Mehrgittermethoden: Ein Lehr- und Übungsbuch

295 Pages·2012·4.355 MB·German

by  Norbert Köckler

Mehrgittermethoden

Norbert Köckler
Mehrgittermethoden
Ein Lehr- und Übungsbuch
Prof.Dr.NorbertKöckler
InstitutfürMathematik
FakultätfürElektrotechnik,InformatikundMathematik
UniversitätPaderborn
[email protected]
ISBN978-3-8348-1319-0 ISBN978-3-8348-2081-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-8348-2081-5
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benutztwerdendürften.
PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach
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Vorwort
EshatmeineStudierendenundmichimmerwiederfasziniert,wiewunderbareineMehr-
gittermethodekonvergiert.MutetesdochwieeinWunderodereineZaubereian,dassein
numerischesVerfahren,dassichauslangsamkonvergierendenElementenzusammensetzt,
schnellerkonvergiertalsjedesklassischeVerfahren,unddasalleinaufgrundderTatsache,
dasses zwischenRäumenunterschiedlicherDimensionhinundher wechselt. Man kann
eskaumglauben!
Mein Ziel ist es, mit diesem Lehr- und Übungsbuch das Verständnis für die Faszi-
nation und die Funktionalität der Mehrgittermethoden jedem zu ermöglichen, der ein
naturwissenschaftlich-technischesGrundstudium erfolgreich absolviert hat. Die Lektüre
sollaberauchfüreinenMathematikernichtlangweiligwerden.MeinesErachtenshatdas
TutoriumvonBriggs,HensonundMcCormick1diesesZielaufnur175Seitenproblemlos
erreicht. Mein Eindruckist, dass es so etwas bisher im deutschsprachigenBereich nicht
gibt.
Mehrgittermethoden sind meistens Module von Verfahren, die partielle Differenzial-
gleichungennumerischlösen.Deshalb sollenRüdesGrundprinzipienzureffizientenLö-
sungvonpartiellenDifferenzialgleichungeneinmalgenanntwerden:2
1. GuteDiskretisierungsmethoden(verschiedenhoherOrdnung).
2. SchnelleLösungsmethodenfürdieentstehendenGleichungssysteme.
3. Adaptivität.
4. HochwertigeInformatikanteile(Hardware,AlgorithmenundSoftware).
MehrgittermethodengeltenalsdieschnellstenLöserderbeiderDiskretisierungparti-
ellerDifferenzialgleichungenentstehendenGleichungssysteme.Leiderergänzensichdie
genanntenPrinzipiennichtnur,sondernsiekönnensichauchbehindern.Sowirddiema-
thematischeFormulierungundAnalysederMehrgittermethodendurchdieForderungnach
Adaptivitäterschwert.
1Briggs,W.L.,Henson,V.E.,McCormick,S.F.:AMultigridTutorial,2ndedn.SIAM,Philadelphia(2000)
2Rüde,U.:MathematicalandComputationalTechniquesforMultilevelAdaptiveMethods.SIAM,Phil-
adelphia(1993)
V
VI
EsgibteineVielfaltanMethoden,manunterscheidetzwischenMehrgitter-(Multigrid-)
undMehrstufen-(Multilevel-)Methoden.Außerdemgibtesalgebraischeundanalytische
Mehrgittermethoden.Die algebraischenMehrgittermethodenbehandelnnurdasdiskreti-
sierte Problem, also die (linearen) Gleichungssysteme, während die analytischen Mehr-
gittermethoden auf jeder Stufe von dem kontinuierlichen Problem, also der partiellen
Differenzialgleichung,ausgehen.WirwerdenUnterschiedefeststellenzwischenMehrgit-
termethoden für mit dem Differenzenverfahrendiskretisierte Probleme und solchen, die
zurDiskretisierungdieMethodederfinitenElementeverwenden.
DerBandbestehtausdreiTeilen.UmunterschiedlicheVoraussetzungenbeidenLesern
zuberücksichtigen,werdenimTeilI„Grundlagen“gelegt;dazugehörendieDiskretisie-
rungpartiellerDifferenzialgleichungenunddieLösunggroßer,schwachbesetzterlinearer
GleichungssystememitdenklassischenIterationsverfahren.DieseThemenwirdderkun-
digeLeserwohlschonineinerNumerik-Vorlesunggehörthaben;dannkannerdiesenTeil
getrostüberspringen.
In Teil II wird die Mehrgittermethode ausschließlich auf eindimensionale Probleme
angewendet. Das erleichtert Darstellung und Verständnis, auch wenn die hohe Effizienz
dieser Methode erst bei mehrdimensionalen Problemen zum Tragen kommt. Die Ideen,
diedieMehrgittermethodenbegründen,könnenabervollständigverstandenwerden,ohne
dassdieKomplexitätderhöherenDimensionendiesemVerständnisimWegesteht.
InTeilIIIgehtesdannummehrdimensionaleProbleme.DadurchwirddieDarstellung
naturgemäßkomplexer,esmussaufEinzelheitenwieRandbedingungenstärkereingegan-
gen werden, die in einer Dimension kaum eine Rolle spielen. Ansonsten ist der Aufbau
diesesTeils ähnlichzu dem des zweiten Teils, so dass sich schrittweise ein tieferes Ver-
ständniseinstellt. Der dritteTeil bestehtauszweigroßenKapiteln,die sich nach derfür
dieMehrgittermethodeverwendetenDiskretisierungstechnikunterscheiden.Kapitel7be-
schreibtMehrgittermethodenaufderBasisvondividiertenDifferenzen,inKap.8wirddie
MethodederfinitenElementeeingesetzt.
Im Anhang widmet sich ein Kapitel Ergänzungen und Erweiterungen. Dort werden
Themenabgehandelt,dieindiesemZusammenhangzwarwichtigsind,aberdenRahmen
einesknappgehaltenenBandessprengenwürden.Mitihnenkönntegutundgerneinwei-
tererTeilgestaltetwerden,siesollenabernurbeispielhaftundmitkurzenBeschreibungen
angerissenwerden.AußerdembehandelteinKapitelimAnhangeinigeElementenumeri-
scherlineareAlgebra,einweiteresbieteteineAuswahlvonLösungenzudenzahlreichen
Übungen.
IndetailliertenAlgorithmenwerdenfürSchleifenundBedingungendieüblicheneng-
lischenAusdrückeverwendet.MancheAlgorithmenwerdenabernurinFormgroßschrit-
tigerAblauf-Anweisungendargestellt.
Die meisten Teile dieses Textes habe ich in Vorlesungen über die Numerik partieller
Differenzialgleichungen und seit 2008 auch dreimal in Spezialvorlesungen vorgetragen.
SeminarehabendasThemavertieft.IchdankeallenStudierenden,diedurchIhreFragen
undAnregungenzuVerbesserungenbeigetragenhaben.
Besonderer Dank gebührt Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Springer
Spektrum,diemeineIdeezudiesemBuchsofortaufgegriffenunddenWerdegangwohl-
VII
tuend begleitet hat, Frau Barbara Gerlach vom Verlag Springer Spektrum und Herrn
StephanKorellvonle-tex,diebeimeinenFragenimmerschnellundprofessionellgehol-
fenhaben.HerrnMirkoHessel-vonMolodankeichfürdieDurchsichtdesManuskripts.
ErhatnichtnurfürkorrekteSchreibweisen,sondernauchganzwesentlichfürklarereFor-
mulierungenundbessereVerständlichkeitvielerPassagengesorgt.HerrnThomasRichter
dankeichfürdasRecht,dieBilderausseinerDissertationabzudrucken.
Die meisten Beispiele wurden mit MATLAB gerechnet, die meisten Abbildungenmit
MATLAB erzeugt. MATLAB® ist ein eingetragenes Warenzeichen von The MathWorks,
Inc. Einige Abbildungenwurden mit MAPLE hergestellt. MAPLE® ist ein eingetragenes
WarenzeichenvonMaplesoft,einerAbteilungvonWaterlooMapleInc.
Paderborn,imJanuar2012 NorbertKöckler

Inhaltsverzeichnis
TeilI Grundlagen
1 DiskretisierunglinearerDifferenzialgleichungen........................ 3
1.1 EinführendesBeispiel ........................................... 3
1.1.1 Differenzenverfahren ..................................... 4
1.1.2 DieMethodederfinitenElemente........................... 5
1.2 DividierteDifferenzen........................................... 7
1.3 RandwertproblemebeigewöhnlichenDifferenzialgleichungen ......... 8
1.3.1 EinModellproblem....................................... 8
1.3.2 AbleitungenindenRandbedingungen ....................... 11
1.4 DifferenzenverfahrenfürelliptischeRandwertprobleme............... 11
1.4.1 DiskretisierungmitdividiertenDifferenzen................... 13
1.4.2 AbleitungenindenRandbedingungen ....................... 15
1.4.3 EinzweidimensionalesModellproblem ...................... 18
1.5 DieMethodederfinitenElemente ................................. 20
1.5.1 DieVariationsmethode.................................... 20
1.5.2 PrinzipderMethodederfinitenElemente .................... 22
1.5.3 LokaleundglobaleBasisfunktionen......................... 24
1.5.4 AufbauderGesamtmatrixAundderrechtenSeiteb ........... 26
Aufgaben........................................................... 31
Literatur............................................................ 33
2 IterativeLösunglinearerGleichungssysteme ........................... 35
2.1 Gesamtschritt-undEinzelschrittverfahren .......................... 36
2.1.1 KonstruktionderIterationsverfahren ........................ 36
2.1.2 EinigeKonvergenzsätze................................... 41
2.2 Block-Relaxationsverfahren ...................................... 48
2.3 MethodederkonjugiertenGradienten(CG-Verfahren) ................ 49
2.3.1 GrundlageundAlgorithmus................................ 50
2.3.2 Vorkonditionierung....................................... 52
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