Modello di Heisenberg altamente non lineare

94 Pages·2012·0.57 MB·Italian

UNIVERSITA(cid:18) DEGLI STUDI DI MILANO
Facolta(cid:18) di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di laurea in Fisica
MODELLO DI HEISENBERG ALTAMENTE NON
LINEARE
Relatore: Prof. Sergio Caracciolo
Correlatore: Prof. Bruno Bassetti
PACS: 75.10.Hk, 05.50.+q, 64.60.Cn, 64.60.Fr
Tesi di laurea di
Bortolo Matteo Mognetti
matr. 595274
Anno Accademico 2002-2003

Indice
1 Introduzione al modello 7
1.1 Funzionali generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Z[J] e W[J], sviluppi perturbativi . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 (cid:0)[ ] o potenziale termodinamico . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Il modello O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Generalizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 RPN(cid:0)1 e RPN(cid:0)1 O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . 12
(cid:0)
1.3.2 Interazione altamente non lineare . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Peculiarita(cid:18) del limite N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
!1
1.4.1 Funzionali generatori all’ ordine N(cid:0)1 . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Sviluppo in N(cid:0)1 e teoria di campo medio . . . . . . . 18
2 Modello non lineare in dettaglio 21
2.1 Simulazione Montecarlo per N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Relazioni di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Propagatore e vertici della teoria 29
3.1 Linearizazione dell’ azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Integrazione gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Equazioni del punto sella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4 Inesistenza di ordine a lungo range . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Sviluppo attorno al punto sella: propagatore . . . . . . . . . 34
3.5.1 Struttura dettagliata di P(cid:0)1 (00017(cid:0)Ep) . . . . . . . . 36
A;B
3.6 Vertici della teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6.1 Verici a tre gambe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6.2 Vertici a quattro gambe . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Sviluppi al primo ordine in p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 Sviluppo del propagatore . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7.2 Sviluppo dei vertici a tre gambe . . . . . . . . . . . . 48
3.7.3 Calcoli supplementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
4 INDICE
4 Criticita(cid:18) ad albero 51
4.1 Studio della gap-equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Singolarita(cid:18) del propagatore P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Formula completa per P(0) . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Studio di P(00017(cid:0)Ep) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Criticita(cid:18) ad un loop 61
5.1 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Il riassorbimento delle divergenze . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Valore di aspettazione di (cid:9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
(cid:11)
5.3.1 Equazioni del moto all’ ordine N(cid:0)1 . . . . . . . . . . . 63
5.4 Correlazione energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5 Singolarita(cid:18) di h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
(cid:11)
5.5.1 Un esempio di cancellazione . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.6 Relazioni di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.7 Un ulteriore cancellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7.1 Propagatore e vertici a momento nullo . . . . . . . . . 75
5.7.2 Una regola di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.7.3 Cancellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.8 Calcolo delle divergenze logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . 77
5.9 Correzione all’ esponente critico del calore speci(cid:12)co . . . . . . 80
5.10 Correlazione energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.11 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A Sistema in dimensioni basse 85
A.1 Equazioni del punto sella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
A.1.1 Studio delle equazioni del punto sella . . . . . . . . . . 87
A.2 Soluzione esatta monodimensionale per N=3 . . . . . . . . . 88
B Integrali di loop 91
Bibliogra(cid:12)a 93
Simboli e notazioni
Faremo largo uso delle seguenti notazioni. Poniamo per de(cid:12)nizione:
d dp
dp~ = i=1 i;
(2(cid:25))d
Q
n
(cid:14)(p~) = (2(cid:25))d (cid:14)(p ); (1)
i
i=1
Y
essendo d le dimensioni dello spazio con cui abbiamo a che fare, nel nostro
caso avremo d = 2. Ambienteremo la teoria su di un reticolo (R) quadrato
bidimensionale; avremo quindia che fare con grandezze de(cid:12)nitesui siti (s ),
x
e con grandezze de(cid:12)nite sui links (l ). Diamo la de(cid:12)nizione di trasformata
x;(cid:22)
di Fourier per queste quantita(cid:18) che indichiamo rispettivamente con s(p~) e
l (p~):
(cid:22)
s(p~) = eip~x~s ;
~x x
l(cid:22)(p~)= P~xeip~(~x+(cid:22)~2)lx(cid:22): (2)
Queste relazioni si invertiranno inPmaniera solita, in particolare:
s = dp~e(cid:0)ip~~xs(p~);
x
lx(cid:22) = dRp~e(cid:0)ip~(~x+(cid:22)~2)l(cid:22)(p~): (3)
Dato un campo (cid:30) de(cid:12)nitoRsugli elementi del reticolo, useremo delle
espressioniformali perindicarela sommasututte lecon(cid:12)gurazioni possibili:
d(cid:30):= d(cid:22)((cid:30) ); (4)
~x
Z ~x Z
Y
con d(cid:22)((cid:30) ) misura caratteristica del campo. Questa puo(cid:18) avere supporto
x
discreto (come per il modello di Ising, o Potts), o continuo. Per O(N) si
ha:
N N
d(cid:22)(~s)= ds (cid:14) s2 1 : (5)
i i (cid:0)
!
i=1 i=1
Y X
Questo lavoro (cid:18)e caratterizzato da W(x):
2 x p 21(cid:0)p
W(x)= ; (6)
p 2 (cid:0) p
(cid:16) (cid:17)
quando scriveremo W(n) = dnW((cid:26)0), sara(cid:18) implicito il fatto che valuteremo
(dx)n
questa quantita(cid:18) in (cid:26)0, valore stabilito dalle equazioni del punto sella (3.23).
In una teoria su reticolo si de(cid:12)nisce:
x
x2 = 4sin2 ; (7)
2
che si generalizza per una quanbtita(cid:18) vettoriale (~x) in:
d d
x
x2 = x2 = 4sin2 (cid:22): (8)
(cid:22) 2
(cid:22)=1 (cid:22)=1
X X
b b
Capitolo 1
Introduzione al modello
Unmodellosureticolo(cid:18)ecostituitoinviadeltuttogenerale, dacampide(cid:12)niti
sui siti ((cid:30)(cid:11)), o sui links ((cid:30)(cid:11) ) con una misura d(cid:22)((cid:30)) che ne determina
x x;(cid:22)
gli stati accessibili. Un’ azione S[(cid:30)] (cid:18)e un funzionale dei campi introdotti,
fornisce l’ energia che il sistema manifesta per una data con(cid:12)gurazione.
Sostanzialmente si discriminano i modelli [1] a seconda che il campo
locale sia un vettore N dimensionale di norma unitaria libero di assumere
qualsiasi direzione, da quelli in cui il campo locale (cid:18)e libero di assumere
soltanto unnumerodiscreto dicon(cid:12)gurazioni; a questi siaggiunge unaterza
possibilita(cid:18) (modello SOS), in cui il campo puo(cid:18) variare sugli interi.
Si recupera la statistica del sistema ammettendo che la probabilita(cid:18) di
una data con(cid:12)gurazione ((cid:30)) sia (misura di Boltzman):
P[(cid:30)] = e(cid:0)S[(cid:30)];
Z
Z = d(cid:30)e(cid:0)S[(cid:30)]; (1.1)
R
dove con d(cid:30) [11] intendiamo indicare la somma su tutte le possibili con(cid:12)gu-
razioni del sistema (5).
Facendo il limite termodinamico, si manda la taglia del reticolo all’ in-
(cid:12)nito (V ). Questo (cid:18)e signi(cid:12)cativo perch(cid:18)e si passa ad un sistema con
! 1
in(cid:12)niti gradi di liberta(cid:18). La (1.1) diventa soltanto una scrittura formale e si
possonoosservaretransizionidifase, ovverodeicomportamenti nonanalitici
per F = W[0], energia libera (de(cid:12)nita sotto).
Individuata una transizione di fase, si vuole determinare tutte le quan-
tita(cid:18) universali che la caratterizzano, ovvero tutte quelle grandezze che ci
aspettiamo non dipendereda dettagli microscopici come la forma del retico-
lo. Esempi di queste grandezze sono gli esponenti critici che caratterizzano
quantitativamente la termodinamica del sistema al punto critico. La plausi-
bilita(cid:18)diquestoargomento(cid:18)esuggeritadalgruppodirinormalizzazione(RG),
che porta in maniera naturale al concetto di universalita(cid:18); una classe di uni-
versalita(cid:18) viene messa in corrispondenza con i punti che (cid:13)uiscono verso un
7
8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL MODELLO
punto (cid:12)sso del RG. Lo studio del RG in un intorno del punto (cid:12)sso forni-
sce tutte le quantita(cid:18) comuni a tutti i modelli, primo fra tutti gli esponenti
critici [2] [8].
1.1 Funzionali generatori
1.1.1 Z[J] e W[J], sviluppi perturbativi
Con procedimenti standard, seguendo per esempio [8] o [11], introduciamo
i seguenti funzionali:
Z[J] = d(cid:30)e(cid:0)S[(cid:30)]+J(cid:30); (1.2)
Z
W[J]= logZ[J]: (1.3)
Introdotte le correlazioni dei campi secondo la misura di probabilita(cid:18) (1.1):
1
Z(n)(x ; ;x )= d(cid:30)(cid:30)(x ) (cid:30)(x )e(cid:0)S[(cid:30)]; (1.4)
1 n 1 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1) Z[0] (cid:1)(cid:1)(cid:1)
Z
si ha:
1 (cid:14) (cid:14)
Z(n)(x ; ;x ) = Z[0]: (1.5)
1 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1) Z[0](cid:14)J(x ) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:14)J(x )
1 n
Dalle precedenti possiamo sviluppare Z[J] come (ponendo Z[0] = 1):
1
1
Z[J] = dx dx dx Z(n)(x x )J(x ) J(x ): (1.6)
1 2 n 1 n 1 n
n! (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
n=1 Z
X
Sviluppiamo in modo analogo W[J]:
1
1
W[J] = dx dx dx W(n)(x x )J(x ) J(x ): (1.7)
1 2 n 1 n 1 n
n! (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
n=1 Z
X
Lecorrelazioni deicampiW(n) hannolapropieta(cid:18)(cluster property) diessere
connesse nel senso che:
W(n)(x ; ;x ;y ;y ) 0; (1.8)
1 t t+1 n
(cid:1)(cid:1)(cid:1) !
se
Min x y : (1.9)
i;j i j
j (cid:0) j !1
Cio(cid:18) (cid:18)e conseguenza del fatto che nel limite termodinamico W (cid:18)e una quantita(cid:18)
estensiva (contrariamente avremo correzioni che scalano come 1), ovvero:
L
W[J +J ] = W[J ]+W[J ]; (1.10)
a b a b
se J e J hanno supporti, la cui intersezione (cid:18)e vuota. Questa propieta(cid:18)
a b
(cid:18)e condivisa con la funzione termodinamica energia libera (F); in maniera
1.1. FUNZIONALI GENERATORI 9
canonica [18] si identi(cid:12)ca quindi W[J] con l’ energia libera di un sistema
statistico di spin in un campo magnetico H = J. L’ energia libera (cid:18)e costi-
tuita dall’ energia del sistema (misura di Boltzman), e dall’ entropia dello
stesso (d(cid:30)). Fatta questaposizionetutta latermodinamica vienerecuperata
iterando note relazioni sui funzionali introdotti.
In un linguaggio diagrammatico W(n) possono essere pensati come dia-
grammi connessi, mentre Z(n) contengono tutti i diagrammi possibili; nella
de(cid:12)nizione di W, tutti i diagrammi sconnessi vengono risommati tramite il
logaritmo.
I funzionali W[J] e Z[J], rappresentano inoltre il punto di partenza (ma
sostanzialmente anche quello d’ arrivo) di una teoria perturbativa. Suppo-
niamo di dividere in modo naturale S[(cid:30)] in una parte quadratica nei campi
piu(cid:18) un resto di ordine superiore:
1
S[(cid:30)] = K[(cid:30)] V[(cid:30)]: (1.11)
(cid:0) (cid:0)2 (cid:0)
Abbiamo trascurato parti lineari perch(cid:18)e queste possono essere messe a
zero tramite una traslazione dei campi attorno ai loro valori medi:
(cid:30)0 = (cid:30) < (cid:30) > : (1.12)
(cid:0)
Questa non (cid:18)e un operazione del tutto scontata, per il fatto che < (cid:30) > (cid:18)e
qualcosa che controlliamo soltanto perturbativamente. Ci si convince di
questo fatto se sitiene conto che il valore diaspettazione deicampi lo si puo(cid:18)
ottenere tramite l’ equazione implicita:
(cid:14)(cid:0)[ ]
= 0; (1.13)
(cid:14)
(cid:11)
con (cid:0)[ ] introdotto a breve (1.16) noto soltanto perturbativamente.
Nota la formula dell’ integrazione gaussiana possiamo calcolare:
Z0[J] = d(cid:30)e(cid:0)12K[(cid:30)]+J(cid:30)
Z
(detK)(cid:0)12 e21K(cid:0)1[J]
(cid:24)
= e21(K(cid:0)1[J](cid:0)trlogK): (1.14)
Utilizzando allora la (1.5) possiamo scrivere:
Z[J]= d(cid:30)e(cid:0)S[(cid:30)]+(cid:30)J = e(cid:0)V[(cid:14)(cid:14)J]Z0[J]: (1.15)
Z
Uno sviluppo perturbativo in V considera soltanto i primi contributi ((cid:12)no a
un dato ordine) del precedente esponenziale, troncando di fatto la serie.
Non sempre uno sviluppo di questo tipo (cid:18)e possibile o utile. In questo
lavoro si(cid:18)e utilizzata una tecnica (sviluppo in N(cid:0)1) che svincola la necessita(cid:18)
di avere V piccolo (intuitivamente questa (cid:18)e una condizione per considerare
un numero (cid:12)nito di termini nella (1.15)), a scapito di introdurre dei campi
ausiliari.
10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE AL MODELLO
1.1.2 (cid:0)[ ] o potenziale termodinamico
Introduciamo ora il generatore dei vertici propri (cid:0)[ ]. Questo si ottiene
trasformando secondo Legendre W[J].
W[J] J +(cid:0)[ ] = 0; (1.16)
(cid:0)
con = [J] ricavato implicitamente dalla relazione:
(cid:14)(cid:0)[ ]
J = ; (1.17)
(cid:14)
che equivale a dire che la (1.16) rimane stazionaria sotto variazione di a
J (cid:12)ssato.
Portando avanti l’ analogia termodinamica abbiamo che la trasformata
di Legendre dell’ energia libera de(cid:12)nisce il potenziale termodinamico o fun-
zione di Gibbs G[M], con M magnetizzazione del sistema: individueremo
quindicanonicamente (cid:0)[ ] con il potenziale termodinamico, odazione e(cid:11)et-
tiva del nostro sistema. In genere (cid:0)[ ] (cid:18)e noto soltanto perturbativamente;
questo (cid:18)e legato alla di(cid:14)colta(cid:18) dell’ invertire la relazione (1.17) ed alla cono-
scenza perturbativa che uno ha di W[J]. Tuttavia (cid:18)e fondamentale capire
il comportamento di questa funzione per spiegare fenomeni importantissimi
nella teoria dei fenomeni critici o delle particelle elementari, come la rottura
spontanea della simmetria.
Sviluppando il funzionale (cid:0)[ ]:
1
1
(cid:0)[(cid:30)] = dx dx dx (cid:0)(n)(x x )(cid:9)(x ) (cid:9)(x ); (1.18)
1 2 n 1 n 1 n
n! (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)
n=1 Z
X
abbiamo che (cid:0)(n) rappresentano le funzioni di correlazione one-particle-
irrediucible, canonicamente rappresentabilicomegra(cid:12)ciconnessi,conlapro-
prieta(cid:18)cherestanotaliseunalineainternadelgra(cid:12)co(ovverounpropagatore
contratto tra due vertici) viene tagliata. (cid:0)(2) puo(cid:18) essere pensato come l’ in-
verso delpropagatore e(cid:11)ettivo della teoria, contenente i contributi radiativi,
che ci fornisce quindi le correzioni alla funzione a due punti dei campi.
Abbiamo gia(cid:18) accennato che il limite V , si presenta delicato. Po-
! 1
tremmo infatti assistere ad una rottura spontanea della simmetria. Questa
si manifesta attraverso una perdita dell’ analiticita(cid:18) dell’ energia libera (1.3),
ed (cid:18)e particolare dell’ avere in(cid:12)niti gradi di liberta(cid:18). In tal caso il sistema
presenta fasi macroscopicamente di(cid:11)erenti al variare di un parametro ester-
no, tipicamente latemperatura. Unferromagnete intredimensionipassada
unafasedisordinataadunaincuiglispinmostranoordinealungorangeper
(cid:12) > (cid:12) . Il parametro d’ ordine di questa transizione (cid:18)e la magnetizzazione.
c
Seguendo [11] potremmo dire di essere in presenza di una transizione di fase
di \n-esima specie" se l’ energia libera (cid:18)e di(cid:11)erenziabile rispetto un parame-
tro esterno n 1 volte ma la derivata n-esima mostra delle discontinuta(cid:18).
(cid:0)