Table Of ContentMeasuringtheneutronstarequationofstatewithgravitationalwaveobservations
JocelynS.Read,1 CharalamposMarkakis,2 MasaruShibata,3 Ko¯jiUryu¯,4 JolienD.E.Creighton,2 andJohnL.Friedman2
1Max-Planck-Institut fu¨r Gravitationsphysik, Albert-Einstein-Institut, Golm, Germany
2DepartmentofPhysics,UniversityofWisconsin–Milwaukee,P.O.Box413,Milwaukee,WI53201,USA
3GraduateSchoolofArtsandSciences,UniversityofTokyo,Komaba,Meguro,Tokyo153-8902,Japan
4DepartmentofPhysics,UniversityoftheRyukyus,1Senbaru, Nishihara, Okinawa903-0213, Japan
Wereporttheresultsofafirststudythatusesnumericalsimulationstoestimatetheaccuracywithwhichone
canusegravitationalwaveobservationsofdoubleneutronstarinspiraltomeasureparametersoftheneutron-star
equationofstate. Thesimulationsusetheevolutionandinitial-datacodesofShibataandUryu¯ tocomputethe
lastseveralorbitsandthemergerofneutronstars,withmatterdescribedbyaparametrizedequationofstate.
Previousworksuggestedtheuseofaneffectivecutofffrequencytoplaceconstraintsontheequationofstate.
Wefind,however,thatgreateraccuracyisobtainedbymeasuringdeparturesfromthepoint-particlelimitofthe
gravitationalwaveformproducedduringthelateinspiral.Asthestarsapproachtheirfinalplungeandmerger,the
gravitationalwavephaseaccumulatesmorerapidlyforsmallervaluesoftheneutronstarcompactness(theratio
9 ofthemassoftheneutronstartoitsradius).Weestimatethatrealisticequationsofstatewillleadtogravitational
0 waveforms that are distinguishable from point particle inspirals at an effective distance (the distance to an
0 optimallyorientedandlocatedsystemthatwouldproduceanequivalentwaveformamplitude)of100Mpcor
2 less. As Lattimer and Prakash observed, neutron-star radius is closely tied to the pressure at density not far
abovenuclear. Ourresultssuggestthatbroadbandgravitationalwaveobservationsatfrequenciesbetween500
n
and1000Hzwillconstrainthispressure,andweestimatetheaccuracywithwhichitcanbemeasured.Related
a
J firstestimatesofradiusmeasurabilityshowthattheradiuscanbedeterminedtoanaccuracyofδR ∼ 1kmat
100Mpc.
1
2
PACSnumbers:04.25.dk,04.30.Tv,04.25.Nx,26.60.Kp,04.80.Nn
]
c
q I. INTRODUCTION couldbeusedfortemplate-baseddetectioninLIGO1.Subse-
- quently, the competing effects of relativity and finite size at
r
g theendofbinaryneutronstarinspiralhavebeenstudiedwith
[ anarrayofdifferentapproximations,yieldingestimatesofthe
Gravitational wave observations can potentially measure gravitationalwavespectrumwhichdepartfromthatofapoint
1
v properties of neutron star equations of state (EOS) by mea- particleinspiralstartingsomewherebetween500Hzandover
8 suring departures from the point-particle approximation to 1000Hz[4,5,6,7,8,9,10,11].
5 the gravitational waveform produced during the late inspiral ThestudyofEOSsignatureongravitationalwaveformshas
2 phase of binary neutron star coalescence. We examine here often focused on the merger and coalescence phases of the
3 theaccuracywithwhichdetectorswiththesensitivityofAd-
waveform [12, 13, 14], above the frequency of the last or-
1. vancedLIGOcanextractfrominspiralwaveformsanEOSpa- bit. These frequencies are higher than the sensitive band of
0 rameterassociatedwiththestiffnessoftheneutronstarEOS ground-basedinterferometerslikeAdvancedLIGO,exceptin
9 abovenucleardensity.
carefully tuned high frequency narrow-band configurations.
0
Earlyworkonmeasurabilityoffinitesizeeffects[15]useda
:
v modelofpoint-particleinspiraltruncatedatsuchafrequency,
Todothis,weuseasetofnumericalsimulationwaveforms
Xi producedbyvaryingtheEOSusedtomodeltheneutronstar whichcouldbesoughtwithnarrow-bandtuning.
r matter. Thesignalanalysisfocusesonthelateinspiral,asthe The characteristic frequency where EOS effects become
a radiusoftheorbitrapproachestheneutronstarradiusR.The important for the gravitational waveform is often estimated
orbitaldynamicsinthisregionwilldependontheradiusand viaaninnermoststablecircularorbitorRochelobeoverflow
internalstructureoftheneutronstar,whichinturndependon in a quasiequilibrium approximation. With many such esti-
the EOS. We also estimate the accuracy with which neutron mates above 1000Hz [7, 11, 16], some summaries of neu-
starradii,closelylinkedtotheEOSparametervaried,canbe tron star radius measurability with gravitational waves have
extracted.Thisisapreliminarystudy,usingafirstsetofmulti- assumedthatEOSdependenceindoubleneutron-starbinaries
orbit binary neutron star waveforms. Subsequent work will isunlikelytobedetectedwithAdvancedLIGO[17].
use an improved AMR code with higher resolution to obtain However, for quantitatively studying the late inspiral and
higheraccuracyandtomorefullyexploretheEOSparameter mergerphasesofbinaryneutronstars, numericalrelativityis
space. required. Until quite recently, there has been no general rel-
ThestudyofradiusandEOSeffectsongravitationalwave
inspiral was first aimed at questions of detectability [1, 2],
1HoweverwiththeincreasedsensitivityofAdvancedLIGO,thecontribu-
showing that the tidal effects would only affect phase evolu-
tiontophaseevolutionfromtidaleffectsmayaffectthewaveformduring
tionattheendoftheinspiralandthatpointparticlewaveforms theearly,low-frequencypartoftheinspiral[3].
(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:232) (cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
2
ativisticsimulation thatquantitativelyclarifiesthe inspiralto
FIG.1: InitialchoicesofEOSfornumericalevolutioncomparedto
mergerphasesprimarilybecauseoflimitationofthecomputa- (cid:232)
thesetoftabledEOSconsideredin[27]. Candidatesarelabelledin (cid:232)
tionalresources,althoughanumberofsimulationshavebeen orderofincreasingsoftness:2H,H,HB,B,2B. (cid:232) (cid:232) (cid:232)
doneforaqualitativestudy [12,13,18,19,20,21,22,23,24]. (cid:232)
(cid:232)
TumoawabtiitbtlaiEfhstrounobpclreeyhoOeaoetgbrcnopIitenrztrtcuiSnoholvrpeiaieteaooocsmona,tertmtrrtauranuethncogaeauuincvlssoio1onraendcslodhuaisvrafrodiwk,fnviaprtlepatnrhuieptilHadadleletehntlgcesoahrphy.rrsdzegittyieeuesevalhlrntByseat(ripalteuatun,bmstitatgwylhaoantsehdbeuopraranrenlbouiyattccakutiysesthsevartniorsene.esrttetdcrriseimny-o,fixteaTnmkptecaaentaeldwibpilhvhtacEnomi[rreiieaoinsexci2mauotrssOttrtorielae5s,hnwairtnaentnSha,drawaqfibiofetsagdoenl2oicfurlfeaefienegi6rcwfipwqnnatctccoeh]clhfrrluditat)kartuoetroehoe.vawssyvodlvrnnlensyenFeaemeonifftgfiiilo.durop-usiioeearonscnnuimlertucmrnnuplihmstesniortthdeospeeeutrhcdwwvyercottituetttqshriorrthhhneeocalarmouafilsaeeexdaurltuntaysrnklaomtntetsppsotahsicsarsiifhotoohnelnt-tferteweanlcdnaiesa,losmynryo-itcsespatrfsreszthenttbrazsicoifeerei;epsmteiiuiosfatrristqenarhcolmsrstlbuaotuarhlaaiaiawswtalrme.eoieltniasnnrblcncsfTahatgtyuuedcotilhecvmrieamnehldeyudcyoeaemrtsunhtee,ncetfpsonetsitoeradhoaiorciv,ngettrmrsrinanhahngouiltmecaenndyoneees-r----l,(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)2logpindynecm(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)33333(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)34567(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)1.....(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:72)(cid:144)(cid:76)4(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242).(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)1(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)4(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232).(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)4(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)l(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)o(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)g(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)Ρ(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)i(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)12(cid:236)(cid:236)n(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)4(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)H(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)g(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232).(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)8(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:236)c(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)H(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)m(cid:159)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:242)H(cid:242)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:242)3(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)B(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)B(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)QMHn(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)2(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:236)p(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)y(cid:159)u(cid:232)(cid:242)e(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:236)B(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)e(cid:236)p(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:236)a(cid:236)s(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:159)(cid:159)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)Μ(cid:236)e(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)or(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)k(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)r(cid:242)1(cid:236)(cid:236)(cid:232)n(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)o(cid:242)s(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)s(cid:236)(cid:232)5(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)n(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:159)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242).(cid:159)(cid:232)s(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:159)(cid:236)2(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:242)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:159)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:159)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:236)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:159)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:236)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)
estimatesoferrorinthenumericalwaveform. (cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
Wecalculatethesignalstrengthofthisdifferen(cid:236)(cid:236)c(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)e(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)inwave- (cid:72) (cid:144) (cid:76)
(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
form using the sensitivity curves of commissioned and pro-
posed gravitational wave detecto(cid:232)rs,(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)a(cid:236)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)nd(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)find that there is a density ρ, and the resulting energy density (cid:15) are then deter-
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) minedbythefirstlawofthermodynamics. Weusepiecewise
measurably different signal(cid:232)at reasonable distances from the
(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)ilE(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)ne(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)O(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)as(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)dpS(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)si(cid:232)rwa(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)t(cid:232)olis(cid:232)t(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)h(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)a(cid:232)oA(cid:232)ffi(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)drbsv(cid:232)i(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)tna(cid:232)naq(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)rcu(cid:232)yea(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)dnntLei(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)tuIaGtt(cid:232)rivoOen.(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)esstatirmsawteithofdtihffeermenetasEuOraSb.ilitTyhoisf polytropicEOSp,(oρf)t=heKfoirρmΓi, dρ(cid:15) =−pdρ1, (1)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) WealsonotethatthebroadbandconfigurationofAdvanced
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232) LdeIGteOctidnogetshaesdwifeflelreonrcbeetbteertwaseennarnreouwtrboanndstacronEfiOgSu.ratAionnsimin- i(cid:15)n/ρa→set1ofasinρte→rva0ls. ρi ≤ ρ ≤ ρi+1 inrestmassdensity,with
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:232)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) proved understanding of the sensitivity of different gravita- A fixed crust EOS models the behavior of matter down to
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) tional wave detector configurations to neutron star structure 1012gcm−3;thenumericalsimulationsconsidereddonotre-
(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) will be essential for the design of next-generation detectors solvedensitiesbelowthis. Thecrustismodelledwithasingle
(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) forgravitationalwaveastrophysics. polytroperegion,fittedtotabulatedcrustEOS,fortheregion
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:232) (cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) (cid:232) aKbovecnheoustreonnsdoritph.atTph/ec2po=lyt1ro.5p6e8h9a×sΓ1c0ru3s1td=yn1c.3m5−629,wwhietnh
(cid:232) (cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) II. EQUATIONSOFSTATE ρ=crus1t013gcm−3.ThecoreEOSisconstructedindependently
(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) of crust behavior, and the dividing density between the crust
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) andcorevariesbyEOS.
We choose EOS based on work done in [27] to develop a
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) In [27] it was found that three zones within the core are
parameterizedEOSthataccuratelyreproducesfeaturesofre-
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) needed to accurately model the full range of proposed EOS
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) alistic EOS. Systematic variation of the EOS parameters al-
models;howeverinthispaperwewillconsideronlyonecore
lowsustodeterminewhichpropertiessignificantlyaffectthe
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) zone,describedbyjustonepolytropicEOS. Wevarythecore
gravitationalradiationproduced,andthuscanbeconstrained
EOS with an overall pressure shift p , specified at the fidu-
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) withsufficientlystronggravitationalwavedetections. 1
cial density ρ = 5.0119×1014gcm−3, while holding the
The models chosen for this study use a variation of one 1
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) adiabatic index in all regions of the core fixed at Γ = 3.
EOS parameter in the neutron star core. The EOS pressure
While only a subset of realistic EOS are well-approximated
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) p is specified as a function of rest mass density2. Rest mass
by a single core polytrope, reducing the EOS considered to
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) this single-parameter family allows us to estimate parameter
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
measurabilitywithareasonablenumberofsimulations.
Afterfixingthecoreadiabaticindex,increasingtheoverall
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232) 2Restmassdensityρ=mbnisproportionaltonumberdensitynwiththe pressurescalep producesafamilyofneutronstarswithpro-
massperbaryon,ifthematterweretobedispersedtoinfinity,fixedtobe 1
mb=1.66×10−24g. gressivelyincreasingradiusforagivenmass;thep1parameter
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:242)(cid:159)(cid:159)(cid:159)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
(cid:236)(cid:236)(cid:236)(cid:242)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)(cid:232)
3
A. Initialdata
TABLEI:PropertiesofinitialEOS. Theserangefromthe“softest”
EOS at the top, which results in a prompt collapse to a black hole
upon merger, to the “hardest” (or “stiffest”) at the bottom. Model Conformallyflatinitialdataisgeneratedbyconstructinga
HBisconsideredatypicalEOS. Thepressurep ,whichisthepres- quasiequilibriumsequenceofirrotationalneutronstarsinbi-
1
sureatdensityρ =5×1014gcm−3,determinesthepolytropicEOS narysystem,followingthemethodsof[7,16,31,32,33,34].
1
fortheneutronstarcore;allcandidateshaveΓ = 3. RadiusRand As in previous work, we assume irrotational flow fields, ne-
compactnessGM/c2RarethoseofasingleisolatedM =1.35M(cid:12) glecting spin of the neutron stars. This assumption is based
TOV star where radius is measured in Schwarzschild-like coordi- on the estimation of negligible tidal spin-ups [1, 2]. The pa-
nates.AnastrophysicallyimportantEOS-dependentparameteristhe
rameterizedEOSofEq.(1)isincorporatedinthecodetosolve
maximumneutronstarmass, M , whichisgiveninthefifthcol-
max forinitialdatawithaconformallyflatspatialgeometry,using
umn.
the Isenberg-Wilson-Mathews formulation [35, 36] coupled
Model log p [dyncm−2] R[km] GM/c2R M [M ] to the neutron star matter equation consistently. Each of the
10 1 max (cid:12)
starshasabaryonnumberequaltothatofanisolatedstarwith
2H 34.90 15.2 0.13 2.83
gravitationalmassM =1.35M . Theinitialdataforthefull
(cid:12)
H 34.50 12.3 0.16 2.25 numericalsimulationistakenfromthequasi-equilibriumcon-
HB 34.40 11.6 0.17 2.12 figuration at a separation such that ∼ 3 orbits remain before
B 34.30 10.9 0.18 2.00 merger. Relevant quantities of the initial configurations for
2B 34.10 9.7 0.21 1.78 eachparameterizedEOSarepresentedinTableII.
B. Numericalevolution
was chosen in part because Lattimer and Prakash [28] found
thatpressureatonetotwotimesnucleardensityiscloselytied The Einstein equations are evolved with the original ver-
toneutronstarradius,withR∝p1/4.Theradiusislesssensi- sion of the Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura formula-
1
tion [37, 38] in which we evolve the conformal factor, ϕ =
tivetovariationoftheadiabaticindexintheneutronstarcore,
(lnγ)/12, the trace K of the extrinsic curvature, the confor-
forreasonableadiabaticindices[27].
malthreemetrics,γ˜ ≡γ−1/3γ ,thetracefreepartoftheex-
Animportantelementoffutureworkwillbeincorporating ij ij
trinsiccurvature,A˜ ≡γ−1/3(K −Kγ /3),andanauxil-
additional variations of the EOS within the core. This could ij ij ij
iarythree-vector,F ≡δjk∂ γ˜ . Hereγ isthethreemetric,
involveadditionalmodelsofvaryingadiabaticindexarounda i j ik ij
K the extrinsic curvature, γ ≡ det(γ ), and K ≡ K γij.
fixedp ,aswellasmultiplepiecewise-polytropezoneswithin ij ij ij
1
Asin[39],weevolvetheconformalfactorϕ,nottheinverse
thecoreorEOSparametersyieldingneutronstarsofthesame
of ψ, because the cell-centered grid is adopted in our code,
Rbutdifferentinternalstructure. Suchworkwouldyieldin-
and hence, the black hole spacetime is handled in the mov-
sightintotherelativesizeandcorrelationofeffectsontheor-
ing puncture framework [40, 41]. For the conditions on the
bitalevolutionduetothestellarradiusandinternalstructure.
lapse,α,andtheshiftvector,βi,weadoptadynamicalgauge
conditionasin[39].
ThefirstmodelswerechosenwithEOSthat“bracket”the
The numerical scheme for solving the Einstein equation
range of existing candidates, seen in Fig. 1. These mod-
is the same as that in [39]: We use the fourth-order finite
els are HB with p = 1034.40dyncm−2, a standard EOS;
1 difference scheme in the spatial direction and a third-order
2H with p = 1034.90dyncm−2, a stiff EOS; 2B, with
1 Runge-Kutta scheme in the time integration, where the ad-
p /c2 = 1034.10dyncm−2, a soft EOS. Additional mod-
1 vection terms such as βi∂ ϕ are evaluated by a fourth-order
els B with p /c2 = 1034.30dyncm−2 and H with p /c2 = i
1 1 non-centereddifference.
1034.50dyncm−2,werechosenwithsmallshiftsinparameter
The hydrodynamics equations are solved as in [39]: We
fromHBtobetterestimatelocalparameterdependenceofthe
evolveρ ≡ραute6ϕ,uˆ ≡hu ,ande ≡ραut−P/(ραut),
waveform. ∗ i i ∗
whereρistherest-massdensity,u isthethree-componentof
i
the four velocity, P is the pressure, and h is the specific en-
thalpydefinedbyh≡1+ε+P/ρandεisthespecificinternal
energydefinedbyε≡(cid:15)/ρ−1. Tohandleadvectiontermsin
III. NUMERICALMETHODS
thehydrodynamicequations,ahigh-resolutioncentralscheme
[42]isadoptedwithathird-orderpiecewiseparabolicinterpo-
ForeachEOSconsidered,wesimulatethelateinspiraland lationandwithasteepmin-modlimiter. Inthepresentwork,
merger of a binary neutron star system. For this study, we the limiter parameter, b, is set to be 2.5 (see [43] for detail
fix the gravitational mass of each neutron star in the binary abouttheparameterb).
to 1.35M , an average value for pulsars observed in binary The fluid evolution during inspiral is essentially free of
(cid:12)
systems [29, 30]. We expect the significance of tidal effects shocks,andwhentherearenoshocksthesimulationsusethe
inthisconfigurationtobefairlyrepresentativeoftidaleffects cold EOS specified in Sec. II. During merger, when the evo-
over the relatively narrow range of masses and mass ratios lutionhasshocks,weincludeahotcomponentwithathermal
expectedinastrophysicalbinaryneutronstarsystem. effectiveadiabaticindexΓ,asdescribedin[43]. Shockheat-
i
4
TABLEII:Quantitiesofeachinitialdatasetforirrotationalbinaryneutronstars.EachstarhasabaryonnumberM equaltothatofanisolated
0
M =1.35M star.TheADMmassM oftheinitialsliceincludesthebindingenergy,Jisthetotalangularmomentumoftheinitialslice.
(cid:12) ADM
ThebinarycompactnessC isdefinedbyC =(ΩM Gc−3)2/3.
0 0 ADM
Model ρ [gcm−3] M [M ] M [M ] cJ/(GM2 ) Ω/2π[Hz] C
max 0 (cid:12) ADM (cid:12) ADM 0
2H 3.73196×1014 1.45488 2.67262 0.993319 324.704 8.96966×10−2
H 7.02661×1014 1.48385 2.67080 0.989524 321.468 8.90593×10−2
HB 8.27673×1014 1.49273 2.67290 0.995361 309.928 8.69582×10−2
B 9.77811×1014 1.50247 2.67290 0.992638 314.170 8.77522×10−2
2B 1.38300×1015 1.52509 2.67229 0.987681 321.170 8.90375×10−2
inginmergercanincreasethethermalenergyupto∼20–30% quencyf ofthequadrupolewaveformisthenestimatedby
ofthetotalenergy[12].
1 ∆φ
Gravitational radiation is extracted both by spatially de-
f = (3)
composingthemetricperturbationaboutflatspacetimeinthe 2π ∆t
wave-zone with spin-2 weighted spherical harmonics and by
Thenumericaldatacanbeshiftedinphaseandtimebyadding
calculating the outgoing part of the Weyl scalar Ψ . For
4 a time shift τ to the time series points and multiplying the
equal mass neutron stars (such as those studied here), the
complexhbyeiφtoshifttheoverallwavephasebyφ.
quadrupole ((cid:96) = 2,m = ±2) mode is much larger than any
Itisusefultodefineareferencetimemarkingtheendofthe
othermode;weconsiderjustthismodeinthisanalysis.
inspiralandonsetofmerger. Anaturalchoicefortheendof
The waveforms output from the simulations are the cross
theinspiralportion,consideringthebehaviourofaPPinspiral
andplusamplitudesh c2D/GM andh c2D/GM ofthe
+ tot × tot waveform,isthetimeofthepeakinthewaveformamplitude
quadrupole waveform, as would be measured at large dis-
|h|. However, theamplitudeofthenumericalwaveformsos-
tance D (cid:29) GM /c2 along the z axis perpendicular to the
tot cillatesoverthecourseofanorbit. Amovingaverageofthe
plane of the orbit, versus the retarded time t . Here M
ret tot waveformamplitudeover0.5mssegmentsisusedtoaverage
is the sum of the two neutron star masses when they are far
this oscillation; the end of the inspiral is then defined as the
apart, M = 2.7M . The strain is sampled at discrete val-
tot (cid:12) time at the end of the maximum amplitude interval. The re-
ues evenly spaced in t, with a sampling rate ∆t of between
sultingmergertimet willbemarkedbysolidverticallines
0.006 ms (for 2B) and 0.031 ms (for 2H) which depends on M
intheplotstofollow.
thetimeofsimulation.Thereisjunkradiationintheearlypart
The numerical waveforms begin at different orbital fre-
oftheextractedwaveformsfortret <∼ 0. Wediscardthispart quencies. To align them for comparison, they are each
inthedataanalysis.
matched in the early inspiral region to the same post-
Eachsimulationistypicallyperformedforthreegridreso-
Newtonianpoint-particle(orPP)waveform.
lutions. In the best-resolution case, the diameter of neutron
starsiscoveredby60gridpoints. Convergencetestswithdif-
ferentgridresolutionsindicatethat,withthebestgridresolu-
A. Post-Newtonianpointparticle
tion,thetimedurationintheinspiralphaseisunderestimated
byabout1orbit. Thisisprimarilyduetothefactthatangular
In full GR, point-particle inspiral is not well-defined, and
momentumisspuriouslylostbynumericaldissipation. Thus,
one is left with the post-Newtonian point-particle (PP) ap-
theinspiralgravitationalwavesincludeaphaseerror,andasa
proximation and fully general relativistic black-hole numer-
result,theamplitudeofthespectrumfortheinspiralphaseis
ical solutions as natural substitutes. Fortunately, the Taylor
slightlyunderestimated.However,wefindthatthewaveforms
T4 3.0/3.5 post-Newtonian specification, introduced in [44],
andresultingpowerspectrumforthelateinspiralandmerger
agrees closely with numerical binary black hole waveforms
phases,whichwearemostinterestedinforthepresentwork,
formanycycles,uptoandincludingthecyclebeforemerger
dependweaklyonthegridresolution.
(see also [45]). This empirical agreement allows us to adopt
theTaylorT4waveformasanappropriatePPbaselinewave-
form, compatible with full GR until the last cycles. We will
IV. WAVEFORMANALYSIS showthatthebinaryneutronstarwaveformsdepartfromthis
waveform 4–8 cycles (200–560 M ) before the best-fit PP
tot
Weconstructthecomplexquantity merger.
The TaylorT4 waveform is constructed by numerically in-
h=h −ih (2) tegrating for a post-Newtonian parameter x, which is related
+ ×
totheorbitalfrequencyobservedatinfinityΩ:
fromthequadrupolewaveformdata.Theamplitudeandphase
of this quantity define the instantaneous amplitude |h| and (cid:18)GM Ω(cid:19)2/3
x= tot , (4)
phase φ = argh of the waveform. The instantaneous fre- c3
5
Following[44],weuse
FIG. 2: Solid lines show numerical waveforms, scaled by
c2D/GMtot,andalignedintimeandphasetothesamepoint-particle dx 16c3 x5 (cid:20) 487 274229
post-Newtonianinspiral(dashedline),usingthemethoddescribedin = 1− x+4πx3/2+ x2
dt 5 GM 168 72576
Sec. IVB. The two dashed vertical bars indicate the portion of the tot
(cid:26)
waveformusedformatching; thelastverticalbarindicatestheend 254 178384023737 1475
− πx5/2+ + π2 (5)
ofinspiraltimet forthenumericalwaveform. Thetopfoursimu-
M 21 33530011200 192
lations,2H,H,HB,andB,showthestartofpost-mergeroscillations
(cid:27) (cid:21)
1712 856 3310
fromahypermassiveNSremnantinthesimulation.2Bshowsquasi- − γ− ln(16x) x3+ πx7/2 ,
normalringdownfromapromptcollapsetoablackholefollowing 105 105 189
merger.
tofindx(t)andthenorbitalphaseofthebinaryisfoundfrom
0.2
ot 2H
Mt dΦ c3
G 0.1 = x3/2. (6)
dt GM
0.0(cid:144) tot
D
2
c (cid:45)0.1 Thisyieldsaresultto3.5post-Newtonianorderforthephase
(cid:43)(cid:137), evolution.Theconstantsofintegrationarefixedbyspecifying
h (cid:45)0.2
(cid:45)14 (cid:45)12 (cid:45)10 (cid:45)8 (cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 0 thecoalescencetimetPP,whenx→∞,andtheorbitalphase
c
Mtot 00..12 H attThhisetiammeplΦit(utdPceP)o=f tΦhePcPq,uadrupole waveform is calculated
G
to 3.0 order in [46]. For the complex waveform h mea-
0.0(cid:144) PP
D suredalongtheorbitalaxisofthebinary,usingtheappropriate
2
c (cid:45)0.1 sphericalharmonicconventions,theresultis
(cid:43)(cid:137),
h (cid:45)0.2 (cid:20)
(cid:45)14 (cid:45)12 (cid:45)10 (cid:45)8 (cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 0 GM 373 62653
ot 0.2 HB hPP =− c2 Dtote2iΦx 1− 168x+2πx3/2− 24192x2
Mt
0.1 (cid:26) (cid:27) (cid:26)
G − 197π+6i x5/2+ 43876092677 + 99 π2
D 0.0(cid:144) 42 1117670400 128
2c (cid:45)0.1 856 1712 428 428 (cid:27) (cid:21)
h(cid:43)(cid:137),(cid:45)0.2 −105γ− 105 ln(2)− 105ln(x)+ 105iπ x3
(cid:45)14 (cid:45)12 (cid:45)10 (cid:45)8 (cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 0
(7)
0.2
ot B
Mt 0.1 whereDisthedistancetotheobserver,andlogarithmicterms
G
0.0(cid:144) withafrequencyscalehavebeenabsorbedintothethephase.
D
Thecoalescencephaseofthequadrupolepointparticlewave-
2
hc(cid:43)(cid:137),(cid:45)(cid:45)00..21 oforbrmita,lφcPcoPal=escaerngcehPpPh(atsPceP)Φ,PisP.determined by a choice of the
(cid:45)14 (cid:45)12 (cid:45)10 (cid:45)8 (cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 0 c
0.2
2B
ot 0.1 B. Matchtopost-Newtonianpointparticle
Mt
0.0(cid:144)
D
(cid:43)(cid:137),(cid:45)0.1 TomatchthenumericaldatatothePPinspiralwaveform,a
h relativetimeshiftandarelativephaseshiftmustbespecified
(cid:45)0.2 by varying these parameters to obtain the best match. The
(cid:45)14 (cid:45)12 (cid:45)10 (cid:45)8 (cid:45)6 (cid:45)4 (cid:45)2 0
massesofthepointparticlesinthePPwaveformarefixedto
t (cid:45)tPP ms
c bethesameastheneutronstarsinthenumericalsimulations
–thegravitationalmassofisolated(TOV)neutronstarswith
(cid:72) (cid:76) the same number of baryons – and so masses are not varied
infindingthebestmatch. Withagoalofsignalanalysis, we
choosethetimeandphaseshiftbymaximizingacorrelation-
basedmatchbetweentwowaveforms.
Thecomplexnumericalrelativityderivedquadrupolewave-
form,h =hNR−ihNR,isconvolvedwiththecomplexpost-
NR + ×
Newtonianquadrupolewaveform,h =hPP−ihPPofEq.(7),
PP + ×
overagivenmatchingregionT <t<T .
I F
where M is the sum of the point masses. To first post- (cid:90) TF
tot z(τ;T,T )= h (t)h∗ (t−τ)dt. (8)
Newtonianorder,x∼M /rwhereristheorbitalradius. I F NR PP
tot TI
6
earlier end points until the segment of the waveform consid-
FIG. 3: Phase-optimized, time-limited match between numerical
eredbecomessoshortthattherangeofmatchingτ broadens
inspiral waveforms and point particle post-Newtonian waveforms.
significantly. The exception is the waveform of HB, which
Contours are shown at 0.95, 0.98, 0.99, and 0.997. as a function
was the first simulation of the series. HB exhibits somewhat
of match region truncation at some time before numerical merger,
T −t ,andrelativeshiftbetweennumericalandpointparticlewave- largereccentricity,anddriftinthebestmatchtimeshift,com-
F M
forms,tPP−t . Thestartofthematchisfixedto1.5msafterthe paredtotheotherwaveforms.
c M
startofthenumericalwaveform. Subsequentanalysisinthispaper For subsequent analysis, we choose to take τ maximizing
isdoneusingthebestmatchatafixedTF −tM of1.8msforeach the match for a region of the numerical waveforms between
waveform. 1.5ms after the start of the waveform and 1.8ms before nu-
mericalmerger. Varyingthedetailsofthischoicecanchange
7 7
thebestmatchτ byupto(cid:39)1ms. Bycomparison,onewave-
6 2H 6 formcycletakesbetween0.5and2msintheinspiralregion,
so this will be a significant source of uncertainty in SNR es-
5 5
timates. Longerormoreaccuratesimulationsarerequiredto
ms4 (cid:76) ms4 (cid:76) morepreciselyfixapost-Newtonianmatch.
(cid:72) (cid:72)
M M
t t
(cid:45) (cid:45)
PP 3 PP 3 H
tc HB tc
2 2 B C. Comparisonofwaveforms
1 2B 1
Unlikethecaseofmatchingbinaryblackholesimulations
0 0 to point particle post-Newtonian[44, 45], the binary neutron
(cid:45)6 (cid:45)5 (cid:45)4 (cid:45)3 (cid:45)2 (cid:45)1 0 (cid:45)5 (cid:45)4 (cid:45)3 (cid:45)2 (cid:45)1 0 starsimulationsshowdeparturefrompointparticlemanycy-
TF(cid:45)tM ms TF(cid:45)tM ms
clesbeforethepost-Newtonianmergertime. Fig.2showsthe
(cid:72) (cid:76) (cid:72) (cid:76) fourwaveformsshiftedsothebest-matchPPwaveformshave
the same tPP and φPP. As the stiffness of the EOS and thus
This quantity is similar to the complex matched filter output c c
the radius of the neutron stars, increases, the end of inspiral
oftheFINDCHIRPalgorithm[47].Therealpartofz(τ;TI,TF) for the binary neutron stars is shifted away from the end of
correspondstothecorrelationofthetwowaveformsasafunc-
inspiralforpointparticlepost-Newtonian.
tionofthetimeshiftτ.Theabsolutevalue|z(τ;T,T )|isthe
I F This can also be seen by plotting the instantaneous fre-
correlationmaximizedoveraconstantoverallphaseshift,and
quencyofthenumericalsimulationwaveformwiththesame
the argument is the overall phase shift required to so maxi-
time shifts, as in Fig. 4, which also shows more clearly the
mize. Anormalizedmatchbetweentwowaveformsis
difference in the post-merger oscillation frequencies of the
z(τ;T,T ) hyper-massive remnants, when present. The larger neutron
m(τ;T,T )= I F (9)
I F σ (0;T,T )σ (τ;T,T ) starproducedbythestiffEOS2Hhasaloweroscillationfre-
NR I F PP I F
quency than that from the medium EOS HB. The remnant
wherethenormalizingconstantsaredefinedby forms with a bar-mode oscillation stable over a longer pe-
riodthanthe∼ 10mssimulated. Thesignalfromsuchabar
(cid:90) TF modemaybeevenstrongerwhenthefulllifetimeisincluded,
σ2(τ;T,T )= |h(t−τ)|2dt (10)
I F although aspects of the physics neglected in this study will
TI
likelycomeintoplay. Informationthatcanbeextractedfrom
where h is either hNR, which defines σNR(τ;TI,TF), or hPP, thepresence(orabsence)andcharacteristicsofapost-merger
whichdefinesσPP(τ;TI,TF). oscillationsignalwouldcomplementtheinformationpresent
Theshiftτ maximizingthematchbetweentwowaveforms inthelateinspiral. Thisisanothersubjectforfuturestudy.
issensitivetotheportionofthenumericalwaveformmatched,
T < t < T . Some truncation of the numerical waveform
I F
is required to eliminate residual effects of initial data. One
D. Frequencyspectrumofwaveforms
wouldalsoliketotruncatethewaveformatsomepointbefore
the peak amplitude, at the end of the region without signifi-
Given h or h , one can construct the discrete Fourier
cantfinitesizeeffects. Todeterminewherethisregionis,we + ×
plotthematchbetweennumericalwaveformsasafunctionof transforms (DFTs) h˜+ or h˜×. Both polarizations yield the
boththeendpointofthematchT ,andtheshiftτ,measuring sameDFTamplitudespectrum|h˜|,withphaseshiftedbyπ/2,
F
quantitiesrelativetothepreviouslydefinedmergertimet of if one neglects discretization, windowing, and numerical ef-
M
eachnumericalwaveformandthePPcoalescencetimetPP so fects (including eccentricity). The amplitude spectrum |h˜| is
c
thatτ =tPP−t ,inFig.3. independentofphaseandtimeshiftsofthewaveform.
c M
Reassuringly,formostofthewaveforms,oncewetruncate The stationary phase approximation is valid for the post-
a millisecond or so before the numerical merger t , there is Newtonian waveform up to frequencies of about 1500Hz
M
aregionwheretherangeofwell-matchedshiftsτ showlittle (with <∼ 10% error), so is used to plot the amplitude of the
dependence on the exact end point T . This continues with point particle spectrum. In terms of an instantaneous fre-
F
7
quency
FIG.4:Time-frequencybehavior,verticallinemarkingsasprevious
figure. The departure from the point particle time-frequency rela- 1 dφ
f(t)= , (11)
tions,shownusingalong-dashedline,occursbetween700–1000Hz 2π dt
dependingonEOS.
theFouriertransformofthewaveformhastheamplitude
t(cid:45)tcPP c3 GMtot (cid:18)df(cid:19)−1/2
(cid:45)1000 (cid:45)800 (cid:45)600 (cid:45)400 (cid:45)200 0 200 |h˜|(cid:39)A(f) . (12)
7000 (cid:72) (cid:76) (cid:144) dt
2H
5000 Forbinariescomprisedofequalmasscompanions,thegravi-
3000 tationalradiationisdominatedbyquadrupolemodesthrough-
Hz2000(cid:76) outtheinspiral.Thewavephaseφisnegligiblydifferentfrom
f1500(cid:72) twice the orbital phase 2Φ until the onset of merger at very
1000 highfrequenciessowecanusetherelation
700 df 1 c3 3 dx
500 (cid:39) x1/2 ; (13)
(cid:45)14.(cid:45)12.(cid:45)10. (cid:45)8. (cid:45)6. (cid:45)4. (cid:45)2. 0. 2. 4. dt πGM 2 dt
(cid:45)1000 (cid:45)800 (cid:45)600 (cid:45)400 (cid:45)200 0 200
to write the amplitude of the Fourier transform entirely in
7000
H termsofthefunctionsdx/dtofEq.(5)andtheamplitudeof
5000
thepolarizationwaveformsA(f)=|h|inEq.(7).
3000 Thetranslationofemittedwaveformsintothestrainampli-
Hz2000(cid:76) tudemeasuredatadetectorinvolvestransformationsincorpo-
(cid:72)
f1500
ratingtheeffectsoftheemittingbinary’sangleofinclination
1000 andskylocation. Theseeffectsareabsorbedintoaneffective
700 distanceD ,whichisequaltotheactualdistanceDforabi-
eff
50(cid:45)014.(cid:45)12.(cid:45)10. (cid:45)8. (cid:45)6. (cid:45)4. (cid:45)2. 0. 2. 4. narywithoptimalorientationandskylocation,andisgreater
(cid:45)1000 (cid:45)800 (cid:45)600 (cid:45)400 (cid:45)200 0 200 thantheactualdistanceforasystemthatisnotoptimallyori-
7000 ented or located. The detector will detect a single polariza-
HB
5000 tionofthewaveform,somecombinationoftheplusandcross
polarizationsoftheemittedwaveform. Thepolarizationsex-
3000
Hz2000(cid:76) tractedfromthesimulationcanbeusedastwoestimatesofthe
f1500(cid:72) strainatthedetectorforagivennumericallymodelledsource,
whichgiveverycloseresultsandaresubsequentlyaveraged.
1000
Tocomparewithnoisecurvesintheusualunits,thequan-
700
tity f1/2|h˜(f)| is plotted, at a reference distance of D =
500 eff
(cid:45)14.(cid:45)12.(cid:45)10. (cid:45)8. (cid:45)6. (cid:45)4. (cid:45)2. 0. 2. 4. 100Mpcandrescalingfrompreviouslyplottednumericalout-
(cid:45)1000 (cid:45)800 (cid:45)600 (cid:45)400 (cid:45)200 0 200
puth(t)c2D/GM usingM =2.7M .
7000 tot tot (cid:12)
B Thefullspectraofmodels2H,H,HB,andB,seeninFig.5,
5000
showpeaksatpost-mergeroscillationfrequencies;thoseofH
3000 andBareweakerasthewaveformistruncatedshortlyafterthe
Hz2000(cid:76) formation of the hyper-massive remnant. Waveforms of 2H
(cid:72)
f1500
and HB are also truncated while the post-merger oscillation
1000 isongoing;ifthesimulationswereallowedtocontinue,these
700 peakswouldpresumablygrowfurther. Thesimulationof2B,
50(cid:45)014.(cid:45)12.(cid:45)10. (cid:45)8. (cid:45)6. (cid:45)4. (cid:45)2. 0. 2. 4. incontrast,collapsestoablackholeandhasonlyashortlived
(cid:45)1000 (cid:45)800 (cid:45)600 (cid:45)400 (cid:45)200 0 200 (andrelativelysmall-amplitude)quasinormalmoderingdown
7000 postmerger.
2B
5000 Note that time-frequency plots like the ones shown Fig. 4
showedthatnumericalwaveformsfollowthePPwaveformat
3000
Hz2000(cid:76) instantaneous frequencies of up to 700–1000Hz, depending
f1500(cid:72) on the EOS. The disagreement in the spectra in Fig. 5 from
thePPstationary-phaseapproximationwaveformatfrequen-
1000
ciesbelowthisisprimarilyduetothefinitestartingtimeofthe
700
500 numericalwaveforms. Toestimatespectrafromthefullinspi-
(cid:45)14.(cid:45)12.(cid:45)10. (cid:45)8. (cid:45)6. (cid:45)4. (cid:45)2. 0. 2. 4.
ral, we construct hybrid waveforms. The short-term numer-
t(cid:45)tcPP ms ical waveforms are are smoothly merged on to long-inspiral
(cid:72) (cid:76) PP-PNwaveformswithHannwindowingtosmoothlyturnon
(cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21)
1 πn
w(n)= 1−cos (14)
2 N −1
8
FIG.5: DFToffullnumericalwaveforms,ataneffectivedistanceD =100Mpc,comparedtonoisespectraforAdvancedLIGO(labelled
eff
“AdvLIGO” for the standard configuration and “Broadband” for the broad-band configuration) and the Einstein Telescope (labelled “ET”)
shownbythickgreylines. TheDFTofthenumericalwaveformsturnedoffaftert isshownbydot-dashedlines,thestationary-phasepoint
M
particleisshownbyadashedlineforreference. Thelowerrightfigureshowsacombinedplotofinspiral-truncatedwaveforms, smoothly
joinedontobest-matchPPinspiraltimeseriesbeforetheDFTistaken.
700 1000 1500 2000 3000 700 1000 1500 2000 3000
(cid:45)1212SHzh15217.....(cid:144)(cid:144)00050(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:74)(cid:78)1111100000(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)2222234334 2HA dvLIG O Broadband (cid:45)1212SHzh15217.....(cid:144)(cid:144)00050(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:74)(cid:78)1111100000(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)2222234334 A dHvLIG O Broadband
&3.0(cid:180)10(cid:45)24 &3.0(cid:180)10(cid:45)24
(cid:142)12hf21..(cid:144)05(cid:180)(cid:180)(cid:203)(cid:72)(cid:76)(cid:203)1100(cid:45)(cid:45)2244 ET 2Hinsp (cid:142)12hf21..(cid:144)05(cid:180)(cid:180)(cid:203)(cid:72)(cid:76)(cid:203)1100(cid:45)(cid:45)2244 ET Hinsp
f1.0(cid:180)10(cid:45)24 f1.0(cid:180)10(cid:45)24
700 1000 1500 2000 3000 700 1000 1500 2000 3000
f Hz f Hz
700 1000 1500 2000 3000 700 1000 1500 2000 3000
(cid:45)12z21..(cid:144)05(cid:180)(cid:180)(cid:78)1100(cid:45)(cid:45)2233 A dvLIG O (cid:72) (cid:76) (cid:45)12z21..(cid:144)05(cid:180)(cid:180)(cid:78)1100(cid:45)(cid:45)2233 A dvLIG O (cid:72) (cid:76)
12SHh157...(cid:144)000(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:74)111000(cid:45)(cid:45)(cid:45)222344 HB Broadband 12SHh157...(cid:144)000(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:74)111000(cid:45)(cid:45)(cid:45)222344 B Broadband
(cid:142)12hf&231...(cid:144)005(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:203)(cid:72)(cid:76)(cid:203)111000(cid:45)(cid:45)(cid:45)222444 ET HBinsp (cid:142)12hf&231...(cid:144)005(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:203)(cid:72)(cid:76)(cid:203)111000(cid:45)(cid:45)(cid:45)222444 ET Binsp
f1.0(cid:180)10(cid:45)24 f1.0(cid:180)10(cid:45)24
700 1000 1500 2000 3000 700 1000 1500 2000 3000
f Hz f Hz
700 1000 1500 2000 3000 600 8001000 1500 2000 3000
(cid:45)1212SHzh15217.....(cid:144)(cid:144)00050(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:74)(cid:78)1111100000(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)2222234334 A dvLI2GBO (cid:72) (cid:76)Broadband (cid:45)1212SHzh1517....(cid:144)(cid:144)0050(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:180)(cid:74)(cid:78)11110000(cid:45)(cid:45)(cid:45)(cid:45)22223434 (cid:72) (cid:76)
&3.0(cid:180)10(cid:45)24 & PP
(cid:76)(cid:203) 3.0(cid:180)(cid:76)(cid:203)10(cid:45)24
(cid:142)12hf21..(cid:144)05(cid:180)(cid:180)(cid:203)(cid:72)1100(cid:45)(cid:45)2244 ET 2Binsp (cid:142)12hf2.(cid:144)0(cid:180)(cid:203)(cid:72)10(cid:45)24 2H H HB B 2B
f1.0(cid:180)10(cid:45)24 f1.5(cid:180)10(cid:45)24
700 1000 1500 2000 3000 600 8001000 1500 2000 3000
f Hz f Hz
(cid:72) (cid:76) (cid:72) (cid:76)
orturnoff HorB,ratherthanattheexpectedintermediatevalue. Thisis
ascribed to the higher eccentricity and lower accuracy of the
(cid:20) (cid:18) (cid:19)(cid:21)
1 πn
w(n)= 1+cos (15) matchfortheHBwaveform.
2 N −1
asignaloverarangeofN points,0≤n<N (oroveratime
V. DETECTABILITY
N∆t). To construct hybrid waveforms, these windows are
usedtoturnonthenumericalwaveformasthematchedpost-
Newtonianisturnedoff,suchthatthesumofthetwowindow Thequestionforneutronstarastrophysicsiswhetherthese
functionsis1overthematchingrange. differencesinthewaveformwillbemeasurable. Weconsider
Although the post-merger oscillations are an interesting thepossibilityofdetectingEOSeffectswithAdvancedLIGO
source of potentially measurable strains, the dependence on styledetectorsinvaryingconfigurations.
thecoldEOSislessstraightforwardastemperatureeffectsbe- We use several detector configurations commonly con-
come significant during the the merger. We focus instead on sidered for Advanced LIGO include tunings optimized for
thesignalfromthewaveformsduringtheinspiralregiononly, 1.4M(cid:12) NS-NSinspiraldetection(“Standard”), forburstde-
turning off the waveforms after the end of inspiral, t . The tection(“Broadband”), andforpulsarsat1150Hz(“Narrow-
M
DFT amplitudes of inspiral-only hybrid waveforms are also band”). Thesensitivityisexpressedintermsoftheone-sided
plotted in Fig. 5 from the range of EOS considered. We see strain-equivalentamplitudespectraldensitySh(f)(whichhas
herethatHBisestimatedtodepartfromPPearlierthaneither unitsofHz−1/2)oftheinstrumentalnoiseinAdvancedLIGO.
9
We also consider a provisional noise curve for the Einstein
TABLE III: (cid:37) in standard (NS-NS detection optimized) noise
Telescope [48]. We consider only a single detector of each diff
×(100Mpc/D )
type,ratherthanacombinationofdetectors,forapreliminary eff
estimateofdetectability.
Model 2B B HB H 2H
Giventwosignalsh andh ,definetheusualinnerproduct
1 2
foragivennoisespectrumS (f)[49]: PP 0.32 0.45 0.55 0.46 0.69
h
2B 0 0.36 0.48 0.38 0.63
(h |h )=4Re(cid:90) ∞ h˜1(f)h˜∗2(f)df. (16) B 0 0.21 0.12 0.58
1 2 S (f) HB 0 0.27 0.60
0 h
H 0 0.58
Thisinnerproductyieldsanaturalmetriconaspaceofwave-
forms with distance between waveforms weighted by the in-
verse of the noise. We filter the detector output s against an
expectedwaveformhusing(s|h). Then TABLE IV: (cid:37) in broadband (burst-optimized) noise
diff
×(100Mpc/D )
eff
(s|h)
(cid:37)= (17)
(cid:112)(h|h) Model 2B B HB H 2H
PP 1.86 2.32 2.67 2.38 2.89
is the optimal statistic to detect a waveform of known form
2B 0 1.92 2.32 2.03 2.54
h in the signal s. If the detector output contains a particular
B 0 0.81 0.80 2.27
waveformhthatisexactlymatchedbythetemplateused,then
HB 0 1.28 2.37
theexpectationvalueof(cid:37)istheexpectedsignal-to-noiseratio
orSNRofthatwaveform: H 0 2.35
(cid:112)
(cid:37)= (h|h). (18)
Givenasignalh1tobeusedasatemplate,onecanconsider waveform should be measurable. The quantity (cid:37)diff between
whetheraknowndeparturefromthissignalcanbemeasured. theobservedwaveformandabestfitpointparticlewaveform,
Assumingthemodifiedwaveformh isknown, theexpected limited to differences at high frequency, may be useful in it-
2
SNRofh −h issimilarly selftoconstrainpossibleEOSwithoutreferencetowaveform
2 1
details.
(cid:112)
(cid:37) = (h −h |h −h ). (19)
diff 2 1 2 1
The two signals will be (marginally) distinguishable3. if the A. Parameterestimation
differencebetweenthewaveformshas(cid:37) ≥1.
diff
We analyse the measurability of the differences between We will assume that EOS effects on the waveform impact
hybridinspiral-onlywaveformsmatchedtopointparticlePN the late inspiral only. For simplicity, we assume that orbital
waveforms in the early inspiral. After the numerical wave- parameters, such as M , mass ratio η, point particle post-
tot
formshavebeenmatchedtothesamepost-Newtonianpoint- NewtoniancoalescencetimetPP,andphaseshiftφPP,arede-
c c
particleinspiral,thesignalswillbealignedintimeandphase. termined from the observations of the earlier inspiral wave-
We can then then compare the resulting waveforms to each form, with sufficient accuracy that their measurement uncer-
other, andtoaPN-onlywaveform, usingdifferentAdvanced tainty will not affect the accuracy to which the late inspiral
LIGOnoisespectra. effects determine the EOS parameters. These measurements
WereportresultsintermsoftheSNRmeasuredbyasingle would be made by a broad-band instrument, in which the
detectorataneffectivedistanceD =100Mpc. Resultscan signal-to-noiseratioisexpectedtobehigh(∼40at100Mpc)
eff
bescaledtoanydistance;aseachmeasuredh∝1/D,(cid:37) ∝ and measurement accuracy is expected to be good [49]. In-
diff
1/D. accuracies in these measurement could lead to biases in the
Thedifferencebetweenwaveformsduetofinitesizeeffects measured EOS. This will be an important aspect to assess
is not detectable in the NS-NS detection optimized configu- when high-quality binary neutron star simulations with vari-
rationofAdvancedLIGOfor∼ 100Mpceffectivedistances. ousmassesbecomeabundant.
However,inbothnarrowbandandbroadbandthedifferences With a one-parameter family of waveforms sampled, we
can be significant, and waveforms are distinguishable from canestimatetheaccuracytowhichthisparametercanbemea-
each other and from the PP waveform. Note that this im- sured. TherearealsootherEOS-relatedparameterswhichare
plies that even if the details of a NS-NS late inspiral signal notconsidered. Inthedirectanalysisofthemeasurabilityof
are not known, the difference between it and a point particle the EOS parameter p , we ignore variations of Γ within the
1
core.Correspondingly,intheanalysisofradiusmeasurement,
variationsoftheinternalstructuresareneglected. Expanding
coverage of the EOS parameter space is an ongoing project.
3Comparediscussionin[50]ofindistinguishability. However,theseinitialparameterchoicesareexpectedtogive
10
TABLEV:(cid:37)diffinnarrowband1150Hznoise×(100Mpc/Deff) TABLEVII:δlog(p1),wherep1ismeasuredindyncm−2,inbroad-
band(burst-optimized)noise×(D /100Mpc).Comparetherange
eff
Model 2B B HB H 2H inp1ofthecandidatesfromTableIandFig.1.
PP 0.91 2.75 3.69 2.65 2.12
Model 2B B H 2H
2B 0 1.92 2.92 1.82 1.45
2B – 0.10 0.20 0.32
B 0 1.14 0.22 1.43
B – 0.25 0.26
HB 0 1.34 2.25
H – 0.17
H 0 1.42
TABLE VI: δR (km) in broadband (burst-optimized) noise measurability as shown in Table VII for the burst-optimized
×(D /100Mpc) noiseconfiguration.
eff
Model 2B B H 2H
2B – 0.63 1.28 2.17 B. Somesourcesoferror
B – 1.74 1.89
H – 1.23 Wehavecavalierlyneglectedmanyhigherorderbutlikely
relevanteffectsinthispreliminaryanalysis.
Itispossiblethattidaleffectsmeasurablyinfluencetheor-
bital evolution before the start of the numerical simulations,
the dominant contributions to finite size effects of the wave-
asestimatedin[3],slowlyenoughnottobeseenoverthefew
form4.
cyclesofthewaveformmatchedtoPPinthisanalysis. Inone
Weestimateerrorsinparameterestimationtofirstorderin
sensethisanalysisisaworst-casescenario,asitassumesexact
1/(cid:37)or, equivalently, inδθA, usingtheFishermatrixΓ =
AB PP behavior before the numerical match. Earlier drift away
(∂ h|∂ h)[49]. Itsinverse,(Γ−1)AB,yields
A B from point particle dynamics would give larger differences
betweenwaveforms,andmoresensitiveradiusmeasurement,
δθAδθB =(Γ−1)AB (20)
butposesachallengebyrequiringaccuratenumericalsimula-
sothattheexpectederrorinagivenparameterθAis tionovermanycyclestoverifyEOSeffects. Combiningnu-
merical estimation with PN analyses like those of [3] and/or
(δθA)2 =(Γ−1)AA (21) quasiequilibriumsequenceinformationmayclarifythetransi-
tionbetweeneffectivelyPPandtidallyinfluencedregimes.
andthecrosstermsoftheinverseFishermatrixyieldcorrela-
Thewaveformsthemselveshavesomeresidualeccentricity
tionsbetweendifferentparameters.
frominitialdataandfinitenumericalresolution. Onecanesti-
Withafewsimulationsofvaryingparametervalue,wees-
mateeccentricityerrorbycomparingthepluspolarizationto
timate ∂h/∂p1 and ∂h/∂R from two of the sampled wave- thecrosspolarizationshiftedbyπ/2fromthesamenumerical
forms, h1 and h2. For a single parameter θ (which can be waveform. Thisresultsin(cid:37) of∼0.3forHBand2H,rather
diff
takentobeeitherp orR),wehave
1 thantheexpectedquadrupolepolarizationcross-correlationof
(cid:12) zero. (Theotherwaveformsproduce(cid:37) ∼0.05betweenpo-
∂h(cid:12)(cid:12) (cid:39) h2−h1 (22) larizations). diff
∂θ(cid:12) θ −θ
θ=(θ1+θ2)/2 2 1 The length of the inspirals, as discussed in the section on
PN matching, limits precision in choosing the best match
where h = h(θ ) and h = h(θ ), and then, for our one-
1 1 2 2
time.Wecanestimatetheseeffectsoncurrentresultsbyvary-
parameterfamilywhereweneglectcorrelationswithotherpa-
ingthematchregionconsidered; thischanges(cid:37) resultsby
rameters,wehavetofirstorder diff
upto∼ 0.5at100Mpcinthebroadbanddetector. Thereso-
(δθ)2 (cid:39) (θ2−θ1)2 . (23) lutionfromexistingnumericalsimulationsisthuscomparable
(h −h |h −h ) tothedifferencebetweenparametersofthethreeclosestmod-
2 1 2 1
els.
Using adjacent pairs of models to estimate waveform de-
Wehaveonlyacoarselysampledfamilyofwaveforms;es-
pendence at an average parameter value, we then find esti-
timates of ∂h/∂θ are limited by this. The value of (cid:37) for
mates of radius measurability as shown in Table VI and p diff
1 HB-BandH-HBshouldbehalfthatofH-B,butinsteadthey
are the same or greater—we are hitting the limit of numeri-
calandmatchingaccuracy. Wecanalsoestimatethevalidity
of the linear parameter dependence in the central models by
4 Forexample,usingthe1PNtidaleffectestimatesof[3,51]yieldsabout
comparingHBto(H+B)/2. Thisresultsin(cid:37) (cid:39) 0.8,an-
10%variationinthetidaltermscontributingtobindingenergyandlumi- diff
otherestimateofsystematicerror.
nosity from changing internal structure—varying the apsidal constant—
whilekeepingradiusfixed. We conclude that, although these are of course first esti-
