Table Of ContentФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.А. Берков
Математический практикум с применением пакета Maxima
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Это пока только первые (не законченные) наброски в пере-
воде учебного пособия из Mathcad на Maxima
Москва 2008
1
УДК 681.3.06
ББК 22.19
Берков Н.АПрименением пакета Maxima: Математический
практикум. – М: МГИУ, 2008. –89 с.
Учебное пособие предназначено для студентов высших тех-
нических учебных заведений и соответствует Государственному
образовательному стандарту.
В пособии подробно описываются возможности математи-
ческого пакета Maxima для решения различных математических
задач. Приведено большое количество примеров аналитического
и численного решения математических задач. По каждой приве-
денной в пособии теме предложено 30 вариантов заданий для са-
мостоятельной работы.
Может быть полезно аспирантам, преподавателям, инжене-
рам и научным работникам, применяющим Maxima.
Рецензенты:
д.ф-м.н., проф. Р.А. Васин, Зав. лаб. 206 Института механики
МГУ
к.п.н., доц. А.И. Архангельский, Доц. каф. Общей и при-
кладной математики МГИУ
Редактор
Подписано в печать Сдано в производство
Формат бумаги 60 x 90/16 Бум. множит.
Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тем. план 1999 г., № 1-13
Тираж 500 Заказ
РИЦ МГИУ , 109280, Москва, Автозаводская, 16
ISBN © Н.А. Берков, 2008
© МГИУ, 2008
2
Оглавление
Оглавление ...............................................................................3
1. Введение в Maxima..............................................................5
1.1. Интерфейс Maxima........................................................6
1.1.1. Главное меню Maxima........................................7
2. Задачи элементарной математики ...................................9
2.1. Вычисление арифметических выражений ...................9
2.2. Преобразование алгебраических выражений.............11
2.3. Построение графиков функций...................................19
2.4. Решение алгебраических уравнений и систем............29
3. Задачи линейной алгебры................................................37
3.1. Основные сведения о матричных операциях .............37
3.2. Решение типовых задач по линейной алгебре............45
4. Задачи математического анализа...................................52
4.1. Вычисление пределов числовых последовательностей
и функций ......................................................................................52
4.3. Дифференцирование функций одной переменной......56
4.4. Интегрирование функции одной переменной.............60
4.4.1. Неопределенные интегралы..................................60
4.4.2. Определенные интегралы .....................................61
5. Решение обыкновенных...................................................62
дифференциальных уравнений...........................................62
5.1. Решение задачи Коши ..................................................62
5.1.1. Решение задачи Коши методом Эйлера ..............63
5.1.2. Решение задачи Коши методом Рунге–Кутта
второго порядка........................................................................66
5.1.3. Решение задачи Коши методом Рунге–Кутта
четвертого порядка...................................................................67
3
5.1.4. Решение задачи Коши при помощи встроенных
функций.....................................................................................73
5.2. Решение краевой задачи...............................................75
Заключение.............................................................................87
Предметный указатель.........................................................88
Список литературы...............................................................89
4
1. Введение в Maxima
Maxima является универсальным математическим пакетом,
позволяющим решать большое количество сложных математиче-
ских задач без использования программирования. Существует две
идентичные версии пакета для ОС Windows и Linux.
Пакет Maxima разработан с учетом интересов простого
пользователя. Реализован интуитивно понятный интерфейс, ос-
новной упор сделан на наглядность и простоту работы со средой.
Разработчики сделали все возможное, чтобы пользователь не
чувствовал себя брошенным в чуждую и враждебную среду. Для
работы с Maxima достаточно базовых навыков пользователя.
Основным преимуществом Maxima являются:
широкие возможности;
простота и удобство эксплуатации;
легкость и наглядность программирования задач.
Maxima работает как интерпретатор. Все совершенные
пользователем ошибки немедленно помечаются. В любой момент
можно проверить значение конкретного параметра.
Пакет Maxima создавался как мощный научный калькуля-
тор, позволяющий легко справляться с вычислением сложных
формул и функций, решением алгебраических уравнений, упро-
щением алгебраических уравнений, решением дифференциаль-
ных уравнений, анализом функций, построением их графиков,
поиском экстремумов, численным и аналитическим дифференци-
рованием и интегрированием и тому подобного.
На текущий момент Maxima способен:
использоваться как обычный калькулятор для простых вы-
числений;
вычислять символьные выражения;
упрощать символьные выражения;
использоваться для вычисления интегралов и производных
функций;
решать системы линейных алгебраических уравнений, рабо-
тать с матрицами и определителями;
решать нелинейные алгебраические уравнения;
решать системы нелинейных алгебраических уравнений;
5
строить графики как в декартовых, так и в полярных коор-
динатах, различные диаграммы и гистограммы;
создавать программы с разветвляющимися и циклическими
алгоритмами, используя свой собственный язык программирова-
ния;
решать дифференциальные уравнения;
создавать документы, которые хорошо выглядят в отчетах.
Увы, к бочке меда прилагается и ложка дегтя. К сожалению,
имеющаяся сейчас в наличии версия Maxima пока еще должным
образом не русифицирована. В современных версиях языка
Maxima имеется достаточно подробная и удобная справочная ин-
формация, но она написана только на английском языке. Будем
надеяться, что в следующих версиях Maxima появится полноцен-
ная русифицированная справочная информация.
1.1. Интерфейс Maxima
Для запуска графической оболочки Maxima необходимо ли-
бо щелкнуть на пиктограмме , находящейся на рабочем
столе, либо в меню Пуск/Все программы/Maxima/wxMaxima. В
появившемся окне зайдем в пункт меню Правка и выберем ко-
манду – очисть экран. В результате на экране монитора появится
следующее окно.
6
Перед началом работы лучше выбрать имя файла и сохра-
нить документ.
Рассмотрим теперь главное окно Maxima. Оно является
стандартным для большинства приложений операционной систе-
мы Windows. Его условно можно разделить на шесть зон. Первая
зона состоит из строки заголовка в которой представлено версия
оболочки и имя открытого документа Maxima. Вторая зона со-
держит главное меню. В третьей зоне находятся рабочие инстру-
менты оболочки. При задержании курсора мыши на инструмен-
тах появляется подсказка о предназначении инструмента. Четвер-
тая зона является рабочим пространством, куда записывается
программа и комментарии к ней. В пятой зоне находится строка
ввода программы. В шестой зоне находятся командные кнопки
для генерации основных команд. И, наконец, седьмая зона со-
держит статусную строку, в которой отображается информация о
текущем состоянии программы.
1.1.1. Главное меню Maxima
Ниже строки заголовка расположена строка главного меню.
В строке меню сгруппированы все те действия, которые выпол-
няются в окне Maxima. При нажатии на любой пункт главного
меню появляется список меню первого уровня. Некоторые пунк-
ты меню первого уровня содержат подменю второго уровня. Та-
кие пункты помечены справа треугольником. Рассмотрим под-
робнее пункты главного меню.
В меню Файл сгруппированы дей-
ствия, связанные с открытием, сохране-
нием, загрузкой пакетов, печатью доку-
ментов, выходом из программы. Справа
от названия команд показаны «быстрые
клавиши» для вызова данных команд.
Команды, выделенные серым цветом, в
данный момент недоступны.
7
В меню Правка сгруппированы
действия, связанные с редактированием
текста, копированием и поиском в
документе. Название команд в данном
меню достаточно простые и обозначают
результат действия, которые выпол-
няются при нажатии на соответствующие
пункты меню. Например, команда
Перевычислить ввод (Ctrl+R) приме-
няется после редактирования некоторой
ранее введенной строки. После такого
редактирования необходимо пересчитать
все строки, результат в которых зависит
от исправленной строки. Данную
команду лучше подавать используя
комбинацию клавиш «Ctrl+R». При
помощи команд Уменьшить (Alt+O) и
Увеличить (Alt+I) можно изменить размер шрифта в рабочем
пространстве окна vxMaxima.
Другие пункты меню рассмотрим ниже по мере изучения
пакета Maxima.
8
2. Задачи элементарной математики
К задачам элементарной математики относятся:
Вычисление арифметических выражений.
Преобразование алгебраических выражений.
Построение графиков функций.
Решение уравнений и систем нелинейных алгебраических
уравнений.
Для того чтобы решить любую из этих задач, необходимо,
прежде всего, ввести соответствующее выражение в рабочий до-
кумент Maxima. Рассмотрим каждую из этих трех разнотипных
задач.
2.1. Вычисление арифметических выражений
Арифметические выражения вводятся в поле ввод. Приори-
тет и обозначение операций стандартный (как в Basic). Например:
После нажатия на клавишу Enter, получаем:
В строку с именем (%in) записывается выражение, а в стро-
ку (%on) – результат вычисления.
Если результат вычисления является дробное число, то по
умолчанию он выводится в виде дроби. Например, (4+3)/5, дает
7
результат . Чтобы получить результат в десятичном виде, не-
5
обходимо после выражения поставить запятую и команду numer.
Для задания количество символов в выводимом числе необходи-
9
мо подать команду fpprintprec : n. Где n – число символов в выво-
димом результате. Например
Если необходимо производить вычисления только в деся-
тичном формате лучше установить данный режим при помощи
команды numer:true. Результат этой команды можно отменить
командой numer:false.
Для сохранения результатов вычисления арифметических
операций можно использовать переменные. При этом знаком
присваивания является двоеточие. В одной строке можно исполь-
зовать несколько операторов присваивания, разделяя их запятой.
Нажав на значок , находящийся в правой позиции строки вво-
да, можно использовать многострочный ввод команд. Эту же ко-
манду можно выполнить при помощи комбинации клавиш
«Ctrl+I» или команды Правка/Длинный ввод из меню Правка. В
обычном и длинном вводе, на одной строке можно вводить не-
сколько команд разделяя их точкой с запятой.
Для примера рассмотрим пять
операторов присваивания.
Переменным a, b, c и d присваиваются
числовые значения, а переменной e
значение арифметического выражения.
После нажатия на командную кнопку OK, получаем:
10
