Methods for applied macroeconomic research

493 Pages·2007·5.52 MB·English

by  Fabio Canova

Contents
Chapter 1: Preliminaries 1
1.1 Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Concepts of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Almost sure (a.s.) convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Convergence in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Convergence in Lq-norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Convergence in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Time Series Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Dependent and Identically Distributed Observations . . . . . 14
1.4.2 Dependent and Heterogeneously Distributed Observations . 15
1.4.3 Martingale Difference Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Central Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Dependent and Identically Distributed Observations . . . . . 17
1.5.2 Dependent Heterogeneously Distributed Observations. . . . 18
1.5.3 Martingale Difference Observations . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Elements of Spectral Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chapter 2: DSGE Models, Solutions and Approximations 27
2.1 Few useful models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 A basic Real Business Cycle (RBC) Model . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Heterogeneous agent models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3 Monetary Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Approximation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Quadratic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Discretization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.3 Log linear Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.4 Second order approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.5 Parametrizing expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.6 A Comparison of methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
i
ii
Chapter 3: Extracting and Measuring Cyclical Information 67
3.1 Statistical Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 Traditional methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Beveridge-Nelson (BN) decomposition . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 Unobservable Components (UC) decompositions . . . . . . . 72
3.1.4 Regime shifting decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Hybrid Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.1 The Hodrick and Prescott (HP) Filter . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.2 Exponential smoothing (ES) filter. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.3 Moving average (MA) filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.4 Band Pass (BP) filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Economic Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Blanchard and Quah (BQ) Decomposition . . . . . . . . . . . 95
3.3.2 King, Plosser Stock and Watson (KPSW) Decomposition . 97
3.4 Time Aggregation and Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Collecting Cyclical Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Chapter 4: VAR Models 105
4.1 The Wold theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 Specification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1 Lag Length 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2 Lag Length 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2.3 Nonlinearities and nonnormalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.4 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2.5 Breaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Moments and parameter estimation of a VAR(q) . . . . . . . . . . . 119
4.3.1 Companion form representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3.2 Simultaneous equations format . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Reporting VAR results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4.1 Impulse responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4.2 Variance decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.4.3 Historical decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.4 Distribution of Impulse Responses . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.5 Generalized Impulse Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.1 Stationary VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5.2 Nonstationary VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5.3 Alternative identification schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6 Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.7 Validating DSGE models with VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
iii
Chapter 5: GMM and Simulation Estimators 157
5.1 Generalized Method of Moment and other standard estimators . . 158
5.2 IV estimation in a linear model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3 GMM Estimation: An overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.1 Asymptotics of GMM estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3.2 Estimating the Covariance Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3.3 Optimizing the Asymptotic covariance matrix . . . . . . . . . 174
5.3.4 Sequential GMM Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3.5 Two-Step Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.6 Hypotheses Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.4 GMM estimation of DSGE models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.4.1 Some Applied tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.5 Simulation Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.5.1 The General Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.5.2 Simulated Method of Moments Estimator . . . . . . . . . . . 191
5.5.3 Simulated Quasi-Maximum Likelihood/ Indirect Inference . 192
5.5.4 Matching impulse responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Chapter 6: Likelihood methods 201
6.1 The Kalman filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.2 The Prediction error decomposition of likelihood . . . . . . . . . . . 209
6.2.1 Some Asymptotics of ML estimators . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.3 Numerical tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.4 ML estimation of DSGE models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.5 Two examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.5.1 Does monetary policy react to technolocy shocks? . . . . . . 227
6.5.2 Does fiscal policy help to stabilize the cycle? . . . . . . . . . . 233
Chapter 7: Calibration 235
7.1 A Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.2 The Uncontroversial parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3 Choosing parameters and stochastic processes . . . . . . . . . . . . . 239
7.4 Model Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.4.1 Watson’s R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.4.2 Measure of fit based on simulation variability . . . . . . . . . 253
7.4.3 Measures of fit based on sampling variability . . . . . . . . . 256
7.4.4 Measures of fit based on sampling and simulation variability 259
7.5 The sensitivity of the measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.6 Savings, Investments and Tax cuts: an example . . . . . . . . . . . . 268
iv
Chapter 8: Dynamic Macro Panels 273
8.1 From economic theory to dynamic panels . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.2 Panels with Homogeneous dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.2.1 Pitfalls of standard methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
8.2.2 The Correct approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.2.3 Restricted models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.2.4 Recovering the individual effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.2.5 Some practical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.3 Dynamic heterogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.3.1 Average time series estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.3.2 Pooled estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.3.3 Aggregate time series estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.3.4 Average Cross sectional Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3.5 Testing for dynamic heterogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . 297
8.4 To Pool or not to Pool? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.4.1 What goes wrong with two-step regressions? . . . . . . . . . . 302
8.5 Is Money superneutral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Chapter 9: Introduction to Bayesian Methods 309
9.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
9.1.1 Bayes Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
9.1.2 Prior Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.2 Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.3 Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.3.1 Inference with Multiple Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.3.2 Normal Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
9.3.3 Testing hypotheses/relative fit of different models . . . . . . 325
9.3.4 Forecasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.4 Hierarchical and Empirical Bayes models . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.4.1 Empirical Bayes methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.4.2 Meta analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
9.5 Posterior simulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.5.1 Normal posterior analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.5.2 Basic Posterior Simulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.5.3 Markov Chain Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . 340
9.6 Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.7 Estimating Returns to scale: Spain (1979-1999) . . . . . . . . . . . . 352
Chapter 10: Bayesian VARs 355
10.1 The Likelihood function of an m variable VAR(q) . . . . . . . . . . 356
10.2 Priors for VARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
10.2.1 Least square under uncertain restrictions . . . . . . . . . . . . 358
10.2.2 The Minnesota prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
v
10.2.3 Adding other prior restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.2.4 Some Applied tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.2.5 Priors derived from DSGE models . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.2.6 Probability distributions for forecasts: Fan Charts . . . . . . 370
10.3 Structural BVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.4 Time Varying Coefficients BVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.4.1 Minnesota style prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
10.4.2 Hierarchical prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
10.5 Panel VAR models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.5.1 Univariate dynamic panels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.5.2 Endogenous grouping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.5.3 Panel VARs with interdependencies . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.5.4 Indicators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.5.5 Impulse responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Chapter 11: Bayesian time series and DSGE models 399
11.1 Factor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.1.1 Arbitrage Pricing (APT) Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
11.1.2 Conditional Capital Asset Pricing models (CAPM) . . . . . 406
11.2 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
11.3 Markov switching models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.3.1 A more complicated structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.3.2 A General Markov switching specification . . . . . . . . . . . 418
11.4 Bayesian DSGE Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
11.4.1 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.4.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.4.3 A few applied tips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
11.4.4 Comparing the quality of models to the data . . . . . . . . . 433
11.4.5 DSGEs and VARs, once again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
11.4.6 Non linear specifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
11.4.7 Which approach to use? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Appendix 443
vi
List of Figures
1.1 Short and long cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Spectral Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Cyclical weights and gain function, HP filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Gain functions, HP and ES filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 ACF of the cyclical component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Gain: symmetric and asymmetric MA and HP filters . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Gain, ideal and approximate BP filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Monthly and Quarterly spectrum, simulated data and IP growth . . . . . . 99
4.1 Non fundamental technological progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Bootstrap responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Impulse responses to monetary shocks, Working capital model . . . . . . . . 141
4.4 Responses to a US policy shock, 1964:1-2001:10 . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5 Quarterly and Monthly MA representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.6 Responses in the Blanchard and Quah model . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7 Responses to Monetary Shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1 Responses to Monetary shocks in the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Shape of distance function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1 Likelihood function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.2 Likelihood surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3 Impulse responses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.1 Watson’s measure of fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.2 Spectra and Coherences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.3 Distributions of Hours and Real Wage Correlation . . . . . . . . . . . . . . 260
7.4 Effects of tax cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.1 Individual Effects, GDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.2 Cross sectional distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
vii
viii
8.3 Output growth responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4 Alternative Estimators of Output Responses in Japan . . . . . . . . . . . . 306
9.1 Prior and posterior densities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.2 Highest credible set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.3 Price Differential responses, US states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
9.4 Posterior simulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.5 MCMC draws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9.6 True and Gibbs sampling distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.7 MCMC simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.1 Minnesota prior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.2 Forecasts of Italian inflation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.3 Median and 68% band for the responses to a US monetary policy shock. . . 378
10.4 Median responses to US monetary policy shock. . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.5 Cross sectional density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.6 Convergence clubs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
10.7 One year ahead 68% prediction bands, EU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
11.1 Coincident Indicator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11.2 Recession probabilities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.3 Likelihood and Posterior, RBC model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.4 Priors and Posteriors, Basic RBC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.5 Priors and Posteriors, RBC with habit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.6 CUMSUM statistic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
11.7 Priors (dotted) and Posteriors (solid), Sticky price model. . . . . . . . . . . 431
11.8 Impulse Responses, sample 1948-2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.9 Impulse responses, various samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
List of Tables
3.1 Simulated statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Summary statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 US Business Cycle Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1 Penalties of Akaike, Hannan and Quinn and Schwarz criteria . . . . . . . . 114
4.2 Lag length of a VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Regressions on simulated data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1 Estimates of New Keynesian Phillips curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2 Estimates of a RBC model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3 Moments of the data and of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.4 Indirect Inference Estimates of New Keynesian Phillips curve . . . . . . . . 195
6.1 ML estimates, Sticky Price model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.2 Cross covariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.3 ML estimates, US 1948-1984. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.4 Diebold and Mariano Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.1 Monte Carlo distribution of αρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
|
7.2 ACF of hours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.3 Cross correlation hours-wage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.4 Parameters selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.5 The Fit of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.1 Growth and Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.2 Bias in the AR(1) coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.3 Monte Carlo evidence I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.4 Monte Carlo evidence II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
9.1 Posterior distribution of returns to scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.1 One year ahead Theil-U statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.2 Marginal Likelihood, Sticky price sticky wage model. . . . . . . . . . . . . . 370
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