Mécanique du point

338 Pages·2007·6.75 MB·French

SCIENCES SUP
SCIENCES SUP MA
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2e édition
Alain Gibaud (cid:129) Michel Henry
COURS DE PHYSIQUE C
Cours et exercices corrigés
O
U
MÉCANIQUE DU POINT
R
S
Licence 1re et 2e années
Cet ouvrage aborde l'ensemble de la mécanique du point et ALAIN GIBAUD
introduit les concepts d'énergie et de puissance. Dans cette seconde est professeur à l’université
du Maine.
édition entièrement actualisée, une nouvelle rubrique d’Exercices
M
d’application avec solution détaillée complète les applications et
MICHEL HENRY COURS DE PHYSIQUE
les nombreux exercices corrigés. É
est maître de conférences à C
C
Les deux premiers chapitres sont dédiés à la cinématique du point l’IUFM des Pays de Loire. O
A
ainsi qu’aux changements de référentiels. Ensuite les lois
U
fondamentales de la mécanique sont présentées ainsi que les N MÉCANIQUE
R
concepts d’énergie et de puissance et les oscillateurs libres et forcés. I
Un chapitre est consacré à la caractérisation des référentiels non QS

galiléens : cas du référentiel terrestre avec le poids d’un corps et UD
DU POINT
du référentiel géocentrique avec le phénomène des marées. Les E
deux derniers chapitres sont consacrés au problème à deux corps. E P

L’accent est mis sur la notion de référentiel barycentrique. DH
MATHÉMATIQUES
Les outils mathématiques nécessaires à la bonne compréhension UY
d’un cours de physique et les notions de base de la mécanique S
PHYSIQUE I 2e édition
céleste sont présentés en fin d’ouvrage. PQ
CHIMIE OU
COURS DE PHYSIQUE
IE
Ce cours de physique présente les grands domaines de la physique SCIENCES DE L’INGÉNIEUR N
enseignés en 1re, 2eet/ou 3eannées de licence.
T
(cid:129) Optique(Parisot/Le Boiteux) (cid:129) Mathématiques pour la INFORMATIQUE
(cid:129) Mécanique du point physique(Noirot/Brouillet)
(Gibaud/Henry) (cid:129) Électromagnétisme 1 et 2 SCIENCES DE LA VIE
(Cordier)
SCIENCES DE LA TERRE Alain Gibaud
LICENCE MASTER DOCTORAT
Michel Henry
1 2 3 4 5 6 7 8
6647754
ISBN 978-2-10-050586-9 www.dunod.com
MCANIQUE DU POINT Page I Mardi, 26. juin 2007 9:03 09
COURS DE PHYSIQUE
MÉCANIQUE DU POINT
Alain Gibaud
Professeur à l’université du Maine (Le Mans)
Michel Henry
Agrégé de physique
Maître de conférences à l’IUFM des Pays de Loire (Le Mans)
2e édition
MCANIQUE DU POINT Page II Mardi, 26. juin 2007 9:03 09
Illustration de couverture : Digital Vision
© Dunod, Paris, 1999, 2007 pour la seconde édition
ISBN 978-2 -10-050586-9
AVANT-PROPOS
Le cours présenté dans ce livre est le fruitde plusieurs années d’enseignement dispensé
auxétudiantsdepremièreannéeàl’universitéduMaine.Ils’agitd’uncoursd’introduc-
tion à la mécanique du point et des systèmes de points matériels. Notre souci au cours
de la rédaction de cet ouvrage a été de nous référer aux connaissances acquises par les
étudiantsdanslesclassesdusecondaireafind’assurerunetransitionlapluscontinuepos-
sible.
La principale difficulté que nous avons rencontrée lors de ce cours a été certainement
d’ordre mathématique. La mécanique est une science qui exige de la rigueur et les
concepts acquis lors de l’apprentissage dans le secondaire sont ici repris de façon plus
formelleetrigoureuse.Nousprésentonsdonc,enannexe1,lesoutilsmathématiquesqui
noussemblentnécessairesàlabonnecompréhensionducoursdephysique.
Le premier et le second chapitres sont consacrés à la cinématique du point ainsi qu’aux
changements de référentiels. Nous insistons plus particulièrement sur la définition du
référentiel; cette définition conditionne bien souvent la façon de traiter un problème et
reste,biendesfois,malcomprise.
Nousprésentonsensuitelesloisfondamentalesdelamécaniqueendécrivantlesforcesles
plusclassiquessusceptiblesd’intervenirdanslesproblèmesdemécanique.Nousintrodui-
sonsalorslesconceptsd’énergieetdepuissanceavantdeprésenterlesoscillateurslibres
etforcés.
Lapartiesuivantemontrequepourtraiterunproblèmedemécaniquedansunréférentiel
non galiléen il est nécessaire d’introduire des pseudos forces appelées forces d’inertie.
L’étude du poids d’un corps sur Terre met en évidence le faitque le référentielterrestre
n’estpasgaliléen.L’étudeduphénomènedesmaréesconduitàlamêmeconclusionpour
leréférentielgéocentrique.
Les deux derniers chapitres sont consacrés au problème à deux corps. L’accent est mis
sur la notion de référentiel barycentrique. L’étude de la trajectoire d’un système à deux
corpspermetderetrouverlesloisdeKeplerauxquellesobéissentlesplanètesdusystème
solaire.Uneprésentationdelamécaniquecélestesetrouveàlafindulivreenannexe2.
Cet ouvrage s’adresse bien sûr aux étudiants du premier cycle universitaire mais aussi à
ceuxdesclassespréparatoires,duCAPESetdel’agrégation.Nousespéronsqu’illeursera
uneaideprécieusedansleureffortdecompréhensiondecettebranchedelaphysique.

TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos III
CHAPITRE1.CINÉMATIQUEDUPOINT 1
1. Delanécessitéduréférentiel 1
2. Vitessed’unpointmatériel 5
3. Accélérationd’unpointmatériel 9
4. Récapitulatif 11
5. Exemplesdemouvements 12
Àretenir 18
Exerciced’applicationavecsolutiondétaillée 19
Exercices 20
Solutions 23
CHAPITRE2.CHANGEMENTSDERÉFÉRENTIELS 29
1. Mouvementsd’unréférentielparrapportàunautre 29
2. Étudedelavitesse 34
3. Étudedel’accélération 41
Àretenir 43
Exerciced’applicationavecsolutiondétaillée 44
Exercices 47
Solutions 51
CHAPITRE3.LOISDENEWTONETRÉFÉRENTIELSGALILÉENS 57
1. Principed’inertie:premièreloideNewton 57
2. Principedeladynamique:deuxièmeloideNewton 62
3. Actionsréciproques:troisièmeloideNewton 65
4. Lesforces 66
5. Applications 72
Àretenir 77
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 78
Exercices 83
Solutions 86
CHAPITRE4.TRAVAIL,PUISSANCE,ÉNERGIE 93
1. Travaild’uneforce 93
2. Exemplesdecalculdutravail 95
3. Puissanced’uneforce 98
4. Énergie 98
5. Étatsliésd’unsystèmemécaniquementisolé 104
Àretenir 107
VI Mécaniquedupoint
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 109
Exercices 121
Solutions 121
CHAPITRE5.OSCILLATEURSMÉCANIQUES 125
1. L’oscillateurharmonique 125
2. Équationdifférentielle 127
3. Exemplesd’oscillateursharmoniques 128
4. Étudeénergétiquedesoscillateurs 130
5. Oscillateurmécaniqueamortiparfrottementsvisqueux 132
6. Analogieélectrique 137
7. Oscillateuramortiparfrottementsolide 137
8. Portraitdephased’unoscillateur 141
Àretenir 143
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 144
Exercices 152
Solutions 153
CHAPITRE6.OSCILLATIONSFORCÉES,RÉSONANCE 155
1. Oscillationsforcées 155
2. Solutiondel’équationdifférentielle 158
3. Transfertdepuissance 163
4. Facteurdequalité 165
Àretenir 166
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 167
CHAPITRE7.INTERACTIONGRAVITATIONNELLE 175
1. Attractionuniverselle 175
2. Champdegravitationterrestre 177
3. Énergiepotentielledegravitation 179
4. Applications 181
Àretenir 185
CHAPITRE8.RÉFÉRENTIELSNONGALILÉENS 187
1. Introduction 187
2. Loideladynamiquedansunréférentielnongaliléen 188
3. Exemplesd’application 189
4. Dynamiqueterrestre 197
Àretenir 209
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 209
Exercices 219
Solutions 221
CHAPITRE9.SYSTÈMESÀDEUXCORPS 227
1. Élémentscinétiques 227
2. Référentielducentredemasse 229
3. Relationfondamentaledeladynamique 232
4. Propriétésdumouvement 236
Àretenir 241
Tabledesmatières VII
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 242
CHAPITRE10.TRAJECTOIRESD’UNSYSTÈMEÀDEUXCORPS 253
1. Rappels 253
2. Équationpolairedelatrajectoire:FormuledeBinet. 254
3. RésolutiondelaformuledeBinet 256
4. Étudedestrajectoires 257
5. Étudeénergétique 260
6. Trajectoireselliptiques:loisdeKepler 261
Àretenir 265
Exercicesd’applicationavecsolutiondétaillée 265
Exercices 274
Solutions 277
ANNEXE1.RAPPELDESOUTILSMATHÉMATIQUES 283
1. Scalairesetvecteurs 283
2. Composantesd’unvecteur 286
3. Produitscalaire 288
4. Produitvectoriel 290
5. Dérivationvectorielle 293
6. Différentielled’unefonction 294
7. Vecteurgradientd’unefonction 302
8. Intégralesetprimitives 304
9. Intégralesvectorielles 306
ANNEXE2.INTRODUCTIONÀLAMÉCANIQUECÉLESTE 309
1. Historique 309
2. Définitions 311
3. LaVoieLactée 312
4. LeSystèmeSolaire 313
5. Ladéfinitiondutemps 316
6. Tempsetrepéragedelalongitudedesétoiles 318
7. Repéragedel’altitudeduSoleilaucoursdel’année 321
Àretenir 322
BIBLIOGRAPHIE 325
INDEX 326

C 1
HAPITRE
CINÉMATIQUE DU POINT
•
Pré-requis Connaître les systèmes de coordonnées cartésiennes, polaires et cylin-
driques.
•
Savoirdériverlesvecteursdelabasepolaireoucylindrique.
•
Savoir intégrer quelques fonctions élémentaires (polynômes, fonctions
trigonométriques,exponentielleetc.).
•
Cesnotionssontreprisesenannexe,Rappeldesoutilsmathématiques.
Objectif I À partir du vecteur accélération d’un point, savoir retrouver le vecteur
vitesse, les équations horaires du mouvement ainsi que l’équation de la
trajectoiredecepoint.
I Connaîtrel’expressiondesvecteursposition,vitesseetaccélérationdans
lesdifférentssystèmesdecoordonnées.
I Connaître la définition de quelques mouvements particuliers traités en
findechapitre.
I L’objetdelacinématiquedupointestd’étudierlemouvementd’unpoint
aucoursdutempsindépendammentdescausesquiproduisentcemou-
vement.Lesobjectifssontladéterminationdesgrandeurscinématiques
tellesquelesvecteursaccélération,vitesse,positionetl’équationhoraire
delatrajectoiredecepointparrapportàunréférentielchoisiparl’ob-
servateur.
1. DE LA NÉCESSITÉ DU RÉFÉRENTIEL
L’étude du mouvement d’un point implique nécessairement la présence simultanée du
pointetd’unobservateurquianalyselemouvementdecepoint.L’observateurestlepilier
de l’étude du mouvement car selon sa position par rapport à l’objet en mouvement ses
conclusionsquantàlanaturedumouvementseronttrèsvariables.Ainsi,dansunTGVqui
se déplace à vitesse constante, un passager qui lâche verticalement une bille conclut que
labilleaunmouvementrectiligne.Lapersonnequiestsurlequaietquiobservelamême
scèneconclutquelemouvementn’estpasrectiligneetpourtantils’agitbiendelamême
bille.Unmouvementestdonctoujoursliéàunobservateur.Onditqu’ilestrelatif.