Table Of ContentAdvances in Numerical Mathematics
Thomas Sonar
Mehrdimensionale ENO-Verfahren
Mehrdimensionale
ENO-Verfahren
Zur Konstruktion nichtoszillatorischer Methoden
für hyberbolische Erhaltungsgleichungen
Von Prof. Dr. rer. nat. Thomas Sonar
Universität Hamburg
EI3
B.G.Teubner Stuttgart 1997
Prof. Dr. rer. nat. Dipl.-Ing. Thomas Sonar
Geboren 1958 in Sehnde. Von 1977 bis 1980 Studium des Ingenieur
wesens (Maschinenbau) an der FH Hannover, 1980 Diplom (FH). Von
1980 bis 1981 Laboringenieur im Labor für Regelungstechnik der FH
Hannover. Von 1981 bis 1987 Studium der Mathematik und Informatik an
der Universität Hannover, 1987 Diplom. Als Jungwissenschaftler zunächst
von 1987 bis 1989 am Institut für Entwurfsaerodynymik der DFVLR in
Braunschweig, dann von 1989 bis 1991 als wiss. Mitarbeiter am Mathe
matischen Institut A der Universität Stuttgart, 1991 Promotion. Von 1991
bis 1996 "Hausmathematiker" am Institut für Strömungsmechanik der DLR
in Göttingen, 1995 Habilitation an der Technischen Hochschule Darm
stadt. Seit 1996 Professor für Mathematik an der Universität Hamburg.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Sonar, Thomas:
Mehrdimensionale ENO-Verfahren : zur Konstruktion
nichtoszillatorischer Methoden für hyperbolische
Erhaltungsgleichungen / von Thomas Sonar. - Stuttgart : Teubner,
1997
(Advances in numerical mathematics)
ISBN 978-3-519-02724-9 ISBN 978-3-322-90842-1 (eBook)
001 10.1007/978-3-322-90842-1
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Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B.G.Teubner Stuttgart 1997
Einband: Peter Pfitz, Stuttgart
Meinen Söhnen
Konstantin, Alexander und Philipp
gewidmet
Vorwort
All we need is to recover.
- K. W. MORToN [103]
Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen beschreiben fundamenta
le Prinzipien in der uns umgebenden Natur und bilden die Basis ganzer
Wissenschaftszweige. Die Euler-Gleichungen der Gasdynamik sind ein pro
minentes Beispiel dieser Klasse und nach über 200 Jahren ihres Bekanntwer
dens durch Euler ist die Frage nach der Existenz von Lösungen noch offen.
Da die numerische Behandlung grundlegend ist für die Numerik der Navier
Stokessehen Gleichungen, die die reibungsbehaftete kompressible Strömung
von Fluiden (inklusive der Turbulenz) beschreiben, kommt der Entwicklung
und Analysis numerischer Methoden seit einigen Jahrzehnten eine besondere
Rolle zu.
Im vorliegenden Buch wird eine moderne Klasse von Algorithmen - die
wesentlich nichtoszillatorischen (ENO) Diskretisierungen - auf unstruktu
rierten Gittern untersucht. Unser Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem al
gorithmisch aufwendigsten Schritt, der über die Qualität einer solchen Me
thode entscheidet. Es handelt sich dabei um die lokale Rekonstruktion einer
Approximation an die Lösung aus gegebenen Zellmitteln. Wir verfolgen die
Theorie der Optimalen Rekonstruktion und entwickeln neue Rekonstrukti
onsalgorithmen unter Verwendung radialer Basisfunktionen, die als Splines
in Semi-Hilbert-Räumen gewisse Optimalitätseigenschaften aufweisen.
Die Frage nach der Genauigkeit dieser neuen Rekonstruktion wird, außer in
numerischen Experimenten, nicht behandelt. Radiale Basisfunktionen sind
nicht polynomreproduzierend und die Fehleranalysis im Interpolationsfall
basiert auf technisch aufwendigen Fourier-Techniken. Behandelt man wie
hier den Rekonstruktionsfall, dann ist die Übertragung dieser Technik nicht
trivial. Es gelang Tim Gutzmer vom Seminar für Angewandte Mathematik
der ETH Zürich in [45] erstmals, eine Fehleranalysis im Fall der Rekonstruk
tion aus Zellmitteln mit Plattensplines durchzuführen. Allerdings gelingt
4 Vorwort
dies nur auf einem cartesischen Gitter und die Übertragung auf Triangulie
rungen steht aus. Hier ist in der Zukunft noch einiges zu tun.
Ich habe von vielen Seiten große menschliche und fachliche Unterstützung
erfahren, für die ich mich herzlich bedanken möchte.
Besonderen Dank verdient mein Freund und Kollege Prof. Dr. Gerald War
necke aus Magdeburg für seinen anhaltenden und ansteckenden Enthusias
mus und seine Förderung.
Professor K.W. Morton, Ph.D., vom Oxford University Computing Labo
ratory war der erste, dem die Bedeutung der Theorie der Optimalen Re
konstruktion für die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen
bewußt war, und die heute als ENO-Verfahren bekannten Methoden basie
ren auf seinen Ideen zur Optimalen Rekonstruktion. Sein - halb ernsthaft,
halb scherzhaft gemeinter - Satz: 'All we need is to recover', war der erste
Anstoß, diese Arbeit zu schreiben. Für zahlreiche Anregungen, konstrukti
ve Kritik und wohlwollende Förderung bis heute möchte ich mich herzlich
bedanken.
Die Herren Profs. Drs. Robert Schaback von der Universität Göttingen und
Peter Rentrop von der TH Darmstadt verdienen ebenfalls besonderen Dank,
unter anderem für die Übernahme der Korreferate bei meiner Habilitation.
Der erstgenannte hat mich mit der Theorie und seinen Arbeiten zu radialen
Basisfunktionen bekannt gemacht und stand mit Rat und Tat zur Seite.
Prof. Dr. Schaback machte mich darauf aufmerksam, daß die hier mit 'Wu
Schaback-Optimalität' bezeichnete endliche Optimalitätseigenschaft keines
falls eine Erfindung von Wu und Schaback ist, sondern in anderem Zusam
menhang in der Approximationstheorie bestens bekannt ist. Er möge mir
verzeihen, daß ich dennoch bei meiner ursprünglichen Bezeichnung geblie
ben bin, denn im Fall der radialen Basisfunktionen ist von Schaback und
Wu Pionierarbeit geleistet worden.
Die vorliegende Arbeit entstand in ihren wesentlichen Teilen während mei
ner Tätigkeit am Institut für Strömungsmechanik der DLR in Göttingen.
Meinem damaligen Institutsleiter Herrn Dr.-Ing. Willi Kordulla und meinem
früheren Abteilungsleiter Herrn Dr.-Ing. Dieter Schwamborn danke ich herz
lich für die Freiheiten, die mir in der Entstehungszeit dieser Arbeit gewährt
wurden.
Frau Monika Jampert hat bei kitzligen Fragen im M\1E;X-Bereich mit ge
wohnter Perfektion und Rat und Tat geholfen, wofür ich ihr sehr dankbar
bin.
Vorwort 5
Für spirituellen Ausgleich in letzter Zeit habe ich Herrn Günter Braatz und
dem Chor herzlich zu danken.
Ich danke meiner Frau Anke und meinen Söhnen Konstantin, Alexander
und Philipp von ganzem Herzen, daß sie die Entstehungszeit dieser Arbeit
verständnisvoll überbrückt und liebevoll helfend begleitet haben. Die Hoff
nung, daß sich die Menge gemeinsamer Freizeit nach Abschluß dieser Arbeit
wieder vergrößern werde, hat sich leider nicht erfüllt.
Ein besonders tief empfundener Dank geht an Herrn Professor Dr. W.
Törnig. Durch seine freundliche Unterstützung kam meine Habilitation an
der TH Darmstadt zustande und sein steter Zuspruch und sein Vertrau
en in meine Arbeit haben mich angespornt, ihn nicht zu enttäuschen. Ich
kann nur hoffen, daß mir dieses Ziel mit der vorliegenden Arbeit gelungen ist.
Thomas Sonar Salzhausen, September 1997
Inhalt
Einleitung 11
1 Hyperb olische Er halt ungsgleichu ngen 18
1.1 Schwache Lösungen 18
1.2 Spezielle Systeme . 27
1.3 Die Bewegungsgleichungen kompressibler Fluide 32
2 Finite-Volumen-Verfahren 40
2.1 Triangulierungen 40
2.2 Evolutionsgleichungen und der Zellmittelungsoperator . 43
2.3 Finite-Volumen-Ansätze 45
2.3.1 Der Primärnetzansatz . 45
2.3.2 Der Boxansatz . . . . . 47
2.3.3 Basisdiskretisierungen. 48
2.3.4 Numerische Flußfunktionen 52
2.3.5 Finite-Volumen-Verfahren 60
2.4 Bemerkungen zum Diskretisierungsfehler 67
2.5 Bemerkungen zu Zeitschrittverfahren . . 68
8 Inhalt
3 Polynomiale Rekonstruktionen 73
3.1 Das Rekonstruktionspolynom ... 73
3.1.1 Die Idee polynomialer Rekonstruktion. 73
3.1.2 Bemerkungen zum Zellmittelungsoperator 78
3.1.3 Der Knotenwähler . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.4 Die Berechnung des Rekonstruktionspolynoms 86
3.1.5 Auswahlkriterien ..... 91
3.2 TVD- und ENO-Verfahren 94
3.2.1 Monotonie und Totalvariation 94
3.2.2 Wesentlich nichtoszillierende Interpolation 101
3.3 Rekonstruktion mit linearen und quadratischen Polynomen. 105
3.3.1 Die lineare Rekonstruktion von Durlofsky, Engquist und Osher 105
3.3.2 Eine lineare ENO-Rekonstruktion auf der von Neumann--
Nachbarschaft ........................... 107
3.3.3 Eine lineare ENO-Rekonstruktion auf der Moore-Nachbarschaft110
3.3.4 Eine quadratische Rekonstruktion mit Sektorsuche 113
3.3.5 Ein nichtlineares Modellproblem . . . . . . . . . . . 118
3.4 Finite-Volumen-Verfahren für kompressible Strömungen. 120
3.4.1 Strömungsgrößen der Rekonstruktion 120
3.4.2 Randbedingungen . . . . 122
3.4.3 Vergleichende Resultate. 124
3.5 Der DLR-r-Code .... 129
3.5.1 Beziehungen zwischen Primär- und Sekundärnetz 130
3.5.2 Explizite Steigungslimitierung 133
3.5.3 Eine ENO-Rekonstruktion 137
3.5.4 Numerische Resultate. . . 138
3.6 Polynomiale ENO-Rekonstruktionen für Boxmethoden 141
Inhalt 9
4 Optimale Rekonstruktion 146
4.1 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Michelli und Rivlin 146
4.1.1 Die Theorie der optimalen Rekonstruktion 146
4.1.2 Radius, Durchmesser und Zentrum .... 149
4.1.3 Optimale Rekonstruktion in Hilbert-Räumen 156
4.1.4 Optimalität der stückweise konstanten Funktionen. 160
4.2 Optimale Rekonstruktion im Sinne von Golomb und Weinberger161
4.3 Die Interpretation der polynomialen Rekonstruktion. 166
4.3.1 Lineare Algorithmen .... 166
4.3.2 Eine triviale Rekonstruktion 167
4.3.3 Algorithmen für lineare Funktionale . 169
4.4 Splines. . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4.1 Proximalität und Orthogonalität . 171
4.4.2 Abstrakte Splines .... 172
4.4.3 Splines und Semi-Kerne . 176
5 Globale radiale Funktionen 180
5.1 Optimale Rekonstruktion in Beppo-Levi-Räumen 180
5.1.1 Beppo-Levi-Räume ............. . 180
5.1.2 Die Darstellung des reproduzierenden Kerns 182
5.1.3 Splines in Beppo-Levi-Räumen . 187
5.1.4 Die lineare Advektionsgleichung 190
5.1.5 Die Euler-Gleichungen ..... 197
