Méthodes de moyennisation stroboscopique appliquées aux équations aux dérivées partielles ...

126 Pages·2016·4.39 MB·French

by  Guillaume Leboucher

M´ethodes de moyennisation stroboscopique appliqu´ees
aux ´equations aux d´eriv´ees partielles hautement
oscillantes
Guillaume Leboucher
To cite this version:
Guillaume Leboucher. M´ethodes de moyennisation stroboscopique appliqu´ees aux ´equations
aux d´eriv´ees partielles hautement oscillantes. Equations aux d´eriv´ees partielles [math.AP].
Universit´e Rennes 1, 2015. Franc¸ais. <NNT : 2015REN1S121>. <tel-01326270>
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N° d’ordre : ANNÉE 2015
THÈSE / UNIVERSITÉ DE RENNES 1
sous le sceau de l’Université Européenne de Bretagne
pour le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE RENNES 1
Mention : Mathématiques
Ecole doctorale Matisse
présentée par
Guillaume Leboucher
préparée à l’unité de recherche IRMAR (n°6625)
Institut de Recherche Mathématiques de Rennes

Méthodes de Thèse soutenue à Rennes
le 8 Décembre 2015
moyennisation
devant le jury composé de :
stroboscopique François CASTELLA
Professeur à l'université de Rennes / président
Assyr ABDULLE
appliquées aux
Professeur à l'école Polytechnique de Lausanne /
rapporteur
équations aux
Hélène BARUCQ
Professeur à l'université de Pau / rapporteur
dérivées partielles
Gilles VILMART
Maître de conférence à l'université de Genève /
hautement
examinateur
Mechthild THALHAMMER
oscillantes.
Professeur à l'université d'Innsbruck / examinateur
Florian MEHATS
Professeur à l'université de Rennes / directeur de
thèse
Philippe CHARTIER
Directeur de recherche à l'INRIA de Rennes /
co-directeur de thèse
UniversitØ de Rennes 1
N◦ attribuØ par la bibliothŁque
TH¨SE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’UniversitØ de Rennes 1
SpØcialitØ : MathØmatiques
prØparØe au laboratoire IRMAR
dans le cadre de l’(cid:201)cole Doctorale MATISSE
prØsentØe et soutenue publiquement
par
Leboucher Guillaume
le 8 DØcembre 2015
Titre:
MØthodes de moyennisation stroboscopique appliquØes aux
Øquations aux dØrivØes partielles hautement oscillantes.
Directeur de thŁse: Florian MØhats
Co-directeur de thŁse: Philippe Chartier
Jury
M. Assyr Abdulle, Rapporteur
Mme. HØlŁne Barucq, Rapporteur
Mme. Mechtild Thalhamer, Examinateur
M. Gilles Vilmart, Examinateur
M. Fran(cid:231)ois Castella, Examinateur
M. Florian MØhats, Directeur de thŁse
M. Philippe Chartier, Co-directeur de thŁse
ii
RØsumØ
Cette thŁse prØsente des travaux originaux dans le domaine des mØthodes de moyen-
nisation d’ordre ØlevØ. On s’intØresse notamment (cid:224) des procØdures de moyennisa-
tion dite stroboscopique ou quasi-stroboscopique dans des espaces de Banach ou
de Hilbert. Ces procØdures sont ensuite appliquØes (cid:224) des exemples concrets : des
Øquations d’Øvolutions hautement oscillantes.
PlusprØcisØment,onmontredansunpremiertempsunrØsultatdemoyennisation
stroboscopique dans un espace de Banach oø l’on obtient des estimations d’erreurs
exponentielles. Ce thØorŁme est ensuite appliquØ sur deux Øquations des ondes semi-
linØaire hautement oscillantes. On montre Øgalement que la Stroboscopic Averaging
Method s’applique (cid:224) une Øquation des ondes semi-linØaire avec conditions de Dirich-
let. On trouve en(cid:28)n numØriquement, une dynamique intØressante de l’Øquation des
ondes semi-linØaire mise en lumiŁre par la procØdure de moyennisation.
Dans un second temps, on prØsente un thØorŁme de moyennisation quasi-strobos-
copique dans un espace de Hilbert quelconque avec des estimations d’erreurs expo-
nentielles. Ce thØorŁme est alors appliquØ de fa(cid:231)on indirecte (cid:224) une Øquation de
Schr(cid:246)dinger semi-linØaire oscillante. Cette Øquation est d’abord projetØ dans un
espace de dimension (cid:28)nie pour qu’on puisse lui appliquer le thØorŁme de moyen-
nisation quasi-stroboscopique. On Øcrit alors un rØsultat de moyennisation quasi-
stroboscopique pour l’Øquation de Schr(cid:246)dinger semi-linØaire avec des estimations
d’erreur polynomiales.
iii
Abstract
Thisthesispresentssomeoriginalworkinthe(cid:28)eldofhighorderaveragingprocedure.
Inparticular, weareinterestedinstroboscopicandquasi-stroboscopicaveragingpro-
cedure in abstract Banach or Hilbert spaces. This procedures is applied to concrete
examples: some highly oscillatory evolution equations.
More precisely, we (cid:28)rst show a theorem of stroboscopic averaging in a Banach
space where we obtain exponential error estimates. This theorem is then applied
on two semi-linear and highly oscillatory wave equations. We also put in evidence
that the Stroboscopic Averaging Method works (cid:28)ne with a semi-linear wave equa-
tion with Dirichlet conditions. Finally, the averaging procedure puts in evidence,
numerically, an interesting dynamics regarding the semi-linear wave equation with
Dirichlet conditions.
In a second part, we present a quasi-stroboscopic averaging theorem in a Hilbert
space with exponential error estimates. This theorem is applied on a semi-linear
Schr(cid:246)dinger equation. This equation has (cid:28)rst, to be project in a (cid:28)nite dimen-
sional space in order to (cid:28)t in the hypotheses of the theorem. We then write a
quasi-stroboscopic averaging theorem for a semi-linear Schr(cid:246)dinger equation with
polynomial error estimates.
iv
Remerciements
Je remercie toutes celles et ceux qui, de prŁs ou de loin, ont contribuØ (cid:224) la rØalisation
de cette thŁse. Tout d’abord, ceux sans qui, la tenue d’une soutenance aurait ØtØ
tout simplement impossible.
• Florian et Philippe, mes directeurs de thŁse qui ont pris la peine de relire et
corrigermesinnombrablesfautes(qu’ellessoientd’AnglaisouMathØmatiques)
tout au long de ces quatre ans, qui m’ont aidØ et guidØ tant bien que mal et
qui ne m’ont pas laissØ tomber.
• Assyr Abdulle et HØlŁne Barucq, qui ont acceptØ de relire et commenter cette
thŁse.
• Mechtild Thalhammer, Gilles Vilmart et Fran(cid:231)ois Castella qui ont acceptØ de
faire partie du jury et me permettent de leur exposer mes travaux.
Ensuite tout ceux qui ont ØtØ prØsent durant ces quatres ans a(cid:28)n de m’aider ou
de m’inspirer:
• Chantal Halet, Carole Wosiak, HØlŁne Rousseaux et Marie-Aude Verger qui
forment l’Øquipe de secrØtaire la plus e(cid:30)cace avec lesquelles il m’ait ØtØ donnØ
de travailler,
• L’Øquipe IPSOS de l’INRIA dont Philippe est le directeur,
• L’Øquipe d’analyse et d’analyse numØrique de l’universitØ de Rennes,
• L’Øquipe de sciences en cour[t]s qui m’a permis de tourner un court mØtrage
parlant de mon sujet de thŁse,
• Alexander Osterman, pour ses invitations (cid:224) Innsbruck et (cid:224) Dobbiaco,
• Anti, pour avoir rendu des confØrences rØellement passionantes.
v
CHAPTER 0. REMERCIEMENTS
En troisiŁme lieu, je tiens (cid:224) remercier les Rennais qui m’ont soutennu avant,
pendant et aprŁs la thŁse:
• Bastien, qui est le seul doctorant (cid:224) organiser une raclette pour son pot de
thŁse,
• Florent, pour les dØlires et les soirØes passØes rue de la soif,
• Grand Ju, qui ne (cid:28)nira jamais de me faire rire,
• Cristophe, dont je pensais Œtre dØbarassØ aprŁs ma thŁse mais qui m’a suivi
jusqu’(cid:224) Paris,
• Yohann, excellent chercheur (cid:224) qui il faudrait donner un poste, j’ai un pari en
cours avec lui,
• JØrØmy, aussi aimable et gentil qu’il est bon mathØmaticien,
• Quentin, qui me suit depuis la premiŁre et qui a poussØ le vice jusqu(cid:224) soutenir
le mŒme jour que moi.
• Lisa, qui m’a toujours bien accueilli sur Rennes.
• HØlŁne, toujours prØsente, surtout quand je m’y attend le moins,
• Fif, auteur des paris les plus fous et qui pourtant n’a pas osØ parier que je ne
soutiendrais jamais (pour ce que j’en sais en tout cas),
• Manue et les jumeaux qui m’ont toujours acceptØ dans leurs vies (comme si
ils avaient le choix) et m’ont permis de squatter chez eux quand je venais sur
Rennes,
• Elise, qui m’a soutenu et motivØ tout au long de la thŁse (Et pas seulement
pour aller courir).
Siilestimportantdeconnaitredesmatheux,desthØsardsa(cid:28)ndepouvoirØchanger
et discuter, je pense qu’il est tout aussi (voire plus) important d’avoir des amis en
dehors de l’ENS et de l’IRMAR. J’aimerais les remercier ici mŒme s’il semble peu
probable qu’ils lisent un jour ces mots.
• Le personnel du collØge Hector Berlioz, particuliŁrement disponibles et sym-
pathiques. On ne pouvait pas imaginer pire comme environnement et rŒver
mieux comme collŁgues. Plus particuliŁrement, je remercie Teva, Laurent,
Carole, Joan, Muriel, Juliette et Isabelle pour des raisons di(cid:27)Ørentes.
vi
CHAPTER 0. REMERCIEMENTS
• Les gens de Pokerennes qui m’ont accueilli dans leur petite famille. Plus
particuliŁrement Bruno, Step, Vince, Nior et Koni avec qui mes Øchanges pok-
eristiques ont toujours ØtØ passionnant.
• Les manceaux qui sont avec moi depuis toujours : Samy, Lucile, ClØment
Thomas, Priscillia, Didi, Gaby, Sophie et la grande Emilie. Je leur dois beau-
coup.
• Fabien, mon plus vieil ami qui mŒme sans comprendre, osait me demander ce
qu’il y avait dans ma thŁse.
En(cid:28)n, je tiens (cid:224) remercier tout ceux que je considŁre comme ma famille pour leur
prØsence et l’aide in(cid:28)nie qu’ils m’ont apportØ.
• Martin mon cousin Germain et Daniela.
• La famille Deichelborher avec Jean, Monique, Mireille, Pierrot, Lo(cid:239)c et ClØ-
ment.
• Ma belle famille, notamment Jean-Marc, Chantal, Nicolas, Mathieu, Edwige,
Elo(cid:239)seetAubin(mespremiersniŁcesetneveux)ainsiquelerestedesAlsaciens.
• La famille Moreau avec Laurence, Christophe, Corentin, Laurie et Elise.
• Les Normands, Eric, Edith, Emeric, Martha, Emeline, Erika, Raphaºl et
Ethan.
• La famille Chaussavoine avec Annie, Jean-Luc, AlizØe et Vincent.
• Mes colocs de toujours, Thomas et Juju.
• Ma grand mŁre, une femme qui m’impressionnera toujours.
• Laurent et Maud: Et oui je serais docteur avant vous (cid:28)nalement.
• Filou, Loris, Marie, Thibault, Amaury, Lancelot, BØnØdicte, ainsi que mes
parents. Je leur dois tellement (cid:224) tous qu’ils seraient bien trop lonq de l’exposer
ici.
• Mama.
vii
CHAPTER 0. REMERCIEMENTS
Cette thŁse est dØdiØe (cid:224) mon grand pŁre et (cid:224) ma tante.
viii