Table Of ContentSVERRE E. KINDEM
MEKANIKK
3. HYDRAULIKK
LÆREBOK FOR
INGENIØRHØGSKOLEN
v.o
\ \.l::3£73-c:31
Yrkesopplæring i • s
© Yrkesopplæring I S 1979, 1983
6. opplag
ISBN 82-585-0286-7
Norbok a.s, Oslo/Gjøvik 1991
Det må ikke kopieres fra denne bok utover det som er
tillatt etter bestemmelsene i «Lov om opphavsrett til
åndsverk», «Lov om rett til fotografi» og i «Avtale mellom
staten og rettighetshavernes organisasjoner om kopiering
av opphavsrettslig beskyttet verk i
undervisningsvirksomhet».
Brudd på disse bestemmelsene vil bli anmeldt.
FORORD
Mine lærebøker i mekanikk, del 1 og 2, har tidligere
vært supplert med et kompendium som gav en inn
føring i elementær hydraulikk. Dette kompendiet er nå
blitt omarbeidet til del 3 av mine lærebøker.
Del 3, hydraulikk, følger samme mønster som
kompendiet, men skulle være mer å jour, bl. a. ved
bruk av SI-enheter. Noen avsnitt har fått en annen
form, og jeg har ofte brukt andre regneeksempler.
Jeg håper at denne boka vil gi en fremstilling av
hydraulikken som fører til full forståelse hos eleven.
Jeg har med hensikt begrenset emnevalget og prøvd
å unngå å gå for meget i detalj, noe som lett får en
nybegynner til å tape oversikten.
Oslo i oktober 1975 Sverre E. Kindem
INNLEDNING
En særegen egenskap ved væsker er bl. a. at volumet er praktisk talt
konstant, mens formen tilpasser seg den beholderen der væsken til enhver
tid befinner seg.
Ved en såkalt «idealvæske» vil en formendring av væsken kunne skje
uten at det opptrer noen friksjonsmotstand mot formendringen. Ved
alle virkelige væsker vil formendringer møte friksjon, og jo større friksjonen
er, desto seigere arter væsken seg.
Målinger viser at friksjon ved bevegelser av væsker følger andre lover
enn de som gjelder for friksjon mellom faste legemer. Ved faste legemer
er friksjonen tilnærmet proporsjonal med normalkraften og noenlunde
uavhengig av hastigheten. Ved væsker viser det seg at friksjonen er
uavhengig av trykket, men sterkt avhengig av hastigheten. Jo mindre
hastigheten er, desto mindre blir friksjonen. Når hastigheten nærmer seg
null, vil friksjonen også nærme seg null.
I en væske som er kommet til ro i et kar, vil det ikke eksistere friksjons
krefter. Den kraften som væsken øver mot veggene av karet, vil være
rettet normalt på veggflaten i alle punkter. På samme måte vil kraft-
virkningen på alle snittflater gjennom væsken bli trykkrefter, som står
normalt på snittflaten.
I en væske som er i ro, vil det ikke eksistere skjærspenninger, men
utelukkende trykkspenninger.
Når en væske blir utsatt for trykk, vil volumet av væsken minke noe,
og volumendringen er proporsjonal med trykket. Oppheves trykket, vil
væsken utvide seg til det gamle volum. Når vi i teknisk hydraulikk ser
bort fra disse volumendringene, så kommer det selvfølgelig av at volum
endringene er for små til å få praktisk betydning for våre beregninger.
Et eiendommelig fenomen ved væsker er den såkalte væskehinne, som
man fortrinnsvis må regne med der hvor væsken har en fri overflate.
Denne er årsak til dråpedannelse, hårrørskrefter o. 1. Selv om fenomenet
ofte er av stor betydning i teknikken, har det liten betydning for de
problemstillinger vi konsentrerer oss om i faget teknisk hydraulikk.
HYDROSTATIKK
Hydrostatikk handler om forholdene ved væsker som er i ro, og hvor
væsken kan betraktes som en idealvæske uten friksjonskrefter.
Trykk i væsker
I fasthetslæren definerte vi begrepet spenning som forholdet mellom
kraft og det areal som overfører kraften.
I en friksjonsfri væske finnes det utelukkende trykkspenninger, og man
er blitt enig om å bruke bokstaven p som symbol for spenningen. Man
har også vedtatt å kalle denne trykkspenningen for kort og godt trykket
i vedkommende punkt.
Hvis den totale kraftvirkningen er P mot en flate med areal A, blir
trykket (spenningen)
P = ^
Måler vi her kraften P i N (newton) og arealet i m2, får p benevningen
N/m2, som også skrives Pa (pascal).
Eksempel. Det atmosfæriske trykk mot overflaten av havet er omtrent
105 N/m2 = 105 Pa. Dette trykket skyldes tyngden av lufthavet som omgir
jorda, og som svarer til tyngden av et ca. 10 meter tykt lag med vann.
Meteorologene har funnet det hensiktsmessig å definere måleenheten
1 bar lik 105 N/m2. Når de for eksempel oppgir det atmosfæriske trykk
til 980 millibar, så svarer dette til 0,980 • 105 Pa.
Slike måleenheter kan lette arbeidet for profesjonelle utøvere av et
yrke. I en lærebok er det kanskje å foretrekke å gjøre bruk av de grunn
leggende måleenheter, her N/m2.
Trykkforholdene i en væske som er i ro, er en følge av rene likevektslover
og kan beregnes ved hjelp av kjente statiske ligninger. Vi kan konsentrere
vår oppmerksomhet om et væskelegeme formet som en rett streng med
tverrsnitt A og lengde /. På figur 1 er strengen tegnet tykkere enn
opprinnelig tenkt, for å få fram noen detaljer.
6
HYDROSTATIKK
La y betegne væskens spesifikke tyngde.
Tyngden av strengen blir da yAl. Det som
bærer denne tyngden, er trykket mot
strengens overflate fra væsken som omgir
strengen.
Trykket mot sideflatene står normalt på
strengens lengderetning. Ved øvre endeflate
er trykket px og gir en resultantkraft pxA.
Den nedre endeflaten danner vinkelen fl
med strengens lengdeakse og er utsatt for
en resultantkraft p2A2.
Likevekten krever bl. a. at summen av
alle kraftkomponenter parallelt med leng
deaksen av strengen skal være null. Vi får
p2A2 sin = pxA + yAl sin a.
Her er A2 sin /? = A og / sin a = zJZz, lik
høydeforskjellen mellom endepunktene av strengen. Vi får
p2A = pxA + yA • Ah
P2 = Pi + y ■ Ah
Trykk-kraften pr. flateenhet (trykket) ved nedre ende av strengen viser
seg å være uavhengig av snittflatens skråstilling, angitt ved vinkelen fl.
Om vi altså beregner trykket p2 for alle tenkelige helninger av flaten A2,
vil vi få samme fasit på trykket. Resultatet stemmer med loven:
I et vilkårlig punkt i en væske vil det være like stort trykk mot alle
snittflater som kan tenkes lagt gjennom punktet.
På figur 2 er det tegnet to væskestrenger, som gjensidig øver like store
og motsatt rettede trykk mot hverandre på endeflatene. Ved overflaten
hersker det atmosfærisk trykk p0. Vi får
Pi = Po + y • Ahx
P = Pi + 7 ' Ah2 = p0 + y(Ahx + d/z2)
P = Po + yh
7
HYDROSTATIKK
Trykket i et vilkårlig punkt er lik
trykket ved væskens overflate pluss
væskens spesifikke tyngde ganger dybden
under overflaten.
Trykket blir uavhengig av formen
av karet som omslutter væsken.
Riktigheten av våre beregninger står
og faller med om det er virkelig så at
væsken er uten friksjon. Pascal utførte
en rekke forsøk hvor han sammen
lignet resultantkraften mot bunnflatene
av beholdere med forskjellig form.
Det viste seg at hvis bunnflatene var
like store og væskedybden den samme, så ble resultantkraften like stor
i alle tilfeller.
På figur 3a er det anbrakt et vertikalt rør med den nedre ende dykket
et stykke ned under overflaten av væsken i et kar. Overflaten er utsatt
for det atmosfæriske trykk p0. Inne i røret er et stempel som berører
væsken. Da det atmosfæriske trykk virker på oversiden av stemplet, vil
stemplet øve et tilsvarende trykk mot væsken.
Fig. 3a Fig. 3c
På figur 3b er stemplet løftet en høyde h. Væsken i røret har fulgt med
stemplet, men nå er trykket mellom væsken og stemplet minket til
8 HYDROSTATIKK
p = p0 — yh. Da stemplet jo har atmosfæretrykket på oversiden, må
det et drag til i stempelstanga for å heve stemplet.
Trekker vi nå stemplet videre oppover, vil trykket mellom væsken og
stemplet til slutt opphøre. Væsken vil da ikke stige høyere, og vi får
situasjonen på figur 3c.
Setter vi p = 0, får vi en maksimal stigehøyde for væsken
/, = £»
7
For vann med y — 9810 N/m3 skulle et atmosfærisk trykk 105 N/m2 gi
en stigehøyde på 10,2 meter.
Målinger viser at stigehøyden blir noe mindre. Dette kommer av at
hulrommet mellom stemplet og væsken fylles med damp fra væsken,
som gir et trykk mot væskeoverflaten. I tabellen nedenfor er metnings-
trykket for vanndamp ved forskjellige temperaturer angitt, og den
tilsvarende stigehøyde som vann maksimalt kan få når forholdene har
stabilisert seg.
Temperatur °C 0 10 20 40 60 80 100
Damptrykk 105 N/m2 0,006 0,012 0,023 0,074 0,199 0,473 1,013
Stigehøyde i m 10,2 10,1 10,0 9,5 8,2 5,5 0
Ved vanlig regnvann blir stigehøyden noe mindre på grunn av frigjøring
av oppløste gasser (luft).
Vi har her forutsatt at hevingen av stemplet foregår langsomt, slik
at vi kan se bort fra friksjon i væsken. Ved pumpeanlegg må vi ta hensyn
til friksjonen, og pumpas sugeevne kan da stille seg ugunstigere enn
tabellen ovenfor gir inntrykk av. Mer om dette seinere.
Absolutt trykk — Overtrykk
Det eksemplet vi nettop så på med sugerøret som «suget» væsken
oppover i røret ved hjelp av et stempel, ville være vanskelig å forstå med
HYDROSTATIKK 9
mindre vi var klar over det atmosfæriske trykk, som presser væsken
oppover i røret.
I de oppgaver vi skal løse i teknisk hydraulikk, er som oftest det
atmosfæriske trykk uten betydning for løsning av oppgaven. Skal vi
for eksempel undersøke påkjenningene i veggene av en vannbeholder,
vil det være differansen mellom væsketrykket inne i beholderen og det
atmosfæriske trykk utenfor beholderen som har betydning. Denne
differansen kaller vi væskens overtrykk.
Om det absolutte trykk i en dybde h under en fri væskeoverflate er
p0 + yh, så er væskens overtrykk i det samme punkt yh.
Mens det absolutte trykk alltid er positivt og minst lik væskens
dampmetningstrykk ved vedkommende temperatur, så kan overtrykket
bli negativt. For eksempel har vi negativt overtrykk i rørene på fig. 3.
Grensen for hvor stort negativt overtrykk som kan eksistere, finner vi
ved å huske at det absolutte trykk må ha en minsteverdi.
I de aller fleste tilfeller der vi møter ordet trykk i teknisk hydraulikk,
så menes det overtrykk. I motsatt fall venter vi at det brukes betegnelsen
absolutt trykk.
For teknikken kan det ha stor interesse å bli kjent med trykk i vann.
I en dybde 10 meter under vannspeilet er trykket (overtrykket) ca.
105 N/m2, eller noe nøyaktigere 98 kN/m2.
Ofte er det tilstrekkelig bare å angi dybden som målestokk for trykk.
Vi sier f. eks. at det er 60 meter vanntrykk på en rørledning.
Resultanten av væsketrykk mot plane flater
Væsketrykkets fordeling over en plan veggflate kan vi vise ved et
diagram, der ordinaten er trykket i vedkommende punkt på flaten.
Figur 4 viser et slikt væsketrykkdiagram. Vi ser også veggflatens form
sett i vanntrykkets retning. Veggflatens plan skjærer væskeoverflatens
plan langs en horisontal akse X.
Vi forestiller oss flaten delt i smale horisontale striper med areal fx, /2
osv. og med samlet areal lik A. Trykket (pr. flateenhet) mot en stripe er
Pi = yhx = yyt sin a
p2 = yh2 = yy2 sin a osv.
10 HYDROSTATIKK
Vi får px : p2 = yi • y*i °g finner at trykket er proporsjonalt med avstanden
fra V-aksen. Trykkdiagrammet begrenses derfor av en rett linje som
forlenget skjærer flatens plan ved X-aksen.
Resultantkraften mot flaten blir
P = Pl fl + Pif2 + = y sin + y2f> + "•) = 7 sin a • y0A
Parentesen er veggflatens statiske moment om V-aksen og er lik hele
arealet A ganger tyngdepunktavstanden j’o . Bemerker vi videre at y0 sin a
er lik tyngdepunktets dybde h0 under overflaten, får vi sluttformelen
P = yh0A = p0A
Po = yho er trykket målt ved flatens tyngdepunkt.
Hadde trykket vært jevnt fordelt over flaten, ville resultantkraften
fått en angrepslinje gjennom tyngdepunktet av flaten. Men ved skrå
flater øker trykket nedover, og angrepslinjen for resultanten virker
derfor nedenfor tyngdepunktet.
Vi finner resultantens avstand fra X-aksen ved å ta momentet om
X-aksen. Resultanten må gi samme moment som enkeltkreftene.
