Mekanikk. 2 Dynamikk

132 Pages·1982·45.307 MB·Norwegian

by  Fredy Olsson, Gunnar Strømsnes

FREDY OLSSON/GUNNAR STRØMSNES
Mekanikk 2
Dynamikk
BOKMÅL
YRKESOPPLÆRING I • S 1982
© LiberLaro medel Mal mo 1973
Originalens tittel: "Mekanik for teknologi och konstruktion.
Del II. Dynamik"
© Yrkesopplæring i-s 1982
ISBN 82-585-0153-4
Godkjent til bruk i den videregående skolen av Kirke- og undervis­
ningsdepartementet i brev av 7. september 1982.
Det må ikke kopieres fra denne boka utover det som er tillatt etter be­
stemmelsene i "Lov om opphavsrett til åndsverk", "Lov om rett til
fotografi’ og i "Avtale mellom staten og rettighetshavernes organisa­
sjoner om kopiering av opphavsrettslig beskyttet verk i undervis­
ningsvirksomhet".
Brudd på disse bestemmelsene vil bli anmeldt.
Printed in Norway
As Bryne Trykkeri, Bjørkelangen 1982
Forord
Dette er den andre boka i serien om mekanikk for de tekniske
skolene.
Boka er laget for å dekke kravet til lærestoff i teknisk fag­
skole. Likevel har jeg funnet det viktig å ta med enkelte avsnitt
som tilleggsstoff. Disse avsnittene er merket med en ramme
rundt teksten, og er ikke pensum for teknisk fagskole.
Tilleggsstoffet gjør imidlertid at boka er velegnet til studiet
ved ingeniørhøgskolen.
Også ved teknisk fagskole finnes elever som har gode kunn­
skaper i matematikk. Det er mitt håp at disse elever vil finne
tilleggsstoffet interessant.
Først i boka finnes en oversikt over de stoffdelene som er
pensum i teknisk fagskole etter gjeldende fagplan.
Ved hjelp av oversikten kan både lærerne og elevene lett
kunne finne fram til de stoffdelene som er pensum for den ak­
tuelle linjen.
Slemmestad, juli 1982
Gunnar T. Strømsnes

Innhold
Pensum for teknisk fagskole
Avsnitt/emne Side Anlegg Bil
Husbygg Maskin Elektro
7 BEVEGELSE...................................................... 7
7.1 Innledning............................................................. 7
x X
7.2 Rettlinjet bevegelse............................................. 9
X X
7.3 Roterende bevegelse ........................................... 19
X X
7.4 Sammensatt bevegelse......................................... 25 x_
* 7.5 Bevegelse langs krum bane................................ 29
7.6 Bevegelse hos stive legemer................................ 31 x_
7.7 Løsning av oppgaver........................................... 36
X X
8 KREFTER ER ÅRSAK TIL BEVEGELSE . . 43
8.1 Innledning............................................................. 43
X X
8.2 Kraftlikningen ved rettlinjet bevegelse.............. 43
X X
8.3 Mekanisk arbeid, energi og effekt...................... 50
X X
8.4 Treghetskraft — Tangentialkraft ....................... 55 x_ X
8.5 Kraftlikning ved roterende bevegelse................ 59
X
8.6 Energiloven........................................................... 63
X
8.7 Impulsloven ........................................................ 65
X
8.8 Støtteori ............................................................... 66
X
* 8.9 Svingninger.......................................................... 70
X
8.10 Løsning av oppgaver........................................... 76 x_ jy
9 FASTE LEGEMER I BEVEGELSE .............. 84
9.1 Innledning............................................................. 84
X
9.2 Tyngdepunktets bevegelse.................................. 84
X
9.3 Massetreghetsmoment......................................... 85
X
* 9.4 Bevegelsesmengde og impulsmoment. Spinn .. 92
* 9.5 Rotasjon om fast akse......................................... 93
X
* 9.6 Bevegelsesenergi ved vilkårlig bevegelse........... 97
* 9.7 Pendelen............................................................... 100
* 9.8 Løsning av oppgaver........................................... 104
X
Korte løsninger til øvingsoppgavene........................... 109
x betyr at avsnittet er særlig viktig
* betyr at hele avsnittet ikke er pensum for teknisk fagskole

7 Bevegelse
7.1 Innledning
I de seks første kapitlene behandlet vi legemer som er i ro. Vi kan
også si at legemene er i fullkommen hvile. Du husker nok også at le­
gemene var helt stive. Denne delen av mekanikken kalte vi statikk.
De tre kapitlene vi nå skal ta fatt på, hører til den delen av meka­
nikken som vi kaller dynamikk. Dynamikk betyr at legemene er i be­
vegelse. Hvis du blar tilbake til innledningen i boka om statikk, vil du
finne at vi delte dynamikken inn i to deler:
1) Kinematikk
2) Kinetikk
I kinematikken er vi interessert i å se nærmere på selve bevegelsen,
uten at vi går noe inn på det som er årsak til bevegelsen. I kinetikken
derimot vil vi undersøke hvordan krefter virker på bevegelsen.
I statikken har vi benyttet målestørrelser for kraft og lengde. Disse
to størrelsene trenger vi også i dynamikken. I denne delen av meka­
nikken må vi i tillegg ha en måleenhet for tid.
I dette kapitlet om bevegelse skal vi bare se på hvordan veglengde
og tid er knyttet sammen for en bestemt bevegelse. Kapitlet vil også gi
deg nødvendig teoretisk bakgrunn til å behandle årsakene til bevegel­
sen og til å se nærmere på de kreftene som er i virksomhet. Dette er
emner som vi tar for oss i de to følgende kapitlene.
Ut fra grunnenhetene lengde (veglengde) og tid kan vi finne nye en­
heter som vi trenger i dynamikken.
Veglengde
I løpet av en viss tid kan et legeme flytte seg en viss strekning. Vi sier
gjerne at legemet har flyttet seg en viss veglengde på denne tiden. Som
symbol for veglengden bruker vi s. Vi ser lett at om vi øker tiden,
kan legemet bevege seg en lengre strekning. Det er altså en klar for­
bindelse mellom veglengden og tiden som går med til bevegelsen. Sagt
med andre ord er veglengden, s, en funksjon av tiden, t. t er her
symbolet for tiden.
I matematikken kan vi skrive
7.1 s=/(r)
Dette betyr at veglengden s er en eller annen funksjon av tiden t.
7
Hastighet
Tenker vi oss at bevegelsen foregår langs en akse i et koordinatsys­
tem, kan vi finne følgende:
Etter en viss tid t\ finner vi legemet i posisjon S] på s-aksen. Senere,
ved tidspunktet t2, finner vi legemet i posisjon s2. Nå har legemet
tilbakelagt strekningen (veglengden) s2-Si. Tiden som har gått
med, er z2 - tx. Nå er det naturlig å føre inn en ny størrelse, som er
veglengde dividert på den tiden som har gått med. Vi kaller denne
størrelsen middelhastigheten, vm.
tilbakelagt veglengde
tiden som har gått med
Vi kan også skrive dette slik:
s2 —Si As
= —------ = —
v m
z2 - Z] Az
A betyr liten størrelse. Her har vi ført inn tegnet A, som betyr at den tilbakelagte vegleng­
den er en liten størrelse. Det samme gjelder for tiden som har gått
med.
Ved hjelp av differensialregning kan vi skrive hastigheten slik:
Vi går ut fra at veglengden s er en deriverbar funksjon av ti­
den z.
- - As ds ,
7.2 v = hm ---- =— = s
Az - 0 Az dt
Akselerasjon
Vi kan definere middelakselerasjonen på sammen måte som vi defi­
nerte middelhastigheten:
endring i hastigheten
Hl :-----------
tid som gar med til endringen
Dette kan vi skrive slik:
Vi-Vi Av
am= -
z2-Z] Az
Vi sier at akselerasjonen er positiv når hastigheten øker (hastigheten
blir større i løpet av tiden z). Blir hastigheten mindre, sier vi at
akselerasjonen er negativ.
Negativ akselerasjon kaller vi også retardasjon.
8
Hvis s og v er deriverbare funksjoner av tiden r, kan vi
finne:
, / ds \
<2 I-----)
Av dv ' dt ' drs ,,
7.3 a = hm — =-------------- =------= s
A/ - o A/ dt dt dt-
Hastighet og akselerasjon er vektorer
Se kapittel 1, avsnitt 1.6.
Både hastighet og akselerasjon er størrelser som har bestemte
retninger, på samme måte som krefter.
Hvis bevegelsen skjer langs en rett linje, er hastighetsvekto­
ren rettet langs linjen og i samme retning som bevegelsen fore­
går.
Følger bevegelsen en krum bane, er hastighetsvektoren tang­
ent til banekurven på et gitt tidspunkt.
Ved rettlinjet bevegelse er akselerasjonsvektoren rettet langs
med banen (parallelt med banen) og i samme retning som beve­
gelsen foregår når akselerasjonen er positiv. Er akselerasjonen
negativ, vil akselerasjonsvektoren være rettet mot bevegelsen.
I krum bane er akselerasjonsvektoren satt sammen av en
komponent parallelt med banens tangent og en komponent
som er rettet mot sentrum for banens krumning. Dette kan du
lese mer om i avsnitt 7.3.
7.2 Rettlinjet bevegelse
Vi tenker oss ofte at et legeme Når et punkt beveger seg langs en rett linje, sier vi at bevegelsen er
er svært lite, nærmest som en rettlinjet.
partikkel. Bildet av en slik Vi kommer til å bruke diagrammer for å illustrere bevegelse, has­
partikkel er et punkt. tighet og tid. Slike diagrammer er:
Av og til ser vi at partikkelen
— st-diagram, som viser hvordan veglengden endrer seg med tiden
blir kalt et materielt punkt.
— vt-diagram, som viser hvordan hastigheten avhenger av tiden
— at-diagram, som illustrerer forbindelsen mellom akselerasjon og
tid
Jevn, rettlinjet bevegelse
En rettlinjet bevegelse med konstant hastighet (v = konstant) kaller vi
jevn bevegelse.
Sammenhengen mellom veglengden s, hastigheten v og tiden t
blir
7.4 s = V‘t
9
På figur 7.1 har vi tegnet st-diagrammet og vt-diagrammet.
Figur 7.1
Siden vi forutsatte at hastigheten er konstant, vil akselerasjonen bli
null. Dette kan du også overbevise deg om ved hjelp av likning 7.3.
Den skraverte flaten i figuren til høyre (vt-diagrammet) represente­
rer veglengden s.
Eksempel 7.1
Under et idrettsstevne bruker en 100-meterløper 2 sekunder på avs­
lutningen av løpet fra 80 til 100 m. Hvor stor var middelhastigheten
på de siste 20 m av løpet?
Løsning: Vi bruker likning 7.4 og løser den med hensyn på hastighe­
ten V:
s 20 . n ,
v =— =---- som gir v=10m/s
v 2
Svar: 10m/s.
Jevnt akselerert bevegelse
Akselerasjon betyr at hastighe­ Når bevegelsen er jevnt akselerert, er akselerasjonen a konstant.
ten forandrer seg. Vi har tidligere definert middelakselerasjonen am slik:
Negativ akselerasjon blir også
kalt retardasjon.
Her kan vi anvende dette slik:
Begynnelseshastigheten v0 er Vi kaller begynnelseshastigheten v0 °g slutthastigheten v. Siden
hastighet i det øyeblikket tiden a er konstant, vil a = am.
r = 0. Dette gir oss:
a _ —vp (Bevegeisen har foregått i t sekunder)
t
Løser vi denne likningen med hensyn på hastigheten v, får vi:
v = Vq + at
10