Table Of ContentPAUL TANNERY
MÉMOIRES SCIENTIFIQUES
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J.-L. HEIBERG & H.-G. ZEUTHEN
SCIENCES EXACTES DANS L’ANTIQUITE
1876-1884
TOULOUSE PARIS
ÉDOUARD PRIVAT GAUTHIER-VILLARS
UBKAIRE-ÉDITEÜR LIBRAIRE-ÉDITEUR
T i
4 RUE DES ARTS i 55, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS
1912
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Cette publication (Vensemble des travaux épars de Paul Tannery
devait être précédée par une page de son frère qui voulait dire
notre immense gratitude aux professeurs J,-L. Heiberg et H.-G.
Zeuthen, dont les noms demeureront inséparables de cette œuvre; dest
à leur amitié et à leur dévouement que je dois d’avoir pu élever ce
monument scientifique et philosophique à la mémoire de mon mari.
Jules Tannery n’a pu réaliser son vœu. Une mort prématurée nous
l’a enlevé le 11 novembre igio.
Et maintenant, je reste seule, doublement frappée, pour remercier
les deux savants qui, au premier appel, au premier désir timidement
exprimé, sans hésiter, sans s’arrêter à Pétendue de la tâche, avec le
plus absolu désintéressement, comme en souriant à leur ami disparu,
ont accepté d’entreprendre le travail que j ’osais leur demander en
souvenir de lui.
C’est pour moi une grande fierté de voir les noms de Heiberg et
de Zeuthen associés à celui de Paul Tannery. Leur collaboration a
rendu possible une publication qui, par la réunion de si nombreux
travaux, met en évidence l’étendue, P importance, la variété en même
temps que la belle unité de l’œuvre de Paul Tannery.
Je voudrais dire encore ma reconnaissance émue à tous les savants
illustres qui m’ont soutenue avec tant de bonté, aux amis si dévoués
qui m’ont facilité avec tant de bienveillance les longues recherches
de la correspondance scientifique.
Je remercie également les éditeurs et les directeurs de Revues, de
Périodiques et de Journaux qui ont bien voulu autoriser la
reproduction de ces travaux.
M. T.
AVANT-PROPOS
Madame Paul Tannery nous a fait l’honneur de nous
confier la publication des Mémoires scientifiques de son
mari, épars dans un g-rand nombre de Revues.
Elle-même a rassemblé les matériaux nécessaires; elle a
mis à notre disposition les notes que Tannery avait écrites
en marge de ses propres exemplaires, ainsi que sa corres
pondance avec divers savants, qui sera déposée en original
et en copie à la Bibliothèque nationale.
Il nous reste à exposer la manière dont nous comptons
utiliser ces divers matériaux.
Seront exclus de la réimpression les ouvrages publiés en
volumes, les articles publiés d’abord à part, puis remaniés
et entrés dans quelques-uns de ces ouvrages; enfin les con
tributions personnelles de notre ami aux grandes éditions
de Fermât, Descartes, etc., dont il a été chargé par le Minis
tère de l’Instruction publique.
Nous n’insérerons pas les « questions et réponses »
XII AVANT-PROPOS. AVANT-PROPOS. XIII
données par lui à ΓIntermédiaire des mathématiciens et les corrections manuscrites de Paul Tannery et corrigé les
à la Bibliotheca mathematica, quelques rapports, notes fautes typographiques évidentes.
préliminaires et autres, dont on trouvera le détail complet Les remarques supplémentaires que nous avons rencon
dans la Liste des Travaux de Paul Tannery. trées à la marge des articles reproduits sont notées d’un
Un choix sera fait de ses comptes rendus critiques et de astérisque et les nôtres d’un double crochet [].
ses articles biographiques compris dans la Grande Ency
clopédie, Ces derniers seront placés respectivement dans
Gopenhag-ue, 7 juin 1911.
les sections auxquelles ils se rapportent. Il en sera de même
de ses articles posthumes.
Tout le reste de l’œuvre de Paul Tannery sera publié en
J.-L. HEIBERG. H.-G. ZEUTHEN.
sept sections, savoir :
1. Sciences exactes dans l’Antiquité;
2. — — chez les Byzantins;
3. — — au Moyen-Age et dans les temps
modernes;
4. Mathématiques pures;
5. Philosophie;
6. Philologie classique;
7. Recensions. 1
Une huitième section sera ajoutée plus tard concernant
la Biographie, la Bibliographie, plus un choix puisé dans
la correspondance scientifique.
Chaque section formera un volume, sauf la première qui
en comprendra trois, avec une Table des matières spéciale
et aussi un numérotage particulier des articles. Gn renverra,
s’il y a lieu, aux travaux non reproduits.
Nous avons introduit dans le texte, sans les mentionner.
SCIENCES EXACTES DANS L’ANTIQUITÉ
1876-1884
MÉMOIRES
O O N T E lSn JS DAISrS L E T O M E
Noi. — 1876 (p. i-ii).
Note sur le système astronomique d’Eudoxe.
No 2. — 1876 (p. 12-38).
Le nombre nuptial de Platon
No 3.— 1876 (p. 39-45).
L'hypothèse géométrique du Ménon de Platon.
No 4. — 1878 (p. 46-52).
Hippocrate de Chio et la quadrature des lunules.
No 5.-1878 (p. 53-61).
Sur les solutions du problème de Délos par Archytas et par
Eudoxe.
No 6. — 1879 (p. 62-73).
A quelle époque vivait Diophante.
MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME I*'. XIX
XVIII MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME I*'.
N® 19. — 1882 (p. 226-253).
N» 7. — 1880 (p. 74-79)·
Sur la mesure du cercle d’Archimède.
L’article de Suidas sur Hypatia.
N® 20. — 1882 (p. 254-280).
N® 8. — 1880 (p. 80-1 o5).
De la solution géométrique des problèmes du second degré
L’arithmétique des Grecs dans Pappus.
avant Euclide.
N® 9. — 1881 (p. 106-110).
N® 21. — 1883 (p. 281-289).
Sur l’âge du pythagoricien Thymaridas.
Un fragment de Speusippe.
N® 10. — 1881 (p. 111-117).
N® 22. — 1883 (p. 290-299).
L’article de Suidas sur le philosophe Isidore.
Sérénus d’Antissa.
N® II. — 1881 (p. 118-123).
N® 23. — 1883 fp. 3oo-3i6).
Sur le problème des bœufs d’Archimède.
Sur une critique ancienne d’une démonstration d’Archimède.
N® 12. — 1881 (p. i24-i38).
N® 24. — 1883 (p. 317-338).
Quelques fragments d’Apollonius de Perge.
Seconde note sur le système astronomique d’Eudoxe.
N' i3. — 1881 (p. i39-i55).
N® 25. — 1883 (p. 339-370).
Les mesures des marbres et des divers bois, de Didyme
Le fragment d’Eudème sur la quadrature des lunules.
d’Alexandrie.
N® 14. — 1882 (p. 156-167). N® 26. — 1883 (p. 371-396).
Sur les fragments de Héron d'Alexandrie conservés par Aristarque de Samos.
Proclus.
N® 27. — 1883 (p. 397-421).
N® i5. — 1882 (p. 168-177). Stéréométrie de Héron d’Alexandrie.
Sur les fragments d’Eudème de Rhodes relatifs à l’histoire
des mathématiques. N® 28. — 1883 (p. 422-448).
Études héroniennes.
N® 16. — 1882 (p. 178-184)·
Sur Sporos de Nicée. N® 29. — 1883 (p. 449-465).
Sur le « modius castrensis ».
N® 17. — 1882 (p. i85-i88).
Sur l’invention de la preuve par neuf.
N® 18. — 1882 (p. 189-225).
L’arithmétique des Grecs dans Héron d’Alexandrie.
d. — 1876.
NOTE
SUR LE
SYSTÈME ASTRONOMIQUE D'EUDOXE [1]
Dans un mémoire sur « Le sjere omocentriche di Eudosso, di
Calippo e di Aristotele » (Ulrico Hœpli, Milan, 1875), M. G.-V,
Schiaparelli a restitué avec un rare bonheur le système astrono
mique conçu par Eudoxe de Gnide au commencement du qua
trième siècle avant J.-G. Ge système ayant été g'énéralement
méconnu par tous les historiens de l’astronomie, nous essaierons
d’en donner une idée succincte d’après le travail de M. Schiapa
relli, en employant toutefois le calcul trigOnométrique, dont il
devait s’abstenir dans la « divination » des connaissances à attri
buer à Eudoxe, et en cherchant à faire juger par là de la valeur
réelle du système et du degré d’accord qu’il pouvait donner entre
les théories et les observations.
Ghaque planète (y compris le Soleil et la Lune) est supposée
fixée sur l’équateur d’une sphère particulière concentrique à la
Terre et animée d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un
axe fixe par rapport à elle-même. Les pôles de cet axe sont fixés
à leur tour sur la surface d’une seconde sphère concentrique, ani
mée d’un autre mouvement de rotation autour d’un autre axe, et
ainsi de suite. Voilà l’idée générale du système.
[i. Comparez plus loin n® 24·]
PAUL TANNERY. MÉM. SCIENT. ---- I. I
2 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNERY.
I. — SYSTÈME d’eUDOXE.
Pour chacun des sept groupes de sphères ainsi imag-inés, celle
avec le plan AGA' passant par les pôles de l’écliptique. Menons le
qui enveloppe toutes les autres a son axe dirig-é suivant celui du
quadrant BP faisant le même angle m avec l’arc de cercle per
monde. La durée de sa révolution est le jour sidéral; elle produit
pendiculaire en B au précédent; P sera le lieu de la planète cor
l’apparence du mouvement diurne.
respondant à l’angle m. Joignons P au pôle de l’écliptique par
La seconde sphère est inclinée suivant l’axe du zodiaque
moyen (écliptique). Pour la Lune, la durée de la révolution est
celle de la rétrogradation des nœuds, phénomène qu’elle repré
sente.
La troisième sphère de la Lune est inclinée suivant Paxe de
l’orbite lunaire et tourne en un mois sidéral.
Galippe ajouta plus tard, pour représenter les inégalités de
mouvement sur l’orbite, une quatrième et une cinquième sphère,
qui sont les troisième et quatrième des planètes d’après Eudoxe.
Pour le Soleil, les sphères sont analogues à celles de la Lune,
c’est-à-dire qu’Eudoxe supposait une nutation, par analogie avec
les phénomènes lunaires, comme elle existe d’ailleurs réellement ;
mais, par suite de l’inexactitude des observations, il l’exagérait,
sans aucun doute, et lui supposait une période très longue.
Les cinq planètes n’ont pas ce mouvement de nutation ou de
l’arc de grand cercle GQP, PQ sera la latitude (australe) — λ,
rétrogradation des nœuds ; la seconde sphère d’Eudoxe accomplit
OQ l’équation de longitude
sa rotation pendant la durée de la révolution sidérale. C’est le
Prolongeons l’arc AB jusqu’en A' et menons PT perpendicu
mouvement moyen en longitude.
La troisième sphère a ses pôles sur l’équateur de la seconde laire; l’arc PT = ^ — m ei TA' = ~ — L Gomparons l’hypo
(écliptique), à 90® de la position moyenne en longitude. La durée ténuse des deux triangles* rectangles PQA', PTA'. Nous avons
de sa rotation est celle de la révolution synodique. La quatrième immédiatement
sphère a ses pôles distants de ceux de la troisième d’un arc i spé
(0 sin δ cos λ ~ sin / sin m.
cial à chaque planète, et tourne en sens contraire avec une vitesse
égale. Menons AP, qui coupe en S le grand cercle GOG' perpendicu
Nous pouvons faire abstraction des deux premières sphères. laire au plan de la figure. Dans le triangle GSP, rectangle en S,
Soit AA' les pôles de la troisième sur l’écliptique AO A' (fig· i);
+ sin λ ~ cos CS cos SP, or CS nr RS -f- m,
soit l’arc de grand cercle AB = /, faisant l’angle variable m — sin λ — cos SP sin RS sin m — cos SP cos RS cos m;
4 MÉMOIRES SCIENTIFIQUES DE PAUL TANNIRY. I. — SYSTEME D EUDOXE.
Le mouvement maximum en latitude sin* - n’atteint pas une
Mais dans le triangle ABP, où RS ==BAP et BP = ~ ,
minute ; il était complètement négligeable.
cos SP sin RS rr cos m, Pour la Lune, en supposant les arcs comptés sur l’orbite
lunaire et la durée de la révolution des sphères égale à celle du
et dans les triangles rectangles RSP, RPT,
mois anomalistique, on se trouvera dans des conditions analo
cos SP cos RS rz cos RP :z: cos i sin m. gues ; e étant environ , i sera d’environ '6°, et le mouvement
lo
en latitude, à partir de l’orbite lunaire, n’atteindra pas 9'.
Ainsi
En résumé, le système d’Eudoxe permet de représenter les
— sin λ ~ cos m sin m — cos i sin m cos m inégalités propres des mouvements planétaires avec autant d’exac
ou titude que celui des épicycles.
Il n’en est pas tout à fait de même pour les inégalités des mou
(^) sin λ sin - sin zm.
2 vements héliocentriques.
Pour une première approximation, nous négligerons l’inéga
La courbe définie par les équations (i) et (2) a la forme d’un
lité propre de la planète et celle du Soleil y et par conséquent l’ex
8 très allongé couché suivant l’écliptique ; le point double est en
centricité des orbites ainsi que le carré de l’inclinaison de l’orbite
O, lieu de la longitude moyenne, ^ varie entre + i et — i, λ
sur l’écliptique.
entre ± arc sin ^sin^ Si, pour une planète supérieure, nous comptons les longi
Si nous cherchons à représenter par ce procédé le mouvement tudes à partir de la conjonction, soit L la longitude moyenne de
du Soleil, nous n’avons qu’à supposer m compté à partir du péri la planète, Ω celle du nœud, Θ l’inclinaison de l’orbite sur l’éclipti
que, a le rapport des distances du Soleil à la Terre et à la planète,
gée et sin^ - négligeable.
enfin m la différence des longitudes moyennes du Soleil et de la
δ zz sin i sin m, λ ~ o. planète (mouvement synodique), nous pouvons poser, dans ces
hypothèses.
Or nous avons, si e est l’excentricité de l’orbite.
« sin m tg λ Θ sin (L — Ω)
i a cos m ’ sin δ a sin m
3 rr 2 e sin m - e* sin 2 m -f
Pour une planète inférieure, nous^ désignerons par L la longi
Si nous négligeons les termes en les deux formules s’iden
tude moyenne du Soleil, identique à celle de la planète, comptée
tifient en posant sin i 2 soit e = ^ , ou i"; i est d’envi toujours à partir de la conjonction supérieure; par a le rapport
ron 2®. des distances du Soleil à la planète et à la Terre, et par m la dif-
