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MATHEMATIQUES
&
APPLICATIONS
Directeursdelacollection:
G.AllaireetM.Bena¨ım
51
MATHE´ MATIQUES & APPLICATIONS
Comite´ deLecture/EditorialBoard
GRE´GOIREALLAIRE DOMINIQUEPICARD
CMAP,E´colePolytechnique,Palaiseau Proba.etMod.Ale´atoires,Univ.Paris7
[email protected] [email protected]
MICHELBENA¨IM ROBERTROUSSARIE
Mathe´matiques,Univ.deNeuchaˆtel Topologie,Univ.deBourgogne,Dijon
[email protected] [email protected]
THIERRYCOLIN CLAUDESAMSON
Mathe´matiques,Univ.deBordeaux1 INRIASophia-Antipolis
[email protected] [email protected]
MARIE-CHRISTINECOSTA BERNARDSARAMITO
CEDRIC,CNAM,Paris MathsAppl.,Univ.deClermont2
[email protected] [email protected]
GE´RARDDEGREZ ANNICKSARTENAER
Inst.VonKarman,Louvain Mathe´matique,Univ.deNamur
[email protected] [email protected]
JEANDELLA-DORA ZHANSHI
LMC,IMAG,Grenoble Probabilite´s,Univ.Paris6
[email protected] [email protected]
JACQUESDEMONGEOT SYLVAINSORIN
TIMC,IMAG,Grenoble EquipeComb.etOpt.,Univ.Paris6
[email protected] [email protected]
FRE´DE´RICDIAS JEAN-MARIETHOMAS
CMLA,ENSCachan MathsAppl.,Univ.dePau
[email protected] [email protected]
NICOLEELKAROUI ALAINTROUVE´
CMAP,E´colePolytechniquePalaiseau CMLA,ENSCachan
[email protected] [email protected]
MARCHALLIN JEAN-PHILIPPEVIAL
Stat.&R.O.,Univ.libredeBruxelles HEC,Univ.deGene`ve
[email protected] [email protected]
LAURENTMICLO BERNARDYCART
LATP,Univ.deProvence MathsAppl.,Univ.Paris5
laurent:[email protected] [email protected]
HUYENPHAM ENRIQUEZUAZUA
Proba.etMod.Ale´atoires,Univ.Paris7 Matema´ticas,Univ.Autono´madeMadrid
[email protected] [email protected]
VALE´RIEPERRIER
LMC,IMAG,Grenoble
[email protected]
Directeursdelacollection:
G. ALLAIRE et M. BENA¨IM
Instructionsauxauteurs:
Lestextesouprojetspeuventeˆtresoumisdirectementa`lundesmembresducomite´delectureavec
copiea`G.ALLAIREOUM.BENA¨IM.Lesmanuscritsdevronteˆtreremisa`l’E´diteur
sousformatLATEX2e.
Bernard Bonnard
Ludovic Faubourg
Emmanuel Tre´lat
Me´canique ce´leste
et controˆle
des ve´hicules spatiaux
BernardBonnard
LudovicFaubourg
UMRCNRS5584
De´partementdeMathe´matiques
InstitutdeMathe´matiquesdeBourgogne
UFRdesSciencesetTechniques
Universite´ deBourgogne
BP47870
21078DijonCedex
France
[email protected]
[email protected]
EmmanuelTre´lat
LaboratoiredeMathe´matique
Equiped’AnalyseNume´riqueetEDP
UMR8628
Universite´ Paris-Sud
Baˆtiment425
91405OrsayCedex
France
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LibraryofCongressControlNumber:2005931933
MathematicsSubjectClassification(2000):93C10,49J15,70Q05,70F15
ISSN1154-483X
ISBN-103-540-28373-0SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13978-3-540-28373-7SpringerBerlinHeidelbergNewYork
Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationre´serve´spourtouspays.
Laloidu11mars1957interditlescopiesoulesreproductionsdestine´esa`uneutilisationcollective.
Touterepre´sentation,reproductioninte´graleoupartiellefaiteparquelqueproce´de´quecesoit,sansleconsentement
del’auteuroudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefac¸onsanctionne´eparlesarticles425etsuivants
duCodepe´nal.
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(cid:1)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2006
springeronline.com
Imprime´enPays-Bas
Imprime´surpapiernonacide 41/SPI-543210-
Pr´eface
L’origine de ce livre est double. D’une part, il s’appuie sur deux projets de
recherchesurlecontroˆlev´ehiculesspatiaux.Lepremier´etudi´edanslesann´ees
80, sur le probl`eme du controˆle d’attitude d’un satellite rigide, en collabora-
tion avec l’ESA et dont l’objectif ´etait d’appliquer les techniques du controˆle
dit g´eom´etrique. Le second projet, avec le CNES, concerne le calcul des tra-
jectoires de rentr´ee atmosph´erique de la navette spatiale. Ces travaux ont
donn´e lieu a` des d´eveloppements m´ethodologiques en th´eorie des syst`emes
qu’il nous a paru int´eressant d’int´egrer dans une s´erie de cours de DEA en-
seign´es `a des ´etudiants en math´ematiques et en physique a` l’universit´e de
Dijon, en parall`ele avec un cours plus classique sur les syst`emes dynamiques
et la m´ecanique c´eleste. En effet la connexion est ´evidente. D’une part parce
que la partie controˆle utilise de fac¸on fine des propri´et´es des ´equations de la
m´ecanique spatiale que sont les´equations d’Euler ou les´equations de Kepler,
etlescoordonn´eesissuesdelam´ecaniquec´elestepourmod´eliserlessyst`emes.
D’autre part les techniques dites variationnelles du calcul des variations tra-
ditionnel sont d´evelopp´ees en th´eorie des syst`emes sous le nom de contrˆole
optimal et jouent un roˆle important en m´ecanique c´eleste dans le programme
demontrerl’existencedetrajectoiresp´eriodiques.Parailleursdesoutilscom-
muns a` la th´eorie du controˆle et `a la m´ecanique c´eleste sont la g´eom´etrie
symplectique et l’´etude des ´equations diff´erentielles Hamiltoniennes. Enfin il
ne faut pas cacher qu’une des ambitions de cet ouvrage est de rassembler des
lecteursint´eress´esdedeuxcommunaut´esscientifiquesdisjointespluspourdes
raisons culturelles que scientifiques, l’une issue des sciences de l’ing´enieur et
l’autre des math´ematiques.
La premi`ere partie du livre est une introduction a` la m´ecanique c´eleste,
non exhaustive car le sujet est encyclop´edique. Notre pr´esentation est ori-
ent´ee vers les applications en m´ecanique spatiale. N´eanmoins, une de ses
ambitions est, `a notre modeste niveau, de r´eactualiser les travaux excep-
tionnels de Poincar´e en m´ecanique c´eleste [58], qui sont aussi `a l’origine
du d´eveloppement moderne des syst`emes dynamiques, et de compl´eter cer-
tains ouvrages d´eja` anciens comme ceux de Moser, Siegel [64] ou de Stern-
VI Pr´eface
berg [65]. Ces livres orient´es par ailleurs vers le KAM ´etant assez techniques
math´ematiquement. L’organisation de la partie m´ecanique c´eleste est la suiv-
ante. Lepremierchapitre est une introduction a` lag´eom´etriesymplectique et
auxpropri´et´esdessyst`emesHamiltoniensquis’appuiesurl’excellentouvrage
de Meyer et Hall [53]. Le second chapitre est consacr´e `a l’´etude des pro-
pri´et´es des syst`emes dynamiques Hamiltoniens : int´egrabilit´e et stabilit´e. On
y pr´esente le th´eor`eme de Liouville et on fait une introduction descriptive au
KAMavantdeconclureparleth´eor`emedePoincar´e-Hopfsurlespropri´et´esde
r´ecurrencedestrajectoiresdanslecadreborn´e.Onintroduit,danslechapitre
3, le probl`eme des N corps. Vu sa complexit´e, on connait tr`es peu de solu-
tions except´e le cas du probl`eme des 2 corps ou probl`eme de Kepler, et le
probl`eme des 3 corps, si on se limite au probl`eme dit circulaire restreint. Ce
chapitre contient aussi une introduction a` un probl`eme clef de la m´ecanique
c´eleste : les collisions. Le chapitre 4 est consacr´e au programme de recherche
des trajectoires p´eriodiques. On pr´esente deux m´ethodes toutes deux issues
des travaux de Poincar´e. La premi`ere est la technique dite de continuation
fond´ee sur le th´eor`eme des fonctions implicites. Cette m´ethode bien que sim-
ple est en fait une technique des perturbations tr`es importante pour calculer
des trajectoires p´eriodiques dans le probl`eme des 3 corps restreint, qui peut
s’interpr´eter comme une perturbation du probl`eme de Kepler. La seconde
m´ethode plus sophistiqu´ee est la m´ethode directe du calcul des variations qui
est appliqu´ee ici pour calculer des trajectoires p´eriodiques pour les syst`emes
Hamiltoniens. Cette technique est en plein d´eveloppement actuellement et a
permis de calculer de nouvelles trajectoires p´eriodiques dans le probl`eme de
N corps, notamment le huit de Chenciner et Montgomery [20].
La seconde partie de ce livre concerne le contrˆole des v´ehicules spatiaux.
Onrestreintnotrepr´esentation`atroisprobl`emes:lecontrˆoledel’attitudeou
orientation du satellite, le probl`eme de transfert orbital, avec ou sans rendez-
vous et enfin le probl`eme du controˆle de l’arc atmosph´erique. Le premier
chapitre de la seconde partie est consacr´e au probl`eme de contrˆole d’attitude.
Il contient une introduction aux m´ethodes dites g´eom´etriques pour ´etudier
la controˆlabilit´e des syst`emes non lin´eaires. Ces techniques appliqu´ees au
controˆle d’attitude permettent d’analyser compl`etement la contrˆolabilit´e de
tels syst`emes en utilisant les propri´et´es de r´ecurrence du syst`eme libre (les
´equations d’Euler-Poinsot) d´eduites du th´eor`eme de Poincar´e-Hopf. Le sec-
ond chapitre est consacr´e au probl`eme de transfert d’orbite. Le syst`eme libre
estd´ecrit enpremi`ereapproximation par les´equationsdeKepler. Onachoisi
depr´esenterleprobl`emedanslecadred’unprojetencoursded´eveloppement
avec des moteurs `a pouss´ee faible. Ce type de syst`eme n´ecessite des lois de
commandeadapt´ees.Uneapprochestandardparlatechniquedestabilisation
est rappel´ee. On analyse ensuite le probl`eme du temps minimal qui est ici un
probl`eme crucial car le temps de transfert `a une orbite g´eostationnaire est
long, de l’ordre de 150 jours. Par ailleurs pour ce type de syst`eme, le contrˆole
n’agit pas quand le satellite rentre dans la zone d’ombre : c’est le probl`eme
des ´eclipses qui doit ˆetre pris en compte dans le calcul de la loi opimale, la
Pr´eface VII
trajectoire ´etant r´efract´ee en passant de la zone ´eclair´ee `a la zone d’ombre.
Les lois de la r´efraction sont la cons´equence du principe du maximum avec
contraintes, un chapitre entier est consacr´e `a pr´esenter ce principe. La taˆche
est ardue car il s’agit d’une extension non triviale du principe du maximum
standard. Il est par ailleurs utilis´e et d´evelopp´e dans un chapitre de cet ou-
vrage, consacr´e au controˆle de l’arc atmosph´erique. Dans ce cas la navette se
comportecommeunplaneur(lapouss´ee´etantcoup´ee),volanta`hautevitesse
(de l’ordre de 8000 m/s en d´ebut de trajectoire), soumis a` des forces fluides
dans l’atmosph`ere, une force de frottement appel´ee traˆın´ee et une force de
portance qui permet de controˆler la navette. Le probl`eme est complexe car il
y a des contraintes actives sur l’´etat : une contrainte sur le flux thermique et
une contrainte sur l’acc´el´eration normale. Pour ce type de syst`eme un crit`ere
a` minimiser dans le calcul de trajectoires est le facteur d’usure de la navette,
mod´elis´e par l’int´egrale du flux thermique. Enfin, un chapitre est consacre´
aux m´ethodes num´eriques dites indirectes en controˆle optimal, introduisant
aussi la th´eorie des points conjugu´es et des algorithmes d’impl´ementation
num´erique.
Avertissement aux lecteurs. La premi`ere partie de l’ouvrage, consacr´ee
a` la m´ecanique c´eleste, est motiv´ee par l’introduction des concepts et outils
n´ecessaires dans la seconde partie. La seconde partie, sur la m´ecanique spa-
tiale, est une pr´esentation didactique et simplifi´ee des r´esultats obtenus dans
nostravauxencontroˆled’attitude,transfertorbital,etrentr´eeatmosph´erique.
Pour une analyse plus compl`ete, le lecteur int´eress´e est invit´e `a consulter nos
articles.
Remerciements. Les auteurs remercient R. Roussarie et J.-B. Caillau.
Dijon, Orsay, Bernard Bonnard
mai 2005 Ludovic Faubourg
Emmanuel Tr´elat
Table des mati`eres
Partie I M´ecanique c´eleste
1 G´eom´etrie symplectique et transformations canoniques .... 3
1.1 Rappels d’alg`ebre ext´erieure et g´eom´etrie symplectique lin´eaire 3
1.2 Formes ext´erieures de degr´e 2 et g´eom´etrie symplectique
lin´eaire................................................. 4
1.3 Groupe symplectique .................................... 5
1.3.1 Repr´esentation du groupe .......................... 5
1.3.2 Groupe symplectique et champs de vecteurs
Hamiltoniens lin´eaires.............................. 5
1.3.3 Notions d’alg`ebre lin´eaire symplectique............... 7
1.3.4 Stabilit´e et stabilit´e structurelle ..................... 10
1.4 Vari´et´es symplectiques et champs de vecteurs Hamiltoniens ... 11
1.4.1 Notations et d´efinitions ............................ 11
1.4.2 Coordonn´ees de Darboux........................... 13
1.4.3 Rel`evement symplectique........................... 14
1.5 G´eom´etrie symplectique et calcul des variations ............. 14
1.5.1 Formule fondamentale ............................. 15
1.5.2 Conditions de transversalit´e ........................ 15
1.5.3 Equations de Hamilton............................. 16
1.5.4 Equation d’Hamilton-Jacobi ........................ 17
1.5.5 Le principe du maximum de Pontriaguine
dans sa version faible ............................. 18
1.5.6 Transformations canoniques ........................ 21
1.6 Notes et sources......................................... 25
2 Quelques propri´et´es des ´equations diff´erentielles
Hamiltoniennes: int´egrabilit´e et stabilit´e .................. 27
2.1 Int´egrabilit´e ............................................ 27
2.1.1 Le th´eor`eme de redressement symplectique ........... 27
2.1.2 Le th´eor`eme de Noether............................ 28
2.1.3 La m´ethode d’int´egration de Jacobi.................. 29
X Table des mati`eres
2.1.4 Un th´eor`eme d’int´egrabilit´e dans le cas lin´eaire
nonautonome .................................... 31
2.1.5 Le th´eor`eme d’int´egrabilit´e de Liouville .............. 32
2.2 Stabilit´e des ´etats d’´equilibre ; m´ethode directe de Liapunov .. 36
2.3 Le th´eor`eme de Lagrange-Dirichlet......................... 40
2.4 Formes normales de Poincar´e-Dulac........................ 41
2.5 Forme normale d’un syst`eme Hamiltonien au voisinage
d’un´equilibre ........................................... 43
2.6 Introduction a` la th´eorie du KAM et a` la stabilit´e
des syst`emes Hamiltoniens................................ 45
2.6.1 Th´eorie de Floquet - Le cas Hamiltonien ............. 45
2.6.2 Application premier retour de Poincar´e - le cas
Hamiltonien ...................................... 46
2.6.3 Le cas de dimension 4 ; application a` la stabilit´e....... 47
2.6.4 Th´eor`eme KAM iso´energ´etique...................... 48
2.6.5 Th´eor`eme de stabilit´e d’Arnold ..................... 49
2.7 Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e ..................... 49
2.8 Notes et sources......................................... 51
3 Introduction au probl`eme des N corps ; les cas N = 2
et N = 3................................................... 53
3.1 Introduction au probl`eme des N corps ..................... 53
3.2 Les int´egrales premi`eres classiques ......................... 54
3.2.1 Conservation de l’impulsion......................... 54
3.2.2 Conservation du moment cin´etique .................. 55
3.2.3 Conservation de l’´energie cin´etique, identit´e
deLagrange et in´egalit´e de Sundman................. 55
3.3 Homog´en´eit´e et th´eor`eme deViriel ......................... 56
3.4 Le probl`eme de deux corps ............................... 58
3.4.1 R´eduction au mouvement relatif..................... 58
3.4.2 R´eduction dans un r´ef´erentiel li´e au centre de masse ... 59
3.5 Mouvement dans un champ central ........................ 59
3.5.1 La loi des aires.................................... 60
3.5.2 Int´egration des ´equations........................... 60
3.6 Le probl`eme de Kepler ................................... 62
3.6.1 Le cas elliptique................................... 63
3.6.2 Le vocabulaire de la m´ecanique c´eleste ............... 64
3.6.3 Equation de Kepler................................ 64
3.7 Introduction au probl`eme des 3 corps ...................... 64
3.8 Les travaux d’Euler, Lagrange dans le probl`eme des 3 corps... 65
3.9 La notion de configuration centrale ........................ 67
3.9.1 Solutions de Lagrange.............................. 69
3.9.2 Le th´eor`eme d’Euler-Moulton ....................... 70
3.9.3 Coordonn´ees de Jacobi pour le probl`eme des 3 corps ... 70
3.9.4 Le probl`eme circulaire restreint ..................... 71
Table des mati`eres XI
3.10 Introduction aux probl`emes des collisions................... 74
3.10.1 Etude des collisions totales ......................... 74
3.10.2 Pr´esentation heuristique de la r´egularisation
des collisions doubles dans le probl`eme des 3 corps .... 75
3.11 Notes et sources......................................... 78
4 Recherche de trajectoires p´eriodiques...................... 79
4.1 Construction de trajectoires p´eriodiques par la m´ethode
decontinuation.......................................... 80
4.2 Le th´eor`eme du centre de Liapunov-Poincar´e, dans le cas
Hamiltonien ............................................ 81
4.3 Application aux points de libration ........................ 82
4.4 Deux applications de la m´ethode de continuation
enm´ecanique c´eleste ..................................... 82
4.4.1 Orbites de Poincar´e................................ 82
4.4.2 Orbites de Hill .................................... 83
4.5 Solutions p´eriodiques et principe de moindre action .......... 85
4.6 M´ethode directe en calcul des variations.................... 85
4.6.1 Pr´eliminaires ..................................... 85
4.6.2 Equation d’Euler-Lagrange sur H1 .................. 87
4.6.3 Fonctions semi-continues inf´erieurement et fonctions
convexes ......................................... 87
4.6.4 Lanotiondepotentielfortetl’existencedetrajectoires
p´eriodiques pour le probl`eme des deux corps. ......... 89
4.6.5 Trajectoires p´eriodiques pour le probl`eme des N corps
avec l’hypoth`ese du potentiel fort.................... 91
4.6.6 Le cas Newtonien ................................. 91
4.7 Solution p´eriodique du probl`eme des trois corps de masse ´egale 92
4.7.1 Description de l’orbite en huit....................... 92
4.7.2 G´eom´etrie du probl`eme et sph`ere topologique ......... 93
4.7.3 Construction de la trajectoire en huit ................ 95
4.7.4 Le concept de chor´egraphie ......................... 97
4.8 Notes et sources......................................... 98
Partie II Controˆle des v´ehicules spatiaux
5 Controˆle d’attitude d’un satellite rigide....................103
5.1 Controˆlabilit´e des syst`emes avec des contrˆoles constants
par morceaux...........................................103
5.2 Controˆlabilit´ed’unsatelliterigidegouvern´epardesr´etro-fus´ees 107
5.2.1 Equations du mouvement...........................107
5.2.2 Le probl`eme du choix de la repr´esentation ............109
5.2.3 Propri´et´es des trajectoires de la partie libre...........111
