Table Of ContentMESURES ET PROBABILITÉS
Collection Enseignement des sciences, 19
Collection Enseignement des sciences
1. Henri Cartan Théorie élémentaire des fonctions analytiques
3. Laurent Schwartz Méthodes mathématiques pour les sciences physiques
5. Roger Godement Cours d’algèbre
7. Gustave Choquet L’enseignement de la géométrie
8. Jean Dieudonné Algèbre linéaire et géométrie élémentaire
9. Noël Gastinel Analyse numérique linéaire
10. José Leite Lopes Fondements de la physique atomique
11. Laurent Schwartz Analyse. Topologie générale et analyse fonctionnelle
12. Jean Kuntzmann Méthodes numériques
13. Pierre-Jean Laurent Approximation et optimisation
14. Paul Malliavin Géométrie différentielle intrinsèque
15. Roger Descombes Intégration
16. Claude Cohen-Tannoudji,
Bernard Diu, Franck Laloë Mécanique quantique
17. F. Chapeville,
H. Clauser et al Biochimie
18. Pierre Laszlo Leçons de chimie
19. Charles-Michel Marie Mesures et probabilités
Charles-Michel Marie
Université de Besançon
MESURES
ET
PROBABILITÉS
HERMANN
Charles-Michel Marle est né en 1934 à Guelma (Algérie). Il entre à l’École Polytechnique
en 1953 et opte, à sa sortie, pour le corps des Mines. De 1959 à 1969 il effectue, à l’Institut
Français du Pétrole, des recherches appliquées portant sur les écoulements de fluides en
milieu poreux. Depuis 1969 il est maître de conférences de mathématiques à l’Université de
Besançon et à l’École Polytechnique. Ses travaux personnels portent sur la physique mathé
matique (théorie cinétique relativiste) et les applications de la Géométrie différentielle à la
mécanique.
ISBN 2 7056 57 60 6
© 1974 HERMANN
293 rue Lecourbe, 75015 Paris
Tous droits de reproduction, même fragmentaire, sous quelque forme que ce soit,
y compris photographie, microfllm, bande magnétique, disque, ou autre, réservés
pour tous pays.
Table
Avant-propos................................................................................................ 9
Chapitre 1. Mesures abstraites............................................................. 11
1.1. Anneaux et cr-anneaux de parties d’un ensemble....................... 11
1.2. Anneaux, cr-anneaux et tribus engendrés par des familles de parties 15
1.3. Exemple : tribu de Borel d’un espace topologique....................... 21
1.4. Fonctions additives et mesures sur une famille de parties d’un
ensemble........................................................................................ 24
1.5. Construction d’une mesure positive par prolongement............. 34
1.6. Ensembles négligeables...................................... 44
1.7. La mesure de Lebesgue de R......................................................... 47
1.8. Variation totale d’une mesure....................................................... 50
1.9. Décomposition d’une mesure réelle.............................................. 57
1.10. Mesures absolument continues, mesures étrangères................. 61
1.11. Exercices........................................................................................ 64
Chapitre 2. Applications mesurables, intégration 71
2.1. Espaces et applications mesurables.............................................. 72
2.2. Espaces mesurés, applications /i-étagées et //-mesurables.......... 82
2.3. Les espaces F) et Ll(E, F). Définition de l’intégrale.......... 87
2.4. Les théorèmes de convergence.................................................. 104
2.5. Mesures définies par une densité................................................. 113
2.6. Approximation par des fonctions //-étagées particulières.......... 123
TABLE
2.1. Intégrales de Riemann et de Lebesgue des fonctions définies sur IR 126
2.8. Propriétés de l’intégrale de Lebesgue des fonctions définies surlR 140
2.9. Exercices.............................................................................. 148
Chapitre 3. L'intégrale de Daniell........................................................... 151
3.1. Motivations de cette étude............................................... 152
3.2. Espaces de Riesz.................................................................. 152
3.3. Mesures et intégrales de Daniell........................................ 155
3.4. Propriétés de l’intégrale de Daniell.................................... 164
3.5. Mesures abstraites associées à une mesure de Daniell....... 170
3.6. Exercices.............................................................................. 178
Chapitre 4. Espaces et Z.^. Différents types de convergence.. 181
4.1. Inégalités de Hôlder et de Minkowski........................................ 182
4.2. Les espaces C^(£, F) et F)................................................... 188
4.3. Sous-espaces denses de£.^(E, F)................................................... 195
4.4. Relations d’ordre dans les espaces CJ(£, IR) et LJ(^, R)................. 200
4.5. Convergences en moyenne, presque uniforme et /¿-presque partout 203
4.6. Convergence en mesure................................................................. 210
4.7. Familles équi-intégrables de fonctions............................^........ 221
4.8. Diagramme récapitulatif des différents types de convergence... 227
4.9. Exercices........................................................................................ 228
Chapitre 5. Mesure induite, mesure produit, mesure image........ 235
5.1. Mesure induite.............................................................................. 236
5.2. Produit de deux mesures positives a-finies.................................. 238
5.3. Produit d’une famille d’espaces mesurables.............................. 250
5.4. Produit d’une famille finie de mesures positives cr-finies........... 252
5.5. Application : la mesure de Lebesgue de R”................................ 253
5.6. Mesure image................................................................................ 257
5.7. Limite projective d’une famille d’espaces mesurés..................... 260
5.8. Exercices....................................................................................... 270
6
TABLE
Chapitre 6. Décomposition d'une mesure relativement à une autre
mesure positive.................................................................................... 275
6.1. Rappel de quelques propriétés des espaces de Hilbert................ 275
6.2. Théorèmes de Lebesgue et de Radon-Nikodym........................... 279
6.3. Dualité dans les espaces U ........................................... 288
6.4. Exercices........................................................................................ 296
Chapitre 7. Intégration sur un espace localement compact....... 299
7.1. Introduction.................................................................................. 299
7.2. Rappel de quelques notions et résultats de topologie................... 300
7.3. Fonctions continues sur un espace normal et sur un espace
localement compact....................................................................... 304
7.4. Intégrale relativement à une mesure de Radon positive............. 311
7.5. Propriétés de l’intégrale sur un espace localement compact........ 327
7.6. Exercices........................................................................................ 330
Chapitre 8. Intégration et dérivation dans R”.................................... 335
8.1. Intégration indéfinie et dérivation : cas où la fonction intégrée
est continue.................................................................................... 336
8.2. Dérivation des mesures de Borel sur R"...................................... 343
8.3. Fonctions à variation bornée........................................... 352
8.4. Changements de variables dans R"................................................ 363
8.5. Exercices........................................................................................ 376
Chapitre 9. Mesures de Radon sur un espace localement compact 381
9.1. Rappel de résultats de Topologie et d’Analyse........................... 382
9.2. Mesures de Radon : définition et premières propriétés............. 391
9.3. Mesures de Radon réelles et complexes...................................... 393
9.4. Localisation d’une mesure de Radon.......................................... 395
9.5. Espace vectoriel ordonné des mesures de Radon réelles........... 397
9.6. Majorante absolue d’une mesure de Radon complexe................. 402
9.7. Mesures de Radon bornées......................................................... 406
9.8. Topologie vague sur l’espace des mesures de Radon................... 411
9.9. Convergence étroite de mesures de Radon bornées................... 419
9.10. Exercices........................................................................................ 424
TABLE
Chapitre 10. Introduction à la théorie des probabilités..................... 429
10.1. Concepts de base et langage de la théorie des probabilités........ 430
10.2. Variables aléatoires et lois de probabilité.................................... 434
10.3. Dépendance et indépendance....................................................... 438
10.4. Convergences de variables aléatoires.......................................... 442
10.5. Probabilités et espérances conditionnelles.................................. 446
10.6. Lois des grands nombres.............................................................. 454
10.7. Exercices........................................................................................ 460
Bibliographie................................................................................................. 465
Index des notations................................................................................... 467
Index terminologique.................................................................................. 469
Avant-propos
Ce livre se propose de présenter de manière assez complète, quoique élémentaire, les théories
de la mesure des ensembles et de l’intégration. Afin d’illustrer ces théories par une de leurs
applications importantes, il expose également, dans son dernier chapitre, une introduction au
Calcul des Probabilités.
L’ouvrage s’adresse principalement aux étudiants de mathématiques pures et appliquées du
second cycle des Universités. Il peut aussi servir de document d’étude et de référence aux élèves
des Grandes Écoles intéressés par les mathématiques, aux étudiants de troisième cycle qui
désirent approfondir leur connaissance du sujet, et aux candidats à l’agrégation.
Afin de rendre ce livre accessible aux étudiants dès la première année de second cycle, les défini
tions et théorèmes de Topologie, de Calcul différentiel et d’Analyse utilisés ont été soigneuse
ment rappelés ; ces derniers sont même, le plus souvent, démontrés à partir de résultats plus
élémentaires.
Le point de départ choisi est la notion de mesure abstraite, définie sur une famille de parties
d’un ensemble. Cette présentation évite le recours à des résultats élaborés de Topologie et se
prête bien aux applications au Calcul des Probabilités.
L’importance en Analyse de l’intégration sur un espace localement compact est telle, qu’il a
paru indispensable d’en donner aussi un exposé détaillé (chapitre 7), complété par une étude
générale des mesures de Radon (chapitre 9). Les bases acquises par la lecture de ce livre per
mettront donc à l’étudiant d’aborder ensuite aussi bien la théorie des Probabilités que celle des
Distributions.
La méthode de l’intégrale de Daniell, qui permet une présentation unifiée des mesures abstraites
et des mesures de Radon, n’est brièvement exposée (chapitre 3) qu’afin de simplifier l’étude
ultérieure de l’intégration sur un espace localement compact; plusieurs démonstrations sont
laissées en exercices. Le lecteur trouvera un exposé plus détaillé de cette méthode dans le livre
de R. Descombes, récemment publié dans cette même collection.
