Table Of ContentMedidas de Fluxo de Informac¸˜ao com Aplicac¸˜ao
em Neurociˆencia
Daniel Yasumasa Takahashi
Tese apresentada ao
Programa Interunidades de P´os-graduac¸˜ao
em Bioinform´atica
da
Universidade de S˜ao Paulo
Orientador: Koichi Sameshima
Co-orientador: Luiz Antonio Baccal´a
S˜ao Paulo 2008
i
Este trabalho foi realizado com o financiamento da CAPES
(Bolsa de Doutorado).
ii
Frase atribu´ıda a Chu Hsi (1130-1200), por´em cuja autoria vem sendo contestada
recentemente como sendo de um autor japonˆes. Corresponde `a vers˜ao chinesa (ou
japonesa) da frase “Ars longa, vita brevis” (Hip´ocrates). Obra de M. Nishino.
Agradecimentos
Esta tese´e fruto de uma vida dedicada ao estudo, ao conhecimento, `a pesquisa
cient´ıfica. Portanto,paramim,concluirestetrabalhosignificavencerumimpor-
tante desafio. Uma vit´oria que so´ foi poss´ıvel grac¸as a colaborac¸˜ao de pessoas
muito especiais:
ProfessorKoichiSameshima. Foielequemmeapresentouapossibilidadede
utilizaramatem´aticanoestudodaNeurociˆencia. Maisdoqueumorientador,foi
apessoaquemeguiounocaminho,muitasvezestortuoso,dapesquisacient´ıfica.
Professor Luiz Antonio Baccala´, co-orientador deste trabalho. Sem seu
esp´ırito cr´ıtico, mas estimulante, questo˜es levantadas na tese correriam o risco
de ficar sem soluc¸˜ao.
Luiz Henrique Lana, grande amigo com quem mantive longas discuss˜oes
filoso´ficas, matem´aticas e, principalmente, neurocient´ıficas, que me ajudaram
na produc¸˜ao e finalizac¸˜ao deste trabalho.
ProfessorJo˜aoRicardoSato,amigo,colaboradorcient´ıficoe,acimadetudo,
especialista em solucionar problemas estat´ısticos.
Patr´ıciaMartorelli,competentesecreta´riadoprogramadep´os-graduac¸a˜oem
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iv
Bioinform´atica.
Tenhoconvicc¸˜aodeque,maisdoqueminha,essaconquista´eprincipalmente
de meus pais. Indiretamente, o processo para a conclusa˜o desta tese revela va-
loresqueaprendicomeles, aoladodemeuirm˜aoeirm˜a: respeito, honestidade,
esforc¸o, paciˆencia, curiosidade e, sobretudo, dedicac¸˜ao.
Por fim, n˜ao poderia deixar de agradecer a Daiane Tamanaha com quem
agora compartilho minha vida.
Pref´acio
A proposta inicial do trabalho de tese era estudar a coerˆencia parcial dire-
cionada, medida esta desenvolvida por Koichi Sameshima e Luiz Antonio Bac-
cala´, como medida de dependˆencia direcionada relacionando-a com o conceito
de causalidade de Granger e aplic´a-la em dados experimentais de neurofisiolo-
gia. Durante o desenvolvimento da tese, ficou claro que o entendimento te´orico
da coerˆencia parcial direcionada so´ seria poss´ıvel se inserida num escopo maior
de comparac¸˜ao entre medidas de dependˆencia para processos estaciona´rios de
segunda ordem, o que modificou ligeiramente a forma da tese, embora man-
tendo o objetivo inicial. Tamb´em ficou claro que a aplicac¸˜ao de qualquer me-
dida de inferˆencia deveria ser amparada em resultados estat´ısticos assinto´ticos
rigorosos sobre o comportamento dos estimadores, mesmo que estes sejam, no
melhordoscasos,apenasaproximac¸˜oesgrosseirasdocomportamentoobservado.
Esta u´ltima parte do trabalho n˜ao foi inclu´ıda, embora seja importante, porque
tornaria a tese pouco concisa. Ha´ trˆes trabalhos publicados Takahashi et al.
(2008, 2007); Baccala´ et al. (2006), inclu´ıdos nos anexos, referentes ao compor-
tamento estat´ıstico de algumas medidas de dependˆencia discutidas nesta tese
v
vi
do ponto de vista de processos estoc´asticos.
Al´em dos objetivos mais espec´ıficos apresentados acima, esta tese tamb´em
´e uma tentativa de esclarecer a relac¸˜ao entre algumas medidas de dependˆencia,
sobretudo linear, cuja literatura ´e bastante extensa e com formalismo pouco
padronizado, provavelmente pelo fato de seu desenvolvimento envolver ´areas
do conhecimento distintas como Neurociˆencia, Sociologia, Econometria, Es-
tat´ıstica, F´ısica, Matema´tica e Teoria da Informac¸˜ao. Espera-se que algumas
dessasrelac¸˜oesentremedidasdedependˆenciatenhamsetornadomaisexpl´ıcitas.
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SUMARIO
1 Introduc¸˜ao 1
2 Notac¸˜ao 9
2.1 Algumas convenc¸˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Medidas de dependˆencia - aspectos gerais 15
3.1 Dependˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Informac¸˜ao mu´tua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 C´opulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Medidas de dependˆencia linear 46
4.1 Regressa˜o, projec¸˜ao ortogonal, esperanc¸a
condicional e v.as. gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Medidas de dependˆencia entre v.as. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 Correlac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2 Correlac¸˜ao quadra´tica total . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
vii
SUMA´RIO viii
4.2.3 Parcializac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.4 Invers˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 S´eries temporais - um resumo 90
6 Fluxo de informac¸˜ao ou causalidade - observac¸˜oes 100
6.0.1 Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.0.2 Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Medidas de dependˆencia entre s´eries temporais 117
7.1 Alguns teoremas assinto´ticos para s´eries temporais estaciona´rias
gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2 Medidas sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3 Medidas de dependˆencias assim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8 Exemplos 152
8.1 Uma modificac¸˜ao do Modelo 2 da subsec¸˜ao 6.0.2 . . . . . . . . . 153
8.2 O modelo “inverso” do modelo do Exemplo 8.1.1 . . . . . . . . . 155
8.3 Camundongos hiperdopamin´ergicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9 Conclus˜ao 165
LISTA DE FIGURAS
8.1 Coerˆencia direcionada quadra´tica estimada para uma realizac¸˜ao
do modelo 8.1.1. Os quadros da diagonal principal sa˜o as den-
sidades espectrais de X, Y e Z estimadas utilizando o modelo
AR estimado, nesta ordem de cima para baixo. A linha trace-
jada preta representa o valor nulo. A linha cont´ınua vermelha
representa o valor da coerˆencia direcionada quadra´tica estimada
em cada frequ¨ˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.2 Coerˆenciaparcialdirecionadaquadra´ticaestimadaparaumarea-
lizac¸˜ao do modelo 8.1.1. Os quadros da diagonal principal sa˜o as
densidadesespectraisdeX,Y eZ estimadasutilizandoomodelo
AR estimado, nesta ordem de cima para baixo. A linha trace-
jada preta representa o valor nulo. A linha cont´ınua vermelha
representa o valor da coerˆencia parcial direcionada quadr´atica
estimada em cada frequ¨ˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
ix
Description:8.1 Coerência direcionada quadrática estimada para uma realizaç˜ao o estudo de suas propriedades que permitem entender a relaç˜ao entre a .. Duas séries n-variadas X e Y s˜ao iguais se Xk(t) = Yk(t) em média quadrática.
