Modèles avec particules dures, animaux dirigés, et séries en variables partiellement commutatives

49 Pages·2001·0.43 MB·French

Mod(cid:18)eles avec particules dures, animaux dirig(cid:19)es, et
s(cid:19)eries en variables partiellement commutatives
1
0
0 J.B(cid:19)etr(cid:19)ema et J.G.Penaud
2

n UFR Math(cid:19)ematiques et Informatique
u
Universit(cid:19)e Bordeaux I
J
& LaBRI, URA CNRS 1304
5
2
Mai 1993

0
1
2
R(cid:19)esum(cid:19)e
6
0 Nous exposons syst(cid:19)ematiquement les relations entre les mod(cid:18)eles
1 de gaz avec particules dures, l’(cid:19)enum(cid:19)eration des animaux dirig(cid:19)es, et
0 l’alg(cid:18)ebredes s(cid:19)eries formelles en variables partiellement commutatives,
/
O d’apr(cid:18)es les travaux de X.G.Viennot. Nous donnons une solution com-
pl(cid:18)ete simpli(cid:12)(cid:19)ee, en utilisant cette alg(cid:18)ebre, de l’(cid:19)enum(cid:19)eration des ani-
C
mauxdirig(cid:19)es sur r(cid:19)eseau plan.L’articleinclut un programmerapidede
.
h g(cid:19)en(cid:19)erational(cid:19)eatoiredeces animaux,avecdistributionuniforme,et des
t
a images obtenues (cid:18)a l’aidede ce programme.
m
Abstract
: We give a systematic presentation of relations between lattice gas
v
i models with hard-core interactions, enumeration of directed-site ani-
X
mals,andthealgebraofformalpower-series inthepartiallycommuta-
r tive case, along the work of X.G.Viennot.We present a complete and
a
simpli(cid:12)edsolution,usingthisalgebra,ofthedirected animalsenumer-
ationproblemintwodimensions,includingafastprogramforrandom
generationofsuchanimals(withuniformdistribution)andimagespro-
duced by this program.
1
Table des mati(cid:18)eres
1 Introduction 4
2 Mod(cid:18)eles en m(cid:19)ecanique statistique 5
2.1 Mod(cid:18)ele d’Ising et mod(cid:18)ele de gaz . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Mod(cid:18)eles avec particules dures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 S(cid:19)eries en variables partiellement commutatives 10
3.1 Empilements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Mono(cid:127)(cid:16)de partiellement commutatif . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 S(cid:19)eries formelles et th(cid:19)eor(cid:18)eme d’inversion . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Pyramides et th(cid:19)eor(cid:18)eme de d(cid:19)ecomposition . . . . . . . . . . . 15
3.5 Applications aux mod(cid:18)eles de gaz . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Empilements stricts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Animaux dirig(cid:19)es 20
4.1 D(cid:19)e(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Empilements colori(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 R(cid:19)eseaux feuillet(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Equivalence entre animaux dirig(cid:19)es et empilements . . . . . . 23
5 Solution du mod(cid:18)ele lin(cid:19)eaire 28
5.1 D(cid:19)ecomposition en (cid:19)equerres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 S(cid:19)eries g(cid:19)en(cid:19)eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Chemins de Dyck et chemins de Motzkin. . . . . . . . . . . . 32
6 Animaux plans al(cid:19)eatoires 38
6.1 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7 Perspectives 42
2
Table des (cid:12)gures
1 R(cid:19)eseaux carr(cid:19)es (a) nn (b) nnn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Exemples de con(cid:12)gurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Un empilement E de con(cid:12)gurations sur le graphe G . . . . . 11
4 Diagramme de Hasse de l’empilement E de la (cid:12)gure 3. . . . . 15
5 Animaux dirig(cid:19)es sur r(cid:19)eseaux (a) carr(cid:19)e (b) hexagonal . . . . . 20
6 R(cid:19)eseaux colori(cid:19)es (a) lin(cid:19)eaire (b) carr(cid:19)e (c) hexagonal . . . . . 21
7 Empilements (a) colori(cid:19)e (b) standard, sur r(cid:19)eseau lin(cid:19)eaire . . . 22
8 R(cid:19)eseaux feuillet(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9 Sch(cid:19)emaded(cid:19)ecompositiond’unepyramideen produitd’(cid:19)equerres 28
10 Exempleded(cid:19)ecompositiond’unepyramideenproduitd’(cid:19)equerres 29
11 D(cid:19)ecomposition d’une (cid:19)equerre en produit d’(cid:19)equerres . . . . . . 30
12 Chemins (a) de Dyck (b) de Motzkin . . . . . . . . . . . . . . 32
13 D(cid:19)ecompositions de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
14 D(cid:19)ecomposition d’un pr(cid:19)e(cid:12)xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
15 Factorisationde Catalan d’un chemin quelconque . . . . . . . 36
16 Code pour la g(cid:19)en(cid:19)erational(cid:19)eatoire de pr(cid:19)e(cid:12)xes de Motzkin. . . 38
17 Code pour marquer les c(cid:19)elibataires . . . . . . . . . . . . . . . 39
18 Code pour transformer un mot en animal . . . . . . . . . . . 40
19 Code pour empiler une cellule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
20 Exemple de construction d’un animal sur r(cid:19)eseau carr(cid:19)e . . . . 43
21 Exemple de construction d’un animal sur r(cid:19)eseau triangulaire. 44
22 Exemple de construction d’un animal de source compacte . . 45
23 Exemple d’animal de grande taille sur r(cid:19)eseau carr(cid:19)e . . . . . . 46
24 Exemple d’animal de grande taille et de source compacte . . 47
25 Agrandissements de r(cid:19)egions des (cid:12)gures 23 et 24 . . . . . . . . 48
3
1 Introduction
Certains physiciens (voir par exemple [3, 5, 9, 10, 13]) s’int(cid:19)eressent (cid:18)a
des mod(cid:18)eles thermodynamiques extr^emement sch(cid:19)ematiques, mais ou(cid:18) appa-
raissent d(cid:19)ej(cid:18)a des ph(cid:19)enom(cid:18)enes critiques, dont ils peuvent faire une (cid:19)etude
d(cid:19)etaill(cid:19)ee.Dansces mod(cid:18)eles,desparticulessontplac(cid:19)eessurcertainssommets
d’un graphe G, appel(cid:19)es sites (au plus une particule par site); la disposition
desparticulesformeune con(cid:12)guration,etl’(cid:19)energie d’une con(cid:12)gurationestla
somme de deux s(cid:19)eries de termes : les premiers repr(cid:19)esentent la contribution
individuelle de chaque particule, les seconds l’interaction entre particules
voisines (c’est (cid:18)a dire reli(cid:19)ees par une ar^ete du graphe).
Les con(cid:12)gurations (cid:19)etudi(cid:19)ees sont de tr(cid:18)es grande taille, et on s’int(cid:19)eresse (cid:18)a
leurs propri(cid:19)et(cid:19)es statistiques; cette (cid:19)etude se ram(cid:18)ene (cid:18)a celle de la fonction de
partitiondumod(cid:18)ele,not(cid:19)eetraditionnellementZ,quijoueunro^levoisind’une
fonction g(cid:19)en(cid:19)eratrice en combinatoire; d’ailleurs le calcul de Z se ram(cid:18)ene
souvent explicitement (cid:18)a celui d’une s(cid:19)erie (cid:19)enum(cid:19)eratrice : voir en particulier
[13].
X.G.Viennot a d(cid:19)ecouvert { voir par exemple [16] { que, dans le cas
particulier des mod(cid:18)eles dits avec particules dures, cette (cid:19)etude est li(cid:19)ee (cid:18)a
celle du mono(cid:127)(cid:16)de partiellement commutatif,introduit en 1969 par P.Cartier
& D.Foata [6], et qui fait l’objet aujourd’hui de recherches actives dans
un domaine a(cid:18) priori (cid:19)eloign(cid:19)e, celui de la mod(cid:19)elisation des algorithmes par-
all(cid:18)elesen informatiqueth(cid:19)eorique.Cet articleexpose cetteapproche de fa(cid:24)con
syst(cid:19)ematique, et inclut la solution selon cette ligne, due aux auteurs, du
probl(cid:18)eme de l’(cid:19)enum(cid:19)erationdes animaux dirig(cid:19)es plans.
La section 2 pr(cid:19)esente la classe de mod(cid:18)eles(cid:19)etudi(cid:19)es, et contient les d(cid:19)e(cid:12)ni-
tions issues de la physique, en particulier celle de la fonction de partition.
Lasection3introduitlanotiond’empilementdecon(cid:12)gurations,lesop(cid:19)era-
tionsalg(cid:19)ebriquessurcesobjets,lesth(cid:19)eor(cid:18)emesfondamentauxdecettealg(cid:18)ebre
(qui est celle des s(cid:19)eries en variables partiellement commutatives), et leurs
corollaires pour les mod(cid:18)eles avec particules dures.
La section 4 pr(cid:19)esente les animaux dirig(cid:19)es sur un r(cid:19)eseau, et montre que,
sous certaines conditions, l’(cid:19)enum(cid:19)eration de ces animaux, sur un r(cid:19)eseau de
dimension d, se ram(cid:18)ene directement (cid:18)a celle d’empilements, sur un r(cid:19)eseau de
dimension d(cid:0)1.
Danslasection5,onach(cid:18)evelescalculsdanslecasleplussimple,celuidu
mod(cid:18)ele de gaz sur r(cid:19)eseau lin(cid:19)eaire, qui correspond aux animaux dirig(cid:19)es sur
r(cid:19)eseau plan. Dans ce cas, les s(cid:19)eries en variables partiellement commutatives
v(cid:19)eri(cid:12)entdes(cid:19)equationsalg(cid:19)ebriquessimples,qui fournissenta(cid:18)la foisles s(cid:19)eries
(cid:19)enum(cid:19)eratrices des animaux, et des bijections avec des objets combinatoires
classiques, les chemins (ou mots) de Motzkin.
Ces bijections sont utilis(cid:19)ees section 6, pour programmer la construc-
tiond’animauxdirig(cid:19)esplansal(cid:19)eatoires,avecdistributionuniforme,entemps
lin(cid:19)eaire. La section 6 est illustr(cid:19)ee de dessins typiques d’animaux de grande
4
taille, produits par notre logiciel; leur aspect (cid:12)liforme surprend l’intuition.
La section 7 (cid:19)enum(cid:18)ere les principaux probl(cid:18)emes ouverts, en particulier
celui d’une interpr(cid:19)etation combinatoire de la solution de R.Baxter pour le
mod(cid:18)ele des hexagones durs.
2 Mod(cid:18)eles en m(cid:19)ecanique statistique
2.1 Mod(cid:18)ele d’Ising et mod(cid:18)ele de gaz
Dans le mod(cid:18)ele d’Ising du ferromagn(cid:19)etisme,chaque site i est occup(cid:19)e par
un petit aimant, avec deux orientations oppos(cid:19)ees possibles, not(cid:19)es (cid:27) = (cid:6)1,
i
et l’(cid:19)energie est donn(cid:19)ee par :
X X
E = (cid:0)H (cid:27) (cid:0)J (cid:27) (cid:27) (1)
i i j
site i ar^ete (i;j)
ou(cid:18) H d(cid:19)esigne le champ magn(cid:19)etique externe, et J la constante d’interaction.
L’(cid:19)energie due au champ externe est minimale lorsque les aimants sont ori-
ent(cid:19)es dans le sens du champ; lorsque la constante J est positive, l’(cid:19)energie
d’interaction est minimale lorsque tous les aimants sont orient(cid:19)es dans le
m^emesens, d’ou(cid:18) le nom de ferromagn(cid:19)etisme|on ne s’(cid:19)etonnerapas de con-
stater que l’(cid:19)energie minimale est n(cid:19)egative, car E est d(cid:19)e(cid:12)ni a(cid:18) une constante
additive pr(cid:18)es. Lorsque J < 0, chaque aimant pousse ses voisins (cid:18)a s’orienter
en sens contraire de lui-m^eme : on parle d’antiferromagn(cid:19)etisme.
Il existe un mod(cid:18)ele analogue des gaz : chaque site i est occup(cid:19)e ou vide,
ce qu’on note s = 1 ou 0, et l’(cid:19)energie vaut :
i
X X
E = (cid:0)(cid:22) s (cid:0)(cid:15) s s (2)
i i j
site i ar^ete (i;j)
(cid:22) est appel(cid:19)e potentiel chimique; le cas (cid:15) > 0 correspond (cid:18)a une attraction
entre particules, et (cid:15)< 0 (cid:18)a une r(cid:19)epulsion; le cas (cid:15)= 0 est celui, sans int(cid:19)er^et
ici, du gaz parfait.
Danslemod(cid:18)eleduferromagn(cid:19)etisme,ilexisteuneinteractionentrechaque
paire de sites voisins; dans le mod(cid:18)ele du gaz, cette interaction n’existe que
si les sites sont occup(cid:19)es. Pour comparer les deux mod(cid:18)eles, on e(cid:11)ectue le
changementdevariable(cid:27) = 2s (cid:0)1;l’(cid:19)energied’interactionassoci(cid:19)ee(cid:18)al’ar^ete
i i
(i;j) devient alors :
(cid:27) (cid:27) = 4s s (cid:0)2s (cid:0)2s +1
i j i j i j
Lorsqu’onsommecettequantit(cid:19)epourtouteslesar^etes,letermelin(cid:19)eaire(cid:0)2s
i
appara^(cid:16)t avec un coe(cid:14)cient(cid:19)egal au degr(cid:19)e q du site i (le degr(cid:19)e d’un sommet
i
est d(cid:19)e(cid:12)ni comme le nombre d’ar^etes incidentes). Donc (1) devient :
X X X
E = (cid:0)2H s +2J q s (cid:0)4J s s
i i i i j
site i site i ar^ete (i;j)
5
en ignorant la constante nH (cid:0) mJ, ou(cid:18) n (resp. m) d(cid:19)esigne le nombre de
sommets (resp. ar^etes) du graphe. Si le graphe est r(cid:19)egulier, chaque degr(cid:19)e q
i
est (cid:19)egal (cid:18)a une constante q, et on voit que dans ce cas les deux mod(cid:18)eles sont
(cid:19)equivalents, avec :
(cid:22)= 2H (cid:0)2qJ; (cid:15)= 4J
(cf. [3, section 1.9]).
2.2 Fonction de partition
L’axiome essentiel de la m(cid:19)ecanique statistique (formule de Gibbs), af-
(cid:12)rme que la probabilit(cid:19)ed’observation d’une con(cid:12)guration donn(cid:19)ee, d’(cid:19)energie
totale E, est proportionnelle a(cid:18) e(cid:0)(cid:12)E, ou(cid:18) (cid:12) est une constante positive. (cid:12)
d(cid:19)epend du milieu ext(cid:19)erieur, dans lequel est plong(cid:19)e le mod(cid:18)ele; plus pr(cid:19)eci-
s(cid:19)ement :
1
(cid:12) =
kT
ou(cid:18)kd(cid:19)esignelaconstantedeBoltzmann,etT latemp(cid:19)eratureabsolue.Lorsque
(cid:12) estgrand,lescon(cid:12)gurationsdeforte(cid:19)energiedeviennent tr(cid:18)esimprobables:
le milieu ext(cid:19)erieur est froid; inversement, lorsque (cid:12) tend vers z(cid:19)ero, toutes
les con(cid:12)gurations tendent a(cid:18) devenir (cid:19)equiprobables : le milieu ext(cid:19)erieur est
chaud.
La fonction X X
Z(T) = e(cid:0)(cid:12)E = e(cid:0)E=kT
ou(cid:18)lasommationest(cid:19)etenduea(cid:18)touteslescon(cid:12)gurationspossibles,estappel(cid:19)ee
fonction de partition | d(cid:19)e(cid:12)nir l’(cid:19)energie E (cid:18)a une constante additive pr(cid:18)es, a
pour e(cid:11)et de d(cid:19)e(cid:12)nir Z (cid:18)a une constante multiplicative pr(cid:18)es. La probabilit(cid:19)e
d’observer une con(cid:12)guration donn(cid:19)ee, d’(cid:19)energie E, vaut donc :
e(cid:0)(cid:12)E
(3)
Z(T)
La temp(cid:19)erature n’est pas en g(cid:19)en(cid:19)eral la seule variable dont d(cid:19)epende la
fonction Z : d’autres grandeurs physiques, comme le champ magn(cid:19)etique,
peuvent intervenir dans le calcul de l’(cid:19)energie d’une con(cid:12)guration, et donc
de Z. Les physiciens montrent que l’(cid:19)etude statistique du mod(cid:18)ele se ram(cid:18)ene
toujours a(cid:18) l’(cid:19)etude de la fonction Z et de ses d(cid:19)eriv(cid:19)ees ou d(cid:19)eriv(cid:19)ees partielles;
la section suivante illustrera ce principe g(cid:19)en(cid:19)eral.
2.3 Mod(cid:18)eles avec particules dures
Uncaslimitedesmod(cid:18)elesde gazpr(cid:19)ec(cid:19)edentsestobtenuensupposantque
la r(cid:19)epulsion entre particules est si forte que les con(cid:12)gurations comportant
des particules voisines ont une probabilit(cid:19)e n(cid:19)egligeable d’exister; autrement
dit, chaque particule est su(cid:14)samment dure, et occupe un volume tel, que
6
deux sites voisins ne peuvent ^etre occup(cid:19)es simultan(cid:19)ement. Les seules con-
(cid:12)gurations possibles correspondent alors aux ensembles de sommets qu’on
appelle stables en th(cid:19)eorie des graphes : deux sommets distincts d’une m^eme
con(cid:12)guration ne sont jamais reli(cid:19)es par une ar^ete. L’(cid:19)energie d’une telle con-
(cid:12)guration de n (cid:19)el(cid:19)ements se r(cid:19)eduit a(cid:18) (cid:0)n(cid:22), et en posant
t = e(cid:12)(cid:22) = e(cid:22)=kT
la fonction de partition vaut :
X
Z(t)= (cid:11) tn (4)
n
ou(cid:18) (cid:11) d(cid:19)esignele nombre de stablesde taillen. En utilisant(3),on en d(cid:19)eduit
n
que le nombre moyen de particules vaut :
P
n(cid:11) tn tZ0(t) d
n
= = t lnZ(t) (5)
Z(t) Z(t) dt
Cet exemple est caract(cid:19)eristique du ro^le de la fonction de partition Z et
de ses d(cid:19)eriv(cid:19)ees dans un calcul de moyenne.
2.4 Limite thermodynamique
La d(cid:19)e(cid:12)nition de la fonction de partition pour un graphe in(cid:12)ni n’est pas
imm(cid:19)ediate:lesformulespr(cid:19)ec(cid:19)edentesn’ontplusdesens,puisquelenombrede
con(cid:12)gurations est in(cid:12)ni. D’autre part la seule classe int(cid:19)eressantede graphes
in(cid:12)nis, dans ce contexte, est celle des r(cid:19)eseaux.
En math(cid:19)ematiques (voir par exemple [8]), un r(cid:19)eseau de dimension d
d(cid:19)esigne habituellement, dans un espace a(cid:14)ne, un ensemble de points iso-
morphe a(cid:18) Zd; les points associ(cid:19)es, par l’isomorphisme, a(cid:18) ceux dont les coor-
donn(cid:19)ees valent 0 ou 1, forment le parall(cid:19)elotope de base B; dans un espace
euclidien, un r(cid:19)eseau est cristallographique si les sym(cid:19)etries orthogonales par
rapport aux faces de B laissent le r(cid:19)eseau invariant.
Dans le pr(cid:19)esent contexte, un r(cid:19)eseau d(cid:19)esigne un graphe, dont l’ensem-
ble des sommets est un r(cid:19)eseau cristallographique; le choix le plus simple
pour les ar^etes est de ne relier que les voisins les plus proches (r(cid:19)eseau nn,
pour \nearest neighbour", chez les anglo-saxons), mais on peut ajouter des
ar^etesqui relient les voisins\au second rang" (r(cid:19)eseaunnn,pour \next near-
est neighbour"), etc...A un m^eme r(cid:19)eseau cristallographique peuvent donc
correspondre plusieurs graphes : sur la (cid:12)gure 1-(a), chaque sommet est de
degr(cid:19)e 4, tandis que sur la (cid:12)gure 1-(b), chaque sommet est de degr(cid:19)e 8.
Notons qu’on peut (cid:19)etendre la notion de r(cid:19)eseau en a(cid:11)aiblissant les hy-
poth(cid:18)eses sur l’ensemble des sites : par exemple, si on pave le plan par des
hexagones, les sommets ne forment plus un ensemble isomorphe a(cid:18) Z2 (il
manque les centres des hexagones), mais le graphe obtenu est r(cid:19)egulier, et
d(cid:19)e(cid:12)nit un mod(cid:18)ele d’interaction int(cid:19)eressant,ou(cid:18) chaque site est de degr(cid:19)e 3.
7
rrr rrr rrr rrr rrr @(cid:0)@@@@@(cid:0)(cid:0)@rrr@(cid:0)(cid:0)@@@@(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@@rrr(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@@(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@@rrr(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@@(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@@rrr(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)@@(cid:0)(cid:0)@@(cid:0)(cid:0)rrr(cid:0)(cid:0)(cid:0)@(cid:0)
(cid:0) @(cid:0) (cid:0)@ (cid:0)@ @(cid:0) @
r r r r r @@(cid:0)r @(cid:0)r @(cid:0)r @(cid:0)r @(cid:0)r(cid:0)
(cid:0) @(cid:0) @(cid:0) @(cid:0) @(cid:0) @
r r r r r (cid:0)r @(cid:0)r @(cid:0)r @(cid:0)r @r
(cid:0) (cid:0)@(cid:0)@(cid:0)@ @
(a) (b)
Fig. 1: R(cid:19)eseaux carr(cid:19)es (a) nn (b) nnn
Pour d(cid:19)e(cid:12)nir la fonction de partition d’un r(cid:19)eseau G, on consid(cid:18)ere l’inter-
section G de G avec un disque de rayon donn(cid:19)e, ou(cid:18) k d(cid:19)esigne le nombre de
k
sitesdeG .SoitZ lafonctionde partitiondeG ;Z n’estpasunequantit(cid:19)e
k k k k
proportionnelle a(cid:18) la taille k du syst(cid:18)eme (le nombre de con(cid:12)gurations cro^(cid:16)t
exponentiellementaveclataille),maislam(cid:19)ecaniquestatistiqueenseigne que
c’est le cas de lnZ , lorsque k est grand; plus pr(cid:19)ecis(cid:19)ement, la fonction Z
k
d(cid:19)e(cid:12)nie par :
lnZ
k
lnZ = lim (6)
k!1 k
existe, et cette limite est ind(cid:19)ependante de la d(cid:19)e(cid:12)nition pr(cid:19)ecise de G . Les
k
physiciens appellent ce type de limite la limite thermodynamique; consulter
R.Baxter [3], ou un cours de m(cid:19)ecanique statistique, comme [7], pour une
pr(cid:19)esentation compl(cid:18)ete.
Les ph(cid:19)enom(cid:18)enes critiques correspondent aux singularit(cid:19)es de la fonction
departitionZ d(cid:19)e(cid:12)niepar(6),eta(cid:18)cellesdesesd(cid:19)eriv(cid:19)eesoud(cid:19)eriv(cid:19)eespartielles.
Le nombre moyen de particules par site, appel(cid:19)e densit(cid:19)e moyenne par site,
est donn(cid:19)e, sur un r(cid:19)eseau in(cid:12)ni, par le membre droit de la formule (5) ou(cid:18) Z
d(cid:19)esigne cette fois la fonction de partition pour la limite thermodynamique.
Le mod(cid:18)ele des carr(cid:19)es (resp. hexagones) durs correspond a(cid:18) l’(cid:19)etude d’un
gaz, dont les particules sont dispos(cid:19)ees sur un r(cid:19)eseau carr(cid:19)e (resp. hexagonal)
in(cid:12)ni, de telle sorte que deux sites voisins ne peuvent ^etre simultan(cid:19)ement
occup(cid:19)es. Pour rendre visible cette derni(cid:18)ere condition, on peut repr(cid:19)esenter
les particules par des carr(cid:19)es (resp. hexagones) qui ne se chevauchent pas,
comme sur la (cid:12)gure 2. Dans la suite de cet article, un site occup(cid:19)e par une
particule sera simplement indiqu(cid:19)e par un disque noir.
Le calcul de la fonction de partitiondu mod(cid:18)ele des hexagones durs a(cid:19)et(cid:19)e
r(cid:19)eussi par Baxter en 1980 : voir [3] pour une pr(cid:19)esentation compl(cid:18)ete; c’est
un calcul complexe, qui fait intervenir entre autres les identit(cid:19)es de Rogers-
Ramanujan; le calcul de la fonction de partition du mod(cid:18)ele des carr(cid:19)es durs
reste un probl(cid:18)eme ouvert.
8
r r r r r r r TTr TT(cid:20)(cid:20)r TT(cid:20)(cid:20)r TT(cid:20)(cid:20)r TT(cid:20)r(cid:20) TT(cid:20)r(cid:20) TT(cid:20)r(cid:20)
T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T
(cid:0)(cid:0)@@ T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r (cid:20)(cid:20)T(cid:20)r TT T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r(cid:20)
r @ r(cid:0) r r r r r (cid:20) T (cid:20)T (cid:20)T TT(cid:20)T(cid:20)(cid:20) (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T
@(cid:0) (cid:0)@ TT(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r
(cid:0) @
r r r r r r r (cid:20) T (cid:20)T (cid:20) T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T
r r r (cid:0)(cid:0)@r@@@(cid:0)r(cid:0) r r (cid:20)T(cid:20)rT (cid:20)T(cid:20)T(cid:20)T(cid:20)rTT(cid:20)T(cid:20) (cid:20)T(cid:20)rT (cid:20)T(cid:20)rT (cid:20)T(cid:20)rT (cid:20)T(cid:20)rT (cid:20)T(cid:20)r(cid:20)T
@@(cid:0)(cid:0) TT(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r (cid:20)(cid:20)T(cid:20)r TT T(cid:20)r (cid:20)(cid:20)T(cid:20)r TT T(cid:20)r
r r r r r (cid:0)@(cid:0)@r@(cid:0) r (cid:20) TT(cid:20)r(cid:20) TT(cid:20)r(cid:20)TTTT(cid:20)r(cid:20)TT(cid:20)(cid:20)(cid:20)r(cid:20)TTTT(cid:20)r(cid:20)T(cid:20)T(cid:20)(cid:20)r(cid:20)TT(cid:20)r(cid:20)
@(cid:0)
(cid:20) T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T
r r r r r r r TT(cid:20)r T(cid:20)r (cid:20)(cid:20)T(cid:20)r TT T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r
(cid:20) T (cid:20)T TT(cid:20)T(cid:20)(cid:20) (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T
r r r r r r r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r T(cid:20)r Tr
(cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T (cid:20)T T
(a) (b)
Fig. 2: Exemples de con(cid:12)gurations
dans le mod(cid:18)ele des (a) carr(cid:19)es durs (b) hexagones durs
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3 S(cid:19)eries en variables partiellement commutatives
3.1 Empilements
Soit un graphe G; les sommets de G formeront dans la section suivante
les lettres d’un alphabet, et leur ensemble sera donc not(cid:19)e A; une ar^ete de G
est une paire (non orient(cid:19)ee) fa;bg de sommets distincts.
Deux sommets de G sont dits voisins s’ils sont identiques, ou reli(cid:19)es par
une ar^ete de G; le voisinage V(a) d’un sommet a est l’ensemble des som-
mets voisins de a; le voisinage V(B) d’une partie B (cid:18) A est d(cid:19)e(cid:12)ni comme
d’habitude par :
[
V(B) = V(b)
b2B
Dans toute la suite nous conviendrons qu’une con(cid:12)guration C est un
ensemble de sommets tel qu’aucune paire de sommets distincts de C ne
soient voisins (c’est ce qu’on appelle un stable en th(cid:19)eorie des graphes). Un
empilement est une suite (cid:12)nie (C ;C ;:::;C ) de con(cid:12)gurations non vides
1 2 n
telle que :
Ci (cid:18) V(Ci(cid:0)1); 1< i(cid:20) n (7)
L’entier n est la hauteur de l’empilement; chaque con(cid:12)guration C est ap-
i
pel(cid:19)eecouchenum(cid:19)eroi,etlapremi(cid:18)erecouche,C ,estlabasedel’empilement.
1
Si n = 0, l’empilement est vide, et ne poss(cid:18)ede pas de base.
Un empilement peut aussi ^etre d(cid:19)ecrit comme un ensemble de cellules
(a;i),ou(cid:18) a est un sommet de G, et i un entier inf(cid:19)erieur ou(cid:19)egal (cid:18)a la hauteur
n de l’empilement; i est la hauteur de la cellule, et la couche num(cid:19)ero i est
form(cid:19)ee des cellules de hauteur i; les cellules ayant m^eme projection a sur A
forment la (cid:12)bre F au-dessus de a. On dira pour abr(cid:19)eger que deux cellules
a
(a;i) et (b;j)sont voisines si les sommets a et b sont voisins; on peut alors
reformuler la d(cid:19)e(cid:12)nition d’un empilement de la mani(cid:18)ere suivante :
{ deux cellules distinctes de la m^emecouche ne sont jamaisvoisines (8)
{ pour i>1, chaque cellule de la couche i poss(cid:18)ede au moins une voisine
dans la couche i(cid:0)1 (9)
La taille jEj d’un empilement E est (cid:19)egale, par d(cid:19)e(cid:12)nition, au nombre de
cellules qui composent E. Une con(cid:12)guration peut ^etre confondue avec un
empilement de hauteur 1; a(cid:18) la con(cid:12)guration vide, correspond l’empilement
vide, de taille et de hauteur nulles.
Exemple 1: la (cid:12)gure 3 montre un empilement de hauteur 4, et
de taille 8 :
C = fa;cg V(C )= fa;b;c;d;e;gg
1 1
C = fb;e;gg V(C )= fa;b;c;e;f;g;hg
2 2
C = feg V(C )= fa;e;f;hg
3 3
C = fa;fg
4
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