Table Of ContentAndrzej Gawęcki
MECHANIKA MATERIAŁÓW
I
KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
Politechnika Poznańska 2003 r.
Alma Mater
SPIS Andrzej Gawęcki 1
TREŚCI MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
PPrrzzeeddmmoowwaa OOkkłłaaddkkaa (cid:205)(cid:205) (cid:206)(cid:206)
SPIS TREŚCI
CZĘŚĆ PIERWSZA.
PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1. STAN NAPRĘŻENIA
1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE
1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA
1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE
1.4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI. SYMETRIA TENSORA NAPRĘŻENIA
1.5. TRANSFORMACJA SKŁADOWYCH STANU NAPRĘŻENIA. DEFINICJA TENSORA
1.6. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE
1.7. ROZKŁAD TENSORA NAPRĘŻENIA NA AKSJATOR I DEWIATOR
1.8. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA
1.9. PRZYKŁADY
2. STAN ODKSZTAŁCENIA
2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
2.2 TENSOR ODKSZTAŁCENIA. ZWIĄZKI KINEMATYCZNE
2.3. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI
2.4. WŁASNOŚCI TENSORA ODKSZTAŁCENIA
2.5. PŁASKI STAN ODKSZTAŁCENIA
2.6. PRZYKŁADY
3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ
4. PODSTAWOWE REZULTATY BADAŃ DOŚWIADCZANYCH
4.1. PRÓBA ROZCIĄGANIA
4.2. ZJAWISKO BAUSCHINGERA
4.3. HISTEREZA
4.4. WPŁYW PRĘDKOŚCI ODKSZTAŁCENIA
4.5. PEŁZANIE I RELAKSACJA
4.6. WYTRZYMAŁOŚĆ DŁUGOTRWAŁA
4.7. WPŁYW CZYNNIKÓW ZEWNĘTRZNYCH
4.8. WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA
5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH
5.1. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI
5.2. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ IZOTROPOWYCH
5.3. ZMIANA OBJĘTOŚCI
5.4. INNE POSTACIE ZWIĄZKÓW FIZYCZNYCH
5.5. IZOTROPIA I ANIZOTROPIA. JEDNORODNOŚĆ I NIEJEDNORODNOŚĆ
5.6. ZESTAWIENIE I DYSKUSJA RÓWNAŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
5.7. PRZYKŁADY
6. PODSTAWY ENERGETYCZNE
6.1. PRACA SIŁ ZEWNĘTRZNYCH
6.2. TWIERDZENIE CLAPEYRONA
6.3. ENERGIA SPRĘŻYSTA WŁAŚCIWA
6.4. ZASADA WZAJEMNOŚCI DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH
6.5. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA CIAŁ SPRĘŻYSTYCH
6.5.1. Zasada minimum energii potencjalnej
6.5.2. Zasada minimum energii dopełniającej
7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE
7.1. UWAGI WSTĘPNE
7.2. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW CIĄGLIWYCH
7.2.1.Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego
7.2.2. Warunek plastyczności Treski - Guesta
7.2.3. Porównanie warunków plastyczności HMH i TG
7.2.4. Dalsze uwagi i uogólnienia
7.3. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW PLASTYCZNO - KRUCHYCH
7.3.1. Hipoteza ekstremalnych naprężeń głównych
7.3.2. Hipoteza największego odkształcenia głównego
7.3.3. Hipotezy wywodzące się z warunku O.Mohra
7.4. HIPOTEZA BURZYŃSKIEGO
7.5. WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA
7.6. PRZYKŁADY
PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZĘŚCI
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
SPIS Andrzej Gawęcki 2
TREŚCI MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
CZĘŚĆ DRUGA.
MECHANIKA ELEMENTÓW PRĘTOWYCH
8. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
8.1. KLASYFIKACJA ZASADNICZYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI
8.2. ZASADA DE SAINT VENANTA
8.3. SIŁY WEWNĘTRZNE
8.4. ZAKRES OBLICZEŃ KONSTRUKCJI
9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ
9.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
9.2. NAGŁE ZMIANY PRZEKROJU. KONCENTRACJA NAPRĘŻEŃ
10. DZIAŁANIE MOMENTU ZGINAJĄCEGO
10.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
10.1.1. Kinematyka. Hipoteza płaskich przekrojów
10.1.2. Obliczanie naprężeń w prętach liniowo-sprężystych
10.1.3. Obliczanie odkształceń w prętach liniowo-sprężystych
10.1.4. Wyznaczanie przemieszczeń pręta liniowo-sprężystego. Równanie różniczkowe linii ugięcia
10.1.5. Zakres stosowania wyprowadzonych wzorów
10.1.6. Zależności energetyczne
10.2. METODY WYZNACZANIA LINII UGIĘCIA I ZASTOSOWANIA RÓWNANIA
RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA
10.2.1. Postacie równania różniczkowego linii ugięcia. Warunki brzegowe
10.2.2. Całkowanie równania II rzędu
10.2.3. Metoda obciążenia krzywiznami
10.2.4. Obliczanie belek statycznie niewyznaczalnych. Belki na podłożu sprężystym
11. DZIAŁANIE SIŁY POPRZECZNEJ
11.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
11.1.1. Obliczanie naprężeń
11.1.2. Obliczanie odkształceń
11.1.3. Obliczanie przemieszczeń
11.1.4. Zależności energetyczne
11.2. ŚCINANIE W BELKACH ZŁOŻONYCH
11.3. STAN NAPRĘŻENIA W BELKACH OBCIĄŻONYCH POPRZECZNIE
11.4. NAPRĘŻENIA GŁÓWNE W BELKACH
11.5. ŚRODEK ŚCINANIA
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO
12.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych
12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym
12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych i pierścieniowych
12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta równobocznego
12.1.5. Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny
12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym
12.1.7. Zależności energetyczne przy skręcaniu swobodnym
12.2. ANALOGIA BŁONOWA I ANALOGIA HYDRODYNAMICZNA
12.3. SKRĘCANIE SWOBODNE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
12.3.1. Profile zamknięte
12.3.2. Profile otwarte
12.3.3. Porównanie skręcania swobodnego prętów cienkościennych zamkniętych i otwartych
13. WYBRANE PROBLEMY ZŁOŻONEGO STANU NAPRĘŻENIA
13.1. JEDNOCZESNE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ I MOMENTU ZGINAJĄCEGO
13.1.1. Obliczanie naprężeń. Oś obojętna
13.1.2. Rdzeń przekroju
13.1.3. Warunek projektowania. Obszar dopuszczalny
13.2. PODSTAWY TEORII PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH W.Z.WŁASOWA
13.2.1. Wprowadzenie
13.2.2. Zależności kinematyczne
13.2.3. Naprężenia normalne. Bimoment
13.2.4. Główne współrzędne wycinkowe
13.2.5. Naprężenia styczne. Moment giętno-skrętny
13.2.6. Równania różniczkowe funkcji bimomentu i funkcji kąta skręcenia. Warunki brzegowe
13.2.7. Zależności energetyczne
13.2.8. Przykłady
13.3. PRĘTY SILNIE ZAKRZYWIONE
13.3.1. Zależności kinematyczne
13.3.2. Wyznaczanie naprężeń
13.3.3. Zależności energetyczne
13.3.4. Przykład
PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZĘŚCI
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
SPIS Andrzej Gawęcki 3
TREŚCI MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
CZĘŚĆ TRZECIA.
PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
14. WIADOMOŚCI OGÓLNE
14.1. WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU SIŁ
14.2. PODPORY PRĘTÓW
14.3. CZYNNIKI ZEWNĘTRZNE POWODUJĄCE DEFORMACJĘ KONSTRUKCJI. OBCIĄŻENIA
14.4. DEFINICJE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
14.5. KLASYFIKACJA UKŁADÓW PRĘTOWYCH
14.6. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH. ZASADA ZESZTYWNIENIA
14.7. KONSTRUKCJE STATYCZNE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
14.8. RÓWNANIA PRACY WIRTUALNEJ DLA KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
14.9. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA PRĘTÓW SPRĘŻYSTYCH
14.9.1. Twierdzenie Clapeyrona
14.9.2. Twierdzenie o minimum energii potencjalnej
14.9.3. Twierdzenie o minimum energii dopełniającej. Zasada Castigliano
14.10. O KINEMATYCE I STATYCE UKŁADÓW CIAŁ IDEALNIE SZTYWNYCH
14.10.1. Małe przemieszczenia tarczy sztywnej
14.10.2. Warunek geometrycznej niezmienności i kinematyka układu tarcz sztywnych
14.10.3. Warunek statycznej wyznaczalności i równowaga układu tarcz sztywnych
14.11. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI PRĘTÓW
14.11.1. Pręty o osi prostoliniowej
14.11.2. Pręty o osi zakrzywionej
15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE
15.1. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOŚCI PŁASKICH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
15.2. OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH
15.2.1. Przykłady zastosowania metody statycznej
15.2.2. Przykłady zastosowania metody kinematycznej. Linie wpływu wielkości statycznych
15.3. OBLICZANIE PRZEMIESZCZEŃ KONSTRUKCJI LINIOWO-SPRĘŻYSTYCH
15.3.1. Wiadomości ogólne
15.3.2. Przykłady zastosowania równania pracy wirtualnej do wyznaczania przemieszczeń
16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
16.1. METODA SIŁ
16.1.1. Obliczanie sił wewnętrznych
16.1.2. Ogólne sformułowanie metody sił dla konstrukcji prętowych
16.1.3. Obliczanie przemieszczeń konstrukcji liniowo-sprężystych. Kontrola kinematyczna
16.2. METODA PRZEMIESZCZEŃ
16.2.1. Ogólny opis metody
16.2.2. Globalne i lokalne układy współrzędnych
16.2.3. Zależności między reakcjami prętów i przemieszczeniami węzłów. Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym
16.2.4. Macierz sztywności pręta w układzie globalnym
16.2.5. Uwagi o obliczaniu kratownic
16.2.6. Przybliżona metoda obliczania ram
16.2.7. Kanoniczna postać równań metody przemieszczeń
16.2.8. Kanoniczna postać równań metody przemieszczeń
16.2.9. Przykład liczbowy
16.2.9.1. Metoda ścisła
16.2.9.2. Metoda przybliżona
16.3. O ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA BETTIEGO W TEORII UKŁADÓW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
16.3.1. Twierdzenie o wzajemności reakcji
16.3.2. Linie wpływu wielkości statycznych w układach statycznie niewyznaczalnych
PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI
CZĘŚĆ CZWARTA
WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAŁU
LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO
17.1. RAMA Z LUZAMI KĄTOWYMI NA PODPORACH
17.2. KRATOWNICA MISESA
17.2.1. Zadanie kinematycznie liniowe
17.2.2. Zadanie kinematycznie nieliniowe
17.2.3. Przykład liczbowy
17.3. CIĘGNO OBCIĄŻONE SIŁĄ SKUPIONĄ
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
SPIS Andrzej Gawęcki 4
TREŚCI MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
18. PRĘTY WYKONANE Z MATERIAŁU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO
18.1. MATERIAŁ NIELINIOWO-SPRĘŻYSTY
18.2. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNY
18.2.1. Działanie siły normalnej
18.2.2. Zginanie
18.2.3. Zginanie ze ścinaniem
18.2.4. Skręcanie
18.3. PODSTAWY TEORII KONSTRUKCJI PLASTYCZNYCH.
NOŚNOŚĆ GRANICZNA KONSTRUKCJI
18.3.1. Podstawy teorii plastyczności
18.3.2. Podstawowe zależności teorii plastycznych konstrukcji prętowych
18.3.3. Dwa podstawowe twierdzenia nośności granicznej konstrukcji
18.3.4. Warunki plastyczności wyrażone przez naprężenia uogólnione
18.3.5. Przeguby plastyczne. Obliczanie obciążenia granicznego
18.3.6. Wyznaczanie nośności granicznej metodą superpozycji mechanizmów podstawowych
18.3.7. Ogólna metoda obliczania nośności granicznej ram płaskich
18.4. O PRZYSTOSOWANIU KONSTRUKCJI SPRĘŻYSTO - PLASTYCZNYCH
18.4.1. Istota problemu
18.4.2. Przystosowanie belek i ram
18.4.3. Przykład
18.5. MATERIAŁY O WŁASNOŚCIACH REOLOGICZNYCH
18.5.1. Wprowadzenie
18.5.2. Elementarne modele reologiczne
18.5.3. Liniowe materiały lepkosprężyste
18.5.4. Materiały sprężysto - plastyczne
18.5.5. Materiały sprężystolepkoplastyczne
19. PROBLEMY STATECZNOŚCI
19.1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE
19.1.1. Bifurkacja stanu równowagi
19.1.2. Zagadnienie Eulera
19.1.3. Uwzględnienie dużych przemieszczeń
19.1.4. Wpływ sił poprzecznych i skrócenia osi pręta
19.1.5. Wpływ imperfekcji
19.1.6. Wpływ obciążeń poprzecznych
19.1.7. Rozciąganie mimośrodowe
19.1.8. Definicja stateczności. Punkty graniczne i punkty bifurkacji
19.2. PODEJŚCIE ENERGETYCZNE
19.2.1. Uwagi wstępne
19.2.2. Matematyczna interpretacja zasady minimum energii potencjalnej
19.3. STANY POKRYTYCZNE
19.3.1. Wiadomości ogólne
19.3.2. Klasyfikacja punktów bifurkacji
19.3.3. Wpływ imperfekcji
19.4. WYZNACZANIE OBCIĄŻEŃ KRYTYCZNYCH I FORM UTRATY STATECZNOŚCI W PRĘTACH PROSTYCH
19.4.1. Wyboczenie giętne przy ściskaniu
19.4.2. Przestrzenna utrata stateczności prętów prostych
19.4.2.1. Kinematyka i równania różniczkowe stateczności
19.4.2.2. Utrata płaskiej postaci zginania (zwichrzenie)
19.4.2.3. Wyboczenie skrętne i wyboczenie giętno-skrętne
19.4.2.4. Wyboczenie śrubowe przy skręcaniu
19.4.3. Stateczność przy obciążeniach złożonych
19.4.3.1. Ściskanie ze zginaniem
19.4.3.2. Ściskanie ze skręcaniem
19.4.3.3. Wzór Dunkerleya
19.4.4.Uwagi o lokalnej (miejscowej) utracie stateczności prętów cienkościennych
PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZĘŚCI
DODATEK
20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI
20.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE
20.2. WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE
20.2.1. Ograniczenie naprężeń w punkcie
20.2.2. Ograniczenie sił wewnętrznych na poziomie przekroju
20.2.3. Ograniczenie obciążeń konstrukcji
20.3. WARUNKI SZTYWNOŚCIOWE
20.4. WYMIAROWANIE
20.5. PRZEGLĄD METOD SPRAWDZANIA BEZPIECZEŃSTWA KONSTRUKCJI
20.5.1. Metoda naprężeń dopuszczalnych
20.5.2. Metoda naprężeń granicznych
20.5.3. Metoda odkształceń plastycznych
20.5.4. Metoda nośności granicznej
20.5.5. Metoda stanów granicznych
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
SPIS Andrzej Gawęcki 5
TREŚCI MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI
21.1. ZAPIS WSKAŹNIKOWY I WZÓR GREENA-OSTROGRADSKIEGO-GAUSSA
21.2. O WEKTORACH WŁASNYCH I WARTOŚCIACH WŁASNYCH TENSORA SYMETRYCZNEGO
21.3. FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACA
21.4. CAŁKOWANIE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINII UGIĘCIA METODĄ A.CLEBSCHA
21.5. CAŁKOWANIE GRAFICZNE
21.6. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
21.7. METODA NEWTONA-RAPHSONA
22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
22.1. DEFINICJE
22.2. OSIE ŚRODKOWE, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI
22.3. MOMENTY BEZWŁADNOŚCI PRZY PRZESUNIĘCIU I OBROCIE UKŁADU OSI WSPÓŁRZĘDNYCH. KIERUNKI
I WARTOŚCI GŁÓWNE
22.4. PARAMETRY GEOMETRYCZNE PRZEKROJU JAKO WIELKOŚCI TENSOROWE
22.5. WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE
22.6. PRZYKŁAD LICZBOWY
LITERATURA
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
Przedmowa Andrzej Gawęcki 1
MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
(cid:205)(cid:205) (cid:206)(cid:206)
Przedmowa do wydania trzeciego (1998 W.P.P)
Podręcznik ten jest pewną modyfikacją mojego skryptu pt. Podstawy mechaniki konstrukcji pręto-
wych, wydanego przez Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej w latach 1984 i 1985. Ma on stosunkowo
duży zakres i obejmuje przedmioty wytrzymałość materiałów i mechanika budowli oraz wstępne wiado-
mości z przedmiotu teoria sprężystości i plastyczności, które są wykładane na wydziałach budowlanych
wyższych szkół technicznych w Polsce. Zakres tych przedmiotów odpowiada mechanice materiałów i
konstrukcji prętowych. Stąd właśnie pochodzi tytuł podręcznika. Ogólna koncepcja układu treści odpo-
wiada kolejności: punkt materialny, przekrój elementu prętowego (czyli zbiór punktów materialnych),
konstrukcja (czyli zbiór elementów prętowych). W podręczniku omówiłem problemy statyki, stateczności
elementów prętowych oraz inne zagadnienia mechaniki układów fizycznie i geometrycznie nieliniowych.
Zagadnienia dynamiki pominąłem. Wiele uwagi poświęciłem dobieraniu wymiarów przekrojów elemen-
tów oraz różnym metodom projektowania konstrukcji. Podręcznik jest adresowany przede wszystkim do
studentów wydziałów budowlanych. Sądzę jednak, że będzie on przydatny również dla doktorantów, a
nawet dla pracowników dydaktyczno-naukowych.
Założyłem, że Czytelnik dysponuje wiadomościami z tradycyjnych kursów matematyki i mechaniki.
Dlatego już w pierwszych rozdziałach wykorzystuję na przykład równania równowagi, które szczegóło-
wo omówiłem dopiero w drugiej części podręcznika. Dodam, że ustalenie logicznej sekwencji omawiania
poszczególnych problemów jest przysłowiową kwadraturą koła. Spodziewam się zatem, że dużym uła-
twieniem dla Czytelnika będzie możliwość korzystania z obszernego skorowidza oraz informacji zawar-
tych w dodatku. Mam świadomość, że bardzo dużo wzorów, rozważań i dygresji zawsze stanowi podsta-
wową przeszkodę w opanowaniu obszernego materiału. Początkującemu Czytelnikowi jest bowiem trud-
no ocenić, które informacje są mniej ważne, a które bardziej. Z tego właśnie powodu, idąc za sugestią
jednego z recenzentów, każdą z czterech części zakończyłem obszernym podsumowaniem, w którym ze-
brałem najistotniejsze wiadomości i uogólnienia nawiązujące do zasadniczej treści podręcznika.
Przy omawianiu poszczególnych zjawisk starałem się uwypuklić przede wszystkim fizyczną stronę
zagadnień. Niemniej jednak w pewnych standardowych zadaniach wprowadziłem elementy aparatu poję-
ciowego, właściwego metodom komputerowym.
Jestem zdania, że w nauczaniu podstaw mechaniki układów odkształcalnych zbyt dużo czasu poświęca
się metodom rozwiązywania różnych zadań. Zasadniczy wysiłek Studentów jest więc skierowany nie na
poznanie rozważanych zjawisk i na matematyczne formułowanie problemów, a na zgłębienie subtelności
metod ich rozwiązywania. Wskutek tego odnotowujemy coraz mniejszą liczbę konstruktorów dysponują-
cych autentyczną intuicją i wyobraźnią inżynierską. Procesowi temu sprzyja niestety rozwój elektronicz-
nej techniki obliczeniowej. Uważam zatem, że przygotowaniem do tzw. „mechaniki komputerowej” po-
winien być dosyć szczegółowy wykład kładący nacisk na interpretację fizyczną oraz matematyczne for-
mułowanie problemów mechaniki materiałów i konstrukcji. Podręcznik niniejszy jest próbą urzeczywist-
nienia tej koncepcji.
Pisanie podręczników jest zajęciem trudnym, niewdzięcznym i wymaga dużej motywacji ze strony
autora. Motywacji tej dostarczyli mi moi Studenci, głównie Ci, którzy przestudiowali nieliczne egzempla-
rze wzmiankowanego wyżej skryptu i wyrażają o nim bardzo pozytywne opinie oraz rozczarowanie z
powodu wyczerpania nakładu. Podobne zdania formułowało wiele innych osób, przede wszystkim moi
Współpracownicy z Instytutu Konstrukcji Budowlanych. Szczególne wyrazy wdzięczności kieruję do dra
hab. Tomasza Łodygowskiego i dra Jacka Pulikowskiego, którzy nieustannie zachęcali mnie do podjęcia
prac związanych z wydaniem tego podręcznika.
Odpowiedzialność za układ, kolejność poszczególnych zagadnień oraz merytoryczną treść książki
spoczywa na autorze. Niemniej jednak na ostateczny kształt podręcznika mają wpływ recenzenci pierw-
szego wydania skryptu w osobach nieżyjącego już niestety prof. J.A. Königa z Instytutu Podstawowych
Problemów Techniki PAN w Warszawie oraz prof. Z. Kończaka z Politechniki Poznańskiej. Ich uwagi
pozwoliły uniknąć wielu błędów i nieścisłości. Osobne podziękowania kieruję do prof. M. Kwiecińskiego
z Politechniki Warszawskiej, który po zapoznaniu się z pierwszym wydaniem skryptu przekazał mi wiele
cennych uwag i sugestii. Wdzięczność wyrażam także prof. M. Kleiberowi z Instytutu Podstawowych
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
Przedmowa Andrzej Gawęcki 2
MECHANIKA MATERIAŁÓW I KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH
Problemów Techniki PAN i prof. J. Kubikowi z Politechniki Opolskiej, recenzentom obecnej wersji pod-
ręcznika. Bardzo dziękuję Prof. A. Garsteckiemu za przejrzenie ostatecznej wersji tekstu, dyskusje i cen-
ne sugestie.
Książka ukazuje się po wielu latach starań dzięki życzliwości rektora Politechniki Poznańskiej
prof. E. Mitkowskiego. Składam Mu tą drogą podziękowania.
Lista osób, które przyczyniły się do wydania, nie byłaby pełna, gdybym pominął moich Współpra-
cowników − mgr Ewę Szymaniak i mgra Jacka Weissa. Poświęcili oni wiele czasu na korektę, organiza-
cję tekstu komputerowego i rysunków. Dziękuję również Paniom Danucie Nowak i Jolancie Owsianow-
skiej za pełną podziwu wytrwałość przy przepisywaniu tekstu podręcznika.
Jestem bardzo wdzięczny redaktorowi podręcznika, Pani mgr Renacie Lubawy, dzięki której uświa-
domiłem sobie, że pierwotny tekst podręcznika zawierał niezliczone wręcz usterki, głównie językowe. Jej
zaangażowanie, wiedza, doświadczenie, niespotykana wnikliwość i konsekwencja mają trudny do prze-
cenienia wpływ na ostateczną formę podręcznika.
Wszystkim Czytelnikom, a przede wszystkim moim Studentom będę bardzo wdzięczny za nadsyłanie
uwag krytycznych oraz wytknięcie nieuniknionych błędów.
Andrzej Gawęcki
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
Część 1 1. STAN NAPRĘŻĘNIA 1
1. (cid:205)(cid:205) (cid:207)(cid:207) (cid:206)(cid:206)
STAN NAPRĘŻENIA
1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE
Rozważmy ciało o objętości V ograniczone powierzchnią S , poddane działaniu sił będących w rów-
0 0
nowadze (rys. 1.1). Rozróżniamy tutaj dwa rodzaje sił:
− siły powierzchniowe,
− siły objętościowe (masowe).
Ponieważ rozpatrywane ciało jest z założenia ciągłe, na jego powierzchni można wydzielić nieskoń-
czenie małe elementy dS , a z jego objętości nieskończenie małe elementy dV .
0 0
Rys. 1.1
Siłę powierzchniową działającą w danym punkcie na element dS określamy jako wektor pdS . Skoro
0 0
wielkość pdS przedstawia siłę, współrzędne wektora p muszą być wielkościami wyrażonymi w jednost-
0
2
kach siły na jednostkę powierzchni, np. [kN/m ]. Wektor p nazywa się czasami gęstością sił powierzch-
niowych.
Przykładami sił powierzchniowych mogą być parcie cieczy na ciało w niej zanurzone lub siły oddziały-
wania gruntu na mur oporowy.
Siłę objętościową działającą w danym punkcie na element dV określamy jako wektor GdV . Wynika
0 0
3
stąd, że współrzędne wektora G są wyrażone w jednostkach siły na jednostkę objętości, np. [kN/m ].
Wektor G nazywamy gęstością sił objętościowych. Przykładem sił objętościowych mogą być siły ciężko-
ści lub siły bezwładności, które są proporcjonalne do masy i odpowiednich przyspieszeń. Dlatego siły
objętościowe często nazywa się również siłami masowymi.
1.2.WEKTOR NAPRĘŻENIA
Pod wpływem sił powierzchniowych i masowych ciało ulegnie odkształceniu.
W konfiguracji odkształconej wydzielimy myślowo z ciała objętość V ograniczoną powierzchnią S (rys.
1.2). W ten sposób ciało zostało podzielone na część I o objętości V i część II o objętości V − V. Na po-
0
wierzchni kontaktu tych części wystąpią siły wzajemnego oddziaływania. Ciągłość ośrodka pozwala
przyjąć, że rozkład tych sił na powierzchni S leżącej wewnątrz ciała jest również ciągły. Poza tym, sto-
sownie do trzeciej zasady Newtona (zasada akcji i reakcji), wiadomo, że w każdym punkcie odpowiadają-
ce sobie siły odniesione do części I i II są liczbowo równe, ale przeciwnie skierowane.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
Część 1 1. STAN NAPRĘŻENIA 2
Rys. 1.2
Rozpatrzmy teraz pewien element pola dS, styczny do powierzchni S w punkcie B. Przez n oznaczymy
wektor normalny do powierzchni S w tym punkcie. Na element dS działają wypadkowa siła dF i wypad-
kowy moment dM, będące odpowiednio wynikiem redukcji sił wzajemnego oddziaływania, rozmiesz-
czonych na elemencie dS. Wielkość
∆F dF
f(n)(B)= lim = (1.1)
∆S→0∆S dS
nazywamy wektorem naprężenia w punkcie B, odniesionym do płaszczyzny o normalnej n.
Łatwo zauważyć, że omówiona w p. 1.1 gęstość sił powierzchniowych jest po prostu wektorem naprę-
żenia na powierzchni ograniczającej ciało.
Zgodnie z rys. 1.3 wektor naprężenia możemy rozłożyć na dwie składowe: normalną s(n) i styczną
t(n) do elementu dS o normalnej n. Obliczenie tych składowych objaśniono w p. 1.6.
Rys. 1.3
Wzór (1.1) definiuje wektor naprężenia, będący wynikiem występowania elementarnej siły wypadko-
wej dF. Podobnie można by zdefiniować wektor wynikający z występowania elementarnego momentu
wypadkowego dM:
m(n)(B)= lim ∆M = dM. (1.2)
∆S→0 ∆S dS
Dla odróżnienia od wektora naprężeń „siłowych” f(n) symbol m(n) oznacza tak zwany wektor naprężeń
„momentowych”. Zarówno f(n), jak i m(n) są funkcjami położenia punktu B na powierzchni dS oraz kie-
runku o normalnej n do powierzchni S w tym punkcie.
0
W większości przypadków granica stosunku ∆M ∆S jest równa zeru, co pozwala całkowicie pominąć
istnienie naprężeń momentowych. Wniosek ten wydaje się oczywisty, jeśli uwzględnimy fakt, że wymia-
ry elementu powierzchniowego dS są nieskończenie małe, a zatem ramiona sił wewnętrznego oddziały-
wania na tym elemencie dążą do zera. Naprężenia momentowe powinny być jednak uwzględnione wtedy,
gdy gradienty sił dF w danym punkcie są bardzo duże. Może się wówczas okazać, że granica stosunku
∆M ∆S istnieje i jest różna od zera. Podobna sytuacja zachodzi, gdy z wymiarami elementu powierzch-
A ndrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater
