Mecânica Quântica para Matemáticos em Formação

226 Pages·2011·1.36 MB·Portuguese

Mecânica Quântica para

Matemáticos em Formação

Publicações Matemáticas

Mecânica Quântica para

Matemáticos em Formação

Bárbara Amaral
UFOP/UFMG

Alexandre Tavares Baraviera
UFRGS

Marcelo O. Terra Cunha
UFMG

impa
28o Colóquio Brasileiro de Matemática
Copyright  2011 by Bárbara Amaral, Alexandre Tavares Baraviera e
Marcelo O. Terra Cunha

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

28o Colóquio Brasileiro de Matemática
• Cadenas de Markov y Teoría de Potencial - Johel Beltrán
• Cálculo e Estimação de Invariantes Geométricos: Uma Introdução às
Geometrias Euclidiana e Afim - M. Andrade e T. Lewiner
• De Newton a Boltzmann: o Teorema de Lanford - Sérgio B. Volchan
• Extremal and Probabilistic Combinatorics - Robert Morris e Roberto
Imbuzeiro Oliveira
• Fluxos Estrela - Alexander Arbieto, Bruno Santiago e Tatiana Sodero
• Geometria Aritmética em Retas e Cônicas - Rodrigo Gondim
• Hydrodynamical Methods in Last Passage Percolation Models - E. A. Cator
e L. P. R. Pimentel
• Introduction to Optimal Transport: Theory and Applications - Nicola Gigli
• Introdução à Aproximação Numérica de Equações Diferenciais Parciais Via
o Método de Elementos Finitos - Juan Galvis e Henrique Versieux
• Matrizes Especiais em Matemática Numérica - Licio Hernanes Bezerra
• Mecânica Quântica para Matemáticos em Formação - Bárbara Amaral,
Alexandre Tavares Baraviera e Marcelo O. Terra Cunha
• Multiple Integrals and Modular Differential Equations - Hossein Movasati
• Nonlinear Equations - Gregorio Malajovich
• Partially Hyperbolic Dynamics - Federico Rodriguez Hertz, Jana Rodriguez
Hertz e Raúl Ures
• Random Process with Variable Length - A. Toom, A. Ramos, A. Rocha e A.
Simas
• Um Primeiro Contato com Bases de Gröbner - Marcelo Escudeiro
Hernandes

ISBN: 978-85-244-327-9 Distribuição: IMPA
Estrada Dona Castorina, 110
22460-320 Rio de Janeiro, RJ
E-mail: [email protected]
http://www.impa.br
Para Thales
e Tshabalala
(o cão), pelo
carinho, pela
lealdade, pelo
companheirismo
e também pelas
bochechas.
Para Áurea,
Dirceu, Flávia
e Pedro, que
agora ganha
mais um livri-
nho para puxar
da estante.
Para Mimi e
Tatá, como
sempre, e para
o Andrey, pela
primeira vez.

Programa
Abertura
ix
Prelúdio
1
1 Números Complexos 3
1.1 Soma e Multiplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Representação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 A Exponencial Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Limites e Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Álgebra Linear 11
2.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Subespaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1 Produto Interno e Funcionais Lineares . . . . . 21
2.6 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6.1 Ortogonalizaçãode Gram-Schmidt . . . . . . . 22
2.7 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Adjunta de uma Transformação Linear . . . . . . . . . 25
2.10 Projeção sobre um Subespaço . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11 Autovetores e Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.11.1 de Transformações Hermitianas . . . . . . . . . 29
iii
iv PROGRAMA
2.12 Operadores Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.13 Traço e Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.13.1 Traço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.13.2 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.15 Exponencial de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.16 Comutador de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.17 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Equações Diferenciais Ordinárias 44
3.1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Equações Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Grupos 50
4.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Grupos de Matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1 Matrizes Invertíveis . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2 Matrizes Unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Representação de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Ação de Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Órbitas e Classes de Equivalência . . . . . . . . . . . . 57
4.7 A Fibração de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Álgebras C 62
∗
5.1 Álgebras C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
∗
5.2 Estados de uma Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 Estados da Álgebra M (C) . . . . . . . . . . . 66
n
5.3 Espectro de Elementos da Álgebra . . . . . . . . . . . 68
5.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Interlúdio
71
PROGRAMA v
6 Um Bit de Mecânica Quântica 73
6.1 Mecânica Quântica em Dimensão Dois . . . . . . . . . 73
6.1.1 Estados e Medições . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2 Depois das Medições . . . . . . . . . . . . . . 76
6.1.3 O que os bits clássicos não têm . . . . . . . . . 78
6.1.4 Quando perder é ganhar . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.5 Estados Físicos e Esfera de Bloch . . . . . . . . 81
6.1.6 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Um pouco de Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Sistemas de d níveis 89
7.1 Mecânica Quântica em Dimensão d . . . . . . . . . . . 89
7.1.1 Estados e Medições . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.1.2 Depois das Medições . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.3 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1.4 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Um exemplo: o Laplaciano discreto . . . . . . . . . . . 94
7.2.1 Operador Posição. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 A Relação de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.4 Mais um pouco de Física. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 Sistemas Quânticos Compostos 101
8.1 Dois Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.1.1 Estados e Medições . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.1.2 Estados Fisicamente Distintos. . . . . . . . . . 106
8.1.3 Dois spins 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2
8.1.4 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Sistemas de Duas Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Mais Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.1 Emaranhamento: W vs GHZ . . . . . . . . . . 114
8.3.2 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3.3 Vários spins 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2
8.4 Compondo ou Decompondo? . . . . . . . . . . . . . . 117
8.5 Um pouquinho mais de Física . . . . . . . . . . . . . . 119
vi PROGRAMA
9 Operador Densidade 122
9.1 Operador Densidade como Ponto de Partida . . . . . . 122
9.1.1 Testes e Operadores Densidade . . . . . . . . . 125
9.1.2 Estados Mistos de um Qbit . . . . . . . . . . . 126
9.2 Operador Densidade como Ignorância Clássica . . . . 127
9.3 Operador Densidade como Ignorância Quântica . . . . 128
9.4 Medições Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.5 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.6 Uma Axiomatização Alternativa . . . . . . . . . . . . 138
9.6.1 Mecânica Quântica e Álgebras de Operadores . 138
9.6.2 Mas nem é tão novo assim.... . . . . . . . . . . 139
9.7 Mais um bocadinho de Física . . . . . . . . . . . . . . 140
10 Sistemas Quânticos Compostos - bis 142
10.1 Dois Qbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.1.1 Critérios de Separabilidade . . . . . . . . . . . 145
10.1.2 Quantificadores de Emaranhamento . . . . . . 149
10.1.3 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2 Sistemas Bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3 Sistemas Multipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.4 Um tantinho mais de Física . . . . . . . . . . . . . . . 158
Poslúdio
161
11 Um Pouco de Mecânica Quântica na Reta 163
11.1 Partícula Clássica na Reta . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Partícula Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.3 O Operador Hamiltoniano ... . . . . . . . . . . . . . . 166
11.4 A Partícula em uma Caixa Unidimensional . . . . . . 168
11.4.1 Caso Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.4.2 Caso Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.4.3 Um Exemplo de Limite Clássico . . . . . . . . 171
11.5 O Oscilador Harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177