Table Of Contentalle nostre famiglie
INDICE
PREMESSA ix
PARTE I (cid:16) IL PROBLEMA ELASTICO LINEARE PER CONTINUI E
STRUTTURE
Cap. 1: FONDAMENTI DI MECCANICA DEI SOLIDI 1
1.1 Il problema elastico lineare 1
1.2 Il principio dei lavori virtuali per continui deformabili 11
1.2.1 Premessa 11
1.2.2 Campi staticamente e cinematicamente ammissibili.
Lavori virtuali 12
1.2.3 L’equazione dei lavori virtuali 14
1.2.4 L’equazione dei lavori virtuali come condizione sufficiente di
equilibrio; principio degli spostamenti virtuali 16
1.2.5 L’equazione dei lavori virtuali come condizione sufficiente di
congruenza; principio delle forze virtuali 19
1.3 Formulazioni energetiche del problema elastico lineare 21
1.3.1 Il teorema di minimo dell’Energia Potenziale Totale 21
1.3.2 Il teorema di minimo dell’Energia Complementare Totale 24
1.3.3 Inquadramento energetico della soluzione del problema
elastico lineare. Formula di Clapeyron 27
1.3.4 Teorema di stazionarietà di Hellinger Reissner 29
1.3.5 Teorema di reciprocità di Betti 31
1.4 Bibliografia 32
Appendice 1.A: Energia potenziale di un sistema in presenza di spostamenti
finiti 33
Cap. 2: PROBLEMI ELASTICI PIANI ED ASSIALSIMMETRICI 37
2.1 Problemi piani 37
2.1.1 Problema piano nelle deformazioni 39
2.1.2 Problema piano negli sforzi 42
2.1.3 Formulazione riassuntiva per problemi piani 47
2.1.4 Soluzione mediante funzione di Airy 51
2.2 Problemi assialsimmetrici 54
2.2.1 Problema elastico in coordinate cilindriche 54
2.2.2 Problema assialsimmetrico con sollecitazioni nel piano
meridiano 60
2.2.3 Problema assialsimmetrico con sollecitazioni tangenziali 63
2.3 Esempi di soluzione 65
2.3.1 Cilindro spesso in pressione 65
2.3.2 Lastra forata 68
2.3.3 Lastre piane rettangolari 74
2.3.4 Problema di Boussinesq e prova brasiliana 76
2.4 Bibliografia 84
Cap. 3: TEORIE STRUTTURALI PER SISTEMI DI TRAVI 85
3.1 Teorie strutturali 85
3.2 La teoria delle travi alla Eulero Bernoulli 86
3.2.1 Cinematica del modello di trave alla Eulero Bernoulli 86
3.2.2 Statica del modello di trave alla Eulero Bernoulli 90
3.2.3 Comportamento elastico della trave alla Eulero Bernoulli 94
3.3 La teoria delle travi alla Timoshenko 96
3.3.1 Cinematica del modello di trave alla Timoshenko 96
3.3.2 Statica del modello di trave alla Timoshenko 99
3.3.3 Comportamento elastico della trave alla Timoshenko 102
3.4 La teoria della linea elastica 105
3.5 Bibliografia 108
Cap. 4: TEORIE STRUTTURALI PER PIASTRE 109
4.1 La teoria di Kirchhoff per le piastre sottili 109
4.1.1 Cinematica del modello di piastra alla Kirchhoff 109
4.1.2 Statica del modello di piastra alla Kirchhoff 114
4.1.2 Comportamento elastico della piastra alla Kirchhoff 126
4.1.3 Soluzioni esatte per piastre ellittiche e circolari 130
4.2 La teoria di Reissner–Mindlin per le piastre moderatamente spesse 138
4.2.1 Cinematica del modello di piastra alla Mindlin 138
4.2.2 Statica del modello di piastra alla Mindlin 141
4.2.3 Comportamento elastico della piastra alla (Reissner )Mindlin 147
4.3 Bibliografia 151
PARTE II (cid:16) IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PER LA
SOLUZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO LINEARE
Cap. 5: FONDAMENTI DEL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI IN
ELASTICITÀ LINEARE 153
5.1 Il metodo di Rayleigh Ritz per problemi elastici lineari 154
5.1.1 Esempio di applicazione a travi inflesse 161
5.2 Analisi di strutture reticolari mediante approccio negli spostamenti 170
5.2.1 Esempio di applicazione 178
5.3 Il Metodo degli Elementi Finiti con approccio negli spostamenti per
problemi elastici lineari 184
5.3.1 Idealizzazione 185
5.3.2 Discretizzazione 186
5.3.3 Modellazione 188
5.3.4 Trasformazione di coordinate 193
5.3.5 Assemblaggio 194
5.3.6 Scrittura dell’EPT e del PSV in forma discreta 196
5.3.7 Soluzione del sistema lineare 202
5.3.8 Ricostruzione dell’intera soluzione 204
5.4 Elemento finito triangolare a deformazione costante per
problemi piani 205
5.4.1 Esempio: struttura piana discretizzata con un solo EF 215
5.4.2 Esempio: lastra tesa forata doppiamente simmetrica 218
5.5 Bibliografia 224
Cap. 6: PROPRIETÀ DELLA SOLUZIONE AD ELEMENTI FINITI E CRITERI
PER LA SCELTA DEL MODELLO DI SPOSTAMENTI 227
6.1 Caratteristiche della matrice di rigidezza assemblata 227
6.2 Proprietà della soluzione ad Elementi Finiti 231
6.3 Condizioni di convergenza 236
6.3.1 Convergenza monotona in energia 237
6.3.2 Condizioni per la convergenza monotona 238
6.3.3 Osservazioni 243
6.4 Criteri operativi per la scelta del modello di spostamenti con
funzioni di forma polinomiali 244
6.4.1 Determinazione diretta delle funzioni di forma 244
6.4.2 Scelta dei polinomi 246
6.4.3 Invarianza geometrica 247
6.5 Prova della pezza o toppa (Patch test) 248
6.6 Bibliografia 249
Cap. 7: ELEMENTI FINITI PER L’ANALISI DI SOLIDI BI–
E TRIDIMENSIONALI 251
7.1 Elementi finiti rettangolari per la soluzione di problemi piani 251
7.1.1 Elemento finito rettangolare a quattro nodi 252
7.1.2 Elementi finiti rettangolari: famiglia di Lagrange 259
7.1.3 Elementi finiti rettangolari: famiglia ‘serendipity’ 264
7.2 Elementi finiti triangolari per la soluzione di problemi piani 269
7.2.1 Coordinate di area o oblique 269
7.2.2 Formulazione di elementi triangolari a sei e più nodi 273
7.3 Elementi finiti basati sull’uso di trasformazioni piane 279
7.3.1 Trasformazioni piane regolari 280
7.3.2 Formulazione di elementi finiti parametrici 285
7.3.3 Proprietà degli elementi finiti isoparametrici 297
7.3.4 Integrazione numerica 302
7.4 Elementi finiti per la soluzione di problemi assialsimmetrici 309
7.5 Elementi finiti per la soluzione di problemi tridimensionali 315
7.5.1 Elemento tetraedrico a quattro nodi 315
7.5.2 Elemento isoparametrico a otto nodi 319
7.6 Bibliografia 323
Cap. 8: ELEMENTI FINITI PER L’ANALISI DI TRAVI E PIASTRE 325
8.1 Elementi finiti di trave alla Eulero–Bernoulli 325
8.1.1 Considerazioni introduttive 325
8.1.2 Elemento finito a 2 nodi 327
8.1.3 Trasformazione di coordinate 332
8.1.4 Confronto con la teoria tecnica della trave 336
8.1.5 Esempio 341
8.2 Elementi finiti di trave alla Timoshenko 347
8.2.1 Considerazioni introduttive 347
8.2.2 Elementi finiti a 2 nodi 348
8.2.3 Il fenomeno dello ‘shear locking’ 352
8.2.4 Esempio 354
8.3 Elementi finiti per l’analisi di piastre sottili 356
8.3.1 Considerazioni introduttive 356
8.3.2 Elemento rettangolare di piastra alla Kirchhoff (non conforme) 357
8.3.3 Elemento triangolare di piastra alla Kirchhoff (non conforme) 364
8.3.4 Considerazioni generali sulla possibilità di generare
EF conformi 369
8.3.5 Elementi triangolari conformi con funzioni di forma singolari 372
8.3.6 Cenno ad altri tipi di elementi conformi di piastra
alla Kirchhoff 374
8.4 Elementi finiti per l’analisi di piastre moderatamente spesse 377
8.4.1 Elementi finiti di piastra alla Mindlin 377
8.4.2 Il fenomeno dello ‘shear locking’ e la sua cura 381
8.5 Bibliografia 386
Cap. 9: STIMA DELL’ERRORE E DISCRETIZZAZIONE SPAZIALE
AUTO(cid:16)ADATTATIVA 389
9.1 Generalità sui problemi di stima dell’errore e controllo dell’analisi 389
9.1.1 Considerazioni introduttive 389
9.1.2 Fasi principali di un metodo di miglioramento automatico
dei risultati 391
9.2 Stima dell’errore basata su soluzioni staticamente e
cinematicamente ammissibili 393
9.2.1 Teorema dell’iper–cerchio 393
9.2.2 L’errore di legame costitutivo 395
9.2.3 Calcolo di un campo di sforzi equilibrato 397
9.3 Stima dell’errore basata su campi di sforzo approssimati 399
9.3.1 Costruzione di un campo di sforzi continuo 399
9.4 Auto–adattamento della discretizzazione spaziale 400
9.4.1 Velocità di convergenza 401
9.4.2 Dalla stima dell’errore alla nuova discretizzazione spaziale 402
9.5 Bibliografia 406
PREMESSA
La Meccanica Computazionale (ovvero Computational Mechanics, nella
dizione anglosassone) è una disciplina che consiste nello sviluppo di metodi
e strumenti di calcolo per la modellazione matematica e la simulazione
numerica di fenomeni fisici.
La traduzione dei fenomeni meccanici in modelli matematici è un
obiettivo che l’ingegnere si prefigge da sempre, attraverso lo sviluppo di
teorie più o meno sofisticate. L’avvento degli elaboratori elettronici e
conseguentemente, dei moderni strumenti di calcolo ha dato un enorme
impulso alla ricerca in questo campo e le ha impresso un orientamento
fortemente numerico. Oggigiorno, teorie quali la meccanica dei solidi e dei
fluidi, la trasmissione del calore o l’elettromagnetismo (solo per citarne
alcune), sono tutte implementate in codici di calcolo rivolti agli ingegneri
progettisti, analisti e produttori. Per tale motivo, la Meccanica
Computazionale è attualmente oggetto di ricerche in tutto il mondo e trova
sempre più spazio nell’insegnamento superiore, in particolare nei campi
dell’Ingegneria Civile, Meccanica, Aerospaziale e della Fisica Applicata.
Questo testo riguarda in particolare le applicazioni della Meccanica Compu-
tazionale nell’ambito dell’Ingegneria Strutturale e, più specificatamente, la
ricerca della soluzione del ‘Problema Elastico Lineare’, nel quale tutte le
equazioni governanti sono equazioni algebriche o differenziali lineari.
Si tratta del caso di gran lunga più importante in Ingegneria Civile ed il più
semplice da affrontare teoricamente. La risoluzione di problemi non lineari,
per geometria o legame costitutivo del materiale, necessita di strumenti
teorici e numerici più avanzati e non verrà affrontata in questa sede.
Il testo è diviso essenzialmente in due parti: la prima (Capp. 1 4) ha
lo scopo di illustrare e studiare in modo analitico il problema elastico per
continui e strutture; la seconda (Capp. 5 9) è dedicata alla soluzione di un
generico problema elastico lineare mediante il ‘Metodo degli Elementi
Finiti’, che è a tutt’oggi lo strumento numerico più diffuso e più versatile
per la risoluzione approssimata di problemi di meccanica strutturale.
Nel Cap. 1 vengono anzitutto forniti alcuni richiami di Meccanica
dei Solidi; particolare attenzione viene data alla risoluzione del problema
elastico lineare mediante approcci variazionali. Nel Cap. 2 vengono studiati
in dettaglio i problemi di elasticità sia piani che assialsimmetrici, presentan-
do la risoluzione di alcuni casi notevoli. I Capp. 3 e 4 sono rivolti, rispetti-
vamente, alla presentazione delle cosiddette ‘teorie strutturali’ per sistemi di
travi e piastre inflesse. Per piastre sottili di semplice geometria e soggette a
