Méthodes d'Analyses Factorielles ACP et AFCM

28 Pages·2004·0.66 MB·French

LTSI
Méthodes d’Analyses Factorielles
ACP et AFCM
Emmanuel ROUX, Alfredo HERNANDEZ et Guy CARRAULT
LTSI - INSERM U642
Séminaire « Tahiti » - IRISA - Île de Houat - 26-27 Avril 2004 1
Introduction
• Contexte
– Nombre important de variables et d’individus statistiques
– Pas ou peu de connaissances préalables sur les données
• Objectifs des méthodes
– Réduction des données
• Identifier les variables discriminantes les plus informatives
• Identifier des relations entre variables
– Juger de la capacité de caractérisation des variables
– Identifier des groupes d’individus et/ou des types de comportement
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Plan de l’Exposé
• Principes communs aux méthodes factorielles
• Analyse en Composantes Principales (ACP)
→
Exemple
• Analyse des Correspondances
– Simple (AFC)
– Multiple (AFCM)
→
Exemple
• Étude en cours
3
Principes Communs
• Tableau de données
×
n individus statistiques p variables
• Objectif
Représenter les données de manière « optimale »
• Méthode
→
– Transformation D X adaptée à l’analyse souhaitée
– Définition d’une distance
– Critère d’optimisation
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Espace des Individus / des Variables
Variables
D
V1 V2 … Vp
I1 d11 d12 Mise en forme
Rp
I2
Individus
Statistiques …
In dnp Variables
X
V1 V2 … Vp
Ip I2
I1 x11 x12
H2
I2
Individus
Statistiques …
I1
In xnp
I3
u
Rn
V1
v
⎛ n ⎞
V2
∑ ⋅
max⎜ p d (OHi)⎟
i
r
u ⎝ ⎠
=
i 1
Vp
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Propriétés de Base
• Dans l’espace des variables Rp
λ
u = vecteurs propres de XtX associés aux valeurs propres
α α
• Dans l’espace des individus Rn
v = idem avec XXt
α
Les valeurs propres de XtX est de XXt sont égales !!
Rechercher la meilleure représentation des individus
revient à chercher la meilleure représentation des variables
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Analyse en Composantes Principales
(ACP)
• Type de données
– Variables continues
– ACP normée : données centrées réduites (X)
−
d d
∈ × = ij j
(i, j) [1, n] [1, p], x
ij σ
j
• Distance euclidienne
• Critère
⎛ n ⎞
∑
max⎜ d (GHi)⎟
r
u ⎝ ⎠
=
i 1
• Recherche des valeurs propres de XtX
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Exemple ACP - Données
Activités et Tendances Culturelles : Musique Enregistrée (1998)
Vente MusPopNat MusPopInt MusClas TxEnrPirates TxImp LectCD
($ US / Hab) (%) (%) (%) (%) (%) (Nb/ 100 Hab)
Allemagne 36,6 43 47 10 3 16 75
Autriche 42,3 15 73 12 2 20 48
Belgique 36,1 20 71 9 4 21 63
Danemark 49,5 35 57 8 1 25 77
Espagne 17,1 42 51 7 2 16 47
Russie 0,6 68 26 6 70 20 2
Finlande 26,9 42 48 10 10 22 43
France 36,4 44 46 10 3 21 68
Grèce 10,9 59 37 4 25 18 22
Hongrie 5,6 32 59 9 25 25 22
Irlande 31,6 16 79 5 5 21 67
Israël 8,3 33 60 7 60 17 27
Italie 10,5 44 51 5 25 20 38
Lettonie 3,9 47 53 0 50 18 4
Norvège 62,8 19 77 4 4 23 44
Pays-Bas 35,7 27 64 9 6 18 99
Pologne 3,9 22 67 11 40 22 20
Portugal 18,7 31 65 4 3 18 30
RépTchèque 7,6 42 48 10 6 22 21
Roumanie 0,3 41 52 7 80 18 6
RoyaumeUni 49,0 48 45 7 1 18 87
Slovaquie 4,0 19 74 7 15 15 21
Suède 44,2 25 71 4 3 25 60
Suisse 45,0 8 82 10 4 8 75
http://www.unesco.org/culture/worldreport/html_fr/stat2/table5f.pdf
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Valeurs Propres
Résultats ACP Interprétation
λ α
Valeurs propres Variances suivant l’axe
α
λ Σ λ α
/ % d’inertie expliquée par l’axe
α α α
Critères de choix des axes principaux
• % inertie expliquée > 80%
• Valeurs propres > 1
• Différence significative entre 2 valeurs propres successives
Dépend du nombre de variables
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Variables
Résultats ACP Interprétation
Position absolue de la variable Qualité de la représentation dans le plan
Cosinus angle entre variables Corrélation
Axe : 1
VENTE$/HAB 0,83
LECTCD/100 0,81
MUSPOPINT 0,73
s
e MUSCLAS 0,38
l
b
TXIMP -0,04
a
i
r
MUSPOPNAT -0,78
a
v
TXENRPIRAT -0,81
s
--000,,,879248 e
é
Axe : 2
n
n
o MUSPOPINT 0,65
d
r TXENRPIRAT 0,33
o
o
MUSCLAS -0,13
C
VENTE$/HAB -0,35
TXIMP -0,37
LECTCD/100 -0,42
MUSPOPNAT -0,60
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