Table Of ContentTHE(cid:18)SE
pr(cid:19)esent(cid:19)ee par
Lo(cid:127)(cid:16)c BENAYOUN
pour obtenir le grade de DOCTEUR
de l’Institut National Polytechnique de Grenoble
(Arr^et(cid:19)e minist(cid:19)eriel du 30 mars 1992)
(sp(cid:19)ecialit(cid:19)e: Math(cid:19)ematiques Appliqu(cid:19)ees)
M(cid:19)ethodes g(cid:19)eom(cid:19)etriques pour l’(cid:19)etude des syst(cid:18)emes
thermodynamiques et la g(cid:19)en(cid:19)eration d’(cid:19)equations d’(cid:19)etat
Date de soutenance : 15 Mars 1999
Composition du Jury:
P.J. LAURENT (pr(cid:19)esident)
L. BRENIG (rapporteur)
R. MRUGAL A (rapporteur)
J. DELLA DORA (examinateur)
F. MONTEL (examinateur)
P. VALENTIN (examinateur)
Th(cid:18)ese pr(cid:19)epar(cid:19)ee au sein du Laboratoire LMC-IMAG
A(cid:18) ma grand-m(cid:18)ere Pesla
Remerciements
Je remercie Jean Della Dora d’avoir accept(cid:19)e d’^etre mon directeur de th(cid:18)ese et de l’aide
qu’il m’a apport(cid:19)ee tout au long de la th(cid:18)ese. Il m’a initi(cid:19)e (cid:18)a la g(cid:19)eom(cid:19)etrie di(cid:11)(cid:19)erentielle et (cid:18)a
l’(cid:19)etude des syst(cid:18)emes de Pfa(cid:11) qui sont les bases math(cid:19)ematiques de cette th(cid:18)ese.
Patrick Valentin a eu l’intuition et le courage de proposer un sujet de recherche dont
l’issue (cid:19)etait incertaine (cid:18)a l’origine. Je tiens (cid:18)a signaler son engagement personnel dans la
th(cid:18)ese. Il a fait plus que me suivre et m’initier a(cid:18) la thermodynamique, mais il a particip(cid:19)e
(cid:18)a la r(cid:19)ealisation de la th(cid:18)ese. Je tiens (cid:18)a lui exprimer ma reconnaissance pour tout le temps
qu’il a consacr(cid:19)e(cid:18)a cette th(cid:18)ese.Je remercie (cid:19)egalementla soci(cid:19)et(cid:19)eElf-Aquitaine, qui a (cid:12)nanc(cid:19)e
ce travail de recherche.
Monsieur Pierre-Jean Laurent m’a non seulement permis de r(cid:19)ealiser cette th(cid:18)ese en me
recommandant (cid:18)a Patrick Valentin, mais il m’ade plus fait l’honneur d’^etrele pr(cid:19)esident de
mon jury.
Je remercie mes deux rapporteurs,Messieurs L(cid:19)eonBrenig et Ryszard Mruga la,pour le
temps consacr(cid:19)e (cid:18)a la lecture de mon rapport et pour leurs pr(cid:19)ecieuses remarques. Monsieur
Brenigm’are(cid:24)cu(cid:18)aBruxelles etaprisletempsdem’(cid:19)ecouter,jelui ensuisreconnaissant.Les
conseils de Monsieur Mruga la,dont les travauxsont (cid:18)a l’origine de marecherche, m’ont(cid:19)et(cid:19)e
pr(cid:19)ecieux durant la th(cid:18)ese et j’esp(cid:18)ere que notre collaboration continuera a ^etre fructueuse.
Monsieur Fran(cid:24)cois Montel a r(cid:19)eussi a saisir l’int(cid:19)er^et physique de la th(cid:18)ese et le lien que
j’ai eu gr^ace (cid:18)a lui avec le monde de la thermodynamique pratique m’a enrichi.
Je n’oublie pas toutes les personnes avec qui j’ai (cid:19)et(cid:19)e amen(cid:19)e (cid:18)a travailler et qui m’ont
chacune aid(cid:19)e, tant par leurs (cid:19)eclaircissements math(cid:19)ematiques (E. Ferrand, Y. Macutan)
que thermodynamiques (C. Leibovici, H. Planche, M. Rogalski) .
Je remercie tous les membres de l’(cid:19)equipe de Calcul formel qui par leur bonne humeur
et leur disponibilit(cid:19)e m’ont o(cid:11)ert un cadre de travail dont je ne pouvais r^ever mieux. Je
ne parle pas seulement de ceux qui sont pass(cid:19)es du statut de coll(cid:18)egues de travail a(cid:18) celui
d’amis.
Je n’oublie pas tous mes amis qui me supportent et me soutiennent depuis des ann(cid:19)ees.
En(cid:12)n, je remercie mes parents et mon fr(cid:18)ere qui m’ont accompagn(cid:19)e et encourag(cid:19)e tout
au long de ces ann(cid:19)ees.
5
6
Table des mati(cid:18)eres
Remerciements 5
Introduction 13
I E(cid:19)tude des structures symplectiques et de contact 17
1 Structure de contact sur une vari(cid:19)et(cid:19)e 21
1.1 Rappel sur les structures symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.1 Champ de vecteurs hamiltoniens et syst(cid:18)emes hamiltoniens . . . . . . 26
1.1.2 Sous-vari(cid:19)et(cid:19)es Lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2 Structure de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Sous-vari(cid:19)et(cid:19)es de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.1 D(cid:19)e(cid:12)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Les fonctions g(cid:19)en(cid:19)eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.3 Int(cid:19)egrales premi(cid:18)eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Transformations de contact 43
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 Formulation g(cid:19)eom(cid:19)etrique des transformations de contact . . . . . . . 45
2n+1
2.2 Di(cid:11)(cid:19)eomorphisme et champs de vecteurs dans M . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Champ de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Construction d’un champ de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Relations entre champs de vecteurs de contact et hamiltoniens de
contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Lien entre transformation de Legendre et transformation de contact . . . . 56
2.5 Fonctions g(cid:19)en(cid:19)eratrices et hamiltoniens de contact . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Hamiltonien de contact d(cid:19)ependant du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2n+1
2.6.1 Plongement de la forme de contact dans M IR . . . . . . . . . 67
(cid:2)
2.6.2 Construction de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.3 Lien avec les syst(cid:18)emes hamiltoniens d(cid:19)ependant du temps. . . . . . . 74
2.7 Transformations associ(cid:19)ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7.1 Transformation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7
2.7.2 Transformation in(cid:12)nit(cid:19)esimale conforme de champs de vecteurs . . . 77
2.7.3 Transport des formes di(cid:11)(cid:19)erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8
II Formalisation de la thermodynamique classique 81
3 Thermodynamique 85
3.1 E(cid:19)tats d’(cid:19)equilibre d’un syst(cid:18)eme et coordonn(cid:19)ees thermodynamiques . . . . . . 85
3.2 Formes fondamentales de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 E(cid:19)quations thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4 E(cid:19)quations d’(cid:19)etat et mod(cid:18)eles thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Coe(cid:14)cients de r(cid:19)eponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6 Relations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Structure de contact et thermodynamique 97
4.1 La forme de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 E(cid:19)quations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Relations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.4 Formes de Gibbs g(cid:19)en(cid:19)eralis(cid:19)ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 Hamiltonien (Cas g(cid:19)en(cid:19)eral) 107
5.1 Introduction: Formalisation du probl(cid:18)eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Homog(cid:19)en(cid:19)eit(cid:19)edu champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 Application de Legendre et changement de potentiel . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Transformations quasi-statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5 G(cid:19)en(cid:19)eration de nouveaux mod(cid:18)eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5.1 Construction d’un gaz parfait g(cid:19)en(cid:19)eral . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 D(cid:19)etermination (cid:18)a l’aide des fonctions g(cid:19)en(cid:19)eratrices . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6.1 Application: la m(cid:19)ethode de Lee-Kesler(1975) [43] . . . . . . . . . . . 126
5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Hamiltonien (Cas pVT) 135
6.1 M(cid:19)ethode par combinaison verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2 Hamiltonien de contact d(cid:19)ependant du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.1 Construction de f par identi(cid:12)cation sur les (cid:19)equations pVT . . . . . 138
6.2.2 Construction par param(cid:19)etrisation des (cid:19)equations pVT . . . . . . . . . 142
6.2.3 Application: Passage du mod(cid:18)ele de Van der Waals au mod(cid:18)ele de
Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Construction du hamiltonien de contact en s(cid:19)equence . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Transport d’autres grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4.1 Transport des fonctions thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4.2 Transport des coe(cid:14)cients de r(cid:19)eponse thermodynamiques . . . . . . . 150
6.5 Construction de mod(cid:18)eles lors de m(cid:19)elange de gaz . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.5.1 Cas Multi-composants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.5.2 Introduction aux r(cid:18)egles de m(cid:19)elanges dans le cas pVT . . . . . . . . . 153
9
6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10
