Modelli Matematici in Biologia

307 Pages·2007·4.697 MB·Italian

by  Giuseppe Gaeta (eds.)

Modelli Matematici in Biologia
Giuseppe Gaeta
Modelli Matematici
in Biologia
123
GIUSEPPEGAETA
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Milano
ISBN 978-88-470-0691-1
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Prefazione
In molti corsi di Laurea di secondo livello in Biologia di Universita` italiane `e
oramai attivo (a volte sotto questo nome, a volte sotto nomi simili) e spesso
obbligatorio un corso di “Modelli Matematici in Biologia”. Altri corsi non
dissimili sono impartiti nei corsi di Laurea specialistica in Scienze Naturali o
ScienzedellaVita.Aquestadiffusionedelcorsononcorrispondeunaadeguata
disponibilita` di strumenti didattici, in particolare libri di testo, ancor meno
in Italiano.
I non molti testi esistenti, infatti, spesso si limitano a considerare ognuno
un solo aspetto della Biologia, ad esempio la dinamica delle popolazioni o la
diffusione di malattie infettive. (Non si considerano qui i testi di Biomatema-
tica – ad esempio quello di Murray – molto al di la` delle possibilit`a dei nostri
studentiinBiologia,ScienzeNaturalioMedicinaperquantoriguardaillivello
degli strumenti matematici utilizzati.)
D’altra parte, i corsi di base di Matematica impartiti agli studenti in
Biologia nella laurea triennale spesso si limitano alla trattazione del calcolo
differenziale in una dimensione.
Nel progettare il corso di “Modelli Matematici in Biologia” per le lauree
magistrali della classe di Biologia dell’Universita` di Milano1, da cui si `e svi-
luppato questo testo, ho dovuto dunque affrontare diversi problemi tra loro
correlati: (1) Determinare una serie di argomenti che potessero essere di inte-
resse generale ed effettivo per gli studenti in Biologia; (2) Allo stesso tempo,
selezionare argomenti biologici che potessero essere trattati in modo efficace
con degli strumenti matematici non troppo dissimili tra di loro, non troppo
avanzati, ed in buona parte da introdurre nel corso stesso; (3) Offrire (anche)
degli esempi in cui la modellizzazione matematica non si limiti a descrivere
in modo piu` astratto una situazione gia` ben compresa biologicamente, ma in
cui lo strumento matematico possa offrire una comprensione ulteriore e delle
capacit`a di predizione; (4) Evitare di svolgere in effetti un corso di “Metodi
1 Inquestocasositrattaditrelauree:BiologiaEvoluzionistica,BiologiaMolecolare
e Biologia Applicata alla Ricerca Biomedica.
VI
Matematici” (come purtroppo a volte succede, con conseguente scarso inte-
resse da parte degli studenti) anzich´e di “Modelli Matematici in Biologia”.
Lasoluzionechehocercato(allettoregiudicareconquantosuccesso)con-
siste nel selezionare problemi diversi tra loro, da affrontare con metodi mate-
matici abbastanza simili allo scopo di non richiedere troppo sforzo “tecnico”
da parte dello studente.
Ineffetti,buonapartedeimodelliconsideratiinquestovolumesonoformu-
latiinterminidisempliciequazionidifferenzialiordinariedelprimoosecondo
ordine, o sistemi di queste; si `e fatto solo un breve cenno a problemi da trat-
tare con (semplici) equazioni alle derivate parziali. Un capitolo `e dedicato
a problemi con ritardo, non eludibili nelle Scienze della Vita; e nella parte
di teoria dell’Evoluzione – e in un capitolo nella parte di Epidemiologia – si
`e fatto ricorso ad alcuni semplici strumenti di teoria della Probabilita`, che
dovrebbero essere in parte gi`a noti allo studente dai corsi di Statistica.
Perquantoriguardagliargomentitrattati,oltreagliargomenticlassici(di-
namica delle popolazioni, modelli epidemiologici, semplici modelli fisiologici),
hotenutoadinserireunaparterelativamenteampiadedicataallaformulazione
matematica della teoria dell’evoluzione.
Si `e cercato di mostrare in quasi ogni caso come il modello matema-
tico permetta nelle situazioni concrete considerate vuoi una migliore com-
prensione dei meccanismi biologici soggiacenti, vuoi la formulazione di predi-
zioni quantitative – e non solo qualitative – sul comportamento del sistema
biologico.
Cos`ı, per fare solo alcuni esempi, il corso comincia con una Introduzio-
ne dedicata al semplicissimo modello di Ho sull’AIDS e come questo abbia
portato ad un completo stravolgimento delle teorie all’epoca accettate sullo
sviluppo della malattia nel tempo (e dunque aperto la strada allo studio di
terapie efficaci per ritardare lo sviluppo della malattia). Nella parte dedicata
alla dinamica delle popolazioni, si insiste sulla capacita` dei modelli di predire
deicambiamentiqualitativinelladinamicaquandolasituazioneesistentevie-
ne perturbata al di la` di certe soglie. Nella parte dedicata alla dinamica delle
epidemie si discutono le strategie di vaccinazione e la possibilit`a di predire
i picchi delle epidemie e la loro estensione temporale. Nella parte di selezio-
ne/evoluzione si discute come dei cambiamenti dei parametri fenomenologici
(ossiadellecondizionibiologichechequestidescrivono)possanoindeterminati
casi portare a cambiamenti sostanziali.
A partire dall’anno 2004, il contenuto del corso`e stato incluso in dispense
fornite agli studenti di Biologia e Scienze Naturali. Il volume che il lettore ha
inmanorappresental’evoluzionediquestedipense,sperimentate“sulcampo”
(o meglio, trattandosi di Biologia, “in vivo”) dagli studenti dell’Universita` di
Milano negli anni accademici 2004-2005, 2005-2006 e 2006-2007.
Nella concreta realizzazione del volume, le parti dedicate agli strumenti
matematicisono state separate dalla discussione principale e vengonopresen-
VII
tatesottoformadi“complementimatematici”;ci`oalfinedinoninterrompere
ladiscussionedeimodellibiologiciconcapitolidinaturamatematica,dirende-
re piu` attraenteil volumeper degli studentidi Biologia o di Scienze Naturali,
ed anche di rendere piu` facile ad ogni lettore, studente o docente ritagliarsi
un suo percorso all’interno del testo.
Nella scrittura del volume ho abbondato con diagrammi ed illustrazioni,
che credo aiutino molto la comprensione degli argomenti trattati.
Spero che questo volume sia di qualche utilita` per gli studenti impegnati
nell’apprendimento (ed i docenti impegnati nell’insegnamento) dei Modelli
Matematici in Biologia (o piu` in generale in Scienze della Vita), e sopratutto
riesca ad illustrare come un ragionevole sforzo di apprendimento di strumenti
matematici appena piu` avanzati di quelli studiati nei corsi di base permetta
di trattare dei problemi di reale interesse biologico.
Nellatrasformazionedadispenseavolume,comespessoaccade,hoaggiun-
to alcuni capitoli con la discussione di argomenti che avrei voluto affrontare
con gli studenti se al corso fosse stato dedicato un maggior numero di ore, o
chehoaffrontatoinlezionidedicateaglistudentidelCorsodiLaureainMate-
maticaperleApplicazioni.Alcunidiquestiargomentiecapitoli(cheillettore
nonavra`difficolt`aadidentificare)richiedonounaMatematicaleggermentepiu`
avanzata degli altri.
Il risultato di queste aggiunte`e che questo testo contiene troppo materia-
le per un corso di Modelli Matematici della (troppo breve) durata di quelli
abitualmente impartiti agli studenti di Biologia o Scienze Naturali nelle Uni-
versit`a italiane; spero d’altra parte che questa sovrabbondanza permetta ad
ogni docente, studente o lettore di estrarre dal testo la parte piu` corrispon-
dente alle sue priorit`a ed al tempo che intende dedicare allo studio di questi
argomenti. In vista di questa caratteristica, ho cercato di rendere i capitoli
abbastanza indipendenti; naturalmente, cio` ha portato inevitabilmente alla
presenza di alcune ripetizioni, spero non eccessive n`e fastidiose per il lettore.
Il volume`e diviso in quattro parti: la prima di carattere “generale”, com-
preso un capitolo dedicato a problemi che richiedono una modellizzazione in
termini di equazioni differenziali alle derivate parziali2; la seconda a modelli
epidemiologici, e la terza su temi e modelli evoluzionistici.
Inoltreunaquartaparte`ecostituitadai“complementimatematici”,incui
`estatarelegatal’esposizionedelletecnichematematiche;naturalmentequesti
vanno usati in parallelo con il testo principale.
Nonc’`edubbiocheuncerto–speronontroppogrande–numerodierrori,
imprecisioni ed incongruenze sia rimasto nel testo nonostante tutto; ringrazio
in anticipo tutti coloro che me li segnaleranno.
2 Introdottenelcapitolo9enonneicomplementimatematicipersottolinearecome
si tratti di strumenti non necessari per le altre parti del testo.
VIII
Ringraziamenti
Molte persone hanno collaborato, piu` o meno volontariamente, alla prepara-
zione di questo libro, e molte vorrei ringraziare.
Prima di tutto, gli studenti dei corsi di Laurea Specialistica in Biologia
(BIOEVO, BARB e BMC) dell’Universita` degli Studi di Milano che hanno
seguito il mio corso negli anni accademici 2004-2005, 2005-2006 e 2006-2007,
nonch`e quelli del corso di Laurea Specialistica in Analisi e Gestione degli
Ambienti Naturali per l’anno 2006-2007, che hanno funto da cavie per le suc-
cessive stesure delle dispense da cui questo libro `e nato; e che mi hanno se-
gnalato un gran numero di errori, imprecisioni e spiegazioni poco chiare oltre
allanecessit`adiintegrarelaprimaversionedelledispenseconaltromateriale.
Essi hanno inoltre sopportato le ore settimanali di Matematica – spesso poco
amata dagli studenti di Biologia o Scienze Naturali – con una notevole dose
di buonumore, cosa di cui sono loro particolarmente grato.
DevoancheringraziareimieicolleghidelDipartimentodiMatematicadel-
l’Universita`diMilano,chemihannospintoadimpartirequestocorsoapartire
dal2004;edicolleghideiCorsidilaureainBiologiaperavercercatodifarmi
comprendere le esigenze degli studenti a cui le lezioni erano concretamente
rivolte.
E’ doveroso riconoscere anche qui (oltre che in molte note al testo) il
debito che questo volume ha verso il trattato di J.D. Murray, Mathematical
Biology, pubblicato da Springer; alcuni capitoli del volume che avete in mano
possono in effetti essere visti come una introduzione alla trattazione che dei
corrispondenti argomenti fa Murray, ad un livello matematico piu` elevato – il
che rende forse ostica la sua lettura a degli studenti di Biologia – e con uno
stile impareggiabile. La sua lettura `e molto consigliabile a qualsiasi lettore
di questo libro; cio` vale anche per i lettori non propensi a seguire discussioni
matematiche piu` avanzate, grazie alle introduzioni qualitative e storiche ai
vari argomenti.
Infine, un ringraziamento particolare va a Luca Peliti, che`e in molti modi
all’originediquestovolume;siaperaversollecitatoetenutodestoavaristadi
il mio interesse verso tematiche di ordine biologico, che per avermi aiutato a
comprendere alcuni degli argomenti che qui cerco a mia volta di esporre ai
lettori; e non ultimo per avermi incoraggiato in questo progetto.
Milano, aprile 2007 Giuseppe Gaeta
Indice
Introduzione................................................... 1
0.1 Brevi richiami sui meccanismi dell’AIDS.................... 1
0.2 Il modello di Ho......................................... 3
0.3 Qualche considerazione................................... 6
Parte I
Il modello logistico (discreto) .................................. 9
1.1 L’equazione logistica ..................................... 9
1.2 Popolazione di equilibrio ................................. 11
1.3 Stabilita`................................................ 13
1.4 Stabilita` della soluzione nulla ............................. 15
1.5 Stabilita` della soluzione x ................................ 15
e
1.6 Al di l`a della dinamica di equilibrio ........................ 17
1.7 Punti fissi della mappa iterata e loro stabilita` ............... 18
1.8 Un esempio concreto..................................... 22
1.9 Note................................................... 23
Il modello ed i numeri di Fibonacci ............................ 25
2.1 Il modello di Fibonacci................................... 25
2.2 Proprieta` del modello di Fibonacci. Sezione aurea ........... 27
2.3 Modello di Fibonacci ed operazioni matriciali ............... 28
Il modello logistico (continuo) ................................. 31
3.1 Accrescimento Malthusiano in tempo continuo .............. 31
3.2 Il modello logistico continuo .............................. 32
3.3 Soluzione dell’equazione logistica .......................... 33
X Indice
Altre applicazioni della crescita esponenziale .................. 37
4.1 Il Carbonio 14 .......................................... 37
4.2 Livello di glucosio ....................................... 38
4.3 Digestione nei ruminanti ................................. 42
4.4 Altre applicazioni ....................................... 45
Altre applicazioni semplici del modello logistico ............... 49
5.1 Diffusione di una infezione................................ 49
5.2 Autocatalisi ............................................ 52
5.3 Un’estensione dell’equazione logistica ...................... 53
5.4 Cinetica chimica ........................................ 54
5.5 Crescita allometrica...................................... 55
Modelli con ritardo ............................................ 57
6.1 La sindrome respiratoria di Cheyne e Stokes ................ 57
6.2 Equazioni differenziali con ritardo ......................... 60
6.3 Discussione ............................................. 63
6.4 Modello logistico per popolazioni con ritardo................ 64
Popolazioni interagenti ........................................ 67
7.1 Modello lineare.......................................... 68
7.2 Il modello di Lotka-Volterra .............................. 71
7.3 Studio del modello....................................... 72
7.4 Stati di equilibrio........................................ 73
7.5 Stabilita`................................................ 75
7.6 Un sistema con prede, predatori, e competizione............. 77
7.7 Stati stazionari e stabilita` ................................ 77
7.8 Prede, predatori ed umani ................................ 79
Movimento: coordinazione dei neuroni......................... 81
8.1 Il neurone come oscillatore................................ 82
8.2 Due neuroni interagenti: il bloccaggio di fase ................ 85
8.3 Neuroni interagenti ...................................... 88
8.4 Note................................................... 91
Diffusione ..................................................... 95
9.1 Derivate parziali......................................... 95
9.2 L’equazione di diffusione ................................. 96
9.3 Soluzione fondamentale dell’equazione di diffusione .......... 99
9.4 Il limite di concentrazione iniziale infinita...................101
9.5 Soluzione generale dell’equazione di diffusione...............103
9.6 Equazione di reazione-diffusione ...........................104
9.7 Dinamica delle popolazioni e diffusione.....................107
Indice XI
Parte II
Malattie infettive: il modello SIR ..............................109
10.1 I modelli SIR ...........................................109
10.2 Parametri fondamentali per il controllo di un’epidemia .......113
10.3 Modelli e dati effettivamente disponibili ....................117
Malattie infettive senza immunit`a permanente.................121
11.1 Immunita` temporanea: il modello SI(R) ....................121
11.2 Nessuna immunita`: modello SI ............................124
11.3 Patologie da ambiente esterno.............................126
11.4 Tempo di latenza e modelli con ritardo.....................127
11.5 Modello SI con ritardo ...................................128
Fluttuazioni nei modelli epidemiologici ........................131
12.1 Processi e matrici di Markov in breve ......................132
12.2 Modello esterno .........................................134
12.3 Modello SI .............................................136
12.4 Simulazione stocastica del processo SI......................137
12.5 Potenziale effettivo per un processo stocastico...............138
12.6 Il processo SIR..........................................141
12.7 Processo SI(R) ..........................................142
Parte III
Competizione e cooperazione ..................................145
13.1 Competizione interspecie ed intraspecie ....................145
13.2 Il principio dell’esclusione competitiva......................147
13.3 Cooperazione ...........................................152
Adattamento all’ambiente .....................................155
14.1 Introduzione ............................................155
14.2 Fitness.................................................157
14.3 Evoluzione delle frequenze ................................157
14.4 Competizione globale per le risorse ........................158
14.5 Il teorema di Fisher......................................159
14.6 Osservazioni ............................................161
Competizione ed equilibri evolutivi ............................163
15.1 Introduzione ............................................163
15.2 Teoria dei giochi ........................................165
15.3 Falchi e colombe ........................................166
15.4 Equilibrio in generale ....................................169
15.5 Stabilita`................................................170