Table Of ContentMéthodes de Monte Carlo EM et approximations
particulaires: Application à la calibration d’un modèle
de volatilité stochastique.
Mouhamad M. Allaya
To cite this version:
Mouhamad M. Allaya. Méthodes de Monte Carlo EM et approximations particulaires: Application
à la calibration d’un modèle de volatilité stochastique.. Probabilités [math.PR]. Université Paris 1
Panthéon-Sorbnne, 2013. Français. NNT: . tel-00942243
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UNIVERSIT(cid:201) PARIS I PANTH(cid:201)ON-SORBONNE
&
LABORATOIRE STATISTIQUE, ANALYSE, MOD(cid:201)LISATION
MULTIDISCIPLINAIRE.
T H ¨ S E
prØsentØe pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN MATH(cid:201)MATIQUES APPLIQU(cid:201)ES
DE L’UNIVERSIT(cid:201) PARIS I PANTH(cid:201)ON-SORBONNE
SpØcialitØ : ProbabilitØs et Statistique
par
Mouhamad M. Allaya
MØthodes de Monte-Carlo EM et
approximations particulaires : Application (cid:224)
la calibration d’un modŁle de volatilitØ
stochastique.
soutenue publiquement le 09 dØcembre 2013, devant le jury composØ de :
Jean-Marc Bardet Professeur, universitØ Paris 1 PanthØon-Sorbonne Directeur
Aliou Diop Professeur, universitØ Gaston Berger de St-Louis Rapporteur
Michel Verleysen Professeur, universitØ de Louvain-la-Neuve Rapporteur
Marie Cottrell Professeur, universitØ Paris 1 PanthØon-Sorbonne PrØsidente
Jean-Bernard Baillon Professeur, universitØ Paris 1 PanthØon-Sorbonne Examinateur
Pierre Bertrand Professeur, universitØ de Clermont-Ferrand Examinateur
Remerciements
Je tiens tout d’abord (cid:224) dire merci (cid:224) mon encadreur Jean-Marc Bardet pour avoir
acceptØ de diriger cette thŁse malgrØ toutes les pØripØties par lesquelles je suis passØ. Je
tiens aussi (cid:224) remercier la directrice du laboratoire SAMM, Marie Cottrell, pour avoir
ØtØ constamment un soutien matØriel et moral dans ces diverses Øpreuves avec l’aide de
tout le laboratoire. Qu’elle trouve en ces quelques mots toute ma gratitude (cid:224) son Øgard.
Je tØmoigne de toute mon estime (cid:224) l’endroit de Michel Verleysen qui a acceptØ
d’Œtre rapporteur de cette thŁse. Et je remercie Aliou Diop, pour avoir Øgalement ac-
ceptØ d’Œtre rapporteur, mais aussi pour m’avoir formØ dans les classes antØrieures et
initiØ (cid:224) la recherche au sein du laboratoire LERSTAD de Saint-Louis. J’exprime aussi
mes remerciements (cid:224) l’endroit de Pierre Bertrand pour avoir acceptØ d’examiner cette
thŁse.
Je remercie Øgalement Jean-Bernard Baillon, Jean-Marc Bardet et Marie Cottrell
pour avoir entre autres facilitØ mes dØmarches administratives pendant tout ce temps.
Je remercie les membres du SAMM pour les moments de bonheur partagØ autour
de mets excellents d’origines diverses, (cid:224) l’image du laboratoire. Je tiens aussi (cid:224) dire
merciauxcamaradescommunistes,idØalistes,philosophes,capitalistesetutopistes(Fa-
nia, BØchir, Omar, Abdelkader, Souhelia, Anthikos, Ibrahima, Dhaou, Djihed, Tzirizo,
Alexis, Bienvenue, William) pour les dØbats et quŒtes de sens (cid:244) combien passionnants
et passionnØs.
Je suis Øgalement redevable (cid:224) Madalina, le train bondØ de monde, quelque part en
direction de St-RØmy lŁs Chevreuse, (cid:224) Annie, Sandie, Julien, Sonia, Charles, Pierre,
Patrice, Patrick, CØcile, Fabrice, Nicolas, collŁgues au quotidien, pour leurs preuves
d’amitiØs.
ThèsedeDoctorat
En outre, je tiens (cid:224) remercier vivement tous les enseignants que j’ai eus du primaire
(cid:224) l’universitØ et qui m’ont transmis leurs savoirs et leur pØdagogie entre autres. A l’en-
droit de mes promotionnaires, de mes amis (Thiam, KontØ, Boubacar, Katy, Alioune,
Abou, Khaly, etc.) ainsi que de ma famille adoptive des Ulis et Morangis (Ismael,
Coumba, Maimouna), je leur tØmoigne toute ma gratitude pour leur accueil et sollici-
tude.
Je suis aussi redevable aux amis et promotionnaires de MontrØal chez qui je termine
ces quelques lignes, pour leur accueil chaleureux (Kao, Souleymane, Nenema, Racine,
Khady, Albano, A(cid:239)cha et tous les autres). Qu’ils soient tØmoins de toute ma reconnais-
sance.
En(cid:28)n, mes remerciements vont (cid:224) l’endroit de ma famille, soutien indØfectible : ma
mŁre et mes frŁres (Ibrahim, Samsou et NorØini) qu’ils soient remerciØs de toute l’af-
fection ininterrompue dont je suis encore le rØcipiendaire. Les mots ne sauraient su(cid:30)re
pour dØcrire le soutien de tout ordre qu’ils m’ont apportØ. Je leur suis in(cid:28)niment rede-
vable.
A mon pŁre.
ii
RØsumØ
Ce travail de thŁse poursuit une perspective double dans l’usage conjoint des mØ-
thodesdeMonteCarlosØquentielles(MMS)etdel’algorithmeEspØrance-Maximisation
(EM) dans le cadre des modŁles de Markov cachØs prØsentant une structure de dØ-
pendance markovienne d’ordre supØrieur (cid:224) 1 au niveau de la composante inobservØe.
Tout d’abord, nous commen(cid:231)ons par un exposØ succinct de l’assise thØorique des deux
concepts statistiques (cid:224) travers les chapitres 1 et 2 qui leurs sont consacrØs. Dans un
secondtemps,nousnousintØressons(cid:224)lamiseenpratiquesimultanØedesdeuxconcepts
au chapitre 3 et ce dans le cadre usuel oø la structure de dØpendance est d’ordre 1.
L’apport des mØthodes MMS dans ce travail rØside dans leur capacitØ (cid:224) approximer
e(cid:30)cacement des fonctionnelles conditionnelles bornØes, notamment des quantitØs de
(cid:28)ltrage et de lissage dans un cadre non linØaire et non gaussien. Quant (cid:224) l’algorithme
EM, il est motivØ par la prØsence (cid:224) la fois de variables observables et inobservables
(ou partiellement observØes) dans les modŁles de Markov CachØs et singuliŁrement les
modŁles de volatilitØ stochastique ØtudiØ.
AprŁs avoir prØsentØ aussi bien l’algorithme EM que les mØthodes MCs ainsi que
quelques unes de leurs propriØtØs dans les chapitres 1 et 2 respectivement, nous illus-
trons ces deux outils statistiques au travers de la calibration d’un modŁle de volati-
litØ stochastique. Cette application est e(cid:27)ectuØe pour des taux change ainsi que pour
quelques indices boursiers au chapitre 3. Nous concluons ce chapitre sur un lØger Øcart
du modŁle de volatilitØ stochastique canonique utilisØ ainsi que des simulations de
Monte Carlo portant sur le modŁle rØsultant.
En(cid:28)n, nous nous e(cid:27)or(cid:231)ons dans les chapitres 4 et 5 (cid:224) fournir les assises thØoriques et
pratiques de l’extension des mØthodes Monte Carlo sØquentielles notamment le (cid:28)ltrage
iii
ThèsedeDoctorat
et le lissage particulaire lorsque la structure markovienne est plus prononcØe. En guise
d’illustration, nous donnons l’exemple d’un modŁle de volatilitØ stochastique dØgØnØrØ
dont une approximation prØsente une telle propriØtØ de dØpendance.
iv
Abstract
This thesis pursues a double perspective in the joint use of sequential Monte Carlo
methods(SMC)andtheExpectation-Maximizationalgorithm(EM)underhiddenMar-
kov models having a Markov dependence structure of order grater than one in the
unobserved component signal. Firstly, we begin with a brief description of the theo-
retical basis of both statistical concepts through Chapters 1 and 2 that are devoted.
In a second hand, we focus on the simultaneous implementation of both concepts in
Chapter 3 in the usual setting where the dependence structure is of order 1.
The contribution of SMC methods in this work lies in their ability to e(cid:27)ectively
approximate any bounded conditional functional in particular, those of (cid:28)ltering and
smoothing quantities in a non-linear and non-Gaussian settings. The EM algorithm
is itself motivated by the presence of both observable and unobservable (or partially
observed) variables in Hidden Markov Models and particularly the stochastic volatility
models in study.
Having presented the EM algorithm as well as the SMC methods and some of their
properties in Chapters 1 and 2 respectively, we illustrate these two statistical tools
through the calibration of a stochastic volatility model. This application is done for
exchange rates and for some stock indexes in Chapter 3. We conclude this chapter
on a slight departure from canonical stochastic volatility model as well Monte Carlo
simulations on the resulting model.
Finally, we strive in Chapters 4 and 5 to provide the theoretical and practical
foundation of sequential Monte Carlo methods extension including particle (cid:28)ltering
and smoothing when the Markov structure is more pronounced. As an illustration, we
give the example of a degenerate stochastic volatility model whose approximation has
v
ThèsedeDoctorat
such a dependence property.
vi
Table des matiŁres
Introduction 1
Notations 5
1 Algorithme EspØrance Maximisation 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Formulation et propriØtØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Notations, dØ(cid:28)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Applications (cid:224) la famille exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Distribution multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Distribution exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 (cid:201)lØments de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
(cid:8) (cid:9)
1.4.1 Convergence de la suite L(θ(k)),k ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . 19
(cid:8) (cid:9)
1.4.2 Convergence de la suite θ(k),k ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.4 CritŁres d’arrŒt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Monte Carlo EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2 α-EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 MØthodes de Monte Carlo SØquentielles 29
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 (cid:201)chantillonnage d’importance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
vii
Description:tiens aussi à remercier la directrice du laboratoire SAMM, Marie Cottrell, pour avoir du jeu de paramètres rendant optimal la fonction objectif.
