Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos Generalizados em Análise Não-Linear de ...

221 Pages·2002·3.74 MB·Portuguese

Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos
Generalizados em Análise Não-Linear de Estruturas
FelícioBruzziBarros
Tese apresentada à Escola de Engenharia de
São Carlos da Universidade de São Paulo,
como parte dos requisitos para a obtenção do
títulodeDoutoremEngenhariadeEstruturas.
ORIENTADOR:Prof. Dr. SergioPersivalBaronciniProença
SãoCarlos
2002
Àminhafamília: Dora,paiseirmão.
Agradecimentos
AoProf. SergioPersivalBaronciniProençapelaorientaçãoprecisaecompetente,
pelo tempo dedicado e amizade concedida. Por compreender as particularidades de
minhasviagensesepreocuparcomalgomaisdoqueapenasodoutorado.
Ao Prof. Clovis Sperb de Barcellos pela paciência e disponibilidade guiando-me
pelo“matematiquês”daformulaçãodoMétododosElementosFinitos.
AosfuncionáriosdoDepartamentodeEstruturasdaEscoladeEngenhariadeSão
Carlos e, especialmente, à Maria Nadir Minatel pela relação cordial e simpatia nos
auxíliosprestados.
Àqueles que conheci e que foram mais do que simplesmente colegas de curso.
Agradeço, de modo particular, às minhas colegas de sala, Cristina, Maria Cristina e
AnaRitapelaamizadesinceraecompanheirismo,concedendoumsignificadoespecial
aosanosdedicadosaodoutorado.
AoCNPqpeloapoiofinanceiro.
Aos meus Pais pelo apoio integral, fonte inesgotável de incentivos e conselhos,
viabilizadores das idas e vindas Minas-São Paulo. Ao meu irmão, Paulo José, pela
amizadeenriquecidaàdistânciaeamãoestendidaemqualquerocasião.
À Dora pelo tempo de namoro e casamento ainda que intermitente, pelos tele-
fonemas, visitas e sonhos compartilhados. Pela espera conduzida com muito amor e
delicadeza.
ADeusporenriquecerminhavidacomtantaspessoasepossibilidades. Portudo
quetenhoaagradecer,entrevitóriasefracassos.
Resumo
BARROS,F.B.(2002). Métodos Sem Malha e Método dos Elementos Finitos Gene-
ralizados em Análise Não-Linear de Estruturas. São Carlos. 222p. Tese (Dou-
torado)-EscoladeEngenhariadeSãoCarlos,UniversidadedeSãoPaulo.
O Método dos Elementos Finitos Generalizados, MEFG, compartilha importan-
tes características dos métodos sem malha. As funções de aproximação do MEFG,
atreladasaospontosnodais,sãoenriquecidasdemodoanálogoaorefinamentopreali-
zadonoMétododasNuvenshp. Poroutrolado,porempregarumamalhadeelementos
para construir as funções partição da unidade, ele também pode ser entendido como
umaformanãoconvencionaldoMétododosElementosFinitos. Nestetrabalho,ambas
asinterpretaçõessãoconsideradas. Osmétodossemmalha,particularmenteoMétodo
de Galerkin Livre de Elementos e o Método das Nuvens hp, são introduzidos com o
propósito de estabelecer os conceitos fundamentais para a descrição do MEFG. Na
seqüência, apresentam-se aplicações numéricas em análise linear e evidenciam-se ca-
racterísticasquetornamoMEFGinteressanteparaasimulaçãodapropagaçãodedes-
continuidades. Apósdiscutirosmodelosdedanoadotadospararepresentarocompor-
tamento não-linear do material, são introduzidos exemplos de aplicação, inicialmente
doMétododasNuvenshpedepoisdoMEFG,naanálisedeestruturasdeconcreto. Os
resultados obtidos servem de argumento para a implementação de um procedimento
p-adaptativo, particularmente com o MEFG. Propõe-se, então a adaptação do Método
dos Resíduos em Elementos Equilibrados à formulação do MEFG. Com vistas ao seu
emprego em problemas não-lineares, algumas modificações são introduzidas à formu-
lação do estimador. Mostra-se que a medida obtida para representar o erro, apesar de
fundamentada em diversas hipóteses nem sempre possíveis de serem satisfeitas, ainda
assim viabiliza a análise não-linear p-adaptativa. Ao final, são enumeradas propostas
paraaaplicaçãodoMEFGemproblemascaracterizadospelapropagaçãodedefeitos.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos; Métodos sem Malha; Análise não-
linear;MecânicadoDano;EstimadordeErro;Adaptatividade.
Abstract
BARROS,F.B.(2002). MeshlessMethodsandGeneralizedFiniteElementMethodin
StructuralNonlinearAnalysis. SãoCarlos. 222p. Thesis(Doctoral)-SãoCarlos
SchoolofEngineering,UniversityofSãoPaulo.
TheGeneralizedFiniteElementMethod,GFEM,sharesseveralfeatureswiththe
so called meshless methods. The approximation functions used in the GFEM are as-
sociated with nodal points like in meshless methods. In addition, the enrichment of
theapproximationspacescanbedoneinthesamefashionasinthemeshlesshp-Cloud
method. On the other hand, the partition of unity used in the GFEM is provided by
Lagrangianfiniteelementshapefunctions. Therefore,thismethodcanalsobeunders-
tood as a variation of the Finite Element Method. Indeed, both interpretations of the
GFEM are valid and give unique insights into the method. The meshless character of
the GFEM justified the investigation of meshless methods in this work. Among them,
the Element Free Galerkin Method and the hp-Cloud Method are described aiming to
introduce key concepts of the GFEM formulation. Following that, several linear pro-
blemsaresolvedusingthesethreemethods. Suchlinearanalysisdemonstratesseveral
featuresoftheGFEManditssuitabilitytosimulatepropagatingdiscontinuities. Next,
damage models employed to model the nonlinear behavior of concrete structures are
discussed and numerical analysis using the hp-Cloud Method and the GFEM are pre-
sented. The results motivate the implementation of a p-adaptive procedure tailored
to the GFEM. The technique adopted is the Equilibrated Element Residual Method.
The estimator is modified to take into account nonlinear peculiarities of the problems
considered. Thehypothesesassumedinthedefinitionoftheerrormeasurearesometi-
mesviolated. Nonetheless,itisshownthattheproposederrorindicatoriseffectivefor
theclassofp-adaptivenonlinearanalysisinvestigated. Finally,severalsuggestionsare
enumerated considering future applications of the GFEM, specially for the simulation
ofdamageandcrackpropagation.
Keywords: Finite Element Method; Meshless Method; Nonlinear Analysis; Damage
Mechanics;ErrorEstimator;Adaptivity.
Sumário
ListadeFiguras iv
ListadeTabelas vii
ListadeSímbolos viii
1 Introdução 1
1.1 ConsideraçõesIniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 QuantoaosMétodosNuméricos: SemMalhaedosElementos
FinitosGeneralizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 QuantoàMecânicadosMateriais . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 OrganizaçãodoTexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 FundamentosdosMétodosNuméricos 8
2.1 MétododosMínimosQuadradosMóveis(MMQM) . . . . . . . . . . 9
2.2 FamíliasdeFunçõesdoMétododasNuvenshp(=k,p) . . . . . . . . . 12
N
2.3 Formulação de Galerkin para Problemas de Valor de Contorno e Em-
pregodosMétodosSemMalha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 IntegraçãoNumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 MétododosElementosFinitosGeneralizados . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 AFormulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 ExperimentosNuméricosemAnáliseLinear 23
3.1 Métodos SemMalha Aplicados noEstudo da AssociaçãoContínua de
PainéisParedeePórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Análisenumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Problemas de Elasticidade Linear Estática - Análise Bi-Dimensional
peloMEFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
i
Sumário ii
3.2.1 EfeitodaDistorçãodaMalhadeElementos . . . . . . . . . . 36
3.2.2 ChapacomOrifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 CisalhamentodeumaChapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4 ChapaemL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.5 ConsideraçõesComplementares . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 ModeloConstitutivo 54
4.1 ConceitosdaMecânicadoDanoContínuo . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 ModelodeMazars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 ModelodeLaBorderie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 AbordagemNão-Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 ExperimentosNuméricosemAnáliseNão-Linear 65
5.1 VigaemConcretoArmado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 AnálisepeloMétododasNuvenshp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 ProblemaNão-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 IntegraçãoNuméricanaSeçãoTransversal . . . . . . . . . . 71
5.2.3 AnáliseNumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 AnáliseBi-dimensionalcomdoMEFG . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 AnáliseNumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 ChapadeConcretoTracionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 EstimadordeErro 88
6.1 ConceitoseDefiniçõesparaoEstudodeErro . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 EstimadoresdeErroeAdaptatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.1 EstimadoresdeErronoMEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.2 EstimadoresdeErronoMEFG . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.3 EstimadordeerronoMEFG-EscolhaeJustificativa . . . . . 98
6.3 MétododosResíduosemElementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 EquilíbriodosResíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.1 EstratégiadeEquilíbriodeLadevèze&Maunder . . . . . . . 107
6.4.2 AlgoritmoAdaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 ExemplosNuméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.1 VigaEngastada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.2 ChapacomOrifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Sumário iii
6.6 MedidadeErroemAnáliseNão-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.6.1 EstratégiadeEstimativadoErro . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.6.2 AlgoritmoAdaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.6.3 ConsideraçõessobreaTransferênciadasVariáveis . . . . . . 136
6.7 ExemploNumérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.7.1 ChapadeConcretoComprimida . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.7.2 ChapacomEntalhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7 ConsideraçõesFinais 152
7.1 SínteseeConclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2 DanoeFratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3 OutrasPropostasdeFuturosDesenvolvimentos . . . . . . . . . . . . 158
ReferênciasBibliográficas 161
A FormulaçãoTangenteparaoModelodeMazars 1
B PartiçãodaUnidade 4
C SoluçãodoSistemadeEquaçõesnoMEFG 6
D EspaçodeAproximaçãoPolinomial 10
E DiscussãoSobreoErroAPriori 11
F DetalhesdaImplementaçãodoMEFG 13
F.1 ConvergêncianoMétododeNewton-Raphson . . . . . . . . . . . . . 13
F.2 Consideraçãodaarmadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
G InterpretaçãodoEstimadordoMRE 16
H EquilíbriodoVetordeForçasGeneralizadas 18
I TransferênciadeValoresAssociadosaosPontosdeGauss 21
J SoluçãonaVizinhançadeTrincaemElasticidadeBi-Dimensional 23
Lista de Figuras
2.1 MétododosMínimosQuadradosMóveis . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 RepresentaçãodasnuvensemR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Setores da função de forma φ - parâmetros empregados: m = 3,
j
R = 1,6h, h → distância entre os nós - Observar que φ verifica
j j
a condição do δ para o caso ilustrado em que m = n, o que nem
ji
sempreéverdadeiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 PartiçãodaUnidadeapartirdoselementosfinitosemR1 . . . . . . . 19
2.5 EsquemadeenriquecimentodaPartiçãodaUnidade . . . . . . . . . . 20
3.1 Associaçãoparede-pórtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Discretizaçãodaassociaçãoparedeepórtico . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 InfluênciadarigidezrelativaK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
r
3.4 Geometriadasestruturaspropostas-semunidades . . . . . . . . . . 36
3.5 Discretizaçõespropostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Chapacomorifício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 GráficoscomparativosMEFxMEFG . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 EstudoquantoaotravamentodePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9 AnálisequantoaotravamentodePoisson . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.10 Chapa em L - geometria e malhas utilizadas nas seqüências de refina-
mentoconsideradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.11 Análisesparadiversostiposderefinamento . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Elementodevolumerepresentativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Relaçãoconstitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Representação das diferenças entre análise local e não-local. Curvas
de força F e deslocamento no meio do vão u, com a respectiva distri-
buiçãodedano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iv
ListadeFiguras v
4.4 Análisenão-localemestruturacomsimetria . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1 Vigaemconcretoarmado-geometriaearmação-medidasemcm . . 66
5.2 Abordagemuni-axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Sistemadeestratos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Análisesestáticas-resultadosexperimentaisdeÁLVARES(1993) . . 74
5.5 Análisesdinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Condiçõesdecontornoemalhadeelementosadotadas . . . . . . . . 77
5.7 Curvasdeσ ×εvariando-seA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
T
5.8 Análiseestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.9 Mapadadistribuiçãododano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.10 Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em
mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.11 Malhasutilizadasparaaanálise-medidasemmm . . . . . . . . . . . 85
5.12 Mapadadistribuiçãododano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.13 Superfícierepresentativadodano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
K K K
6.1 DecomposiçãodeΘˆ = aΘˆ +bΘˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
j j j
K
ˆ
6.2 Processo de balanceamento das forças Θ respeitando-se o equilíbrio
j
nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 Malhaformadapor10elementosregularesquadrangulares . . . . . . 117
6.4 ÍndiceslocaisdeefetividadedamalhadaFigura6.3,paracadaelemento119
6.5 Índice de efetividade de MRE para uma seqüencia de 3 malhas ani-
2
nhadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Índiceslocaisdeefetividade-Malhadeelementosdistorcidos . . . . 122
6.7 Malhadeelementosadotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.8 Índiceslocaisdeefetividade-malhacomaproximaçãolinear . . . . . 123
6.9 Errorelativoparaasiteraçõesdosrefinamentosadaptativos . . . . . . 125
6.10 Resultadofinaldorefinamentop-adaptativo,MRE . . . . . . . . . 125
p+1
6.11 Interpretaçãogeométricaparaaestimativadoerronocasouni-axial . 129
6.12 Chapa de concreto - geometria e condições de contorno - medidas em
mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.13 Relaçãouni-axialtensão×deformação . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.14 Malhasutilizadas-medidasemmm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.15 Respostaglobaldaestrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144