Table Of ContentMechanicalShock
Mechanical Vibration and Shock Analysis
Third edition – Volume 2
Mechanical Shock
Christian Lalanne
Firsteditionpublished2002byHermesPentonLtd©HermesPentonLtd2002
Secondeditionpublished2009inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&
Sons,Inc.©ISTELtd2009
Thirdeditionpublished2014inGreatBritainandtheUnitedStatesbyISTELtdandJohnWiley&Sons,
Inc.
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LibraryofCongressControlNumber: 2014933738
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ISBN978-1-84821-643-3(Setof5volumes)
ISBN978-1-84821-645-7(Volume2)
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Table of Contents
ForewordtoSeries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
ListofSymbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
Chapter1.ShockAnalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.Shock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2.Transientsignal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3.Jerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4.Simple(orperfect)shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5.Half-sineshock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.6.Versedsine(orhaversine)shock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.7.Terminalpeaksawtooth(TPS)shock(orfinalpeaksawtooth
(FPS)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.8.Initialpeaksawtooth(IPS)shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.9.Squareshock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.10.Trapezoidalshock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.11.Decayingsinusoidalpulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.12.Bumptest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.13.Pyroshock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.Analysisinthetimedomain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.Temporalmoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.Fouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2.ReducedFouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3.Fouriertransformsofsimpleshocks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4.WhatrepresentstheFouriertransformofashock? . . . . . . . . . . 29
vi MechanicalShock
1.4.5.ImportanceoftheFouriertransform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.Energyspectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1.Energyaccordingtofrequency. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2.Averageenergyspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.PracticalcalculationsoftheFouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.1.General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.2.Case:signalnotyetdigitized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.3.Case:signalalreadydigitized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6.4.AddingzerostotheshocksignalbeforethecalculationofitsFourier
transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.5.Windowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.Theinterestoftime-frequencyanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.1.LimitoftheFouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.2.ShorttermFouriertransform(STFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7.3.Wavelettransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chapter2.ShockResponseSpectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.Mainprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.Responseofalinearone-degree-of-freedomsystem. . . . . . . . . . . . 59
2.2.1.Shockdefinedbyaforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2.Shockdefinedbyanacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.3.Generalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.4.Responseofaone-degree-of-freedomsystemtosimpleshocks . . 65
2.3.Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1.Responsespectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2.AbsoluteaccelerationSRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.3.Relativedisplacementshockspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.4.Primary(orinitial)positiveSRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.5.Primary(orinitial)negativeSRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.6.Secondary(orresidual)SRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.7.Positive(ormaximumpositive)SRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.8.Negative(ormaximumnegative)SRS . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.9.MaximaxSRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.Standardizedresponsespectra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.2.Half-sinepulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.3.Versedsinepulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.4.Terminalpeaksawtoothpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.5.Initialpeaksawtoothpulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.6.Squarepulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.7.Trapezoidalpulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5.ChoiceofthetypeofSRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
TableofContents vii
2.6.ComparisonoftheSRSoftheusualsimpleshapes . . . . . . . . . . . . 83
2.7.SRSofashockdefinedbyanabsolutedisplacementofthesupport . . 84
2.8.InfluenceoftheamplitudeandthedurationoftheshockonitsSRS. . 84
2.9.DifferencebetweenSRSandextremeresponsespectrum(ERS) . . . . 86
2.10.AlgorithmsforcalculationoftheSRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.11.SubroutineforthecalculationoftheSRS . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.12.Choiceofthesamplingfrequencyofthesignal. . . . . . . . . . . . . . 90
2.13.ExampleofuseoftheSRS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.14.UseofSRSforthestudyofsystemswithseveraldegreesoffreedom 96
2.15.Damageboundarycurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Chapter3.PropertiesofShockResponseSpectra. . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.Shockresponsespectradomains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.PropertiesofSRSatlowfrequencies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.1.Generalproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.2.Shockswithzerovelocitychange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.3.Shockswith ΔV=0 and ΔD≠0 attheendofapulse . . . . . . . 115
3.2.4.Shockswith ΔV=0 and ΔD=0 attheendofapulse . . . . . . . 117
3.2.5.Notesonresidualspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.PropertiesofSRSathighfrequencies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.Dampinginfluence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.Choiceofdamping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6.Choiceoffrequencyrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7.Choiceofthenumberofpointsandtheirdistribution. . . . . . . . . . . 128
3.8.Charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.9.RelationofSRSwithFourierspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.9.1.PrimarySRSandFouriertransform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.9.2.ResidualSRSandFouriertransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.9.3.Comparisonoftherelativeseverityofseveralshocksusingtheir
Fourierspectraandtheirshockresponsespectra . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.10.Caretobetakeninthecalculationofthespectra. . . . . . . . . . . . . 143
3.10.1.Mainsourcesoferrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.10.2.Influenceofbackgroundnoiseofthemeasuringequipment. . . . 143
3.10.3.Influenceofzeroshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.11.Specificcaseofpyroshocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.11.1.Acquisitionofthemeasurements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.11.2.ExaminationofthesignalbeforecalculationoftheSRS. . . . . . 154
3.11.3.ExaminationoftheSRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.12.Pseudo-velocityshockspectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.12.1.Hunt’srelationship . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.12.2.InterestofPVSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.13.UseoftheSRSforpyroshocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
viii MechanicalShock
3.14.Otherpropositionsofspectra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.14.1.Pseudo-velocitycalculatedfromtheenergytransmitted . . . . . . 165
3.14.2.Pseudo-velocityfromthe“input”energyattheendofashock . . 165
3.14.3.Pseudo-velocityfromtheunit“input”energy . . . . . . . . . . . . 167
3.14.4.SRSofthe“total”energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Chapter4.DevelopmentofShockTestSpecifications . . . . . . . . . . . . . 175
4.1.Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2.Simplificationofthemeasuredsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.3.Useofshockresponsespectra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3.1.Synthesisofspectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.3.2.Natureofthespecification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.3.Choiceofshape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.3.4.Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3.5.Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3.6.Difficulties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.4.Othermethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.4.1.Useofasweptsine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.4.2.SimulationofSRSusingafastsweptsine . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.4.3.Simulationbymodulatedrandomnoise. . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.4.4.Simulationofashockusingrandomvibration. . . . . . . . . . . . . 194
4.4.5.Leastfavorableresponsetechnique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.4.6.RestitutionofanSRSbyaseriesofmodulatedsinepulses . . . . . 196
4.5.Interestbehindsimulationofshocksonshakerusingashockspectrum 198
Chapter5.KinematicsofSimpleShocks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.1.Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2.Half-sinepulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2.1.Generalexpressionsoftheshockmotion. . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2.2.Impulsemode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2.3.Impactmode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.3.Versedsinepulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4.Squarepulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5.Terminalpeaksawtoothpulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.6.Initialpeaksawtoothpulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Chapter6.StandardShockMachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.1.Maintypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2.Impactshockmachines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.3.Highimpactshockmachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3.1.Lightweighthighimpactshockmachine . . . . . . . . . . . . . . . . 237
TableofContents ix
6.3.2.Mediumweighthighimpactshockmachine. . . . . . . . . . . . . . 238
6.4.Pneumaticmachines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.5.Specifictestingfacilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.6.Programmers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.6.1.Half-sinepulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.6.2.TPSshockpulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.6.3.Squarepulse−trapezoidalpulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.6.4.Universalshockprogrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Chapter7.GenerationofShocksUsingShakers. . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.1.Principlebehindthegenerationofasignalwithasimple
shapeversustime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.2.Mainadvantagesofthegenerationofshockusingshakers. . . . . . . . 268
7.3.Limitationsofelectrodynamicshakers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.3.1.Mechanicallimitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.3.2.Electroniclimitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.4.Remarksontheuseofelectrohydraulicshakers . . . . . . . . . . . . . . 271
7.5.Pre-andpost-shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.5.1.Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.5.2.Pre-shockorpost-shock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.5.3.Kinematicsofthemovementforsymmetricpre-andpost-shock. . 276
7.5.4.Kinematicsofthemovementforapre-shockorapost-shockalone 286
7.5.5.Abacuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
7.5.6.Influenceoftheshapeofpre-andpost-pulses. . . . . . . . . . . . . 289
7.5.7.Optimizedpre-andpost-shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.6.Incidenceofpre-andpost-shocksonthequalityofsimulation . . . . . 297
7.6.1.General. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.6.2.Influenceofthepre-andpost-shocksonthetimehistory
responseofaone-degree-of-freedomsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.6.3.Incidenceontheshockresponsespectrum. . . . . . . . . . . . . . . 300
Chapter8.ControlofaShakerUsing aShockResponseSpectrum . . . . 303
8.1.Principleofcontrolusingashockresponsespectrum. . . . . . . . . . . 303
8.1.1.Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
8.1.2.Parallelfiltermethod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.1.3.Currentnumericalmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.2.Decayingsinusoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.2.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.2.2.Responsespectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.2.3.Velocityanddisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.2.4.Constitutionofthetotalsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.2.5.Methodsofsignalcompensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
x MechanicalShock
8.2.6.Iterations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.3.D.L.KernandC.D.Hayes’function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
8.3.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
8.3.2.Velocityanddisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
8.4.ZERDfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.4.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.4.2.Velocityanddisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.4.3.ComparisonofZERDwaveformwithstandarddecayingsinusoid. 330
8.4.4.Reducedresponsespectra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.5.WAVSINwaveform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.5.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.5.2.Velocityanddisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.5.3.Responseofaone-degree-of-freedomsystem. . . . . . . . . . . . . 335
8.5.4.Responsespectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.5.5.Timehistorysynthesisfromshockspectrum. . . . . . . . . . . . . . 339
8.6.SHOCwaveform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.6.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.6.2.Velocityanddisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.6.3.Responsespectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.6.4.Timehistorysynthesisfromshockspectrum. . . . . . . . . . . . . . 345
8.7.ComparisonofWAVSIN,SHOCwaveformsanddecayingsinusoid. . 346
8.8.Waveformsbasedonthecosm(x)window. . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
8.9.Useofafastsweptsine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
8.10.Problemsencounteredduringthesynthesisofthewaveforms . . . . . 351
8.11.CriticismofcontrolbySRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8.12.Possibleimprovements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.12.1.IESproposal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.12.2.Specificationofacomplementaryparameter. . . . . . . . . . . . . 358
8.12.3.Remarksonthepropertiesoftheresponsespectrum . . . . . . . . 363
8.13.EstimateofthefeasibilityofashockspecifiedbyitsSRS . . . . . . . 363
8.13.1.C.D.RobbinsandE.P.Vaughan’smethod . . . . . . . . . . . . . . 363
8.13.2.Evaluationofthenecessaryforce,powerandstroke . . . . . . . . 365
Chapter9.SimulationofPyroshocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
9.1.Simulationsusingpyrotechnicfacilities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
9.2.Simulationusingmetaltometalimpact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
9.3.Simulationusingelectrodynamicshakers. . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
9.4.Simulationusingconventionalshockmachines . . . . . . . . . . . . . . 378
Appendix.SimilitudeinMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A1.Conservationofmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A2.Conservationofaccelerationandstress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
