Mecanique classique II

137 Pages·1997·0.656 MB·French

by  Amiot P., Marleau L.

Mécanique
Classique II
P. Amiot et L. Marleau
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Mécanique
Classique II
P. Amiot et L. Marleau
Départementdephysique F UniversitéLaval F Québec F Canada
CetouvrageaétérédigéavecScientiflc WorkPlace
etcomposeravecLATEX2".
Copyright(cid:176)(cid:1) 1997.Tousdroitsréservés.
L.Marleau,P.Amiot
Départementdephysique
UniversitéLaval
Québec,Canada.
Table des matières
Avant-Propos ix
1 RAPPEL 1
1.1 Trajectoireetcinématiqued’uneparticuleponctuelle 1
1.2 Plusieursparticulesponctuelles 3
1.3 Élémentsdedynamique 4
1.4 TravailetÉnergie 7
1.5 SystèmesàN particulesetforcesextérieures 8
1.6 Degrésdeliberté 10
2 FORMALISME DE LAGRANGE 15
2.1 Résultatsd’expérienceetprincipedebase 15
2.2 Variationfonctionnelleetapplicationduprincipe 18
2.3 LafonctionL(q ;q_ ;t) 20
i i
Forcesconservatrices 21
Forcesnonconservatrices 23
2.4 Coordonnéescurvilignes 23
2.5 Lescontraintes 28
MéthodedesmultiplicateursdeLagrange 30
2.6 Invariancedejauge 31
2.7 Quelquescaractéristiques,propriétés,limites... 34
3 APPLICATIONS ET PROPRIÉTÉS 37
3.1 Cassimplesenmécanique 37
Particuledansunchampgravitationnel 37
Particulesuspendueàunressort 38
Particulesuspendueauhautd’unetigerigide 39
Penduleplansuspenduparunressortdemassenulle 42
3.2 Exemplesnonmécaniques 44
vi Tabledesmatières
PrincipedeFermat 44
3.3 Problèmeàdeuxcorps 45
3.4 Lepotentielcentral 47
3.5 Constantesdumouvement 51
4 LE FORMALISME CANONIQUE 57
4.1 LatransformationdeLegendre 57
4.2 LeHamiltonien 58
4.3 Quelquesexemples 60
Particulesoumiseàuneforceenunedimension 60
Particulesoumiseàuneforceentroisdimensions 60
Particuledansunchampcentral 61
4.4 LescrochetsdePoisson 64
4.5 Lesmomentsgénéralisés 67
4.6 Lestransformationscanoniques(T.C.) 67
Quelquesexemples 72
4.7 Une transformation canonique très spéciale: La méthode de
Hamilton-Jacobi 76
L’objectif 76
Laméthode 76
4.8 T(q ;p )encoordonnéesgénéralisées 80
i i
4.9 LafonctionS (oucommentrefermerlaboucle) 82
5 THÉORIE DES PERTURBATIONS 85
5.1 Butsdelaméthode 85
5.2 L’idéedebase: lavariationdesconstantes 85
5.3 Lesapproximations 86
Méthodeparsérie 87
Méthodeitérative 87
Méthodedelamoyenne 88
5.4 Exemple 88
5.5 Méthodecanoniquedeperturbations 90
5.6 Autreexemple 91
Développementensérie 92
Solutionitérative. 93
Méthodedelamoyenne 94
Avant-Propos vii
6 MOUVEMENT DU SOLIDE 99
6.1 Degrésdelibertédusolide 99
6.2 L’énergiecinétiqueetletenseurd’inertie 101
6.3 Parenthèsesurlesaxesprincipauxetletenseurd’inertie 104
6.4 Lemomentcinétique/angulairedusolide 108
6.5 Approchevectorielleetleséquationsd’Euler 112
6.6 Anglesd’EuleretapprocheLagrangienne 115
6.7 Exemple 117
6.8 Mouvementd’unetoupiesymétriquepesanteàunpointfixe 120
6.9 Latoupieasymétriquelibre: problèmedestabilité 124
A Notations, conventions,... 127
A.1 Notationsetconventions 127
A.2 Systèmesdecoordonnées 128
Coordonnéescartésiennes 128
Coordonnéescylindriques 129
Coordonnéessphériques 130
A.3 Aide-mémoire 132
Mécaniquelagrangienne 132
Corpssolide 132
A.4 Références 133
Index 135
Copyright(cid:176)(cid:1) 1997P.Amiot,L.Marleau
Avant-Propos
Cet ouvragecontient l’essentieldumatérielcouvertdansle coursdeMécaniqueClas-
sique II (PHY-10492). Il est basé sur les notes de cours de P. Amiot et prennent leur
inspirationcommeilestcoutumedeplusieurslivresderéférences.
Lesnotescouvrentlamécaniqueclassiqueavancée,soitleformalismedeLagrange,le
formalisme canonique, la théorie des perturbation et le mouvement d’un corps rigide.
Lesnotionsdemécaniquesontrappeléesdanslechapitre1.LeformalismedeLagrange
estintroduitau Chapitre2.Suiventquelquesapplicationsetpropriétés(Chapitre3),le
formalisme canonique (Chapitre 4), lathéoriedes perturbations (Chapitre 5) etfinale-
mentlemouvementd’uncorpsrigide(Chapitre6).L’appendicecontientunrésumédes
notations,unaide-mémoireetquelquesréférencescomplémentaires.
Québec LucMarleau
Mai1997 DépartementdePhysique
UniversitéLaval
Copyright(cid:176)(cid:1) 1997P.Amiot,L.Marleau
1 RAPPEL
1.1 Trajectoire et cinématique d’une particule ponctuelle
Laparticuleponctuelleestsansdimension.C’estunecréationdel’esprit,unmodèle,
représentantunobjetphysiquequin’estaniméqued’unmouvementdetranslation(pas
derotationsurlui-même).Onadmeticiquenotreespacephysiqueestàtroisdimensions
auquelonadjointletempsquin’estpasiciunedimensionmaisunparamètreimmuable
etindépendantdesobjetsphysiqueetdeleurévaluationdontilsertàmesurerletaux.
Nous représentons l’espace physique par un espace à trois dimensions à l’échelle,
dotéd’uneoriginenotéeOetdetroisaxesorientés.Lapositioninstantanéedelaparti-
culeyestnotéeparunpointP dontlapositionestentièrementdéfinieparuntripletde
nombresappeléscoordonnéesdupointetquimesurentgénéralementdeslongueursou
desangles(voirfigure1.1).Cescoordonnéesserontsouventnotées x ouq .Ilestsou-
i i
ventpratiquedeparlerduvecteur positiondelaparticule,notéxoupquivadel’origine
OaupointP.
P
C
Figure1.1 Trajetd’uneparticule
L’évaluationdusystèmephysiqueseradécriteparunecourbeoutrajectoireC,décri-
vantledéplacementcontinudupointP dansnotreespacedeconfiguration.Onconçoit
cette évolution comme résultant d’un paramètre invariant quiaugmente. On le choisit
généralementetpourdesraisonspratiquescommeétantletemps,notét,maiscechoix
n’est pas unique. LepointP sedéplaçantavecletemps saposition, r, varieradans le
2 Chapitre1 RAPPEL
tempsetlatrajectoireseradécriteparr=r(t)entermedescomposantespar:
x =x (t); i=1;2;3: (1.1)
i i
Quiditmouvementpenseintuitivementàunerapiditédemouvement.Cettenotion,
ceconceptestquantifiéparladéfinitiondelavitesseV
d
V(t)= x(t)·x_(t): (1.2)
dt
Notonsparlalettrepleparamètre(arbitraire)dontlavariationgénèrelatrajectoire(il
peutêtreounonletemps).Alorslalongueursdelatrajectoireentrep etp ,estdonnée
0 1
par: v
Z u (cid:181) ¶
s(p ;p )= p1dputX dxi 2 (1.3)
0 1 dt
p0 i
oùpvariedefaçonmonotoneentrep etp .Alorsonpeutécrire(voirfigure1.2):
0 1
dx dsdx dx
V= = ·v : (1.4)
dt dt ds ds
D s
t^
T
D x
x
x+D x
Figure1.2
Onvoitimmédiatementque:
dx
=¿b (1.5)
ds
unvecteurunitairedansladirectionduvecteurTquidonnelatangenteàlatrajectoire
aupointP.Eneffet
¢x dx
¿b = lim = : (1.6)
¢s!0 ¢s ds
OnobtientainsiV=¿bvou¿bdonneladirectionetvlagrandeurdelavitesse(vectorielle)
V.Parabusdelangagevs’appelleaussilavitesse.Cequ’ilfautsouligner,c’estqueV
esttoujourstangent(c’estunvecteur)àlatrajectoire.D’ailleurs,pourvuqueleparamètre
pvariedefaçonmonotone(etcontinue)levecteur dx esttangentàlatrajectoire,lecas
dp
V= dx n’estqu’uncasparticulier.
dt
IntuitivementlavitesseVpeutvarierlelongdelatrajectoire(voirfigure1.3).Pour
quantifierceteffetnousdéfinissonsl’accélérationa
dV d2x
a= = ·V_·x˜ (1.7)
dt dt2
1.2 Plusieursparticulesponctuelles 3
etclairement
dV d(¿bv)
a = =
dt dt
dv d¿b
= ¿b+v (1.8)
dt dt
Parceque¿b¢¿b = 1alors d(¿b¢¿b) = 2¿b¢ d¿b = 0.Ainsi d¿bestperpendiculaireà¿b qui
dt dt dt
esttangentàlatrajectoire.Donc d¿b estnormalàcettetrajectoire.Appelonsnblevecteur
dt
unitairenormalàlatrajectoire(dansladirectionde d¿b i.e.dansleplaninstantanédela
dt
trajectoire).Oncalcule
d¿b d¿b dsd¿b d¿b
=j j=j jnb =j jvnb: (1.9)
dt dt dt ds ds
Onécritpardéfinition,‰¡1 =jd¿bj.Onadoncpoura
ds
v2 d2s
a= nb+ ¿b: (1.10)
‰ dt2
Ainsil’accélérationaunecomposantetangenteàlatrajectoire(¿b)devaleur d2s et
dt2
P
^
t
v
D x
n^
r
Figure1.3
unecomposantenormaleàlatrajectoire(nb)devaleur v2 .Onpeutmontrerque‰estle
‰
rayondecourburedelatrajectoire.Eneffet,danslevoisinageimmédiatdupointP,la
trajectoirepeutêtreapproximéeparunarcdecercle,‰seraitalorslerayondececercle.
PluslatrajectoireestcourbéeautourdeP;pluslavitessechangerarapidementselonnb.
Defait,plus‰serapetitetpluslacomposantenormaledea, v2 ,seragrande.
‰
1.2 Plusieurs particules ponctuelles
PourreprésenterlapositiondeN particulesdansnotreespacedeconfigurationà3
dimensionsnousavonsbesoindeN tripletsdenombres(total3N)
r =(x ;x ;x ); ” =1;2;:::;N: (1.11)
” ”1 ”2 ”3
L’évaluationd’untelsystèmeserareprésentéeparN trajectoires(uneparparticule)dans
cetespace.
Copyright(cid:176)(cid:1) 1997P.Amiot,L.Marleau