Mesures et distributions, théorie et illustration par les exemples : Mesures de radon, distributions, convolutions, transformations de Fourier, distributions périodiques

292 Pages·2000·27.44 MB·French

by  Françoise Demengel

MATHÉMATIQUES
Mesuertde iss tributions
Theoertii lel ustration
palre esx emples
Mesdurera edsdo ins,t ributions,
convotlruatnisfoorndmsea, t ions
Foudriisetr,r piébruitoidoinqsu es
FrançoisDeE MENGEL
GilberDtE MENGEL

UNIVERSITÉS
MATHÉMA�lU ES
MESUREETDS I STRIBUTIONS
ÎHÉOREITIE L LUSTRATION
PAR
LESE XEMPLES
MesudreeR sa don,
districbountvioolnust,i ons,
transfordmeFa otui,ro inesr
distripbéurtiioodnisq ues
FrançoDiEsMeE NGEL GilbDeErMtE NGEL
Dansl am êmec ollection
CHIMIE
• ThremodynamiÉqluéem.e nts fondadmele 'nétnaeurxg éettdi eql uace i néticqhuiem uieq,
R.G aboria3u5d,2p .
• Traidteéc himioer ganiqÉu.Ber, o wn4,8 p0.
• Manuedle c himiteh éoriAqpupel.i caàtl iaos nt ructeutàr l ea r éactievnic théi mie
moléculaPi.Cr hea,q ui2n2,p4 .
ÉLECTRONIQUE
• Introducàtl i'oénl ectroCnoiuqreuste e .x erciccoersr igJé.s-R,Jo .u sse2au5,6p .
INFORMATIQUE
• Méthodoleotga ileg oritehnmP eass caClo.u rest e xerciccoersr igRé.Ls e,g ran2d5,p6 .
MATHÉMATIQUES
• Algèblrien éaRiarep.p edlesc ouresx,e rciccoersr igPé.Js e,a nneitHn . J oula2k4,p0 .
• Mesureetsd itirbuti-oTnhsé oreitie lu lstratpiaorln ' exempF.l Dee,m engeelt
G.D emenge2l8,8p .
• Notioentst echniqduebe ass -eD EUG MASSM,I ASS,M -semesdt'roer ientCaotuirosn .
ete xerciccoersr igMé.sJ ,a mbon1,2 8p.
• Probabileitst téast istCioquureses,x. e rciectpe rso blèrmeéss olJu.ls s,t a1s7,6p .
• Topoloegtia en alyfsoen ctionCnoeulrldsee .l icenacvee 2c4 0ex erciectpe rso blèmes
corrigY.é Sso,n nta5g1,2p .
• TransformatdieoF nosu rigeérn éralis-éSeésr ieetts r ansformadetF ioounrsi eetdr e
Walslhe,u resx tensi-oTnrsa nsformadtisicornèste etras p ideCso.u rest p roblèmreéss olus,
G.D emenge2l8,8p .
MATHÉMATAIPQPULEISQ UÉES
• Théoreitae n alydsues ignaClo.u rest i nitiaptriaotni vqiuaMe A TLAB etS CILAB,A .Y g er,
27p2.
MÉCANIQUE
• Mécaniqduues olidPero.b lèmersé solpuoss éasu c oncouAr.sC ,o li2n4, p0.
• Géométreitae p plicatIinotnrso.d ucàtl iago éno métdrifiéfer entiPe.lA ilmeé,3, 0p4.
• Résistadnecsme a tériaÉuxl.a stipcliatsét,i écliétmée,fin ntiss C.ç urest e xercices,
C.W ielgo3sz2,p0 .
• Bifurcatioentcs h aoUsn.e i ntroducàtl iaDo ynn amiqcuoen temporaavience
desp rogrammeesnP ascaFlo,r treatMn a thematHi.cD aa,n g-VeutC .D elcar4t4ep8,.
PHYSIQUE
• Transferts thReérsmuimqéduseec so.u rpsro,b lèmceosr rigBé.Cs h,é ro3n,2 0p.
• Probabileitst téast istàil q'uuessad geesp hysiciBe.nE ssc,o ub1ès7,p6 .
• Optiqnuoen -linéCaoiurrees.t p roblèrméesso lF.u sSa,n che2z5,p6 .
• Initiaptrioognr esasuic vael ctueln sorCioeulr.es t e xercices cCo.rJ reaingpéesr,1r 6i0pn.,
• Utilaitsiodnuc alctueln sordiaenllse gsé ométrriieesm annieCn.nJ eesa,n per2r4ip0n.,
• Physiqguéen éraPlreo.b lèmceosm menteétrs é solpuoss éasu c oncouAr.sC ,o li4n,4 p8.
• Introducàtl iamo énc aniqtuheé oridqeuflseu idePs.,- AB.o is4,3 p2.
• Relatirveisttér eeitén lteec tromagnMét.Li asmmbee,r 3t3,6p .
®DANGER
ISBN2 7-298-0409-9
O
© ElliÉpdsietsMi aornk eSt.iAn2.g00, 0 P!IOPTIOUAcGE
32r,u Bea rg7u5e7 P4a0r ciesd 1e5x TUEL!UVRE
Le Coded el ap ropriiénl1ée llecn1'uaeul1l0e1 iasuax1n e1r,m deesl 'arliLc1l.2e2 -e5l3. 'a2d)'".u ne
partq,u el e«sc opioeusr eproducstuiiocntse mreénsle rvéàel s' usapgrei vdéuc opisettne o nd es·
1inéeàsu neu tiliscaotliloenc• t>ei,tv d e'autpraenq ,u el easn alyestel se cso unecsi tatdiaonnussn
butd 'exempeltde ' illust«r attoiuotrnee, p résentoautr ieporno duction oiunp tarétgireafallilete e
sansl ec onsentedmeel n'ta utoeuud res easy antdsr oohu a yanctasu sees itl lic»i(teA Ln..1 22·4).
Cettree présenotuart eipornod uctpiaorqn u,e lqpureo céqduéec es oicto nstituuneerc aointt refaçon
sanc1ionpnaérle e asn iclLe3.s3 5·e2ls uivadnuiC so ded el ap ropriiénl1ée llec1uelle.
A Jeanne,
àD ominique,
età S téphane.
TABLDEE MSA TIÈRES
Avant-propos 6 Annexedse sc hapit1r.eAes t 1 .B 67
11.C.h angemednetv ariables
danlse isn tégrmaulletsi ples 67
Chapit1r.eA
MESURESD E RADON 1.P2r.op riédtelé asfo nction
r
ET INTÉGRATION 9 eulérienne 68
1R.a ppedlest opologie 9 13.T.h éorèmdeeR adon-Nikody6m9
2.Dé finitidoensm esuremse,s ures Exerciscuersl ecsh apit1r es 72
positives 10
3M.e sures bornées 13
Chapit2r.eA
4.Su ppodrt' unmee sure 16 LESD ISTRIBUTIONS
85
5.C onvergenvcaegsu eet é troite1 6 1P.r éliminaires 85
6.In tégrsaulpeé rieduefor nec tions 2.Es pacfeosn damentaux 87
semi-contiinnfuéersi euremen1t 9 3R.e strictàid oensos u verStusp.p or9t9
7qu.Ien ltcéognrqdau'leue nsfoe n ction 23 4.Di stribuàts iuopnp ocrotm pact 100
5.O pératiaolngsè briques
8.E nsembleetfos n ctions
surl edsi stributions 103
négligeables 25
6.Dé rivatdieosdn i stribution1s0 5
9I.n tégrabdielsfoi ntcét ions 26
1O .E spacdeesL ebesgduees fo nctions
sommables 33 Chapit2r.eB
EXEMPLES
1.1M esurabilité 34
P DE DISTRIBUTIONS 113
12E.sp acdeesL ebesgLue( R) 36 1.Pa rtifiensi edsa nRs 113
13E.sp acdee L ebesgLue( R) 40 2D.é rivatdieofo nn ctions
14P.ro dutietn sordiede elu x conduisàad netsp eignes 118
mesures 41 3D.é rivatcioonnd uisant
àd esm esurdeesR adon 121
Chapit1r.eB 4.Di stribuatsisooncsi ées
EXEMPLESD E MESURES àl ad istanàlc 'eo rigine 129
DE RADON 45
5.S olutiéolné mentda'iorpeé rateur
1M.e sur-edste y ppee igne 45 différentiel 134
2M.e sureàsd ensité 48 Exerciscuersl ecsh apit2r es 136
3M.e sureass sociées
àd esfo nctiodn'si ntervalles5 0 Chapit3r.eA
4F.o nctions définies PRODUITST ENSORIEL
pard esi ntégrdaelL eesb esgue 52 ET CONVOLUTIF 147
5.M esureass sociaéuexcs o urbes 1P.r éliminaires 147
ets urfaces 53
2.Pr odutietn sordiede elu x
6.Me sureestc hampdse v ecteurs6 2 distributions 150
TABLED ESM ATIERES 5
3.D éfinitidoenc so nvolution ChapitSr.eA
ded istributions 154 LESD ISTRIBUTIONS
PÉRIODIQUEEST LESS ÉRIES
4.A lgèbrdeesc onvolution 166
DE FOURIER 235
1.D éfinitiornasp,p eeltes x emple2s3 5
Chapit3r.eB .
2.O pératisounrcs e sfo nctions
EXEMPLESD E PRODUITS
oud istributions 238
TENSORIELS
ET CONVOLUTIFS 171 3.E tuddee sm otigfésn érateurs
eta pplications 238
1.E xempldeesp rodutietnss orie1l71s
4.D éveloppemdeensdt i stributions
2.E xempldeesp roduciotnsv olut1i7f3s
périodiques 242
3.C alcsuylm bolique 183
5.0pératsiuorln esss é ries
Exerciscuersl ecsh apit3r es 185
deF ourier 248
Annexedse sc hapitres 192
3 6.D istribustuirlo enc se rcle 250
3.1C onvolutdieom ne sures
7.A lgèbcroen volutdiedv ies tributions
etd efo nctions 192
périodiques 253
3.2T.h éordieesr ésidus 193
8.N otiosnusrl ec asd ep lusieurs
Chapit4r.eA variables 254
TRANSFORMATION
9.N otes url essé rideesF ourier
DE FOURIER 194
defo nctions 256
1.T ransformatdiaonnLs 1(RN)1 94
2.Transformadteisfoo nnc tiodnesc arré
Chapit5r.eB
sommable .918
EXEMPLESD E SÉRIES
3.Transformadtainosn ( SR N) 200 DE FOURIERD E DISTRIBUTIONS
4.D istributions tempér2é0e2s PÉRIODIQUES 261
5.C onvoluteitto rna nsformation l. FonctidoeBn ess sel 261
deF ourier 207 2.S érideesF ourideerfo nctions
etd ed istributions 265
Chapit4r.eB 3.S érideesF ouriàed re uxv ariab2l7e0s
EXEMPLESD E TRANFORMÉES 4.A pplicatàil oarn éss olution
DE FOURIER 213 d'équations 272
1.C alcduelt ransformées Exerciscuersl ecsh apit5r es 279
defo nctions 213
2.C alcduelt ransformées
INDEXT ERMINOLOGIQUE 286
ded istributions 217
3.P eignteesm péreétcs o nvoluti2o2n4s
2 BIBLIOGRAPHIE 288
4.T ransformédeasn Rs
oud anRs N 226
Exerciscuersl ecsh apit4r es 228
AVANT-PROPDOESSA UTEURS
Cel ivprreé sednetsne o timoantsh téimqauqeussi o natu p rogramme de
l'Universitaéun, i vnedoaetmusaa mîsmteedrsniem t a thémaptuireqetuas epp sl ieqsu.é
Unb onno mbdrere é sueltst uarttslo emusét t hoddece asl dcéuvolep lpéàpe asr dtei r
certeaxienmsps loenéstg a leumteinltip salareb éslt eusd einam natîstd reti yspEeeE A.
D'ufançeo pnl ulsa rcgeeot,u vrpaeguset' adraeusuxst eirl isaptheyusrislc ei(sel ness,
spécidault irsatietsdeu ms eingtnp aaelrx, e mpdlee t)lh aé odreidsei striebnu tions
fournidsespsaio nntdt esr ééfrendceeis,d éde'sa ppliectda etjsiut osinfisc aetni ons,
indiqduemasén tth osdpeésc iofiuqe unte rsa idtefaa çnotdn é tadieleslx éeem pdlee s
caullcs.
Imptoarndcele at héodreidsei stributions
Lat héodredisie s triebsutt tiuhonénejosu re nipeeu iquaé' tedélé lceo uevtmeis rest oeu s
safo rmaec tupealLrla eu rSecnhtw aartumz i ldiues ui èectql u'ee lelsedt e,p uàil sa,
sourceg rda'nnudon m bdreer echemrecnhéepsea srd eg ranpdeerss onnalités
mathtéimqauteeslJ,s.e LraJy.,Li o.nLSsbo,o vl.,ee.ta lC.et ttheé oeriseat u ssi
révolutdiaonsnnsoac nio rnecq eupcete ldl'eE inssultraer i enl aptoiuvlriaP t héy sique.
Elelseit n téressulsrepa lnadtnees am aniaebnic leqi uctioé n cleernéseq uataiuoxn s
déripvaérletlsiEe elsal.p e e rmeinss ep, l açanutnc addabrneesa ucpoluulpas r ge que
celculia,s sdieqésuq eu atiéorntesin eodlrildffeisn daeir réesso,ud denr oem breuses
équatvieonnudsee s p lhay sidqelu maeé ,c andieqflsuui ed edsut, r aitdeusm iegln.nE.t an
outmrêem,se li e sso luttrioounnvseés eosnp tat so ujsouusrcse pdt'iibntlteeirsop nrsé ta
immédiastaetmiesnfatpi osualrne tpseh sy siclieaesmn ésl,i oraaptpioorantuséx e s
distripbruotpiroednmisetp neralts a t héodreeisse p adceSe boso lpeuvip salr ' analyse
numéroinqptue er dmeims o ntarp eosrt,é rqiuoert ied,le l es ssoosnlotuu tveienfano itnt s
defosn ctidoénrsi vaausb elnhesasb i.tD.ue pe llucse,ta tnea lnyusmeé rsia'qpupeu,y ant
sudre psr incdiipreesc tienmsepdnietlr éats h éoridei stdreisdb éuvteilodonepssp, e
approxidmeca etssio olnuset tdi eoisnms p lémennutmaétriioqqnuusie sfo urniusnsee nt
idcéoen crdèertsée s uolbttuaestn.s
« »
Disoennqs u,e lmqouteessnq uocie tttheé odreidsei striebsputtu iinostnseesa l :l e
permpeaetrx, e mdpeld eé,r imvêemiren, d éfiniemnue ncn etr,ts aeinunsn ,efo nctdieo n
IL\ qoucni' epsadtsé riavua bsleen s uls'eusedplead.sci esD tarnisob npu etueittco, en lsa,
saansu cuhnyep otshuèpspel émdeénrticavhiererer,d,c e hpser ri mitivteesr,àm ed ériver
terdmeess é ries, qounpiesé ortnaottu ijoloniuscre isntt heéso rfoinec td.ie.os n s
Organisadteli 'ovonru age
Dancse lcihvarqteuh,eè p mreé sfaeinltt' éo dbejt ertop iasr (tc iheasp Ai,ct hraep itre
B
pueixse ircc.e s)Pour chacchuanp Aid,tie erlsse p tsrc oipndoqas nuésn,c hapiqturie
B
lueisa ts sioéuc,nc ertaind edn éovmeblroep dpee pmlaeartnt ithesé oridqeumea nqduein t
decsa lecxupllsei tdc eist esr ésdoepl ruotbiloènmosenp s e updteo nnqstue 'rsi olunstt i les
pouurn em eillceoumrper éhdeenpssr ioopnr iétésd adnlésemc ohnatpAri.ét eres
Généralceemrseé nsto,l suotnittor nèdssé taillséeeusl.e nmNoeouncnstr ,o yào ns
AVANT-PROPOS
7
li'mpordtuac nacleecx upll siucrittsoel'su, ia't c compda'nguern éefl esxiuolrne o su tils
utilsiulsreéa ssn ,a losgulireem ssé ,t hoedtle ecsuo rm parmaaiinssoos uen s,t iamuosnssi
qu'lip ermàe lét't uddieas neft ma iliaraivselecer ns o tinoonusv edl'nle meise,u x
comprelned rfoen ctieotdn esn ege amreddneetc r e rtaeirnreePsua rarsi .l lceeurrtsa,i ns
exempprloepspo rsoélso dnegnseo nttis oenusl eemseqnutid sasnlépsaea srA t.i e
Analydsuce o ntdeenl u'v orua:g e
Lac onstrduecst imoaensb uorrdedasén es le1 u ctlhiilaspepeo i itdnrevte u dee mse sures
deR aodnL.e' spdaecc eem se suersdetés fi cnoim mlede u taol pgoilqoduelee ' spdaecse
foncticoonnst iàns uuepspc oormtp amcutnd,iu' nteo lpoogcioen veqnuanebo luens e
détapilails.co ins
Suosc etfotrem e, leasp pmaersacuiorsmesmsuee npn rte mier deedx iesmtprlieb utions
quis onpieat u sn foen ct,ic oonmmcee's lte dcela mase sudreDe i rbaicce,on nn udee s
physiUcnideee nusx.ir èamiqesu omino tliiv'net roddueloc 'utviropanagc reec hapeisttr e
der appdeelnseo rt idoetn hsé odreLi eeb esoguutfoein,ld amepnotularatl h éodreise
distributions.
Parlmeies x emplesd apnlrspao a protsciétieso lnBesp,s e iggnéensé raqlusiios dnéetes s
sérdieem se sudreeD si ralcem,se sudreeS st jisee,ll emse suproetrsé epsa dre s
hypefrcasesusur ffisamrméegnutl ières.
Lec hap2i.tdAré eb utuen éept audrde lee ' spa.2{c11e)d efosn ctdieoc nlsaC s00s eetà
[R{N
suppcoormtp daacnts o ud anusnd es es ouveenpr atrst idcesu atl oipeorl ogie.
Q,
N'étapnatns o rmacbeltett,oe p olsoerg éiveèd l'eu n paebuco ormmdo dmea,i s
lu'tilidsesa utiictooenns v erpgoeuncrte ettsto ep goilpeoe rmdeest u rmocnettetre
difficuLle'tsép.ad cedesi strisbuurt eisodtné sfi ni lcedo umamtleo polodgei que
Q
.2{ ).P armil eesx empdlede iss triobnuc toinondnajésiàl,t e s fonlcotciaolnesm ent
Q
sommapbuliesscq,esu oedn etm se sumraeilssa, déreitdv iavteoirposéner sas tuilroe sn s
distribufotuironinsdss' uenatnorteue xssel mepPsa.er x emlpedlsée r idveémsee ss udree s
Dirlaecps,a rfitniieeeslts ev sa lepurriisnp ca.l es
Lé'tuddeel as trucdtedusir set rirbéuvtèmilooedn usu,l n ao b udsel angqau'gnuee,
distriebsutt diuéonrneid ov'rédes rueffi semémleednvu'tén fo en ctcioonnt Dienp uleu.s
unreé gulsaurrli etdséé ridvu'énedesi stridbountdnieeios non fr matsiuocrne st te
!Rl,
distripbaeurxt eimospnTil, ese tu ndei strsiubrut teilqolunree (eksu)tn foen ction
contailnouTreess,te nfa iutn foen ctdieco lna esks.e
Lec hap2i.tBrp er ésdeengsté en léitrsiaaodnesvs a lperuirn ceitpp aarltefiisnie ess ,
précdieslsei eennste rllee Islg. é nérlaanl oitsideoe pn e igmneessu ernep se ignes
distriebtlu nato itodinedos in,s tripboturétpeirasuo nnhesy perarfcseu
C "° .
Suuintc hapciotnrrcenea lncato nvodleud tiisotnr i(bcuhta3ipAo.i)nt.sr e
Aprlèads é finiteitlo epnsr oprdiupé rtoédstu eints oornip erlé,sl eepn rtoed duei t
convolauust eindosens s u pppourutinssge, é néralaipspaeGtl-iécoeon n,v oCleutttieo n.
G-convolalu a'tviaonndte 'anggel loacbo enrv olduefotsni cotni oonuds e mse sures
ll._P,
borneétde esl ,e udrésr i,vc éeqe usni e' spta lsec apso ulrac onvolauust eindosen s
à
supporLtaps l.u pdaeprsrt o prdielé cato énsv oaluus teidnoesfons n ctiséo'tnesn,d lean t
G-convodledusit sitorni ebtlu etosip oénrsad,ted i éornisv eatt tidroean n ssloanlttei on
MESUERDTEI SS TRIBTUHTEIOEORITNIL SEL. U SPTARRLA EETSXI EOMPNL ES
8
poidnedt é paprater,x empdlere é,s oldué'tqiuoantd iiéoffrnesn std ioenlltesl eecond
memberset duinset r,ic beudctaiinl ocsena ddra'el gèbcroensv od.le u tion
Lap arBt diuce h apietsrcteo nIsIapIco ruuérneg e r anpdaer t càa ldceeuxslp sl idcei tes
convodleudt iisotnr i(bvuatlpierouinrnssco iupp aarlfitenisiee esns te rlelp euosrl) e,s quels
und eosu teimlpsl oeyslétest héordèemrseé ussiU.dn ea utpraer ptriooesp dee s
résolutiondsi ffdé'ir eeélenqltiteu nsat téiigéfforrnoes-n dtqiuseiol ndlteeé ssq uatdieo ns
convo;ll u'tuitoindlui scasatycimouobllni p qeuremd eest i mplleicsfiau ellrcs .
Lat ransfordmeFa otuirfaoiinleto 'r be jtd uc hapsiutirv(eaC nhta.4p i)t.r e
Idlé bpuatre éutnudedel e ta r ansfordmeFa otuirdoiefone n rc tdieoIL1 n Ls.e p sr opriétés
del tar ansfodreFm oéueri inecriu tneienn tt rodduelce 'tsipoanc e�, d enfoson tcoétn is
C00àd écroirsaspaeitndd cesee a t opo.lL oedg uitaeolp goilqoued eS esutn e space
S'
ded istri(bduittteiemospn ésr déaenlsse) q,lu ate rla nsfordmeFa otuiroinee srut n
':J..
isoormphipsomuletr ao poldoeS g'.i e
Lafi nd ec ec hapeistctro en saàcl raré eel at(Ti*o)S=n J (TJ)J(S)entlrepe r odduei t
convoleutlt ati roann sfordmeFa otuiroEinnep ra.r tilcanu oltiideoercn ,o nvoelte ur
lt'uéddees as trupcetrumreedt o'tbetnedtne eisxr e mpdleGe -sc onvoalvuettcoi uotne
distributeitdo evn a ltieddmelip foatér érm éupelr eé védente.
Outdreees x emdplece asld cetu rla nsfodreFm oéuersdi efoe nrc teitod neds i stributions
deD irlaecch ,a pdie'txreem 4pl.peBrs é sdeencsta el cduetl rsa nsfodreFm oéuersdi ee r
distrinbout�aimomdneesvn ,at l epurrisnl ce.iLs peasm éthodes éetmapnlto yélees
théordèermsée s si,ldu 'utilimsêamdteie posrn o prdieJé teétps a rticudleil èar ement
convolution.
Lec hap5i dtérfien liedtsi stripbéiurotdiioqenutsie nst,r oldanu oittid oemn o tif
générqautie urr,el manp oltadiceore ne stràiu cnit nitolenlr evi-aopddéearn lsec adse s
fonctiIL\o n0Csce m otgiéfn érpaetremdueerdt é filneicsro efficdieeF notusrd iu'enre
.
distrpiébrduiitoqiSuonaensa. u thryep ot-hecètes cceoi n traaiurc eadmsee fosnn tco tnis-,
ond émonqturee tdoiustter eisbltuas t oimomdnee s as érdieFe o ur(iaesure ndse s
disttiroi.Onb nsum )eetn p laucneie d entiefinctlaretdeisi o snt ripbéiurotdiiodqneus e s
péiroade etl edsi stridbéufitnisieuolsrnca si nréfcroednecl eo ngau.e ur
Ond éfilnaci otn volsuultr'i eosndp eadsci es triab-uptéiroinocsdeq i upqieu rem,de et
résoduedésrq eu atdiiofféntrsie eanlvleuecnss e cmoenmdb dries tripbéiurotdiiLoqenu e.
chapsiett errem einmn oen trcaonmtm eienlst pt o isbsdleed édulietrshe é ordèelm ae s
théodreisseé rdieeF so urdieefo rn ctieonn isul ntitls earsé suclotnacteslr neasn t
distripbéiurotkdiioqnus es.
Plusieexuermspd lere éss oldué'tqiuoantd iioffnétsri eeonlula eust érqeusa tqiusoien s
ramèànd eenéstq uatdieco onnsv odlaunltasi'lo gnèd becr oen vodleudtsii sotnr iab­utions
péiroudeissq.otnrta idtaénlesces h ap5iB.t.Or ney c alcéuglael edmeecsno te fficdiee nts
Fourdiefoe nrc otniest ddies triEbnup tairotnisoc.nuu ltsiieell raip, r oprpioéutré
certfoanicnteisdo efon usr npiardr,é rivàau tnoi rodnsr ueffi suannceto mbindaei son
peigentde eds é ridvepé eeiseg sLn.e' criitmumréedd iela asté erd ieFe o urdi'neuetr e lle
combinpaeirsmaoelnto p rasdr,e isn ttéigordnao'sb,t elneri érs uplotuartfo nlcat ion
donnée.