Modélisation et évaluation quantitative des risques en actuariat: Modèles sur une période

484 Pages·2013·30.48 MB·French

by  Étienne Marceau (auth.)

Collection
Σ Statistique
etprobabilités
appliquées Etienne Marceau
Modélisation
et évaluation
quantitative des
risques en actuariat
Modèles sur une période
Springer
Modelisation
et evaluation quantitative
des risques en actuariat
Modeles sur une periode
Springer
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Etienne Marceau
Modelisation
et evaluation quantitative
des risques en actuariat
Modeles sur une periode
~ Springer
Etienne Marceau
Ecole d' actuariat
Faculte des Sciences et de Genie
Universite Laval
2425, rue de l'Agriculture
Pavillon Paul-Comtois, local 4177
Universite Laval
Quebec (Quebec) G 1V OA6
Canada
ISBN 978-2-8178-0111-7 Springer Paris Berlin Heidelberg New York
© Springer-Verlag France, 2013
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Collection
Statistique et probabilites appliquees
dirigee par Yadolah Dodge
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Departement de mathematiques Departement de mathematiques
et de statistique Universite de Fribourg
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Departement de mathematiques Ecole Polyt echnique Federale
et de statistique de Lausanne
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Canada Suisse
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Universite libre de Bruxelles Departement de mathematiques
Campus de la Plaine et de statistique
CP 210 Universite Laval
1050 Bruxelles Quebec G 1V OA6
Belgique Canada
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Dans la meme collection:
Statistique. La theorie et ses applications
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Le choix bayesien. Principes et pratique
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Regression. 1heorie et applications
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Le raisonnement bayesien. Modelisation et inference
Eric Parent, Jacques Bernier, juillet 2007
Premiers pas en simulation
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Genetique statistique
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Maztriser l'aleatoire. Exercices resolus de probabilites et statistique, ? edition
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Pratique du calcul bayesien
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Statistique. La theorie et ses applications, ? edition
Michel Lejeune, septembre 2010
Le logiciel R
Pierre Lafaye de Micheaux, Remy Drouilhet, Benoit Liquet, novembre
2010
Probabilites et processus stochastiques
Yves Caumel, avril 2011
Table des matieres
1 Quelques notions de la theorie des probabilites 1
1.1 Introduction. 1
1.2 Variables aleatoires . 3
1.2.1 Definitions 3
1.2.2 Variables aleatoires discretes 4
1.2.3 Variables aleatoires continues 5
1.3 Esperance d'une variable aleatoire 6
1.3.1 Definition 6
1.3.2 Esperance d'une fonction 7
1.3.3 Moment d'ordre n 8
1.3.4 Esperance d'une fonction indicatrice 8
1.3.5 Integrale de Riemann - Stieltjes 9
1.4 Esperance tronquee . 9
1.4.1 Definition 9
1.4.2 Exemples 10
1.5 Variance. 13
1.5.1 Definition 13
1.5.2 Ecart type. 14
1.5.3 Coefficient de variation 14
1.6 Moments centres 14
1.7 Coefficient d'asymetrie . 15
1.8 Fonction generatrice des moments 16
1.9 Fonction generatrice des probabilites 17
1.10 Fonction quantile . 17
1.10.1 Definition de base 17
1.10.2 Variables aleatoires continues 18
1.10.3 Variables aleatoires discretes 19
1.10.4 Cas non standards 19
1.10.5 Deuxieme definition 20
1.10.6 Proprietes de la fonction quantile 21
1.11 Mesures de risque VaR et TVaR 23
1.11.1 Definitions 23
1.11.2 Proprietes 25
1.11.3 Exemples 26
Vll
viii TABLE DES MATIERES
1.11.4 Multiplication par un scalaire negatif . 28
1.12 Fonction stop-loss et esperance limitee 32
1.12.1 Definitions 32
1.12.2 Exemples 33
1.13 Fonction d'exces-moyen 34
1.13.1 Definition 34
1.13.2 Exemples 35
1.14 Lois conjointes de n variables aleatoires 35
1.14.1 Definitions et proprietes 35
1.14.2 Variables aleatoires a support denombrable 38
1.14.3 Variables aleatoires continues 39
1.15 Covariance et correlation lineaire 39
1.16 Esperance conditionnelle . 42
1.17 Quelques for mules utiles 43
1.17.1 Formule de l'esperance totale 43
1.17.2 Formule de la variance totale 44
1.17.3 Formule de la covariance totale 44
1.17.4 Formule des probabilites totales . 45
1.18 Construction de distributions avec melange 45
1.19 Somme et difference de v.a. independantes . 47
1.19.1 Somme de 2 v.a. discretes independantes . 48
1.19.2 Somme de 2 v.a. continues independantes 49
1.19.3 Somme de v.a. et f.g.m. 50
1.19.4 Difference de 2 v.a. discretes independantes 52
1.19.5 Difference de 2 v.a. continues independantes . 52
1.20 Notes bibliographiques 53
1.21 Exercices 53
1.22 Reponses 57
2 Modelisation des risques 61
2.1 Introduction. 61
2.2 Modele stochastique pour un risque X 62
2.2.1 Modele general pour X 62
2.2.2 Esperance de X 63
2.2.3 Variance de X 63
2.2.4 Fonction de repartition de X 64
2.2.5 Esperance tronquee de X 64
2.2.6 Mesure TVaR . 65
2.2.7 Fonction generatrice des moments 65
2.3 Distributions de frequence 66
2.3.1 Loi de Poisson 66
2.3.2 Loi binomiale . 67
2.3.3 Loi binomiale negative 68
2.3.4 Comparaison des variances des trois lois composees . 68
2.4 Distributions du mont ant d'un sinistre 69
TABLE DES MATIERES ix
2.4.1 Loi exponentielle . . . 69
2.4.2 Lois gamma et Erlang 70
2.4.3 Loi lognormale . . . . 72
2.4.4 Loi Wei bull . . . . . . 72
2.4.5 Lois Pareto, Burr et F-generalisee 73
2.4.6 Lois melanges d'exponentielles et d'Erlang . 74
2.4.7 Comparaison des lois gamma, lognormale et de Pareto 74
2.5 Distributions de sinistres light et heavy tailed 76
2.5.1 Existence de la f.g.m. ..... 76
2.5.2 Fonction d'exces-moyen . . . . 76
2.5.3 Distribution sub-exponentielle . 77
2.6 Approches indemnitaire et forfaitaire 77
2.6.1 Approche indemnitaire . 78
2.6.2 Approche forfaitaire . . . . . 79
2.6.3 Remarques .. . . . . . . . . 79
2.7 Generalisation des principales lois de frequence 79
2.7.1 Lois Poisson-melange. . . . . . . . . . . 79
2.7.2 Loi Poisson-gamma ou binomiale negative 80
2.7.3 Loi Poisson-inverse gaussienne 84
2.7.4 Loi Poisson-lognormale 84
2.7.5 Modification de la masse a 0 85
2.8 Somme aleatoire et allocation ... . 85
2.9 Pertes financieres .......... . 87
2.10 Pertes financieres vs coUts en assurance 90
2.11 Notes bibliographiques 93
2.12 Exercices 93
2.13 Reponses 98
3 Mutualisation des risques 103
3.1 Introduction ...... . 103
3.2 Agregation des risques . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.1 Definitions et caracteristiques de base 104
3.2.2 Methodes d'agregation 105
3.3 Agregation et cas particuliers . . . . . . 106
3.3.1 Loi Poisson composee ..... . 107
3.3.2 Loi binomiale negative composee 108
3.3.3 Loi binomiale composee . 109
3.4 Mesures de risques et proprietes. . . . . 109
3.4.1 Contexte ............ . 109
3.4.2 Proprietes desirables et coherence. 110
3.4.3 Autres proprietes desirables 112
3.4.4 Mesure VaR ............ . 112
3.4.5 Mesure TVaR ........... . 113
3.4.6 Mutualisation et mesures de risque 115
3.5 Mesure de solvabilite sur une periode ... 116