precision MeasurementofCosmologyParameters . . . . . . . . . . 956
20.10 Seeds forStructureFormation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
20.11 Summary: Dark Matter,Dark Energy,and Structure . . . . . . . . 966
21 Extending ClassicalBig Bang Theory 969
21.1 Successes oftheBig Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970
21.2 ProblemswiththeBig Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974
21.3 CosmicInflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
21.4 TheOriginoftheBaryons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
8 CONTENTS
IV Gravitational Wave Astronomy 1001
22 GravitationalWaves 1003
22.1 SignificanceofGravitationalWaves . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
22.2 Linearized Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
22.3 Weak GravitationalWaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
22.4 GravitationalWavesversusElectromagneticWaves . . . . . . . . . 1027
22.5 ResponseofTestParticles toGravitationalWaves . . . . . . . . . . 1032
22.6 GravitationalWaveDetectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
23 WeakSources ofGravitationalWaves 1049
23.1 ProductionofWeak GravitationalWaves . . . . . . . . . . . . . . . 1050
23.2 GravitationalRadiationfrom Binary Systems . . . . . . . . . . . . 1065
24 Strong Sources ofGravitationalWaves 1079
24.1 A SurveyofCandidateSources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080
24.2 MultimessengerAstronomy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
24.3 TheGravitationalWaveEventGW150914 . . . . . . . . . . . . . . 1099
24.4 TestingGeneral RelativityinStrong Gravity . . . . . . . . . . . . . 1128
24.5 A NewWindowontheUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130
24.6 GravitationalWavesfrom NeutronStar Mergers . . . . . . . . . . . 1131
24.7 GravitationalWavesand StellarEvolution . . . . . . . . . . . . . . 1156
V General Relativity and Beyond 1171
25 Tests ofGeneral Relativity 1173
25.1 AlternativeTheories ofGravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174
25.2 TheClassical TestsofGeneral Relativity . . . . . . . . . . . . . . . 1178
25.3 TheModernTestsofGeneral Relativity . . . . . . . . . . . . . . . 1180
25.4 Strong-Field TestsofGeneral Relativity . . . . . . . . . . . . . . . 1189
CONTENTS 9
25.5 CosmologicalTests ofGeneral Relativity . . . . . . . . . . . . . . 1194
26 BeyondStandard Models 1197
26.1 Supersymmetryand Dark Matter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199
26.2 VacuumEnergy from QuantumFluctuations . . . . . . . . . . . . . 1207
26.3 QuantumGravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217
