Méthodes Numériques: Algorithmes, analyse et applications

540 Pages·2007·4.14 MB·French

by  Alfio Quarteroni

Méthodes Numériques
Alfio Quarteroni
Riccardo Sacco
Fausto Saleri
Méthodes Numériques
Algorithmes, analyse et applications
AlfioQuarteroni
MOX – Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano et
Ecole Polytechnique F´ed´erale de Lausanne
RiccardoSacco
Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano
Fausto Saleri
MOX – Dipartimento di Matematica
Politecnico di Milano
Traduit de l’italien par:
Jean-Fr´ed´eric Gerbeau
INRIA – Rocquencourt
Traduction`apartirdel’ouvrageitalien:
MatematicaNumerica–A.Quarteroni,R.Sacco,F.Saleri
©Springer-VerlagItalia,Milano2004
ISBN 13 978-88-470-0495-5 Springer MilanBerlin Heidelberg NewYork
Springer-VerlagItaliaestmembredeSpringerScience+BusinessMedia
springer.com
©Springer-VerlagItalia,Milano2007
Cetouvrageestsoumisaucopyright.Tousdroitsréservés,notammentlareproductionetlareprésentation,
latraduction,laréimpression,l’exposé,lareproductiondesillustrationsetdestableaux,latransmission
parvoied’enregistrementsonoreouvisuel,lareproductionparmicrofilmoutoutautremoyenainsique
laconservationdesbanquesdedonnées.Laloisurlecopyrightn’autoriseunereproductionintégraleou
partiellequedanscertainscas,etenprincipeömoyennantlespaiementsdesdroits.Toutereprésentation,
reproduction,contrefaçonouconservationdansunebanquededonnéesparquelqueprocédéquecesoit
estsanctionéeparlaloipénalesurlecopyright.
L’utilisationdanscetouvragededésignations,dénominationscommerciales,marquesdefabrique,etc.
mêmesansspécificationnesignifiepasquecestermessoientlibresdelalégislationsurlesmarquesde
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Pr´eface
Le calcul scientifique est une discipline qui consiste a` d´evelopper, analyser et
appliquerdes m´ethodes relevant de domainesmath´ematiquesaussivari´es que
l’analyse, l’alg`ebre lin´eaire, la g´eom´etrie, la th´eorie de l’approximation, les
´equations fonctionnelles,l’optimisationou le calcul diff´erentiel.Les m´ethodes
num´eriques trouvent des applicationsnaturelles dans denombreux probl`emes
pos´esparlaphysique,lessciencesbiologiques,lessciences del’ing´enieur,l’´eco-
nomie et la finance.
Lecalculscientifiquesetrouvedoncaucarrefourdenombreusesdisciplines
des sciences appliqu´ees modernes, auxquelles il peut fournir de puissants ou-
tils d’analyse, aussi bien qualitative que quantitative. Ce roˆle est renforc´e
par l’´evolution permanente des ordinateurs et des algorithmes : la taille des
probl`emes que l’on sait r´esoudre aujourd’hui est telle qu’il devient possible
d’envisager la simulationde ph´enom`enes r´eels.
La communaut´escientifique b´en´eficie largementde lagrande diffusiondes
logiciels de calcul num´erique. N´eanmoins, les utilisateurs doivent toujours
choisir avec soin les m´ethodes les mieux adapt´ees `a leurs cas particuliers :
iln’existe en effet aucune“boitenoire”quipuisse r´esoudre avecpr´ecision tous
les types de probl`eme.
Un des objectifs de ce livre est de pr´esenter les fondements math´ema-
tiques du calcul scientifique en analysant les propri´et´es th´eoriques des m´e-
thodes num´eriques, tout en illustrant leurs avantages et inconv´enients `a
l’aide d’exemples. La mise en oeuvre pratique est propos´ee dans le langage
MATLAB(cid:1)1 qui pr´esente l’avantaged’ˆetre d’une utilisationais´ee et de b´en´e-
ficier d’une large diffusion.
1MATLAB estunemarqued´epos´eedeThe MathWorks,Inc.Pourplusd’informations
surMATLAB etsur lesautresproduitsdeMathWorks,enparticulierlesoutilsd’analyse
et de visualisation(“MATLAB ApplicationToolboxes”)contactez: The MathWorksInc.,
3 Apple Hill Drive,Natick, MA 01760,Tel : 001+508-647-7000,Fax : 001+508-647-7001,
e-mail:[email protected],www :http://www.mathworks.com.
VI Pr´eface
Chaquechapitre comportedesexemples,des exercices etdes programmes.
Plusieurs applications a` des probl`emes concrets sont rassembl´ees `a la fin de
l’ouvrage.Le lecteur peut donca` lafois acqu´erir les connaissances th´eoriques
quiluipermettront d’effectuer lebonchoixparmilesm´ethodesnum´eriqueset
appliquer effectivement ces m´ethodes en impl´ementant les programmes cor-
respondants.
Cet ouvrage est principalement destin´e aux´etudiants de second cycle des
universit´es et aux ´el`eves des ´ecoles d’ing´enieurs. Mais l’attention qui est ac-
cord´ee aux applicationset aux questions d’impl´ementationle rend ´egalement
utile aux ´etudiants de troisi`eme cycle, aux chercheurs et, plus g´en´eralement,
`a tous les utilisateurs du calcul scientifique.
Le livreest organis´e en 13 chapitres. Les deux premiers sont introductifs :
on y trouvera des rappels d’alg`ebre lin´eaire, une explication des concepts g´e-
n´erauxdeconsistance,stabilit´eetconvergence desm´ethodesnum´eriquesainsi
que des notions de bases sur l’arithm´etiquedes ordinateurs.
Leschapitres3,4et5traitentdesprobl`emesclassiquesdel’alg`ebrelin´eaire
num´erique:r´esolutiondes syst`emes lin´eaires,calculdesvaleurspropres etdes
vecteurs propres d’une matrice. La r´esolution des ´equations et des syst`emes
non lin´eaires est pr´esent´ee dans le chapitre 6.
On aborde ensuite les probl`emes de l’interpolation polynomiale (cha-
pitre 7) et du calcul num´erique des int´egrales (chapitre 8). Le chapitre 9
pr´esente la th´eorie des polynoˆmes orthogonaux et ses applications aux pro-
bl`emes de l’approximationet de l’int´egration.
Ontraitedelar´esolutionnum´eriquedes´equationsdiff´erentiellesordinaires
dans lechapitre 10.Danslechapitre 11,on abordelar´esolutionde probl`emes
auxlimitesendimension1parlam´ethodedesdiff´erencesfiniesetdes´el´ements
finis. On y pr´esente ´egalement quelques extensions au cas bidimensionnel.
Desexemplesd’´equationsauxd´eriv´ees partiellesd´ependantdutemps,comme
l’´equation de la chaleur et l’´equation des ondes, sont trait´es au chapitre 12.
Le chapitre 13 regroupe plusieurs exemples, issus de la physique et des
sciences de l’ing´enieur,r´esolus `a l’aidedes m´ethodes pr´esent´ees dans les cha-
pitres pr´ec´edents.
Chaque programme MATLAB est accompagn´e d’une br`eve description
des param`etres d’entr´ee et de sortie. Un index en fin d’ouvrage r´eunit l’en-
semble des titres des programmes. Afin d’´eviter au lecteur un travail fasti-
dieux de saisie, les sources sont´egalement disponibles sur internet a` l’adresse
http ://www1.mate.polimi.it/~calnum/programs.html.
Nous exprimons notre reconnaissance a` Jean-Fr´ed´eric Gerbeau, traduc-
teur de l’ouvrage, pour sa lecture soigneuse et critique ainsi que pour ses
nombreuses suggestions. Nous remercions ´egalement Eric Canc`es, Dominique
Chapelle, Claude Le Bris et Marina Vidrascu qui ont aimablement accept´e
de relire certains chapitres. Nos remerciements s’adressent ´egalement `a Fran-
cesca Bonadei de Springer-Italie et `a Nathalie Huilleret de Springer-France
pour leur pr´ecieuse collaborationen vue de la r´eussite de ce projet.
Pr´eface VII
Le pr´esent ouvrage est une ´edition revue et augment´ee de notre livre
intitul´e M´ethodes num´eriques pour le calcul scientifique, publi´e par Sprin-
ger France en 2000. Il comporte en particulier deux nouveaux chapitres qui
traitent de l’approximationd’´equationsauxd´eriv´ees partiellespar diff´erences
finies et ´el´ements finis.
Milan et Lausanne Alfio Quarteroni
f´evrier 2007 Riccardo Sacco
Fausto Saleri
Table des mati`eres
I Notions de base
1 E´l´ements d’analyse matricielle ............................. 3
1.1 Espaces vectoriels ...................................... 3
1.2 Matrices .............................................. 5
1.3 Op´erations sur les matrices .............................. 6
1.3.1 Inverse d’une matrice ............................ 7
1.3.2 Matrices et applications lin´eaires .................. 8
1.4 Trace et d´eterminant d’une matrice....................... 9
1.5 Ranget noyau d’une matrice ............................ 10
1.6 Matrices particuli`eres ................................... 11
1.6.1 Matrices diagonales par blocs ..................... 11
1.6.2 Matrices trap´ezo¨ıdales et triangulaires.............. 11
1.6.3 Matrices bandes ................................. 12
1.7 Valeurs propres et vecteurs propres ....................... 13
1.8 Matrices semblables .................................... 14
1.9 D´ecompositionen valeurs singuli`eres...................... 17
1.10 Produits scalaires vectoriels et normes vectorielles .......... 18
1.11 Normes matricielles..................................... 22
1.11.1 Relation entre normes et rayon spectral
d’une matrice ................................... 26
1.11.2 Suites et s´eries de matrices........................ 27
1.12 Matrices d´efinies positives, matrices `a diagonaledominante
et M-matrices.......................................... 28
1.13 Exercices.............................................. 31
2 Les fondements du calcul scientifique ...................... 33
2.1 Probl`emes bien pos´es et conditionnements................. 33
2.2 Stabilit´edes m´ethodes num´eriques ....................... 37
2.2.1 Relations entre stabilit´e et convergence ............. 41
X Table des mati`eres
2.3 Analyse a priori et a posteriori .......................... 42
2.4 Sources d’erreurs dans un mod`ele num´erique............... 43
2.5 Repr´esentation des nombres en machine................... 45
2.5.1 Le syst`eme positionnel ........................... 45
2.5.2 Le syst`eme des nombres `a virgule flottante.......... 47
2.5.3 R´epartition des nombres a` virgule flottante ......... 49
2.5.4 Arithm´etique IEC/IEEE.......................... 49
2.5.5 Arrondi d’un nombre r´eel en repr´esentation
machine ........................................ 51
2.5.6 Op´erations machines en virgule flottante............ 52
2.6 Exercices.............................................. 54
II Alg`ebre lin´eaire num´erique
3 M´ethodes directes pour la r´esolution
des syst`emes lin´eaires...................................... 61
3.1 Analyse de stabilit´e des syst`emes lin´eaires ................. 62
3.1.1 Conditionnement d’une matrice.................... 62
3.1.2 Analyse a priori directe .......................... 64
3.1.3 Analyse a priori r´etrograde ...................... 66
3.1.4 Analyse a posteriori ............................. 66
3.2 R´esolutiond’un syst`eme triangulaire...................... 67
3.2.1 Impl´ementation des m´ethodes de substitution ....... 68
3.2.2 Analyse des erreurs d’arrondi...................... 70
3.2.3 Inverse d’une matrice triangulaire.................. 71
3.3 M´ethode d’´eliminationde Gauss et factorisation LU ....... 72
3.3.1 La m´ethode de Gauss comme m´ethode
de factorisation.................................. 75
3.3.2 Effets des erreurs d’arrondi ....................... 79
3.3.3 Impl´ementation de la factorisation LU.............. 80
3.3.4 Formes compactes de factorisation ................. 81
3.4 Autres types de factorisation ............................ 83
3.4.1 La factorisation LDMT ........................... 83
3.4.2 Matrices sym´etriques d´efinies positives : la
factorisation de Cholesky ......................... 84
3.4.3 Matrices rectangulaires : la factorisation QR ........ 86
3.5 Changement de pivot ................................... 89
3.6 Calculer l’inverse d’une matrice .......................... 94
3.7 Syst`emes bandes ....................................... 94
3.7.1 Matrices tridiagonales ............................ 95
3.7.2 Impl´ementations................................. 97
3.8 Syst`emes par blocs ..................................... 99
3.8.1 La factorisation LU par blocs ..................... 99
Tabledes mati`eres XI
3.8.2 Inverse d’une matrice par blocs....................100
3.8.3 Syst`emes tridiagonaux par blocs ...................101
3.9 Pr´ecision de la m´ethode de Gauss ........................102
3.10 Un calcul approch´e de K(A).............................105
3.11 Am´eliorer la pr´ecision de la m´ethode de Gauss .............106
3.11.1 Scaling .........................................106
3.11.2 Raffinement it´eratif ..............................107
3.12 Syst`emes ind´etermin´es ..................................108
3.13 Exercices..............................................112
4 M´ethodes it´eratives pour la r´esolution
des syst`emes lin´eaires......................................115
4.1 Convergence des m´ethodes it´eratives......................115
4.2 M´ethodes it´eratives lin´eaires.............................118
4.2.1 Les m´ethodes de Jacobi, de Gauss-Seidel
et de relaxation..................................119
4.2.2 R´esultats de convergence pour les m´ethodes
de Jacobi et de Gauss-Seidel ......................120
4.2.3 R´esultats de convergence pour la m´ethode
de relaxation....................................123
4.2.4 Matrices par blocs ...............................124
4.2.5 Forme sym´etrique des m´ethodes SOR
et de Gauss-Seidel ...............................124
4.2.6 Impl´ementations.................................125
4.3 M´ethodes it´eratives stationnaires et instationnaires .........127
4.3.1 Analyse de la convergence des m´ethodes
de Richardson...................................128
4.3.2 Matrices de pr´econditionnement ...................130
4.3.3 La m´ethode du gradient ..........................138
4.3.4 La m´ethode du gradient conjugu´e..................142
4.3.5 La m´ethode du gradient conjugu´e pr´econditionn´e ....146
4.4 M´ethodes de Krylov ....................................148
4.4.1 La m´ethode d’Arnoldi pour les syst`emes lin´eaires ....152
4.4.2 La m´ethode GMRES.............................155
4.5 Tests d’arrˆet...........................................157
4.5.1 Un test d’arrˆet bas´e sur l’incr´ement ................158
4.5.2 Un test d’arrˆet bas´e sur le r´esidu ..................159
4.6 Exercices..............................................160
5 Approximation des valeurs propres
et des vecteurs propres ....................................163
5.1 Localisationg´eom´etrique des valeurs propres...............163
5.2 Analyse de stabilit´e et conditionnement ...................166
5.2.1 Estimations a priori .............................166