Table Of ContentLothar Gaul
Christi an Fiedler
Methode der Randelemente
in Statik und Dynamik
Grundlagen und Fortschritte der Ingenieurwissenschaften
Fundamentals and Advances in the Engineering Sciences
herausgegeben von
Prof. Dr.-Ing. Wil[ried B. Krätzig, Ruhr-Universität Bochum
Prof. em. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Theodor Lehmannt, Ruhr-Universität Bochum
Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Oskar Mahrenholtz, TU Hamburg-Harburg
Prof. Dr. Peter Hagedorn, TH Darmstadt
Konvektiver Impuls-, Wärme-und StotTaustausch
von Michael Jischa
Einführung in Theorie und Praxis der Zeitreihen-und Modalanalyse
von Hans G. Natke
Mechanik der Flächentragwerke
von Yavuz Basar und Wilfried B. Krätzig
Festigkeitsanalyse dynamisch beanspruchter OtTshore-Konstruktionen
von Karl-Heinz Hapel
Computational Mechanics of Reinforced Concrete Structures
von Günter Hofstetter und Herbert A. Mang
Strömungsmechanik
von Klaus Gersten und Heinz Herwig
Konzepte der Bruchmechanik
von Reinhold Kienzier
Dünnwandige Stab-und Stabschalentragwerke
von Johannes Altenbach, Wolfgang Kissing
und Holm Altenbach
Thermodynamik der Strahlung
von Stephan Kabelac
Simulation von Kraftfahrzeugen
von Georg Rill
Berechnung von Phasengleichgewichten
von Ralf Dohrn
Wärme- und StotTübertragung in Zweiphasenströmungen
von Jürgen Köhler
Methode der Randelemente in Statik und Dynamik
von Lothar Gaul und Christi an Fiedler
Lothar Gaul
Christian Fiedler
Methode und Berechnung
in Statik und Dynamik
Mit 62 Bildern und 14 Tabellen
11
vleweg
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1997
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden 1997
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1997
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Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf säurefreiem Papier
ISBN 978-3-663-08001-5 ISBN 978-3-663-08000-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-08000-8
v
Vorwort
Drei Dekaden einer stürmischen Entwicklung der Randelementmethode haben ihren
Niederschlag in zahlreichen Anwenderprogrammen gefunden, die zur Lösung von Feld
problemen der Statik und Dynamik in der industriellen Konstruktion, Forschung und
Entwicklung eingesetzt werden. Daraus erklärt sich der gewachsene Bedarf anwen
dungsbezogener Ausbildung zum Verständnis der Grundlagen der Methode. In Vor
lesungen und Anwenderkursen über die Finite Elemente Methode und die Methode
der Randelemente haben die Autoren das erstgenannte Gebietsdiskretisierungsverfah
ren dem letztgenannten gegenübergestellt, Vor- und Nachteile des Einsatzes der ersten
und der zweiten Methode sowie deren Kopplung vermittelt.
Erfahrungen aus den Lehrveranstaltungen und der Grundlagenforschung zur Rand
elementmethode in den Ingenieurwissenschaften sind in dieses Lehrbuch eingeflossen.
Auf eine Darstellung des Standes der Forschung, z. B. über Formulierung im Zeit be
reich und das Zitat grundlegender, überwiegend englischsprachiger Bücher, wird ver
zichtet. Zahlreiche Beispiele wurden so ausgewählt, daß die Lösung auch ohne Rechen
programm möglich ist. Die Autoren hoffen auf diesem Wege, interessierten Ingenieuren,
Physikern und Mathematikern in Konstruktions-, Forschungs- und Entwicklungsabtei
lungen sowie Studenten dieser Fachrichtungen im Vertiefungsstudium die Grundlagen
zum Verständnis der Randelementmethode auf einfache Weise zu vermitteln.
Herr Dipl.-Ing. W. Wenzel (Univ. Stuttgart) hat die Entstehung des Manuskriptes
durch kritische Durchsicht und mit wertvollen Beiträgen unterstützt. Herr Liu Zhan
gyu (Hefei University of Technology) berechnete sorgfältig Beispiele. Beiden gilt unser
besonderer Dank. Den Herausgebern sowie dem Verlag danken wir für die Förderung
des Buchprojektes.
L. Gaul (Stuttgart) und C. Fiedler (Hamburg), März 1996
VI
Inhaltsverzeichnis
Notation 1
1 Einführung und Grundlagen der Randelementmethode 3
1.1 Einführung und Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
1.2 Vergleich der Randelementmethode mit der Methode der Finiten Elemente 5
1.3 Grundlagen der Randelementmethode . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Techniken gewichteter Residuen . . . . . . . . . . ... . . 8
1.3.2 Transformation einer Differentialgleichung auf den Rand 12
1.4 Eindimensionale Beispiele ...... 17
1.4.1 Stab unter Streckenlast . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Balken unter Biegebelastung . . . . . . . . . 21
1.5 Allgemeine Vorgehensweise zur BEM-Formulierung 34
2 Mehrdimensionale Probleme: Wärmeleitung 37
2.1 Die Feldgleichung der Wärmeleitung 37
2.2 Ebene Problemstellung . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Räumliche Problemstellung .......... 42
2.4 Randelementformulierung der Laplace-Gleichung . 43
2.4.1 Schwache Form der Differentialgleichung . 43
2.4.2 Transformation auf den Rand . . . . . . . 43
2.4.3 Wahl der Fundamentallösung als Wichtungsfunktion 49
2.4.4 Randintegralgleichung des ebenen Problems 50
2.4.5 Das Prinzip der Kollokationsmethode . . . 57
2.4.6 Beispiel zur Wärmeleitung . . . . . . . . . 58
2.4.7 Berechnung der Lösung für innere Punkte 68
2.5 Randelementformulierung der Poisson-Gleichung 69
2.5.1 Berechnung von Gebietsintegralen durch Integration. 71
2.5.2 Berechnung von Gebietsintegralen durch Transformation auf den
Rand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.3 Berechnen der unbekannten Randwerte . . . . . . . . . . 76
2.6 Orthotrope Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7 Indirekte Berechnung der Hauptdiagonalelemente der Matrix H 78
2.8 Konzentrierte Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Inhaltsverzeichnis vii
2.9 Substrukturtechnik .................... . 79
2.10 Beispiel: Orthotrope Wärmeleitung und Gebietskopplung 81
3 Anwendungen der BEM in der Elastomechanik 87
3.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik ...... . 87
3.1.1 Kinematik der Verformung ........ . 87
3.1.2 Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik 98
3.1.3 Das Stoffgesetz ............ . 104
3.1.4 Lame-Navier-Gleichungen....... 106
3.2 Integralformulierung der Bewegungsgleichung . 109
3.2.1 Vorbemerkung.............. 109
3.2.2 Schwache Form der Bewegungsgleichung 109
3.2.3 Inverse Form der gewichteten Gleichung 110
3.2.4 Somigliana-Identität, Verschiebungsintegralgleichung 114
3.3 Übergang zur Randintegralgleichung ........... 117
3.4 Numerische Implementierung der Randintegralgleichung . 121
3.4.1 Ortsdiskretisierung................. 121
3.4.2 Diskretisierung der Randlösung . . . . . . . . . . 123
3.4.3 Aufbau des Gleichungssystems mit der Kollokationsmethode 126
3.5 Beispiel: Berechnung im Frequenzbereich . . . . . . . . . 129
3.5.1 Lame-Navier Gleichungen in Zylinderkoordinaten 129
3.5.2 Symmetrieb edingungen . . . . . . . 130
3.5.3 Näherungslösung des Feldproblems 131
3.5.4 Anpassung an Randbedingungen 133
3.5.5 Statischer Fall . . . . . . . . . . . . 136
3.5.6 Eindimensionaler Fall. . . . . . . . 138
3.5.7 Vergleich BEM - analytische Lösung 138
4 Numerische Integration 143
4.1 QuadraturformeIn . . . 143
4.2 Eindimensionale Integration 143
4.2.1 Rechteckverfahren . 143
4.2.2 Sehnentrapezformel . 144
4.2.3 Simpsonregel .... 145
4.2.4 Vergleich der Verfahren. 146
4.2.5 Gaußsche Quadraturformeln 147
4.2.6 Ermittlung von Gauß-Quadraturformeln 150
4.3 Mehrdimensionale Integration . . . . 159
4.4 Singuläre Integration . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.1 Schwach singuläre Integration ..... . 163
4.4.2 Stark singuläre (Cauchy-singuläre) Integration. 169
viii Inhal tsverzeichnis
Anhang A Fundamentallösungen 177
A.l Eindimensionale Fundamentallösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.l.l Eindimensionale Laplace-G leichung - Fundamentallösung des Sta-
bes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.1.2 Eindimensionale Helmholtz-Gleichung . 179
A.1.3 Fundamentallösung des Balkens . 180
A.2 Mehrdimensionale Fundamentallösungen . . . 182
A.2.1 Vorbemerkung.......... . . . . 182
A.2.2 Fundamentallösung der Laplace-Gleichung 183
A.2.3 Fundamentallösung der Helmholtz-Gleichung . 187
A.2.4 Fundamentallösung der Elastostatik. . 191
A.2.5 Fundamentallösung der Elastodynamik . . . 195
Anhang B Sommerfeldsehe Ausstrahlungsbedingung 199
Literaturverzeichnis 201
Index 204
1
Notation
Verwendet wird die Einsteinsche Summationskonvention, bei der über doppelt vorkom
mende Indizes summiert wird. So ist die Spur einer (n x n) Matrix A = [aij]
3
L aii = aii = an + a22 + ... + ann . (0.1)
i=l
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
3 3
ii = L ai ei und b = L bj ej (0.2)
i=l j=l
mit den Koordinaten ai ,bj und den orthonormierten Basisvektoren ei ,ej lautet
ii . b= ai bj ei . ej = ai bj Dij = ai bi = aj bj (0.3)
unter Verwendung des Kronecker-Symbols
I füri=j
Dij = { 0 für i =f j (0.4)
Das zugeordnete Vektorprodukt ergibt
ii x b = f.ijk aj bk ei (0.5)
mit dem Permutationssymbol f.ijk, das für gerade Permutationen (123,231,312) den
Wert 1, für ungerade Permutationen (132,321,213) den Wert -1 und sonst den Wert
o annimmt. Das Matrizenprodukt AB = C zweier Matrizen A = [aij] und B = [bij]
ist die Matrix C mit den Elementen
(0.6)
wobei die Summation über k die Gleichheit der Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl
von B fordert. Faßt man die Vektoren a = {ai} und b = {bi} als (n x 1) Matrizen auf,
so kann man für das Skalarprodukt
ii· b = aTb (0.7)
schreiben. Transponiert man b, so folgt
C = abT = ii®b (0.8)
mit den Elementen Gj = ai bj .
3
1 Einführung und Grundlagen der
Randelementmethode
1.1 Einführung und Überblick
Bei der Konzeption und Auslegung technischer Bauteile spielt die numerische Simula
tion heute oft eine wesentliche Rolle, da einerseits Experimente oftmals zu kostspielig
oder aber technisch nicht durchführbar sind, andererseits in der Computerwelt rasen
de Fortschritte erzielt werden. Um Experimente zu ergänzen oder sogar zu ersetzen,
müssen die Simulationsverfahren einer Reihe hoher Anforderungen genügen. Die we
sentliche Forderung besteht darin, daß die Berechnung auf effizientem Weg möglichst
gen aue Ergebnisse liefert, d. h. das reale System, seine Belastung und seine Reaktion
auf diese Belastung möglichst genau wiederspiegelt.
Ausgehend vom realen technischen System wird zunächst eine Abbildung der Wirk
lichkeit auf ein Modell durchgeführt, wobei entweder bekannte physikalische Gesetze
oder, wenn diese nicht zur Verfügung stehen, Versuche, Beobachtungen und Meßrei
hen herangezogen werden. Bekannte Methoden der Modellbildung sind, abhängig von
der AufgabensteIlung, das Verfahren der Mehrkörpersysteme sowie die kontinuierliche
Modellierung. Die dem Modell zugrundeliegenden Differentialgleichungen lassen sich
jedoch nur in den einfachsten Fällen analytisch lösen. Für komplexe AufgabensteIlun
gen sind numerische Verfahren erforderlich. Hier haben sich in vielen Bereichen der
Technik Finite-Elemente-Verfahren und in jüngerer Zeit auch Randelementverfahren
(Boundary Element Methods, im folgenden kurz BEM genannt) durchgesetzt. Eine
abschließende physikalische Interpretation und kritische Bewertung des gewonnenen
Ergebnisses liefert schließlich die gesuchte Ingenieurlösung. Diese Vorgehensweise ist in
Abb. 1.1 [29J noch einmal zusammenfassend dargestellt.
Das vorliegende Buch folgt der Vorgehensweise, indem für die verschiedenen Pro
blemstellungen zunächst die theoretischen Grundlagen bereitgestellt werden. Dies er
scheint gerade für die Anwendung der Randelementmethode unverzichtbar zu sein, da
diese Methode eine weitaus größere analytische Vorarbeit voraussetzt als beispielsweise
die Finite-Elemente-Methode. Orientiert an den einzelnen Problemstellungen sollen
