Modélisation et algèbre

250 Pages·2008·11.97 MB·French

Guide
d’enseignement
efficace des
mathématiques
4e 6e
de la à la année
Modélisation et algèbre
2008
Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année
Modélisation et algèbre
Le Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année –
Modélisation et algèbre comprend notamment une introduction, une description
de la grande idée Relations ainsi qu’une situation d’apprentissage pour chaque
année d’études au cycle moyen.
Guide
d’enseignement
efficace des
mathématiques
4e 6e
de la à la année
Modélisation et algèbre

Table des MaTières
PRÉFACE 3
INTRODUCTION 5
ENsEIgNEmENT EFFICACE DE l’AlgèbRE 7
Processus fondamentaux .......................................................................................9
Abstraction ......................................................................................................9
Généralisation ................................................................................................9
Opération sur l’inconnue ........................................................................11
Habiletés mathématiques ....................................................................................12
Habileté à raisonner de façon algébrique .........................................12
Habileté à résoudre une situation-problème
de façon algébrique ...................................................................................15
Habileté à communiquer un raisonnement algébrique ................17
Composantes de l’apprentissage de l’algèbre ............................................20
Compréhension des relations ...............................................................20
Utilisation de modèles mathématiques .............................................21
Analyse du changement .........................................................................23
Représentation de situations-problèmes
à l’aide de symboles .................................................................................24
Exemple d’intégration des composantes
dans une situation-problème ................................................................24
Concepts algébriques regroupés selon une grande idée .........................27
gRANDE IDÉE – RElATIONs 29
Aperçu.......................................................................................................................30
Énoncé 1 – Exploration de relations ...............................................................32
Pourquoi l’exploration de relations? ....................................................33
Sortes de régularités dans les relations ..............................................35
Régularité d’addition.........................................................................35
Régularité de soustraction ..............................................................36
Régularité de multiplication ...........................................................37
Régularité de division .......................................................................37
Régularité cyclique ............................................................................38
Relations de proportionnalité ................................................................39
Représentations des relations ...............................................................41
Situation ...............................................................................................42
Table de valeurs..................................................................................47
Règle ......................................................................................................52
Représentation graphique ..............................................................66
Énoncé 2 – Sens du symbole ............................................................................67
Relations d’égalité .....................................................................................69
Sens du symbole de l’égalité .........................................................71
Sens d’une relation d’égalité ..........................................................73
Équations .....................................................................................................83
Inconnues et variables .....................................................................84
Différents types d’équations ...........................................................89
Établir des liens ......................................................................................................98
Liens avec des expériences de la vie quotidienne ..........................98
Liens avec des concepts dans les autres
domaines de mathématiques .............................................................104
Liens avec des concepts dans les autres matières .......................109
Liens avec des professions ...................................................................113
Cheminement de l’élève ...................................................................................117
Tableau de progression 1 – Vocabulaire ..........................................118
Tableau de progression 2 – Habiletés ..............................................119
sITUATIONs D’APPRENTIssAgE 121
Aperçu .....................................................................................................................121
Situation d’apprentissage, 4e année ..............................................................123
Situation d’apprentissage, 5e année ..............................................................145
Situation d’apprentissage, 6e année ..............................................................173
ANNEXEs 197
Annexe A – Vocabulaire lié aux suites ..........................................................198
Annexe B – Stratégies liées à l’analyse d’une égalité ..............................200
Annexe C – Représentations en modélisation et algèbre ....................210
RÉFÉRENCEs 240
PrÉFaCe
Le document intitulé Enseigner et apprendre les mathématiques : Rapport de la
Table ronde des experts en mathématiques de la 4e à la 6e année souligne que
« l’enseignement joue un rôle central dans l’apprentissage et la compréhension
des mathématiques chez les élèves du cycle moyen » (Ministère de l’Éducation de
l’Ontario, 2004a, p. 35) et il en définit les principales composantes. Pour appuyer
la mise en œuvre des recommandations présentées dans ce rapport, le ministère
de l’Éducation de l’Ontario a entrepris l’élaboration d’une série de guides pédago-
giques composée d’un guide principal et de guides d’accompagnement.
Le guide principal, publié en cinq fascicules et intitulé Guide d’enseignement
efficace des mathématiques, de la maternelle à la 6e année (Ministère de
l’Éducation de l’Ontario, 2006a), propose des stratégies précises pour l’élaboration
d’un programme de mathématiques efficace et la création d’une communauté
d’apprenants et d’apprenantes chez qui le raisonnement mathématique est
développé et valorisé. Les stratégies portent essentiellement sur les grandes idées
inhérentes aux attentes du programme-cadre de mathématiques (Ministère de
l’Éducation de l’Ontario, 2005), sur la résolution de problèmes comme principal
contexte d’apprentissage des mathématiques et sur la communication comme
moyen de développement et d’expression de la pensée mathématique. Ce guide
contient également des stratégies d’évaluation, de gestion de classe et de com-
munication avec les parents1.
Les guides d’accompagnement, rédigés par domaine en tenant compte des
attentes et des contenus d’apprentissage du programme-cadre de mathématiques,
suggèrent des applications pratiques des principes et des fondements présentés
dans le guide principal. Ils sont conçus pour aider l’enseignant ou l’enseignante
à s’approprier la pédagogie propre à chaque domaine mathématique afin d’amé-
liorer le rendement des élèves en mathématiques.
Le guide principal et les guides d’accompagnement ont été élaborés en confor-
mité avec la Politique d’aménagement linguistique de l’Ontario pour l’éducation
en langue française (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004b) pour soutenir
la réussite scolaire des élèves et appuyer le développement durable de la com-
munauté scolaire de langue française de l’Ontario. Ils mettent l’accent, entre
autres, sur des stratégies d’enseignement qui favorisent l’acquisition par chaque
élève de compétences en communication orale.
1. Dans le présent document, parents désigne père, mère, tuteur et tutrice.


iNTrOdUCTiON
Le domaine de l’algèbre est une composante qui prend de plus en plus
d’importance dans l’évolution des mathématiques. Chaque jour, nous
sommes confrontés à une multitude de problèmes composés d’une
variété d’inconnues. C’est en essayant de voir des patrons, des
régularités, que des solutions seront trouvées.
(Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2000, p. 15)
Le domaine Modélisation et algèbre regroupe des concepts essentiels aux
AAuu ccoouurrss ddee llaa ddeerrnniièèrree
mathématiques pour représenter et analyser des relations que l’on trouve dans ddéécceennnniiee,, ddeess éédduuccaatteeuurrss
eenn mmaatthhéémmaattiiqquueess ddee
plusieurs situations de la vie courante. pplluuss eenn pplluuss nnoommbbrreeuuxx
pprrooppoosseenntt ddee ccoommmmeenncceerr
ll’’ééttuuddee ddee ll’’aallggèèbbrree ddèèss
L’étude de l’algèbre s’est développée à partir du besoin de comprendre et de
llee pprriimmaaiirree.. IIllss pprréécciisseenntt
représenter le monde réel, par exemple, la position des planètes, le mouvement qquu’’iill nnee ss’’aaggiitt ppaass dd’’uunn
eennsseeiiggnneemmeenntt pprrééccooccee ddee
des marées, le déplacement des objets en chute libre. Les mathématiciens et ll’’aallggèèbbrree dduu sseeccoonnddaaiirree,,
nnii dd’’uunnee «« pprrééaallggèèbbrree »» [[……]]..
les mathématiciennes ont tenté de résoudre ces questions par l’observation des IIll ss’’aaggiitt pplluuttôôtt dd’’aammeenneerr
lleess ééllèèvveess àà ddéévveellooppppeerr llaa
régularités et la modélisation des phénomènes par des équations et des repré-
ppeennssééee aallggéébbrriiqquuee ssaannss
nnéécceessssaaiirreemmeenntt uuttiilliisseerr llee
sentations graphiques. Ces travaux ont contribué au développement de symboles
llaannggaaggee lliittttéérraall ddee ll’’aallggèèbbrree..
mathématiques et de méthodes de calcul. Or, « dans ce nouveau millénaire,
((SSqquuaallllii,, 22000022,, pp.. 44))
l’algèbre n’est plus une discipline qui s’attarde à la manipulation de symboles.
L’algèbre devient un mode de pensée, une façon de voir et d’exprimer des rela-
tions » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2000, p. 26).
La modélisation est une des fins de l’étude de l’algèbre. En effet, l’algèbre sert
surtout à représenter des phénomènes, c’est-à-dire à les modéliser. Au cycle
moyen, les élèves sont amenés à observer les changements dans le monde qui
les entoure, à les décrire et à les représenter d’abord de façon concrète et semi-
concrète, puis de façon symbolique. Par exemple, la suite de figures ci-après est
utilisée afin de modéliser une situation. Les élèves apprennent à décrire la régu-
larité que l’on peut voir d’une figure à l’autre, à exprimer la relation entre le
numéro de la figure et le nombre de cubes qui la composent et à représenter
cette relation par une table de valeurs et par une équation.

Note : n représente le numéro de la figure
et c, le nombre de cubes qui la composent.
Un peu d’histoire
Le mot algèbre vient de l’arabe. Au IXe siècle, le mathématicien Al-Khwarizmi
« publie un traité, Al-kitab al-jabr w’al-muqabala (bref traité sur le calcul de
réparation [al-jabr] et d’équilibre [al-muqabala]). Dans ce traité, il présente les
principes pour résoudre des équations du premier et du second degré. Son
ouvrage semble avoir été présenté en Europe pour la première fois, en 1202,
dans le livre Liber Abaci de Léonard de Pise (Fibonacci). Le nom Al-Khwarizmi,
traduit en latin, devient Algorismus ou Algorismi. Plus tard, le nom est trans-
formé en nom commun, algorithme, qui signifie une suite de calculs menant à
un résultat » (Conseil des écoles catholiques de langue française du Centre-Est
et coll., 2003, p. 11).
L’algèbre, telle qu’on la connaît, a évolué graduellement au cours des siècles.
Son origine remonte probablement au mathématicien Diophante (IIIe siècle)
qui cherchait à résoudre des problèmes numériques. Or, on retrouve aussi de
tels problèmes dans des écrits babyloniens et égyptiens de l’Antiquité. Les
mathématiciens arabes ont poursuivi l’étude de l’algèbre qui a pris la forme
que l’on connaît aujourd’hui grâce à la contribution de mathématiciens euro-
péens, du XIIe siècle jusqu’au XVIIIe siècle.
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