Modèles de comportement élastique

170 Pages·2016·4.02 MB·French

by  Jean Garrigues

Modèles de comportement élastique
Jean Garrigues
To cite this version:
Jean Garrigues. Modèles de comportement élastique. Engineering school. Comportement élastique,
Centrale Marseille, 2013, pp.165. ￿cel-00827790v1￿
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Comportement élastique
JeanGarrigues
29mai2013
ii
Avant-propos
L’objectifdececoursestdedéfinirlecomportementdesmilieuxcontinussolidesélastiques.
L’élasticitédéfiniedanscecoursestgénérale.Latempératureétantunevariabled’étatimposéeparlese-
condprincipedelathermodynamique,cecourstraiteenfaitdecequ’onappellehabituellementlathermo-
élasticité.
REMARQUE :L’élasticitéisothermeestuncasparticulier.Lelecteurquisouhaiteraitn’envisagerquedesévolutions
àtempératureàlafoisuniformedansl’espaceetconstantedansletemps(cesapproximationssontrarementréalistes
danslapratique)peuttoujoursposergradT =0etT˙ =0;enoutre,danslarésolutiondesproblèmes,ildevraaussi
ignorerl’équationdelaconservationdel’énergie(équationdelachaleur),quidevient,danscecas,uncorollairede
l’équationdemouvement.Enfaisantcesapproximations,ilprendlerisquedenégligerlesphénomènesthermiques
inhérentsàtouteévolutionthermomécaniqued’unmilieucontinu,mêmeélastique.
Parailleurs,àl’inversedescoursd’élasticitéclassiqueélémentaires(élasticitédeHooke),lesdéformations
envisagées dans ce cours ne sont l’objet d’aucune restriction a priori. Cette élasticité sans restrictions
ni sur les déformations ni sur le mouvement est souvent appelée «(thermo)hyperélasticité» ou encore
(thermo)élasticité en «grandes déformations». L’élasticité de Hooke n’apparaîtra donc que comme une
dégradationdel’élasticitégénérale.
Enfin,contrairementàl’élasticitéclassiqueélémentaire,l’élasticitéenvisagéeicin’estpasnécessairement
isotrope.
Lalecturedececourssupposeunemaîtrisesuffisantedel’algèbreetdel’analysetensorielle1,delaciné-
matiquedesmilieuxcontinus2 etdeséquationsgénéralesdesmilieuxcontinus3,etplusparticulièrement
l’inégalitédusecondprincipedelathermodynamique.
Danslamesuredupossible,onrespecteralesconventionstypographiquessuivantes:
– lesnombresréelssontenminusculesitaliques(exemple:a,µ);
– lesvecteurssontenminusculesitaliquesgrasses(exemple:vvv);
– lestenseurssontenmajusculesitaliquesgrasses(exemple:TTT);
– lestermesd’unematricesontrangésdansuntableauentrecrochets,àdeuxindices,l’indicedegauche
estl’indicedeligne,etl’indicededroiteestl’indicedecolonne:(cid:104)mm1211 mm1222 mm1233(cid:105)=(cid:2)mij(cid:3)
m31 m32 m33
– latranspositiondesmatricesestnotéeavecunT enexposant(exemple:MT);
– les espaces d’entités mathématiques sont en majuscules doublées (exemples : l’espace des réels : R,
l’espacedesvecteursdedimension3:V ).
3
– leproduitvectorieldedeuxvecteursdeV estnoté«∧».
3
– lesinvariantsfondamentauxd’untenseurdusecondordresymétriqueXXX sontnotés:
X =TrXXX,X = 1((TrXXX)2−Tr(XXX2)),X =detXXX.
I II 2 III
1. L’auteurproposeunautrecoursintituléAlgèbreetanalysetensoriellepourl’étudedesmilieuxcontinus.
2. L’auteurproposeunautrecoursintituléCinématiquedesmilieuxcontinus.
3. L’auteurproposeunautrecoursintituléÉquationsgénéralesdesmilieuxcontinus.
iii
iv
Chapitre 1
Milieux continus solides déformables
1.1 Rappels
Lesecondprincipedelathermodynamiqueimposequepourtoutmilieucontinu:
1. latempératureT estunevariabled’étatobligatoire,
2. ladissipationφestunchampscalairenonnégatifentouteparticuleetàtoutinstantdetouteévolution.
Ladissipationactuelle(W.m−3)enuneparticulepeuts’écriresousl’unedestroisformessuivantes1:
qqq·grad T
Φ=ρTs˙m−rv +div qqq− E ≥0 (1.1)
ext E T
qqq·grad T
=ρ(Ts˙m−e˙m)+σσσ:DDD− E ≥0 (1.2)
T
qqq·grad T
=−ρ(ψ˙m+smT˙)+σσσ:DDD− E ≥0 (1.3)
T
où:
– ρ(P,t)estlechampmatérielscalaireobjectifactueldelamassevolumique;
– T(P,t)estlechampmatérielscalaireobjectifactueldelatempératureabsolue(T >0)etT˙ estsadérivée
particulaire;
– rv (P,t) est le champ matériel scalaire objectif de la puissance calorifique volumique d’origine exté-
ext
rieure(W.m−3)apportéeàlaparticuleparl’interactiond’unrayonnementéventueltraversantledomaine
demilieucontinu(dansbeaucoupd’applicationsilestnul);
– qqq(P,t) est le champ matériel vectoriel objectif actuel du courant de chaleur (W.m−2), représentant la
circulationdelachaleuràl’intérieurdudomainedemilieucontinu:lapuissancecalorifiquesurfacique
actuelletraversantunefacettematérielledenormaleunitaireactuellennn estlescalaireqs=qqq·nnn ;
t t
– σσσ(P,t) est le champ matériel tensoriel objectif du second ordre symétrique de la contrainte de Cauchy
actuelle(Pa);
– DDD(P,t)estlechampmatérieltensorielobjectifdusecondordresymétriquedutauxdedéformationactuel
(s−1);
– em(P,t)estlechampmatérielscalaireobjectifdel’énergieinternemassiqueactuelle(J.kg−1)ete˙m est
sadérivéeparticulaire(W.kg−1);
– sm(P,t) est est le champ matériel scalaire objectif de l’entropie massique actuelle (J.kg−1) et s˙m est sa
dérivéeparticulaire(W.kg−1);
– ψm(P,t)=em(P,t)−T(P,t)sm(P,t)estlechampmatérielscalaireobjectifdel’énergielibremassiquede
Helmholtzactuelle(J.kg−1)etψ˙mestsadérivéeparticulaire(W.kg−1).
1. VoirlecoursÉquationsgénéralesdesmilieuxcontinus,dumêmeauteur,section5.4.
1
1.MILIEUXCONTINUSSOLIDESDÉFORMABLES
Commetoutchampmatériel,chacundeceschampsscalaires,vectorielsoutensoriels,peutaussibienêtre
décritparlaméthodedeLagrangeoucelled’Euler:AAA(P,t)=AAA (xxx ,t)=AAA (xxx,t).
L 0 E t
Le premier principe et le second principe de la thermodynamique postulent l’existence de deux champs
matérielsscalaires:l’énergieinterneem(P,t)etl’entropiesm(P,t)quisontparprincipedesfonctionsd’état
scalaires extensives et objectives. L’objectivité des fonctions d’état ainsi que celle des variables d’état
impliquentquelesfonctionsd’étatsontdesfonctionsisotropesdeleursarguments2.Onécritdonc:
n n
em= f (T,χχχ ,···,χχχ )= f (T,I ,···,I ) e˙m=∂ f T˙+∑∂ f ⊗piχχχ˙ =∂ f T˙+∑∂ f I˙
e 2 n e 2 m T e χχχi e i T e Ij e j
i=2 j=2
n n
sm= f (T,χχχ ,···,χχχ )= f (T,I ,···,I ) s˙m=∂ f T˙+∑∂ f ⊗piχχχ˙ =∂ f T˙+∑∂ f I˙
s 2 n s 2 m T s χχχi s i T s Ij s j
i=2 j=2
oùT(P,t),χχχ (P,t),···,χχχ (P,t)sontleschampsmatérielsdesvariablesd’état(éventuellementtensorielles)
2 n
indépendantesetobjectivesdumilieucontinuconsidéréetoùT(P,t),I (P,t),···,I (P,t)sontleschamps
2 m
matérielsdesvariablesd’étatobjectivesscalairesréduites.
Onutiliseaussilafonctiond’étaténergielibredeHelmholtzdéfinieparψm=em−Tsm:
n n
ψm= f (T,χχχ ,···,χχχ )= f (T,I ,···,I ) ψ˙m=∂ f T˙+∑∂ f ⊗piχχχ˙ =∂ f T˙+∑∂ f I˙
ψ 2 n ψ 2 m T ψ χχχi ψ i T ψ Ij ψ j
i=2 j=2
Lorsque la liste des variables d’état et l’expression des fonctions d’état sont connues, la dissipation Φ
en une particule P s’exprime donc en fonction de son état actuel (les valeurs des variables d’état) et de
savitessed’évolutionactuelledansl’espacedesétats(lesvaleursdesdérivéesparticulairesdesvariables
d’état).
Le dernier terme de la dissipation −qqq ·grad T dans les équations (1.1), (1.2) et (1.3) page 1 est appelé
T E
dissipationthermiqueetestnotéΦ .Cetermeestnonnégatifparprincipe3.Sonintégralesurundomaine
th
matériel actuel est la puissance calorifique actuelle (en W) mise en jeu dans les échanges de chaleur par
conduction à l’intérieur du domaine matériel induits par la non uniformité des températures. Dans un
domaineàtempératureactuelleuniforme(grad T =000),ladissipationthermiqueΦ etsonintégralesur
E th
(cid:82)
undomainematériel Φ dvsontnuls.
Dt th
LerestedeladissipationΦ =Φ−Φ ≥−Φ estappelédissipationintrinsèque.Ilreprésentelapuis-
int th th
sancecalorifiquevolumiqueproduiteouconsomméepard’éventuelsprocessusinternesliésàl’évolution
desvariablesd’état.Sonintégralesurundomainematérieldonnelapuissancecalorifiqueactuelleproduite
ouconsomméeparleséventuelsprocessusinternesaudomaine.Cesprocessusinternesliésàl’évolution
desvariablesd’étatdépendentdumodèledemilieucontinuquel’onconsidère.
REMARQUES: Danslesmilieuxcontinusmonophasiquesquisontl’objetdececours,leprincipalprocessusinterne
est le frottement, qui est exothermique, on a donc toujours Φint ≥0. En revanche, quand on envisage des milieux
continusmulticonstituants(oumultiphasiques),unepartiedesvariablesd’étatdécriventlesconcentrationslocales.Les
changementsdeconcentrationspeuventêtreendothermiquesouexothermiques(réactionschimiquesouchangements
dephase).Ladissipationintrinsèquepeutdoncêtrenégativemaislesecondprincipedelathermodynamiqueimpose
que la dissipation totale Φ reste non négative. On a donc : Φint >−Φth. En l’absence d’un rayonnement d’origine
extérieurerv ,lapuissancecalorifiquevolumiquenécessaireàuneréactionchimique(ouunchangementdephase)
ext
endothermiquelocalnepeutêtrefourniequeparconductionparlesparticulesvoisines(divEqqq<0),etlapuissance
calorifiquevolumiquedégagéeparuneréactionchimique(ouunchangementdephase)exothermiquelocalnepeut
êtreabsorbéequeparlesparticulesvoisines(divEqqq>0).
Ceséventuellespuissancescalorifiquesproduitesouconsomméesengendrentdoncdeladissipationthermique.
Noter que la dissipation intrinsèque n’est pas la seule cause de la non nullité de divEqqq : en l’absence de processus
internesproduisantouconsommantdelachaleur(Φint=ρTs˙m−revxt+divEqqq=0),silorsdel’évolutionlatempérature
desparticulesvarienonuniformément,alorsgradET (cid:54)=000etdivEqqq(cid:54)=0.
2. VoirlecoursÉquationsgénéralesdesmilieuxcontinus,dumêmeauteur,section4.1.2.
3. Lesecondprincipepostuleque«lachaleurvaduchaudverslefroid».
2
1.2.Solidedéformable
Enfin, on rappelle que si les variables d’état sont bien des grandeurs indépendantes (on peut donner à
chacuned’entre-ellesunevaleurarbitraire4 pourdéfinirunétat),iln’enestpasnécessairementdemême
pourleurdérivéeparticulaire:ilsepeutquelacinématiqueoudesprincipesfondamentauximposentdes
relationsentrelesdérivéesparticulairesdesvariablesd’état.Parconséquent,àpartird’unétatquelconque
donné,touteslesdirectionsdevitessed’évolutiondansl’espacedesétatsnesontpastoujourspossibles.
1.2 Solide déformable
Un domaine matériel de milieu continu est un solide déformable s’il existe une forme propre physique-
mentsignificativedudomainematérielàlaquelleonpeutseréférerpourdéfinirunchampdetenseursde
déformationactuel.
REMARQUES:
– Laformeproprechoisielaplupartdutempsestlaformedudomainematériellorsqu’iln’estsoumisàaucunesolli-
citationextérieureetqu’ilestàunetempératureuniformeT .Onl’appellesouventaussiconfigurationderéférence.
0
Laformepropredécritl’ensembledesdistancesentrelesparticulesdusolidedéformablelorsqu’iln’estsoumisà
aucunesollicitationmécaniqueouthermique.
– Laconfigurationderéférenceestsouventprésentéecommelechampdespositionsinitialespouruncertainobser-
vateur.Ilestvraiquelechampdespositionsinitialespermetd’endéduirelesdistancesinitialesentrelesparticules
etdonclaformeinitiale.Toutefois,pourunobservateurdonné,ilexisteuneinfinitédechampsdepositionsinitiales
pouruneformedonnée.Tousceschampsdepositionsinitialessedéduisentl’undel’autreparunmouvementde
solideindéformable.
– Laformeinitiale(distancesinterparticulairesinitiales)d’unsolidedéformableestlamêmepourtouslesobservateurs
carladistanceentreparticulesestunegrandeurobjective,alorsqueleschampsdepositionsinitialesdiffèrentd’un
observateuràl’autre(lesvecteurspositiond’uneparticulesontdifférentsd’unobservateuràl’autre).
Outre la température imposée par le second principe, une variable d’état obligatoire pour les modèles
continus de solides déformables est donc un tenseur de déformation ayant comme forme de référence la
formepropredusolide.Lorsquelesolidedéformableestdanssaformepropre,ilestdoncconsidérécomme
nondéformé.
Onpeututiliserdifférentstenseursdedéformationobjectifs5 pourreprésenterladéformationactuelleen
un point d’un milieu continu, ce sont les tenseurs de déformation eulériens. Entre autres, on peut citer :
√
BBB=FFF·FFFT,VVV = BBB,εεεv =VVV−GGG etMMM =LnVVV. Tant que l’on n’a pas choisi un tenseur de déformation
particulier,onlenoteraXXX.
Par ailleurs, la description de l’état local d’un solide déformable doit parfois être complétée par des va-
riables d’état autres que T etXXX. C’est notamment le cas dans les solides déformables anisotropes, dans
lesquelsl’orientationdeladéformationactuelleparrapportàuncertainnombrededirectionsmatérielles
actuelles particulièresnnn(i) est indispensable pour la descrition de l’état local. À l’aide de telles variables
t
d’état, il est possible d’envisager une modélisation en milieu continu de matériaux fibreux, lamellaires,
tissésetc.
REMARQUE : Unedirectionactuelled’anisotropieestunedirectionnonorientée.Elleestmieuxreprésentéeparle
(i) (i) (i)
tenseuruniaxialnorméNNN =nnn ⊗nnn .
t t t
Enfin, la descrition de l’état local de certains matériaux peut nécessiter des variables d’état supplémen-
taires:ilsepeutquelaseuledescriptionduchampdedéformationactueletdesdirectionsd’anisotropie
actuelles soit insuffisante pour la description de l’état local actuel de la matière car des phénomènes mi-
croscopiques se sont produits dans l’évolution qui a conduit à l’état actuel. Ces phénomènes physiques
microscopiquespeuventêtredesrupturesoudesréarrangementsdeliaisonsinteratomiques,ouencoredes
changementschimiqueslentsdusautemps.Pourreprésentermacroscopiquementl’étatlocalactueldansle
cadred’unevisioncontinuedelamatière,onutilisedesvariablesd’étatsupplémentairesappeléesvariables
4. Danssondomainededéfinition.
5. Toutefois,onenvisageradansleschapitressuivantsl’utilisationdetenseursdedéformationlagrangiens,doncnonobjectifs,
pourillustrerleursinconvénients.
3
1.MILIEUXCONTINUSSOLIDESDÉFORMABLES
d’état internes. Suivant la nature des phénomènes microscopiques que l’on souhaite décrire macroscopi-
quement, et aussi suivant la finesse avec laquelle on souhaite les représenter, ces variables d’état supplé-
mentairespeuventêtrescalaires,vectoriellesoutensorielles.Cesphénomènesmicroscopiquesdonnentlieu
àdesobservationsmacroscopiquestellesquel’endommagement,laplastification6,levieillissement,etc.
DÉFINITION : On appelle solide déformable un milieu continu dont les variables d’état contiennent au
moinslatempératureetuntenseurdedéformation.
REMARQUE:Laprésenced’untenseurdedéformationparrapportàuneformepropredanslalistedesvariablesd’état
estcequicaractériselesmodèlesdecomportementdesolidesdéformables.Lesmodèlesdemilieuxcontinusquin’ont
pasdetenseurdedéformationdansleurlistedevariablesd’étatsontaprioridesfluides:ilsn’ontpasdeformepropre
quipuisseservirderéférencepourdéfinirunedéformation.Danslalittératurespécialisée,cequel’onnommemodèle
fluideseréduitsouventàdesmilieuxcontinusdontl’étatlocalestdécritparlesdeuxvariablesd’étattempératureet
massevolumique.Lesautresmilieuxcontinuspourraientêtreappelés«milieuxpâteux».
1.3 Solide déformable élastique
Durantuneévolutionthermomécaniqued’unsolidedéformable,latempératureactuelledesparticulesn’est
généralementpasuniforme(grad T (cid:54)=000).Ladissipationthermiqueactuelleestdoncleplussouventnon
E
nulle.Enrevanche,ladissipationintrinsèquepeutêtrenulles’iln’existeaucunprocessusinterneproduisant
ouabsorbantlocalementdelachaleurquandlesvariablesd’étatdesparticulesévoluent.
Parailleurs,letenseurdescontraintesdeCauchyestlaréponsesthéniqueàl’évolutiondel’étatdespar-
ticulesdansl’espacedesétats:ildécritleseffortsintérieursinduitsparlemouvementdesparticules(ou
nécesairespourobtenircemouvement).Ilestdoncapriorifonctiondel’étatactueletdelavitessed’évo-
lutionactuelledansl’espacedesétats.S’iln’estpasfonctiondelavitessed’évolution,c’estunefonction
d’état.
Enfin,ilpeutexisterounondesphénomènesmicrocopiques(changementsdanslesliaisonsinteratomiques,
évolutionchimiquelente)quiaffectentlecomportementdelamatière.
Onenvisagedeconstruireunmodèlesimpletelque:
– iln’existeaucunprocessusinterneproduisantouconsommantdelachaleur(enpratique,iln’yapasde
frottementinterne);
– lavaleuractuelledutenseurdescontraintesestindépendantedelavitessed’évolution;
– iln’existepasdephénomènesmicroscopiquesnotablesayantuneffetmacroscopiqueobservable.
Onposedoncladéfinitionsuivante:
DÉFINITION: Onappellesolideélastique,unmilieucontinusolidedéformabletelque:
1. danstouteévolutionladissipationintrinsèqueestnulleentouteparticuleetàtoutinstant:
∀P∀t ρ(Ts˙m−e˙m)+σσσ:DDD=−ρ(ψ˙m+smT˙)+σσσ:DDD=0 (1.4)
2. letenseurdescontraintesestunefonctiond’état:
σσσ= fff (T,XXX,···) (1.5)
σ
3. iln’yadevariableinternedanslalistedesvariablesd’état.
Ce modèle simple est assurément une idéalisation des matériaux réels, mais il est satisfaisant pour bon
nombredematériaux,tantquel’onnedépassepascertaineslimites(apparitiondephénomènesmicrosco-
piquesdontl’effetestmacroscopiquementnotable)quiserontpréciséesdanslasuite.
6. C’est-à-direl’existencededéformationsrésiduellesaprèscessationdessollicitationsextérieures.
4
1.3.Solidedéformableélastique
REMARQUES:
– Cettedéfinitiondel’élasticitéestsensiblementdifférentedeladéfinitionempiriquehabituellementdonnéedansles
coursd’élasticitéclassiqueisotherme(«réversibilité»descourbescontraintes-déformationenévolutionisotherme,
pasdedéformationrésiduelleaprèsdécharge).Onverraplusloinqu’ellelacontient.
– Contrairementàl’élasticitéisothermeclassiqueoùlatempératuren’estpasconsidéréecommeunevariabled’état,il
existeenthermoélasticitéplusieurscheminsdansl’espacedesétatspouraboutiràunétatdéforméàlatempérature
initialeT .Parexemple,onpeutmettreunebarreentensionàlatempératureT sansfournirdetravailmécanique
0 0
extérieur : il suffit de la chauffer en dilatation libre puis de bloquer sa déformation et de la laisser refroidir à la
températureinitialeT .Sil’onneconsidèrequedesévolutionsisothermes,onnepeutlamettreentensionqu’avec
0
dutravailmécaniqueextérieur:iln’yaqu’unseulchemin.
– Onverradanslasuitequ’uneévolutionrigoureusementisotherme(grad T=000etT˙=0)estirréaliste.Parexemple,
T
on constate que la mise en tension d’une éprouvette avec une machine de traction sans précautions thermiques
particulièresprovoqueunelégèrebaissedetempératuredanslematériau.
Pourexploiterl’égalité(1.4),ilfautpréciserquellessontlesvariablesd’étatdusolideélastique.Cechoix
serafaitdansleschapitresquisuivent.
5