Modélisation et analyse mathématique de systèmes dynamiques en épidémiologie. Application au ...

238 Pages·2011·5.4 MB·French

Modélisation et analyse mathématique de systèmes
dynamiques en épidémiologie.Application au cas du
Chikungunya
Djamila Moulay
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Djamila Moulay. Modélisation et analyse mathématique de systèmes dynamiques en épidémiolo-
gie.Application au cas du Chikungunya. Mathématiques [math]. Université du Havre, 2011. Français.
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´
UNIVERSITE DU HAVRE
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THESE
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DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DU HAVRE
Discipline : Math´ematiques Appliqu´ees
Djamila Moulay
le 26/09/2011
Mod´elisation et analyse math´ematique
de syst`emes dynamiques en ´epid´emiologie.
Application au cas du Chikungunya.
Pr´esident :
Pierre Auger Directeur de recherche, IRD, Bondy
Rapporteurs :
Jean-Claude Desenclos Directeur scientifique de l’Institut de
Veille Sanitaire (InVS)
Jean-Pierre Franc¸oise Professeur`al’Universit´ePierreetMarie
Curie, Paris 6
Pierre Magal Professeur `a l’Universit´e de Bordeaux 2
Examinateurs :
Gauthier Sallet Professeur `a l’Universit´e Paul Verlaine,
Metz
Adnan Yassine Professeur `a l’Universit´e du Havre
M. A. Aziz-Alaoui Professeur `a l’Universit´e du Havre (Di-
recteur)
Co-Encadrant :
Martin Cadivel Maˆıtre de conf´erence `a l’Universit´e du
Havre

Table des mati`eres
Table des mati`eres i
Table des figures iii
Liste des d´efinitions v
Introduction 1
1 Les mod`eles compartimentaux 5
1.1 Quelques mod`eles en dynamique de population . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mod`ele de transmission de maladie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Epid´emiologie du chikungunya 21
2.1 Situation ´epidemique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Le vecteur de la maladie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Le cycle du chikungunya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Les techniques de lutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Mod`ele structur´e : application `a la transmission du chikungunya 35
3.1 Mod´elisation de la dynamique de croissance du moustique Aedes al-
bopictus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 E´tude du mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Mod`elededynamiquedetransmissionduvirus`alapopulationhumaine 54
3.4 E´tude pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Contrˆole du syst`eme 83
4.1 Un mod`ele de contrˆole optimal pour le chikungunya . . . . . . . . . 83
4.2 Existence et caract´erisation d’un contrˆole optimal . . . . . . . . . . . 87
4.3 R´esolution num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
i
Table des mati`eres
5 Mod`ele de m´etapopulation 101
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2 Concept g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Mod`ele g´en´eral de mobilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 Application au mod`ele de transmission du chikungunya . . . . . . . 107
5.5 Simulations num´eriques du mod`ele (5.6) . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6 R´esultats et analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Mod`eles `a retard 143
6.1 1er mod`ele de dynamique de croissance du moustique. . . . . . . . . 143
6.2 Mod`ele avec double auto-r´egulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3 Mod`ele de transmission de la maladie . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Conclusion et perspectives 179
A Outils Math´ematiques Fondamentaux 183
A.1 R´esultats fondamentaux pour les ´equations diff´erentielles. . . . . . . 183
A.2 Introduction `a la th´eorie de stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.3 Th´eorie des syst`emes comp´etitifs et coop´eratifs . . . . . . . . . . . . 196
A.4 Introduction `a la th´eorie du contrˆole optimal . . . . . . . . . . . . . 203
A.5 Rappels sur les ´equations `a retards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Bibliographie 223
ii
Table des figures
1.1 Diagramme de transmission du mod`ele SI. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Diagramme de transmission du mod`ele SIR. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Plateau Makonde, qui correspond `a l’actuelle Tanzanie. . . . . . . . . . 22
2.2 D´ec`es caus´es par des arboviroses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Distribution du chikungunya dans les pays ou` la maladie est end´emique. 24
2.4 E´volution en Afrique et Asie des ´epid´emies de chikungunya. . . . . . . . 24
2.5 R´epartition par pays d’Aedes albopictus dans le monde. . . . . . . . . . 25
2.6 Structure du virus chikungunya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Courbe ´epid´emique du chikungunya,ˆıle de La R´eunion, 2005-2006. . . . 27
2.8 Les 4 stades du cycle de d´eveloppement du moustique. . . . . . . . . . . 28
2.9 Sch´ematisation du cycle de d´eveloppement du moustique. . . . . . . . . 28
2.10 Cannibalisme chez les larves Aedes albopictus. . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.11 Sch´ema de transmission d’une maladie vectorielle. . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Mod`ele structur´e par classe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Portrait de phase cas r < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Portrait de phase cas r > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Diagramme de transmission du virus chikungunya entre les populations
de moustiques et d’humains.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Solutions num´eriques du syst`eme (3.10 (b)). . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 S´erie temporelle et diagramme de bifurcation pour le syst`eme (3.17). . . 78
4.1 Contrˆole, sc´enario 1 : r < 1, R < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
0
4.2 Contrˆole, sc´enario 2 : r < 1, R > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
0
4.3 Contrˆole, sc´enario 3 : r > 1, R < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
0
4.4 Contrˆole, sc´enario 4 : r > 1, R > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
0
5.1 Estimation carroy´ee de la population de l’ˆıle de La R´eunion en 2007,
selon l’INSEE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 L’ˆıle de La R´eunion mod´elis´ee par OpensStreetMap. . . . . . . . . . . . 122
iii
Table des figures
5.3 Comparaison des variations de densit´e de nœuds en fonction du r´eseau
routier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 Comparaison entre r´epartition r´eelle de la population et le mod`ele d’in-
tersections du r´eseaux routier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Sch´ema de construction des diff´erentes ´etapes du r´eseau . . . . . . . . . 125
5.6 D´ecomposition de Vorono¨ı de l’environnement. . . . . . . . . . . . . . . 127
5.7 Mobilit´e humaine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.8 Mobilit´e des moustiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.9 Effet de diffusion du r´eseau de m´etapopulation. . . . . . . . . . . . . . . 133
5.10 Effet de la mobilit´e des moustiques sur l’´evolution de l’´epid´emie. . . . . 135
5.11 Effet de la mobilit´e humaine sur l’´evolution de l’´epid´emie. . . . . . . . . 136
5.12 Effet des param`etres β et β sur la s´eropr´evalence du chikungunya. Le
H M
nombre d’humains infect´es varient fortement suivant les valeurs de ces
param`etres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.13 Nuage de points des valeurs des param`etresβ et β . . . . . . . . . . . 138
H M
5.14 Comparaisondelas´eropr´evalencer´eelledel’´epid´emiedechikungunyade
2005/2006 de l’ˆıle de la R´eunion avec notre mod`ele. . . . . . . . . . . . 140
6.1 Racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.1) autour du point
d’´equilibre trivial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2 Racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.1) autour du point
d’´equilibre end´emique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3 Racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.5) autour du point
d’´equilibre trivial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4 Racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.5) autour du point
d’´equilibre end´emique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.5 S´erie temporelle du mod`ele EDR sans capacit´e d’accueil sur les œufs . . 162
6.6 S´erie temporelle du mod`ele EDR avec capacit´e d’accueil sur les œufs . . 163
6.7 S´erie temporelle syst`eme (3.1) et (6.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.8 Racines de l’´equation caract´eristique du syst`eme (6.15) autour du point
d’´equilibre trivial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.1 Translation d’un segment de longueur τ sur [ τ,0]. . . . . . . . . . . . . 215
−
iv
Liste des d´efinitions
5.2.1 M´etapopulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.1.1 E´quation diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.1.2 Solution locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
A.1.3 Prolongement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.1.4 Solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.1.5 Solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.1.6 Orbite p´eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.1.7 Ensembles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.1.8 Probl`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.1.9 Locale lipschitziennit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.1.11 Globalement Lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.1.12 Unicit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.1.13 Unicit´e locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.1.14 Flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.1.17 Solution p´eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.1.18 Orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.2.1 Point d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.2.2 Stabilit´e au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.2.3 Stabilit´e asymptotique locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.2.4 Stabilit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.2.6 D´eriv´ee totale ou orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A.2.7 Stabilit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2.8 Stabilit´e globale asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2.9 Ensemble invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2.10 Bassin attracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.3.10 Syst`eme comp´etitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.3.12 Stabilit´e orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.3.13 Stabilit´e orbitale asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.3.14 Stabilit´e orbitale asymptotique en phase . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.3.15 k i`eme compos´ee additive de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 202
−
v
Liste des d´efinitions
A.4.1 application entr´ee-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.4.2 Syst`eme lin´earis´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.4.3 ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.4.5 Fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
A.4.6 Contrˆole singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
vi
Introduction
Comme le pr´evoyait Charles Nicolle d`es 1930 dans son livre, Naissance, vie et
mort des maladies infectieuses [73] :
« Il y aura des maladies infectieuses nouvelles [...] qui apparaˆıtront comme Mi-
nerveapparut,sortietoutearm´eeducerveaudeJupiter...Pourqu’onlareconnaisse
plus vite, il faudrait que l’infection nouvelle soit [...] dou´ee d’un pouvoir marqu´e de
contagiosit´e, telle autrefois la syphilis `a son d´ebarquement en Europe. »
Depuis, sont apparues ou r´e-apparues un bon nombre de maladies, telels que
le SIDA, la maladie de Lyme, le Chol´era, la Dengue ou plus r´ecemment le chi-
kungunya. On parle alors de maladies ´emergentes ou r´e-´emergentes. S. Morse est
`a l’origine de ce concept d’« Emerging infectious diseases » qu’il a introduit et
contribu´e `a faire connaˆıtre lors d’une conf´erence sur les virus ´emergents qu’il a
organis´e en 1989. L’´etude des maladies ´emergentes est de ce fait relativement r´e-
cente (ann´ees 1990). Ce ph´enom`ene n’est n´eanmoins pas nouveau et de nombreux
facteurs, tels que les changements climatiques, l’intensification des ´echanges et des
voyages, favorisent l’extension, le maintien ou l’´emergence de nombreuses maladies
infectieuses. L’agent infectieux, comme tous les ˆetres vivants, s’adapte et ´evolue en
fonction des modifications de son environnement. Le virus du chikungunya transmis
par les moustiques du genre Aedes n’´echappe pas `a la r`egle. Le pic d’´epid´emie de
chikungunya rencontr´e en 2005-2006 sur l’ˆıle de La R´eunion, ayant touch´e un tiers
de la population totale de l’ˆıle, en t´emoigne. En effet, une mutation g´en´etique du
virus aurait permis une meilleure adaptation de celui-ci au moustique Aedes Albo-
pictus. La capacit´e vectorielle du moustique est ainsi amplifi´ee puisque cette souche
de virusmut´e seretrouvedansles glandes salivairesdumoustique seulement2 jours
apr`esl’infection,contre7joursinitialement.Deplus,cemoustiquead´evelopp´eaufil
des ann´ees une capacit´e d’adaptation aux r´egions non tropicales assez importante,
se retrouvant, par exemple, en Italie et en France. Une autre capacit´e d’adaptation
de ces agents infectieux r´eside dans leur capacit´e de se transmettre d’une esp`ece
a une autre, traversant ainsi la barri`ere de l’esp`ece. A l’heure actuelle, il n’est pas
possible de pr´edire l’´emergence de nouveaux ´ev´enements, ceux-ci pouvant ˆetre plus
1