Methoden der Mathematischen Physik

468 Pages·1924·20.867 MB·German

by  R. Courant, D. Hilbert (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERÜCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGE
HAMBURG GÖTTINGEN GÖTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
GÖTTINGEN
BAND XII
METHODEN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK I
VON
R. COURANT UND D. HILBERT
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1924
METHODEN
DER MATHEMATISCHEN
PHYSIK
VON
R. COURANT D. HILBERT
UND
ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK GEH. REG.-RAT • ORD. PROFESSOR DER
AN DER UNIVERSITÄT GÖTTINGEN MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT
GÖTTINGEN
ERSTER BAND
MIT 29 ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH 1924
ISBN 978-3-662-35615-9 ISBN 978-3-662-36445-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-36445-1
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER ÜBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1924 BY SPRINGER-VERlAG BERLIN HEIDELBERG
URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEI]ULIUS SPRINGER IN BERLIN 1924
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1924
Vorwort.
Von jeher hat die Mathematik mächtige Antriebe aus den engen Be
ziehungen gewonnen, welche zwischen den Problemen und Methoden
der Analysis und den anschaulichen Vorstellungen der Physik bestehen.
Erst die letzten Jahrzehnte brachten eine Lockerung dieses Zusammen
hanges, indem sich die mathematische Forschung vielfach von ihren an
schaulichen Ausgangspunkten ablöste und insbesondere in der Analysis
manchmal allzu ausschließlich um Verfeinerung ihrer Methoden und
Zuspitzung ihrer Begriffe bemühte. So kommt es, daß viele Vertreter
der Analysis das Bewußtsein der Zusammengehörigkeit ihrer vVissen
schaft mit der Physik und anderen Gebieten verloren haben, während
auf der anderen Seite oft den Physikern das Verständnis für die Pro
bleme und Methoden der Mathematiker, ja sogar für deren ganze
Interessensphäre und Sprache abhanden gekommen ist. Ohne Zweifel
liegt in dieser Tendenz eine Bedrohung für die Wissenschaft überhaupt;
der Strom der wissenschaftlichen Entwicklung ist in Gefahr, sich
weiter und weiter zu verästeln, zu versickern und auszutrocknen. Soll
er diesem Geschick entgehen, so müssen wir einen guten Teil unserer
Kräfte darauf richten, Getrenntes wieder zu vereinigen, indem wir unter
zusammenfassenden Gesichtspunkten die inneren Zusammenhänge der
mannigfaltigen Tatsachen klarlegen. Nur so wird dem Lernenden eine
wirkliche Beherrschung des Stoffes ermöglicht und dem Forscher der
Boden für eine organische Weiterentwicklung bereitet.
Diesem Ziele soll für das Gebiet der mathematischen Physik das
vorliegende Buch dienen. Es entwickelt mathematische Methoden, die
im Anschluß an klassische physikalische Fragestellungen des 18. und
19. Jahrhunderts ausgebildet worden sind, und sucht die gewonnenen
Ergebnisse zu einheitlichen mathematischen Theorien auszugestalten.
Vollständigkeit erstreben wir nicht, hoffen aber doch, durch unsere
Darstellung den Zugang zu einem wichtigen und an den schönsten
Zusammenhängen reichen Gebiete zu erleichtern, dessen weiterer Aus
bau eine überaus lohnende und für Mathematik wie Physik gleich er
sprießliche Aufgabe ist. Unserer Einstellung entsprechend haben wir
uns überaU bemüht, für die Betrachtungen und Beweise die einfachste
mögliche Form zu finden. Jede blinde Benutzung des Apparates der
Rechnung ist nach Möglichkeit vermieden und durch Überlegungen be
grifflicher Natur ersetzt. Abgesehen von dem rein Methodischen ent
hält der vorliegende Band viele Einzelheiten, die auch dem Kenner neu
sein dürften.
Ein geschlossenes Ganzes wird dieser Band erst mit dem in Vor
bereitung befindlichen zweiten Bande bilden. Durchweg spielen die Ge
sichtspunkte der Variationsrechnung die beherrschende Rolle, d. h. das
Bestreben, mathematische Größen uncl Funktionen durch Extremums-
VI Vorwort.
eigenschaften zu charakterisieren. Immer mehr erweist sich die Variations
rechnung, in diesem aUgemeinen Sinne verstanden, als mächtiger Hebel
der mathematischen Analysis und wichtiges Prinzip der Vereinfachung
und Vereinheitlichung.
Für den vorliegenden Band im einzelnen muß ich die Verantwortung
allein übernehmen, da Anlage und Einzelausführungen zum größten Teil
in meiner Hand lagen. Auch habe ich mir die Freiheit genommen, an
zahlreichen Stellen des Buches größere Abschnitte aus eigenen Abhand
lungen mit geringen Veränderungen abzudrucken. Wenn ich trotzdem
darauf bestanden habe, daß auch nach außen hin die Autorschaft meines
hochverehrten Lehrers, Kollegen und Freundes Hilbert mit zum Aus
druck kommt, so geschieht dies nicht nur im Hinblick auf das vielfach
benutzte Material aus Hilbertschen Abhandlungen und Vorlesungen,
welches in erhöhtem Maße noch im zweiten Bande zur Geltung kommen
soll; vor allem wünsche ich vielmehr damit zu betonen, daß die hier ver
tretenen wissenschaftlichen und pädagogischen Bestrebungen Kinder
der mathematischen Geistesrichtung sind, welche für immer mit Hilberts
Namen verbunden bleiben wird.
Über die Einzelheiten des behandelten Stoffes unterrichtet das aus
führliche Inhaltsverzeichnis. Für die Anordnung waren methodische.
nicht stoffliche Gesichtspunkte maßgebend. Jedes einzelne Kapitel bildet
in gewissem Grade eine selbständige Einheit und kann daher im wesent
lichen auch ohne Kenntnis der übrigen gelesen werden. Ein ausführliches
Register soll die Orientierung in dem Buche erleichtern. Die Literatur
angaben, insbesondere die jedem Kapitel beigegebenen Literaturverzeich
nisse, machen keinerlei Anspruch auf systematische Vollständigkeit.
Für den zweiten Band haben wir uns neben der allgemeinen Be
handlung der klassischen Differentialgleichungen der Physik eine ausführ
liche Erörterung der Existenzfragen und der numerischen Berechnung
der Lösungen vorbehalten, wobei die direkten Methoden der Variations
rechnung im Vordergrunde stehen sollen. Ferner sollen im zweiten Bande
eine Ergänzung der hier im vierten Kapitel gegebenen Darstellung der
Variationsrechnung durch die Hamilton-Jacobische Theorie und An
wendungen auf Fragen der neueren Physik Platz finden.
Vielen treuen Helfern bei der Herstellung des Manuskriptes und
bei der saueren Arbeit der Korrektur schulde ich Dank: E. Bessel
Hagen, K.Friedrichs, K.Grandfot, E.Hellinger, P.]ordan, H.Kneser,
0. Neugebauer, A. Ostrowski, C. L. Siegel, A. Walther.
Ebenso ist es mir eine angenehme Pflicht, auch an dieser Stelle der
Verlagsbuchhandlung, welche in ihrer gewohnten Großzügigkeit die
Arbeit des Autors durch jedes erdenkliche Entgegenkommen erleichtert
hat, meinen herzlichen Dank auszusprechen.
Göttingen, am 11. Februar 1924.
R. Courant.
Inhaltsverzeichnis.
Erstes Kapitel.
Die Algebra der linearen Transformationen und
quadratischen Formen.
Seite
§ 1. Lineare Gleichungen und lineare Transformationen . . .
Vektoren. - Lineare Gleichungen, Tensoren, Bilinearformen.
§ 2. Lineare Transformationen mit linearem Parameter . . . 6
§ 3. Die Hauptachsentransformation der quadratischen Formen 9
Orthogonale Transformationen. Das Hauptachsenproblem. -
Die Durchführung der Hauptachsentransformation auf Grund eines
Maximumprinzips. - Charakteristische Zahlen und Eigenwerte.
Resolvente einer Form.
§ 4. Die Minimum-Maximum-Eigenschaft der Eigenwerte . . . 16
§ 5. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Orthogonale Vektorensysteme. Vollständigkeit. Lineare Dar
stellung eines Vektors durch ein Vektorensystem. - Lineare Un
abhängigkeit und Gramsehe Determinante. - Lösung des zu einer
Form gehörigen linearen Gleichungssystems.
§ 6. Ergänzungen und Aufgaben zum ersten Kapitel . . . . . 24
Determinantenabschätzung von Hadamard. - Simultane Trans
formation zweier quadratischer Formen in kanonische Gestalt. -
Trägheitsgesetz der quadratischen Formen. - Bilinearformen und
quadratische Formen von unendlich vielen Variablen. - Unendlich
kleinelineare Transformationen. -Variierte Systeme. - Auferlegung
einer Bindung. - Elementarteiler eines Tensors oder einer Bilinear
form. - Literatur zum ersten Kapitel.
Zweites Kapitel.
Das Problem der Reihenentwicklung willkürlicher
Funktionen.
§ I. Orthogonale Funktionensysteme 33
Definitionen.-Orthogonalisierungvon Funktionen.-Besselsche
Ungleichung. Vollständigkeitsrelation. Approximation im Mittel. -
Orthogonale Transformationen in unendlich vielen Veränderlichen. -
Gültigkeit der Ergebnisse bei mehreren unabhängigen Veränderlichen.
Erweiterung der Voraussetzungen.
§ z. Das Häufungsprinzip für Funktionen . . . . . . . . . . 39
§ 3. Unabhängigkeitsmaß und Dimensionenzahl . . . . . . . 42
Unabhängigkeitsmaß. - Asymptotische Dimensionenzahl einer
Funktionenfolge.
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 4. Die F ouriersche Reihe 46
Vollständigkeit des Systems der trigonometrischen Funktionen.
- Die Fouriersehe Reihenentwicklung stetiger Funktionen mit stück
weise stetiger Ableitung. - Ausdehnung des Resultates auf stück
weise stetige Funktionen. - Die Größenordnung der Fouriersehen
Entwicklungskoeffizienten.
§ 5. Beispiele und Anwendungen für die Fouriersehe Reihe . . . 54
Das Dirichletsche Integral. - Beispiele. - Streckung des Grund
gebietes. - Funktionalgleichung der Thetafunktion. - Die Poisson-
sche Formel. - Mehrfache Fouriersehe Reihen.
§ 6. Das Fouriersehe Integral. . . . . . . . . . . . . . . . 61
Plausibilitätsbetrachtungen. -Beweis des Fouriersehen Integral
theorems. - Reziprozitätsformeln.
§ 7. Beispiele für das Fouriersehe Integral 65
§ 8. Die Polynome von Legendre . . . . 66
Erzeugung durch Orthogonalisierung der Potenzen 1, x, x~, ... -
Differentialgleichung und erzeugende Funktion. - Vollständigkeit.
§ 9. Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . 69
Erster Beweis. - Zweiter Beweis. - Ausdehnung des Ergeb
nisses auf Funktionen von mehreren Veränderlichen.
§ 10. Beispiele anderer Orthogonalsysteme 72
Verallgemeinerung der zu den Legendreschen Polynomen führen
den Fragestellung. - Die Tschebyscheffschen Polynome. Die
J acobischen Polynome. - Die Hermiteschen Polynome. - Die
Laguerreschen Polynome.
§ 11. Die zu einem Orthogonalsystem gehörigen Integralgleichungen 79
§ 12. Ergänzungen und Aufgaben zum zweiten Kapitel. . . . . 82
Die Burwitzsehe Lösung des isoperimetrischen Problems. -
Gauß' Anwendung der Kugelfunktionen zur numerischen Berechnung
von bestimmten Integralen. - Reziprozitätsformeln. - Einiges über
Bernoullische Polynome und Zahlen. - Beispiele Fourierscher Reihen
von Funktionen mit Unendlichkeitsstellen. - Spektrale Zerlegung
durch Fouriersehe Reihe und Fouriersches Integral. - Vollständig
keit des Systems der trigonometrischen Funktionen. - Erzeugung
vollständiger Funktionensysteme in mehreren Variablen durch solche
in einer Veränderlichen. - Die Mellinschen Umkehrformeln. - Das
Gibbssche Phänomen. - Sätze über die Gramsehe Determinante. -
Anwendung des Lebesgueschen Integralbegriffes. - Literatur zum
zweiten Kapitel.
Drittes Kapitel.
Theorie der linearen Integralgleichungen.
§ I. Vorbereitende" Betrachtungen . . . 99
Bezeichnungen und Grundbegriffe. - Ausgeartete Kerne. -
Quellenmäßig dargestellte Funktionen.
§ 2. Die Fredholmschen Sätze für ausgeartete Kerne . . . . . 102
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
§ 3. Die Fredholmschen Sätze für einen beliebigen Kern 104
§ 4. Die symmetrischen Kerne und ihre Eigenwerte. . . 107
Existenz eines Eigenwertes bei einem symmetrischen Kern.
Die Gesamtheit der Eigenfunktionen und Eigenwerte. - Die Maxi
mum-Minimum-Eigenschaft der Eigenwerte.
§ 5. Der Entwicklungssatz und seine Anwendungen 117
Der Entwicklungssatz. - Auflösung der inhomogenen linearen
Integralgleichung. - Die Bilinearformel für die iterierten Kerne.
Der Mercersche Satz.
§ 6. Die Neumannsehe Reihe und der reziproke Kern 122
§ 7. Die Fredholmschen Formeln 124
§ 8. Neubegründung der Theorie 128
Ein Hilfssatz. - Die Eigenfunktionen eines symmetrischen Kernes.
- Unsymmetrische Kerne. - Stetige Abhängigkeit vom Kern.
§ 9. Erweiterung der Gültigkeitsgrenzen der Theorie 132
§ 10. Ergänzungen und Aufgaben zum dritten Kapitel 134
Beispiele zur allgemeinen Theorie. - Singuläre Integralgleichun
gen. - Methode von E. Schmidt zur Herleitung der Sätze von Fred
holm. - Methode von Enskog zur Auflösung symmetrischer Integral
gleichungen. - Methode von Kellogg zur Bestimmung von Eigen
funktionen. - Beispiel eines unsymmetrischen Kernes ohne Null
lösungen. - Valterrasehe Integralgleichungen. - Die zu einem un
symmetrischen Kerne gehörigen adjungierten Orthogonalsysteme.
Integralgleichungen erster Art. - Anwendung des Integrals von
Lebesgue. - Die Methode der unendlich vielen Variablen. - Mi
nimumseigenschaften der Eigenfunktionen. -Polare Integralgleichun
gen. - Symmetrisierbare Kerne. - Bestimmung des lösenden Kernes
durch Funktionalgleichungen. - Die Stetigkeit der definiten Kerne.
- Satz von Hammerstein. - Literatur zum dritten Kapitel.
Viertes Kapitel.
Die Grundtatsachen der Variationsrechnung.
§ 1. Die Problemstellung der Variationsrechnung . 142
Maxima und Minima von Funktionen. - Funktionenfunktionen.
- Die typischen Probleme der Variationsrechnung. - Die charak
teristischen Schwierigkeiten der Variationsrechnung.
§ 2. Ansätze zur direkten Lösung. 155
Isoperimetrisches Problem. - Das Ritzsehe Verfahren. Mi
nimalfolgen. - Weitere direkte Methoden. - Prinzipielles über die
direkten Methoden der Variationsrechnung.
§ 3. Die Differentialgleichungen der Variationsrechnung . . . . 165
Das einfachste Problem der Variationsrechnung. - Mehrere ge
suchte Funktionen. - Auftreten höherer Ableitungen. - Mehrere
unabhängige Variable. - Identisches Verschwinden des Eulerschen
Ausdruckes. - Homogene Form der Eulerschen Differentialgleichun
gen. - Die Legendresche Bedingung.
X Inhaltsverzeichnis.
Seite
§ 4. Bemerkungen und Beispiele zur Integration der Eutersehen
Differentialgleichung. 177
§ 5. Randbedingungen . . 179
Allgemeiner Ausdruck für die erste Variation eines Integrals.
Freie Ränder, natürliche Randbedingungen und Transversalität.
§ 6. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen . . . . . . . . 186
Isoperimetrische Probleme. - Endliche Bedingungsgleichungen.
- Allgemeine Nebenbedingungen.
§ 7. Der invariante Charakter der Eutersehen Differentialglei
chungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Allgemeine Formeln. - Transformation von Au. Polarkoordi
naten. - Elliptische Koordinaten.
§ 8. Die Greensehen Formeln. . . . . . . . . . . . . . . . 199
Greensehe Formeln für gewöhnliche Differentialausdrücke zweiter
Ordnung. Adjungierte Ausdrücke. - Gewöhnliche Differentialaus
drücke höherer Ordnung. - Partielle Differentialausdrücke. - Nor
malformen im elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Falle. -
Beispiele.
§ 9. Das Hamittonsehe Prinzip und die Differentialgleichungen
der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Das Hamiltonsche Prinzip in der Punktmechanik - Schwingende
Saite und schwingender Stab. - Schwingende Membran und Platte.
§ 10. Ergänzungen und Aufgaben zum vierten Kapitel . . . . . 212
Geometrische Deutung des Multiplikators von Lagrange. -
Variationsproblem zu gegebener Differentialgleichung. - Rezi
prozität bei isoperimetrischen Problemen. - Kreisförmige Licht
strahlen. - Das Problem der Dido. - Beispiel eines räumlichen
Problems. - Das isoperimetrische Problem auf einer krummen
Fläche. - Beispiel eines allgemeinen Mayerschen Problems. - Die
Indikatrix und ihre Anwendungen. - Gleichzeitige Variation der
abhängigen und unabhängigen Variablen. -Die Sätze von E. Noether
über invariante Variationsprobleme. Integrale in der· Punktmechanik.
- Transversalität bei mehrfachen Integralen. - Eulersche Diffe
rentialausdrücke auf krummen Flächen. - Tetrazyklische und penta
sphärische Koordinaten. - Literatur zum vierten Kapitel.
Fünftes Kapitel.
Die Schwingungs- und Eigenwertprobleme der
mathematischen Physik.
§ 1. Allgemeine Bemerkungen über lineare Differentialgleichungen 221
Das Superpositionsprinzip. - Homogene und unhomogene
Rand bedingungen.
§ 2. Schwingungen von Systemen mit einem Freiheitsgrad . . . 222
Integration der Differentialgleichung. - Anwendung auf die
Theorie der Resonanzerscheinungen und der Registrierapparate.
Behandlung der unhomogenen Gleichung im allgemeinen Fall.