Table Of ContentLecture Notes ni Mathematics
A collection of informal reports and seminars
Edited yb .A Dold, Heidelberg and .B Eckmann, hciri~Z
Series: Mathematisches Institut, Universit~it Bonn (cid:12)9 Adviser: .F Hirzebruch
37
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Seminar for Logik und Grundlagen-
forschung der Universit~t Bonn
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Widerspruchsfreiheit und Unabh~ngigkeit der
Kontinuum-Hypothese und des Auswahlaxioms
Ausgearbeitet yon Franz .Iosef Leven
1967
Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. New kroY
All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either
whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without
written permission from Springer Verlag. ~ by Springer-Verlag Berlin" Heidelberg 1967.
Library of Congress Catalog Card Number 67-29185 Printed in Germany. Title No. 7357.
LE I T F A D E N
mm I
J
11.II. Die Metasprache I
I
I .IV. Absolutheit und Definierbarkeit (I. - 9. )
2.I. Die COHENsche Erzwingungsmethode I.IV. Absoluth. u. Defbarkeit (10.)
2.II. LSsung der Frage von ADDISON
2.III. Die Erzwingungsbeziehung als
1.V. Innere Modelle
Booleschwertige Wahrheitsdefinition
2.IV. ~- wertige Modelle I.VI. Das Konstruktible Modell
2.V. Generische Modelle
Anhang zu 2.VI. Die konstruktible
2.VI. Maximale innere (cid:12)9 - Modelle
Abschliessung eines ~ - Modells
2.VII. Unabhangigkeit von V ~ L Anhang zu 2.VII. Generische Zahlen
2.X. Unabhangigkeit des Auswahlaxioms
2.IX. Einbettungssatz f~r ZF - Modelle
2.VIII. Unabhangigkeit der Kontinuum - Hypothese
EI N L E I T U N G
|
Cantors Aufbau der Nengenlehre kann als ein konsequenter Versuch auf-
gefasst werden, unsere i~schauungen bez~glich des Bereichs der endlichen
Mengen auf Bereiche zu ~bertragen, die unendliche Mengen enthalten. Als
Postulate f~r diese infinitistischen Bereiche sucht man kombinatorische
Prinzipien, die "moglichst fundamental" (insbesondere nicht an die EDAlich-
keit gebun~en) sind. Das Prinzip "das Bild einer endlichen Menge ist
endlich" liefert z.B. das Ersetzungsaxiom. Es gibt andere kombinatorische
Prinzipien, die offensichtlich nicht ~bertragungsf~hig sind (wie z.B.
m+ I > m fur Kardinalzahlen m) . Es wird abet kaum ~berraschen, dass
zwischen diesen Extremen eine - fein schattierte - Klasse yon mehr oder
weniger zweifelhaften Annahmen liegt, bei denen man schwer entschelden kann,
ob sie "an die Endlichkeit gebunden" sind. Ein klassisches Beispiel hierfur
ist das Auswahlaxiom, das ja yon hervorragenden Mathematikern abgelehnt
worden ist. Da im Unendlichen doch nicht alles so verl~uft wie im Endlichen,
gibt es auch neue Probleme, die im Bereich der endlichen Mengen kein Analogon
finden - wie z.B. das Kontinuum- Problem. Auch hier besteht die Frage, ob
die Prinzipien, die wit aus dem Bereich endlicher Mengen abstrahiert haben,
ausreichen, um dieses Problem zu entscheiden.
Diese beiden Fragen, ob die "harmlosen" Axiome der Mengenlehre aus-
reichen, um das Auswahlaxiomund die Kontinuum- Hyp.othese zu entscheiden,
blieben sehr lange offen. Unter Verwendung eines Ansatzes von Fraenkel ist
es Mostowski in "~ber die Unabh~ngigkeit des Wohlordnungssatzes vom Ordnungs-
prinzip" (Fund.Math. XXXII (1939)) gelungen, die Nichtherleitbarkeit des
Auswahlaxioms zu beweisen f~ eine abgeschwachte Mengenlehre, die die
Existenz belieblg vieler Urelemente zul~sst. Die Frage, ob das Auswahlaxiom
auch von den Axiomen der vollen Zermelo- Fraenkelschen Mengenlehre unab-
hangig ist, blieb lange unbeantwortet~ Im Jahre 1939 gelang es Godel, zu
zeigen, dass das Auswahlaxiom und die Kontinuum- Hy~othese mit den ZF-Axiomen
vertraglich sind. GSdel bediente sich der Methode der inneren Modelle ;
d.h. er konstruierte in kanonischer Weise zu einem beliebigen Modell M der
ZF - Axiome ein in M transitives Submodell L C M derart, dass in L nicht
nut die ZF - Axiome, sondern auch die beiden fraglichen Prinzipien gelten.
Doeh schon der Erfolg des GSdelschen Beweises zeigte, dass mit dieser
Methode allein nicht viel mehr zu erreichen war~ Mit derselben Methode
konnte man zeigen, dass ein kleinstes transitives inheres Modell L C M
existiert ( dieser Sachverhalt wurde unabh~ngig von Shepherdsonund Cohen
bemerkt ) . Auf L* angewandt konnte die Methode der inneren Modelle nur L ~
selbst wiedergeben. Hatte man also mit dieser Methode die Widerspruchs -
freiheit einer Aussage ~ relativ zu den ZF - Axiomen bewiesen, so war es
nicht mehr moglich, die Widerspruchsfreiheit von ~ ~ mit derselben
Methode zu beweisen. Der Beweis daf~r, dass das Auswahlaxiom bzw. die
Kontinuum - Hypothese von den ZF - Axiomen unabh~ngig ist, erforderte einen
wesentlich neuen Ansatz. Erst im Jahre 1963 ist es Paul Cohen gelungen,
einen solchen Beweis zu erbringen. In Cohens Methode wird Jedem ZF - Modell
M und Jeder Booleschen Algebra ~ E M, die im Sinne von M vollst~ndig ist,
ein ~ - werti~es Modell ~zugeordnet. Mist echt einbettbar in ~ .
Andererseits ist ~ - wie die fruheren inneren Modelle - beschreibbar in N.
Bei geeigneter Wahl yon ~ ergibt sich dann, dass in ~sowohl die
ZF - Axiome als auch die Negation der fraglichen Aussage gelten.
Im WS/SS 1965 - 66 habe ich in Bonn in einem Kolloquium von
Prof. G. Hasenjaeger eine Vortragsreihe ~ber diese Fragen gehalten.
Mein HSrer, Herr Leven, hat nun mit exemplarischer Klarheit und Ausf~hrlich-
kelt eine Ausarbeitung dieser Vortr~ge geschrieben. In Tell I , Kapitel I
f~rt Herr Leven den ZF - Formalismus ein. In den Kapiteln II - IV stellt
er eine Reihe von Begriffsbildungen un~ Hilfssatzen zusammen, die f~r die
modelltheoretische Untersuchung der Mengenlehre notig sind. Dieser Teil
ist in Herrn Levens Darstellung ausfuhrlicher als in meinen Vortr~gen und
tragt wesentlich zum Verstandnis der sp~teren Kapitel bei. In Kapitel V
wird die Methode der "konstruktiblen Abschliessung" eingef{Lhrt ; in KapitelVI
wird dann GSdels konstruktibles Modell L untersucht und der Nachweis daf~r
erbracht, dass in diesem Modell das Auswahlaxiom und die allgemeine
Kontinuum - Hypothese gelten. Auch hier hat man Herrn Leven daf~r zu danken,
dass die Beweisfuhrung an vielen Stellen ausf~hrlicher und ~bersichtlicher
geworden ist als in meinen urspr{inglichen Vortr~gen.
Ich habe in meinen Vortr~gen stets modelltheoretisch gearbeitet, wobei
ich vorausgesetzt habe, dass ein nat~rliches ZF - Modell existiert. Dies hat
den Vorteil, dass die Struktur der Beweise deutlicher wird, andererselts
abet den Nachteil, dass mehr vorausgesetzt wird als eigentlich notlg ist a
Es ist grunds~tzlich mSglich, mit rein syntaktlschen Mitteln die Wider -
spruchsfreiheit bzw. die Unabhangigkeit der fraglichen Axiome relativ zu
den ZF - Axiomen zu beweisen. Herr Leven hat den modelltheoreti~hen Rahmen
beibehalten; jedoch deutet er in VI.3. an, wie der Widerspruchsfreiheits-
beweis fur die Kontinuum - Hypothese in einen syntaktischen Beweis umgewan-
delt werden kann.
Im zweiten Tell dieser Ausarbeitung wird die Methode von Cohen untersucht.
In den Kapiteln Iund II wird anhand eines yon Addison gelSsten Problems der
Rekursionstheorie die ursprungliche Cohensche "Erzwingungsmethode" entwickelt
und motivlert. In Kapitel III zeigt Herr Leven, dass die Erzwingungsbezie-
hung im wesentlichen eine Boolesche Wahrheitsbewertung der Aussagen ist
(wie zuerst yon Solovay bemerkt wurde ) . In den Kapiteln IV - VI entwickelt
er dann die Theorie der " maximalen inneren B - Modelle " (die im wesent-
lichen yon Dana Scott stammt) . In elnem Anhang wird diese Methode mit der
urspr~nglichen Cohenschen Konstruktion vergllchen, in der die konstruktible
Abschliessung noch eine wichtige Rolle spielt; es zeigt sich, dass beide
Konstruktionen zum gleichen Modell f~_hren. In den Kapiteln VII - X wird dann
die Methode der maximalen ~ - Modelle benutzt, um verschiedene Unabh~ngig-
keitsresultate zu beweisen. (gs sei jedoch betont, dass wit in diesem
Skriptum nut einen kleinen Bruchteil der seit 1963 gebrachten Anwendungen
der Cohenschen Methode diskutieren konnten!) Die Anhsnge zu den Kapiteln
VI und VIII sowie der Nachweis der Unabh~ngigkeit des Auswahlaxioms slnd von
mir geschrieben worden. Diese Themen konnte ich in meinen Vortr~gen nicht
mehr behandeln.
Zahlreiche Leute haben mit Vorschlagen und Kommentaren zur Entstehung
dleses Buches beigetragen. Insbesondere mSchte ich Prof. G. H. Muller danken,
der auf einer von lhm geleiteten Tagung 1965 in Oberwolfach und auch sp~ter
zahlreiche Anregungen gegeben hat. Auch danke ich Prof. Solovay, mit dem ich
auf jener Tagung wertvolle Unterhaltungen hatte. Mit Prof. Hasenjaeger, der
mir die Gelegenhelt gegeben hat, die Vortrage zu halten, die diesem Buch
zugrunde liegen, habe ich auch viele anregende Diskusslonen gehabt.
Dr.A. Prestel hat Kapitel I-IV von Teil Iund Kapitel I-VII yon Tell 2
sorgf~ltig gelesen und dabei eine Reihe Unklarhei~en ausgebessert. Ich danke
auch den Herren Felgner, Potthoff und SchrSder sowle Frl. Holt, die uns
ebenfalls auf Unklarheiten und Fehler aufmerksam gemacht haben. Frl. HSft
hat ausserdem mit grosset Sorgfalt und Gewissenhaftigkeit das Manuskript
getippt. Nicht zuletzt mochte ich Dr. K. Peters ( Springer - Verlag ) f~r
seine freundliche Unterst~tzung bei der Herstellung dieses Buches danken.
Ronald Jensen
Bonn, Juni 1967
I NHAL T SVER Z E I C HN I S
Tel 1
I
I. D~s System ZF ........................................... 1
I. Die Formale 8prache ................................. i
2. Axiome von ZF ....................................... 5
3. Rekursionstheoreme .................................. 6
4. 0rdinale Begriffe ................................... 11
5. Kardinale Begriffe .................................. 14
II. Die Metasprache . ........................................ 16
III. Modelle ................................................. 19
I. Definition der M-Wahrheit ........................... 19
2. Isomorphiesatz von Mostowski ........................ 21
3. Satz von LSwenheim - Skolem ......................... 23
IV. Absolutheit und Definierbarkeit ......................... 24
I. Absolutheiten ....................................... 24
2. Nachweis der ZF - Axiome (AI,A2,AT)~(A3,A~) ......... 26
3. Absolutheiten ....................................... 28
Q. Nachweis der ZP - Axlome (AS,A6) .................... 29
5. Ordinale Absolutheiten , ............................. 30
6. Nachweis yon A8 ..................................... 31
7. Absolutheit der Fundierung .......................... 31
8. Rekursionstheorem f~r M-deflnierbare Funktlonen ..... 33
9. Kardinale Absolutheiten ............................. 3~
10. M-Definierbarkeit der syntaktischen und semantischen
Begriffe ............................................ 35
( A ) Syntaktische Begriffe ....................... 35
( B ) 8emantische Begriffe ........................ 41
V. Innere Modelle ............................................... 45
I. GSdels LSsung der Aufgabe ................................ 45
2. Verallgemeinerung der GSdelschen Losung .................. 46
3. Nachweis der ZF - Axiome f~r N ........................... 48
.I Aufbau der verzweigten Sprache ........................ 48
2. Definition der Wahrheit f~r verzweigte Aussagen ....... 50
3. Gleichwertigkeit von =I N , I= N ................... 53
4. M-Definierbarkeit der verzweigten Syntax und Semantik . 54
5. Hauptsatz ............................................. 58
6. Nachweis der ZF - Axiome fur N ........................ 59
VI. Das konstruktible Modell ..................................... 67
I. Nachweis des Auswahlaxioms ............................... 68
2. Nachweis der Allgemeinen Kontinuum - Hypothese ........... 17
I. Beweisskizze .......................................... 27
2. Detaillierter Beweis .................................. 37
3. Anhang ................................................ 87
3. Der Godelsche Beweis und die vereinfachte Version von
C. Karp .................................................. 8O
Te i i 2
I. Die Cohensche Erzwingungsmethode ............................. 83
Begrlff der Erzwingung ................................... 83
2. Motivation des Begriffs .................................. 84
I. Definition der Erzwingungsbeziehung ................... 87
2. Lemmata ............................................. .. 88
Hauptsatz ................................................ 98
@
4. Vollstandigkeitssatz der Erzwingungsbeziehung ............ 92
5. Gn n Arith = ~ .......................................... 92
Anhang zu I. 95
o o o o o o o e e o g e e ~ l o o ~ D o e o o o o o e o o e o o o e o e o o ~ e o o o o o @ O O
II. LBsung der Frage von Addison ...................................... 97
III. Die Erzwin~unssbeziehun~ als Booleschwertlge Wahrheitsdefinition .. 100
IV. . - werti~e Modelle ............................................... 104
Identitatsmodelle ................................................. 105
- Modelle 105
e e o e e e o e o o o e o e o o e o l o o u e o o e o o o e o e e o o e e o e o e e o o e e e o o e o o e o o
Inhere Modelle .................................................... 408
Definierbarkeitslemma ............................................. 109
V. Generische Modelle ................................................ 411
I. Generische Modelle ............................................ I 11
2. Vollstandigkeitssatz f~r generische Modelle ................... 414
3. Die naturliche Projektion ..................................... 115
4o Transitive 8ubmodelle ......................................... 116
VI. Maximale inhere ~ - Modelle ....................................... 418
I. Existenz von maximalen inneren~ - Modellen ................... 118
2o Nachweis der ZF - Axiome ...................................... 123
Anhang zu VI.~ Die konstruktible Abschliessung eines ~ - Nodells .. 427
VII. Unabhan~i~keit_von V ~ L ......................................... ~34
Anhang zu VII. s Generische Zahlen ................................ 136
VIII. Unabhan~i~keit der Kontinuum - Hypothese .......................... 145
IX. Einbettun~ssatz f~r ZF - Modelle .................................. 155
X. Unabhangigkeit des Auswahlaxioms .................................. 459
Literaturverzeichnis .............................................. 168
Verzeichnis der verwendeten B~mbole ............................... I 70
Bach - und Namensverzeichnis ...................................... 172
