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Basler Lehrbiicher
Band 2
Springer Basel AG
Mahir Sayir
Hans Ziegler
Mechanik 2
F estigkeitslehre
1984 Springer Basel AG
Anschrift der Autoren :
Prof. DR. Mahir Sayir
ETH-Zentrum
Institut für Mechanik
Rämistrasse 101
CH-8092 Zürich (Schweiz)
Prof. Dr. Hans Ziegler
Weiherweg 6
CH-8332 Rüschlikon (Schweiz)
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Sayir, Mahir:
Mechanik / Mahir Sayir ; Hans Ziegler. -
Basel ; Boston ; Stuttgart : Birkhäuser
(Basler Lehrbücher ; ...)
NE: Ziegler, Hans:
2. — Sayir, Mahir: Festigkeitslehre
Sayir, Mahir:
Festigkeitslehre / Mahir Sayir ; Hans Ziegler.
- Basel ; Boston ; Stuttgart : Birkhäuser,
1984.
(Mechanik / Mahir Sayir ; Hans Ziegler ; 2)
(Basler Lehrbücher ; Bd. 2)
ISBN 978-3-7643-1544-3
NE: Ziegler, Hans:; 2. GT
Die vorliegende Publikation ist urheberrechtlich geschützt.
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in andere Sprachen, vorbehalten.
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durch Vortrag, Funk und Fernsehen bleiben vorbehalten.
© 1984 Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1984
ISBN 978-3-7643-1544-3 ISBN 978-3-0348-5375-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5375-0
Vorwort
Das vorliegende Buch setzt den im ersten Band begonnenen Autbau der
propadeutischen Mechanik mit dem dritten Kapitel iiber die Festigkeitslehre
fort. Der stoffliche Inhalt entspricht der Vorlesung, die mein Kollege Prof. Dr.
Ch. Wehrli und ich fUr Studenten im zweiten Semester an den Abteilungen
fUr Bau-, Maschinen- und Werkstoffingenieurwesen der ETH Ziirich abhalten.
Bei der beinahe vollstandigen Uberarbeitung des entsprechenden Kapitels
»Deformierbare Korper« von Hans Ziegler's Buch »Vorlesungen iiber
Mechanik« wurde das Grundkonzept zwar beibehalten, aber durch einige
wesentliche Neuerungen erganzt, bereichert und dem Ingenieurstudenten noch
naher gebracht. Durch den vermehrten Einsatz geometrischer Deutungen
und Veranschaulichungen habe ich versucht, den Formalismus zu lockern
und die Beziehung mit der physikalischen Wirklichkeit noch starker in den
Vordergrund zu stellen (siehe z. B. die Abschnitte iiber Spannungen, Ver
zerrungen, Plastizitat). Auch die intensive Verwendung von Begriffen und
Kenntnissen aus der linearen Algebra diente dem Zweck, die Darstellung
durchsichtiger zu gestalten. AuBerdem lieBen sich damit Hinweise auf den Ein
satz moderner und leistungsfahiger numerischer Verfahren leichter einbauen.
So fUhrt der neue Abschnitt 19 iiber numerische Methoden die erst en elemen
taren Grundlagen der Berechnung mit finiten Differenzen und finiten Elementen
ein. Vollig neu im Vergleich zu friiheren Auflagen ist auch der Zusatz iiber
die Behandlung der Arbeitsgleichungen (Abschnitt 23) sowie der Abschnitt 26
iiber zeitabhlingiges Materialverhalten.
Dank der Festigkeitslehre, d. h. der kontinuumsmechanischen Theorie defor
mierbarer Korper, verfUgt der Ingenieur iiber machtige theoretische Mittel
zur Losung seiner konstruktiven Probleme. Falls er sich yom Rezeptdenken
befreien kann, ist er damit imstande, nicht nur die Festigkeit vorhandener
Strukturen zu analysieren und vorauszuberechnen, sondern auch neue und
elegantere konstruktive Losungen zu erfinden. Dazu muB er sich bemiihen,
die Voraussetzungen, welche zur passenden Approximation, zur anwendungs
freundlicheren Losung, zur sinnvollen Modellbildung gefUhrt haben, sorgfaltig
zu studieren und mit dem notigen Tiefsinn zu verstehen. Manche schwierige
Stelle des vorliegenden Buchs dient dem Zweck, den Leser zu ermuntern,
sich selbst Fragen zu stellen, urn iiber die Suche nach der passenden Antwort
seine Fahigkeiten zur Modellbildung auszubauen. Bei der Anwendung der
kontinuumsmechanischen Grundlagen der erst en drei Abschnitte auf technisch
wichtige Probleme sowie bei der Formulierung der Energiesatze in den
Abschnitten 22 und 23 wurde zur Illustration das Problem der Balkenbiegung
in den Vordergrund gestellt. Dies trug u.a. dazu bei, daB schwierige konti
nuumsmechanische Konzepte am konkreten und technisch wichtigen Beispiel
der Balkenbiegung veranschaulicht werden konnten. Der Leser solI jedoch
ermuntert werden, wie im vorliegenden Buch an mehreren Stellen geschehen,
den engeren Rahmen dieses Beispiels auszuweiten und die angedeutete induktive
Verallgemeinerung auf verwickeltere Beanspruchungsarten und Strukturformen
nachzuvollziehen.
Herr dip!. Phys. Stephan Kaufmann korrigierte redaktionell den groBten
Teil des Manuskripts. Herr Dr. Martin Koller iibernahm die Korrektur der
letzten vier Abschnitte und Frau Gertraud Junker erledigte perfekt die miihe
volle Schreibarbeit. Allen drei danke ich bestens und aufrichtig. Der im
Vorwort des erst en Bandes ausgesprochene Dank an meine bisherigen Studenten
gilt selbstverstandlich auch fUr das vorliegende Buch in vermutlich noch
groBerem MaBe.
Mahir Sayir
Ziirich,Januar1984
Inhalt
Vorwort. ... . .. . ... .. . .. ... ........ ...... .... ........ ..... . .. .... 5
III. Festigkeitslehre............................................... 9
15. Spannungen.............................................. 11
16. Verzerrungen ............................................. 40
17. Linearelastische K6rper .................................. " 56
18. Spezielle Biegung prismatischer Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
19. Numerische Methoden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
20. Allgemeinere Biegeprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111
21. Torsion.................................................. 126
22. Arbeit und Deformationsenergie ............................ 135
23. Energiesatze und -verfahren ................................ 156
24. Knickung................................................ 179
25. Plastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189
26. Zeitabhiingiges Materialverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
27. Hydrostatik .............................................. 209
Anhang 1 .................................................... 221
Anhang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225
Anhang 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227
Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229
III. Festigkeitslehre
In folgenden Fallen und Fragestellungen konnen Trager als starre Korper
behandelt werden:
1. Die Deformationen sind »klein« im Vergleich zu den Abmessungen.
2. Das Problem ist statisch bestimmt.
3. Bei der Beurteilung der FunktionsHihigkeit geniigt die Kenntnis der globalen
Krafteiibertragung (z. B. in Form von Normal- und Querkraft, Torsions
und Biegemoment an jedem Querschnitt des Balkentragers).
Wir wollen diese Bedingungen »Erstarrbarkeitsbedingungen« nennen. Das Mo
dell des starren Korpers ist nur dann brauchbar, wenn alle drei Bedingungen
erfiillt sind.
Die Erstarrbarkeitsbedingungen sind nicht erfiillt z. B. bei Umformproblemen mit groBen
plastischen Deformationen, bei statisch unbestimmten Problemen und bei Anwendun
gen, bei denen die Trag-und Funktionsfiihigkeit nur durch genauere Kenntnisse der loka
len Krafte- und Deformationsiibertragung beurteilt werden kann (Gefahr der RiB
bildung, Dberschreitung der Festigkeitsgrenze, Ermiidungsgefahr usw.).
In den meisten Konstruktionsaufgaben vermag das Starrkorpermodell, nur eine
erste, zwar wertvolle, aber doch unzureichende, Abschatzungsmoglichkeit zu
ergeben. Zum vollstandigen Nachweis der Trag-und FunktionsHihigkeit miissen
dann vielfach die Methoden und Modelle der »Festigkeitslehre« herangezogen
werden.
Die Festigkeitsiehre geht von einem mechanischen Kontinuumsmodell des
deformierbaren Korpers aus. Die Krafte und Deformationen werden als gebiets
weise kontinuierlich verteilt vorausgesetzt. Fiir die entsprechenden Kraft- und
Deformationsdichten entstehen dann Differentialbeziehungen mit zugebOrigen
Randbedingungen, welche zusammen mit den Stoffgleichungen, die das Material
verhalten charakterisieren, einen vollstandigen Satz von Gleichungen ergeben,
mit deren Hilfe die Krafte- und Deformationsverteilung rechnerisch voraus
gesagt werden kann.
Die von der Statik und der Festigkeitslehre im KonstruktionsprozeB gespielte
Rolle wird im folgenden einfachen Blockdiagramm illustriert.
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Gestaltung
Konstruktionskriterien
Festigkeitsnachweis
Dimensionierung
Die Festigkeitslehre darf keineswegs nur als »Berechnungsinstrument«, als »Sammlung
von Rechenrezepten« angesehen werden. Die Berechnung ist nur Mittel und nicht Zweck.
Die Festigkeitslehre soli einerseits die qualitative Urteilsfahigkeit des Konstrukteurs
bei seiner gestalterischen Aufgabe priizisieren und auf solide Grundlagen aufbauen, d. h.
sein » Fingerspitzengefiihl« verstiirken und verschiirfen. Andererseits sollen ihm auf sorg
faltige experimentelle Beobachtungen gestiitzte Berechnungsgrundlagen zur Verfiigung
gestellt werden, damit er die Festigkeit seiner Konstruktion oder die Durchfiihrbar
keit der projektierten Funktion iiberpriifen und allfallige Versagensmoglichkeiten recht
zeitig voraussagen kann. Wie in allen anderen Gebieten der Mechanik ordnen wir des
halb auch in der Festigkeitslehre einer physikalisch begriindeten und kritischen Dis
kussion der rechnerischen Resultate groBe Bedeutung zu.
Die drei ersten Abschnitte dieses Kapitels sind den kontinuumsmechanischen
Grundlagen der Festigkeitslehre gewidmet. AnschlieBend besprechen wir ver
schiedene technische Anwendungen, weIche in der Praxis des Ingenieurs beson
ders hiiufig auftreten.
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