Table Of ContentMatrizenrechnung in der Baumechanik
Matrizenrechnung
in der Baumechanik
esc.
Dozent Ing. Karel Chobot,
1970
Springer-Verlag Wien· New York
SNTL· Verlag technischer Literatur· Prag
Titel der Originalausgabe:
Pouziti maticoveho poctu ve stavebni mechanice
erschienen 1967 im SNTL, Verlag technischer Literatur, Prag
(© 1967 by Doc. lng. Karel Chobot, CSc.)
Obersetzung aus dem Tschechischen: Prof. Dr. techno Josef Wanke, Prag
Gemeinschaftsausgabe
des Springer-Verlages Wien' New York
und des SNTL, Verlag technischer Literatur, Prag
Vertriebsrechte fi.ir aIle Staaten mit Ausnahme der sozialistischen Lander:
Springer-Verlag Wien' New York
Vertriebsrechte fi.ir die sozialistischen Lander:
SNTL, Prag
ISBN-13: 978-3-7091-5108-2 e-ISBN-13: 978-3-7091-5107-5
DOl: 10.1007/978-3-7091-5107-5
Aile Rechte vorbehalten
© 1970 by Springer-Verlag/Wien
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1970
Library of Congress Catalog Card Number 74-108261
Titel Nr. 9264
Vorwort
In der heutigen Zeit sind wir Zeugen einer stiirmischen Entwicklung
von Rechenautomaten. Die Folgen dieser neuen Rechentechnik greifen
in eine ganze Reihe von Fachgebieten ein, darunter natiirlich auch
in die Statik der Baukonstruktionen. Wo dem Ingenieur fruher nur
der logarithmische Rechenschieber und eine handbediente, bestenfalls
elektrische Rechenmaschine zur Verfiigung standen, kann er heute
bei seinen Berechnungen einen Rechenautomaten verwenden. Urn diese
modernen, schnellen und hinsichtlich der Verwendungsmoglichkeit
qualitativ andersartigen Rechenmaschinen am best en ausntitzen zu
konnen, mussen neue Wege mathematischer Formulierungen bau
mechanischer Probleme gesucht werden.
Man muB Berechnungsarten einfiihren, die die Verwendung von
Rechenautomaten bei verschiedenen Operationen gestatten, nicht
nur bei der Losung eines vom Statiker aufgestellten Systems linear~r
algebraischer Gleichungen. Die Rechnung muB so gestaltet werden,
daB der Automat aus einer kleinsten Anzahl von Eingaben nach einem
vorbereiteten Programm selbst z.B. die Bedingungsgleichungen aufstellt,
sie lost und aIle erforderlichen statischen und FormanderungsgroBen
berechnet, aIlenfaIls auch weitere Rechnungen durchfiihrt. Dann erst
sind die durch den Automaten gegebenen Moglichkeiten tatsachlich
okonomisch ausgenutzt. Es handelt sich also urn eine Berechnungsart,
bei der wir den Rechenautomaten nicht nur zur Mechanisierung der
Berechnungen des Ingenieurs, sondern tatsachlich zur Automatisierung
dieser Berechnungen verwenden.
Gerade die Matrizenrechnung ermoglicht durch knappe, allgemeine
und tibersichtliche mathematische Formulierungen der Probleme eine
soIche Berechnung. AuBerdem erleichtert die Matrizenschreibweise
die Rechnungen und verkiirzt wesentlich ihr Programmieren. In Matrizen-
6 Vorwort
schreibweise sind verschiedene theoretische Ableitungen leicht aus
fUhrbar; auch konnen Zusammenhange nachgewiesen werden, die
auf andere Weise nicht nachweisbar sind. Die Anwendung der Matrizen
rechnung hilft also auch bei verschiedenen theoretischen Dberlegungen
und Ableitungen, was ein weiterer Vorteil - und nicht der geringste -
der Matrizenrechnung ist.
Es war das Bestreben des Autors, in diesem Buche die Moglichkeit
der Matrizenformulierungen baumechanischer Berechnungen aufzu
zeigen. Da es sich urn eine EinfUhrung in das Studium der Matrizen
methoden handelt, wurden die Grundrechenmethoden der Statik der
Bauwerke in ihrer Gesamtheit annahernd in einem Umfange behandelt,
wie sie an .den Fakultaten fUr Bauingenieure def Technischen Hoch
schulen vorgetragen werden und in der Fachliteratur enthalten sind.
Unter den verschiedenen moglichen Ableitungen der Matrizen
formulierungen der einzelnen Methoden wurde die von der Matrizen
schrdibweise der Formanderungsarbeit ausgehende Art gewahlt. An
dieser Ableitung ist die Methodik der Matrizenbehandl~ng baumecha
nischer Probleme gut zu erkennen. AuBerdem ermoglicht sie auch die
Ableitung der Zusammenhange der einzelnen Methoden. Gleichzeitig
wird gezeigt, daB die Matrizenformulierungen der Berechnungsmethoden
nicht nur eine gute Grundlage fUr das Programmieren der statischen
Berechnungen bilden, sondern auch ein unschatzbares Hilfsmittel
bei der Behandlung theoretischer Fragen sind.
Die Bezeichnung der baumechanischen GroBen entspricht den
Gepfiogenheiten. Bei der Einfiihrung von MatrizensymboIen, fUr die
bisher keine Regeln festgelegt sind, hat sich der Autor von dem Grund
satz leiten lassen, im ganzen Buch jeden Buchstaben - soweit das
iiberhaupt moglich ist - nur einmal zu beniitzen, was jedoch zwangs
weise zur Verwendung mehrerer Indizes fUhrte. Urn SchiuBfoigerungen
der verschiedenen Kapitel vergleichen zu konnen, war diese Art not
wendig.
1m Grunde sind nur elementare Kenntnisse der Matrizenrechnung
erforderlich, die der Leser sich aus einigen Hauptwerken iiber Matrizen
rechnung, z.B. [18], [62], [65], aneignen kann. 1m ersten Kapitel ver
mittelt die Zusammenfassung der Hauptsatze der Matrizenrechnung
eine Dbersicht iiber die notwendigen Kenntnisse.
Da es in dies em Buch vor aHem urn die Anwendung der Matrizen
rechnung geht, werden einige Operationen ohne mathematischen
Beweis angefUhrt. Diese Beweise sind in den im Literaturverzeichnis
angefUhrten Schriften enthalten.
Vorwort 7
Auch in anderen Zweigen der Ingenieurwissenschaften wird die
Matrizenrechnung angewandt. Wenn die vorliegende Behandlung der
Grundfragen der Rahmenstatik in Matrizenform als Grundlage fUr das
weitere Studium dieser Probleme dient, ist ihr Zweck erfiillt.
Prag, im Juni 1970 K. Chobot
Inhaltsverzeichnis
Seite
Obersicht der Bezeichnungen . . . . . . . . 13
1. Grundbeziehungen der Matrizenrechnung. . . . . . . . . . 19
1.1. Einleitung ..................... . 19
1.2. Begriifsbestimmung der Matrix, Sondertypen, Determinanten 20
1.3. Grundoperationen der Matrizenrechnung 23
1.4. Rang der Matrix. . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5. Inverse Matrix .............. . 28
1.6. Transponierte, orthogonale, symmetrische Matrix 30
1.7. Charakteristisches Polynom der Matrix ..... 31
1.8. In Felder oder Blocke zerlegte Matrizen 32
1.9. Einige Beziehungen zur Bestimmung der inversen Matrix 34
1.10. Norm der Matrix .. 36
1.11. Matrizenreihen. . . . 38
1.12. Quadratische Formen. 39
2. Ausgangsvoraussetzungen 40
3. Formiinderungsarbeit und virtuelle Arbeit . 42
3.1. Matrizenformulierung der Formiinderungsarbeit 42
3.2. Siitze von Castigliano 51
3.3. Virtuelle Arbeit . . . 55
4. Deformationsmethode . 58
4.1. Ableitung der Gleichungen der Deformationsmethode in Matrizenform 58
4.2. Berechnung einer allgemeinen Konstruktion fUr stiindige Knoten-
belastung .................. . 74
4.3. EinfluB der StUtzensenkung . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4. Bestimmung der Komponenten der Knotenbelastung . . . . 83
4.5. Berechnung der resultierenden inneren Kriifte und der resultierenden
Formiinderung der Konstruktion 85
4.6. Berechnung der EinfluBlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Inhaltsverzeichnis
8eite
4.7. Vereinfachte Form der Deformationsmethode . . . . . . . . . .. 90
4.8. Obergang von der allgemeinen zur vereinfachten Form der Defor
mationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
4.9. Orthogonale Konstruktionen . . • . . . . . . . . . . . . . .. 105
4.10. Anderungen der Querschnittsabmessungen der Stabe und der inneren
Verbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
4.11. Bestimmung der inversen Matrix D-1 bei Anderungen der Elemente
in der urspriinglichen Matrix . . . . . 109
4.12. Anderungen der auBeren Verbindungen . 113
BeispieI4.1. . 116
BeispieI4.2. . . . . 126
5. KraftgroBenmethode 137
5.1. Ableitung der Matrizenform der KraftgroBenmethode 137
5.2. Erweiterte Matrizenform der KraftgroBenmethode . . 143
5.3. EinfIuB der Stiitzensenkung und Berechnung der Reaktionen. 148
5.4. Berechnung der Formanderung der Konstruktion. 154
5.5. Berechnung der EinfIuBlinien . . . 155
5.6. Statisch unbestimmte Grundsysteme . . . . . . 157
5.7. Reduktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.8. Vemachlassigung des EinfIusses der Normalkriifte 162
5.9. Obergang von der allgemeinen Methode zur Berechnung ohne Beriick-
sichtigung des EinfIusses der Normalkrafte 164
5.10. Verschiedene Erganzungen 167
Beispiel 5.1. • . . • • . . . . . . . . • 169
6. Beziehangen zwisc:hen KraftgroBen-and Deformationsmethode. 179
Beispiel 6.1. . . . . . . . . . . . . . . 188
7. Methode der Kriifte-und Momenteverteilung 192
7.1. Berechnung einer allgemeinen Konstruktion . 192
7.2. Berechnung einer orthogonalen Konstruktion ohne Beriicksichtigung
des EinfIusses der Normalkriifte . . . . . . . . . . . . . 195
7.3. Gestaltung derBerechnung zur Sicherung der Konvergenz. 198
7.4. Berechnung der Formanderung und der EinfIuBlinien . 205
BeispieI7.1. . . . 206
8. Weitere Methoden 212
8.1. Fortleitung der Deformationen 212
8.2. Gemischte Methode 215
8.3. Methode nach Kani 217
Beispiel 8.1. . 220
Beispiel 8.2. . . . . 222
Inhaltsverzeichnis 11
Seite
9. Der eingespannte Trager. . . . . . . . . . . . . . 225
9.1. Einleitung ... . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.2. Der beiderseitig vollkommen eingespannte gerade Stab 225
9.3. Der beiderseitig vollkommen eingespannte gekrUmmte Stab 232
9.4. Berechnung nach der erweiterten Form der KraftgroBenmethode . 233
9.5. Berechnung der Steifigkeiten ......... 235
9.6. Berechnung der Biegelinie und der inneren Krafte 237
9.7. Berechnung der frei aufliegenden Trager. 240
Beispiel 9.1. 243
Beispiel 9.2. . . . . . . . . . . . . . 250
10. Berechnung der Formiinderung des Stabes 253
10.1. Berechnung der ideellen Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
to.2. Berechnung der Biegemomente und der Biegelinie des frei aufliegenden
Tragers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11. Differenzenmethode . 264
11.1. Einleitung 264
11.2. Berechnung der Beanspruchung und Formanderung frei aufliegender
Trager . . . . . . . . . . . . . . . 264
11.3. Berechnung eingespannter gerader Stabe . . . . . . . . . . . . . 268
12. Raumliche Konstruktionen . . . . . . . 272
12.1. Grundfragen der Matrizenrechnung der riiumlichen Konstruktionen. 272
13. Vergleich der Matrizenrechnungsmethoden und ihre Bewertung hin
sichtlich der Moglichkeiten des Programmierens fur Rechenautomaten 287
14. Weitere Moglichkeiten der Verwendung von Matrizenrechnungen. 292
Literaturverzeichnis 295
Sachverzeichnis. . 299
Ubersicht der Bezeichnungen
Matrizen
A Statische Matrix. [Deformationsmethode, Gl. (158).]
B Geometrische Matrix. [Deformationsmethode, Gl. (158).]
C Nachgiebigkeitsmatrix. (S. 47.)
C Steifigkeitsmatrix. [Gl. (132).]
D Matrix der Beiwerte in den Bedingungsgleichungen der Defor
mationsmethode. [Gl. (125), (163).]
E Nicht verwendet.
F Matrix der Beiwerte in den Bedingungsgleichungen der Kraft
groBenmethode. [Gl. (289).]
G Matrix aus d.er erweiterten Form der KraftgroBenmethode.
[Gl. (307).]
H Matrix aus der erweiterten Form der KraftgroBenmethode.
[Gl. (307).]
Einheitsmatrix. [Gl. (8).]
J Matrix der Anteile _1_ Jv• [Gl. (550).]
EJ J
v j
K Transformationsmatrix in der vereinfachten Deformations
methode. [Gl. (230a).]
L Transformationsmatrix in der erweiterten KraftgroBenmethode.
[Gl. (313).]
M Matrix der Werte der Biegemomente beim frei aufliegenden
Trager. [Gl. (550).]
N Transformationsmatrix in der Deformationsmethode. [Gl.
(109), (159).]
o
Nullmatrix. [Gl. (9).]
.P Matrix der Komponenten der Knotenbelastung. [Gl. (88).]
Q Matrix aus der Verteilungsmethode. [Gl. (430).]
