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l'accès
1001-2000:
Bibliothèque
Tcin e
Tangente Hors-série n° 10
Mille ans d'histoire
des mathématiques
1001-2000 : l'accès à la modernité
Sous la direction d'Hervé Lehning
•
POLE
© Éditions POLE -Paris 2005
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Mille ans d'histoire des mathém
Sommaire
INTRO Les étapes d'un millénaire
Après les flux et reflux des périodes antiques, le
deuxième millénaire de notre ère se caractérise par un
progrès continu des champs de la connaissance et des
mathématiques en particulier. Une étude détaillée
laisse cependant voir de grandes époques et une
respiration de l'histoire.
Numérologie, la tentation ésotérique
DOSSIER Histoire des idées : l'époque classique
Pour décrire les phénomènes naturels, Newton
invente le calcul infinitésimal. Jugée non rigoureuse,
la notion d'infiniment petit est évacuée par Cauchy et
ne sera réintroduite que très récemment dans
l'analyse non standard. Galois, de son côté, apporte
une contribution majeure aux mathématiques de son
temps et de ceux qui suivront.
Newton ... et la physique devint mathématique
Les infiniment petits : actuels ou potentiels ?
Évariste Galois : génie méconnu ?
Petite histoire des récréations mathématiques
L'invention des nombres rééls
DOSSIER Les noouelles tendances
D'un XVIIIe siècle où Voltaire surnommait Dieu « le
grand horloger», la science entre avec Poincaré dans
une ère où l'univers affiche un comportement
mystérieux. De même, les courbes très régulières des
mathématiciens échouent à modéliser certains
phénomènes naturels : il faut inventer la géométrie
fractale. Enfin les ordinateurs engendrent d'autres
domaines d'études comme celui des automates.
Sept défis pour un millénaire
La logique moderne de Boole à Godel
Le chaos : grandeur et misère du linéaire
Géométrie fractale
Les automates : maths avant tout
DOSSIER Éuolution des techniques
Pratique, rapide, efficace : notre système actuel de
numération est le fait d'une lente maturation depuis les
Arabes jusqu'au Moyen-Age. Cette étape était
nécessaire avant de commencer à calculer avec des
lettres, à faire de l'algèbre. En inventant les repères qui
portent son nom, Descartes a ensuite ramené la
géométrie à l'algèbre. Toujours soucieux d'éviter ou de
simplifier les calculs, les mathématiciens inventèrent
les logarithmes, ou plus tard les logiciels de calcul
symbolique.
Symbolisme et mathématiques arabes
Moyen-Âge : la numération décimale s'impose
Viète : la naissance du calcul littéral
Le repère de Descates
Des logarihmes au logarithme
Calcul symbolique : avenir des mathématiques ?
Les tables de mortalité aux XVIIe et XVIIIe siècles
DOSSIER Les grands problèmes
Pourquoi les Grecs ont-ils privilégié la règle et le
compas pour la construction des courbes? Quelle qu'en
soit la raison véritable, ce choix a marqué les
mathématiques jusqu'à nos jours. Autre héritage des
Grecs, l'arithmétique ne verra son véritable avènement
qu'avec Pierre de Fermat, célèbre grâce aux problèmes
qu'il a résolus, mais aussi à celui qui n'a pu être
démontré que récemment et qui porte son nom.
Constructions à la règle et au compas
Résolution des équations algébriques
Les probabilités : une paternité multiple
Fermat ou l'avénement de l'arithmétique
Les nombres premiers
Le fabuleux nombre 3t
D'impossibles problèmes
Le cercle enfin carré
En bref
Problèmes
Solutions
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Tangente Hors série n° 1 O. Mille ans d'histoi ·
EN BREF
Où sont les femmes ?
Tel père, telle fille ... Maria Gaetano Agnesi
Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) est fille d'un professeur milanais.
À 9 ans, elle compose un poème en latin qui constitue un véritable ,
plaidoyer pour le droit des filles à l'éducation supérieure. Fine lettrée,
connaissant, outre le latin, le grec, l'hébreu et plusieurs langues
vivantes, elle apporte dans les deux tomes de son lnstituzioni
analytiche (1749) une contribution d'algèbre, de
géométrie et d'analyse infinitésimale /a mieux faite qu'il
y eût en ce genre, aux dires de l'Académie des
Sciences. Insigne honneur, elle laisse son nom à
une courbe du troisième degré, qu'elle nomme elle
même « versiera », la sorcière ...
Lorsque (OP) pivote autour de 0,
M décrit la « cubique d' Agnesi ». M.,,__--+----<
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Hors série n° 10. Mille ans d'histoire des mathématiques Tangente
HISTOIRES par Hervé Lehning
Les étapes
du millénaire
Après les flux et reflux des périodes antiques, le deuxième
millénaire de notre ère se caractérise par un progrès continu
des champs de la connaissance et des mathématiques en
particulier. Une étude détaillée laisse cependant voir de
grandes époques et une respiration de l'histoire.
F aire commencer une histoire sous le nom de Sylvestre II.
des mathématiques en l'an Enseignant à Reims l'astronomie, les
1001 semble une gageure. Yu mathématiques et la logique, il déve
de loin et intellectuellement parlant, loppa l'usage de l 'abaque et construisit
rien ne bouge avant le xv1e siècle. des instruments astronomiques. Nous
Cependant, cette vision de ] 'histoire lui devons aussi la première introduc
est abusive pour au moins deux rai tion des chiffres arabes en Occident.
sons. Tout d'abord, elle met exagéré
ment le centre de la planète en
Occident chrétien. Les Arabes
n'avaient pas perdu les acquis de
I 'Antiquité. Ensuite, elle fait ]' impasse
Le Moyen sur la renaissance médiévale. En effet,
le Moyen-Âge n'a pas été aussi obscu
Âge n'a pas
rantiste que sa caricature le laisse par
été aussi fois croire.
obscurantiste
Le pape de l'an mil
que sa
caricature L'église catholique passe souvent pour
le laisse l'institution la plus obscurantiste de
ces temps. La figure du pontife de I' An
parfois
Mil contredit cette idée puisqu'il s'agit Gerbert d'Aurillac
croire. de Gerbert d'Aurillac, qui devint pape (946-1003)
O
Tc:in9ente Hors série n° 10. Mille ans d'histoire des mathématiques
INTRODUCTION
Faut-il s'en étonner ? Sans doute
moins qu'il n'y paraît. Les monastères
étaient les seuls lieux de culture de
cette époque. Gerbert avait découvert
ces chiffres en Espagne, alors partie du
monde musulman. Ne vous étonnez
pas trop de cette présence d'un moine
dans un tel lieu. Les croisades n'ont pas
encore eu lieu.
Transmission
À l'époque de Gerbert, les connais
sances mathématiques grecques et
indiennes commencent à pénétrer
l'Occident, principalement à travers
les relations commerciales avec
l'Orient, le royaume normand de Voies de transmission des mathématiques
Sicile et l'Espagne. Le siècle qui suit grecques et indiennes à l'Occident chrétien
sera celui des traducteurs. Les
Eléments d'Euclide sont traduits en Le repère de Descartes). Ces deux
latin ainsi que les tables astronomiques grands apports se situent donc surtout au
d' Al-Khwarizmi. De cette transmis niveau technique. Rien de péjoratif dans
sion par les Arabes, nous devons cette remarque, ce niveau était indispen
d'autres mots comme algèbre (voir sable aux progrès ultérieurs.
Symbolisme et mathématiques arabes) La véritable redécouverte des mathé
ou sinus (traduction latine du mot matiques se situe quand ces techniques
arabe « jaib » déformation du mot de calcul alliées au symbolisme algé
indien signifiant « corde»). brique (voir l'article: Viète, la nais
sance du calcul littéral) commencent à
Hssimimiliation progressiue féconder le vieil héritage grec. Nous
sommes alors en pleine Renaissance,
Les premières traductions ne sont pas au xv1e siècle. Les algè
accompagnées d'une compréhension bristes italiens (Cardan,
profonde des textes. Aucun progrès Tartaglia, Ferrari) résolvent
dans la lignée des anciens ne les accom les équations du troisième et
pagne. Les mathématiciens de l'époque du quatrième degré. Ils
sont davantage intéressés par les nou échoueront sur les équa-
velles techniques de calcul. Elles sont tions générales de
utiles pour le commerce. Nous les degré supérieur et il
devons essentiellement aux Indiens et faudra attendre le
aux Arabes. Les plus grands mathémati XIXe siècle pour
ciens de l'époque furent Fibonacci (voir qu'Abel démontre
l'article Moyen-Âge : la numération l'impossibilité de
décimale s'impose en Occident) et cette tâche (voir
Oresme, précurseur de l'utilisation des l'article La résolu-
systèmes de coordonnées (voir l'article tian des équations). Tartaglia
D
Hors série n° 1 O. Mille ans d'histoire des mathématiques Tangente
HISTOIRE Les étapes du millénaire
plus célèbres du point de vue des
Simon Stevin est né à mathématiques. Sans doute faudrait-il
Bruges en 1548 et mrn1 à La citer également Simon Stevin, Galilée
Hague en 1620. C'était un et Kepler. Ces deux derniers sont plus
très bon ingénieur, il a connus comme astronomes, le premier
construit des moulins à comme ingénieur et physicien. Cette
vent, des écluses et des époque prépare également la suivante,
ports. En mathématiques, il puisqu'on y voit plusieurs mathémati
a introduit ! 'utilisation des ciens devenir maîtres des méthodes
décimales en Occident. Il a d'Archimède de calcul d'aire. Ce sont
écrit plusieurs livres les véritables précurseurs modernes du
impo11ants de mécanique. calcul infinitésimal et de l'introduction
des mathématiques dans les sciences
physiques. La tradition médiévale dans
le début des temps modernes
cette discipline venait d'Aristote. Elle
voulait trouver des explications aux
La pleine éclosion des mathématiques phénomènes naturels et non se conten
modernes attendra le XVIIe siècle. Les ter de les décrire pour les prévoir
découvertes succèdent alors aux comme nous le faisons depuis (voir
découvertes : logarithmes avec Napier l'article Newton et la physique devint
et Briggs (voir l'article Des loga mathématique).
rithmes au logarithme), naissance des
probabilités avec Pascal (voir l'article l'explosion mathématique
Les probabilités : une paternité mul
tiple), Descartes (voir l'article Le La grande époque est juste postérieure.
repère de Descartes) et Fermat (voir Le xvue siècle voit successivement
l'article Fermat ou l'avènement de l'invention du calcul infinitésimal et
l'arithmétique) pour ne citer que les son utilisation pour résoudre les pro
blèmes de tangente et de calcul d'aire
ainsi que de nombreux problèmes de
Galilée est né à Pise en 1564 et mort physique.
près de Florence en 1642. li est surtout De plus, à partir de ce siècle, on peut
connu pour ses travaux en mécanique parler de croissance explosive de la
et en astronomie ainsi que par son recherche en mathématiques. Une
procès ordonné par le pape de l'époque façon sans doute approximative mais
au cours duquel il dut abjurer ses néanmoins objective de la mesurer est
erreurs. « Et pourta11t, elle tourne» de compter le nombre de périodiques
aurait-il ajouté dans sa barbe selon la contenant des articles concernant les
légende. À cette époque, les savants mathématiques. Jusqu'en 1700, on
étaient beaucoup plus généralistes que n'en dénombre que 17. A la fin du
de nos jours, la science était également siècle, on en trouve 210 et un siècle
moins étendue. D'autre part, les plus tard 950. Combien à la fin du xxe
astronomes avec leurs calculs sont les premiers consommateurs siècle? L'unité de compte est devenue
de mathématiques. À l'heure actuelle, aucun mathématicien ne la dizaine de milliers.
domine toutes les branches de sa propre discipline, sans parler
des autres. Mais revenons au XVIIe siècle. Dans un
premier temps, ces avancées scienti-
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Tangente Hors série n° 10. Mille ans d'histoire des mathématiques
