Численные методы анализа и линейной алгебры. Использование Matlab и Scilab

324 Pages·2016·5.775 MB·Russian

by  Квасов Б.И.

Б. И. КВАСОВ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
MATLAB И SCILAB
ДОПУЩЕНО
УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по направлению «Математика»
САНКТ(cid:7)ПЕТЕРБУРГ•МОСКВА•КРАСНОДАР
2016
ББК 22.193я73
К 32
Квасов Б. И.
К 32 Численные методы анализа и линейной алгебры.
Использование Matlab и Scilab: Учебное пособие.— СПб.:
Издательство «Лань», 2016.— 328с.: ил.— (Учебники для ву"
зов. Специальная литература).
ISBN 978(cid:13)5(cid:13)8114(cid:13)2019(cid:13)3
В учебном пособии излагается ряд тем классического курса численного анализа:
компьютерная арифметика, решение нелинейных уравнений, интерполяция много"
членами Лагранжа, Ньютона, Эрмита и сплайнами, метод наименьших квадратов и
сплайн"сглаживание, численное дифференцирование и интегрирование. Рассмотрены
две основные задачи вычислительных методов линейной алгебры: решение систем
линейных уравнений прямыми и итерационными методами и отыскание собственных
значений и собственных векторов матриц. Ряд новых методов представлен впервые.
Основная цель пособия — помочь студентам и аспирантам в освоении совре"
менных численных методов, описав их в наиболее простой и доступной форме.
Изложение иллюстрируется примерами и сопровождается задачами для самосто"
ятельной работы читателей. Дается краткое введение в интерактивные системы Matlab
и Scilab, позволяющие организовать эффективный компьютерный практикум по
численным методам. Приведено описание восьми лабораторных работ. Даны тесты
для письменного экзамена по основам численных методов.
Пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей матема"
тических и физических факультетов университетов, технических вузов и колледжей.
Оно будет полезно научным работникам и инженерам"исследователям, а также всем,
имеющим дело с численными расчетами.
ББК 22.193я73
Рецензенты:
А. В. СТАРЧЕНКО — доктор физико"математических наук, профессор,
зав. кафедрой вычислительной математики и компьютерного моделирования,
декан ММФ Томского государственного университета;
Г. С. ХАКИМЗЯНОВ — доктор физико"математических наук, профессор,
ведущий научный сотрудник ИВТ СО РАН;
С. П. ШАРЫЙ — доктор физико"математических наук,
старший научный сотрудник ИВТ СО РАН.
Обложка
Е. А. ВЛАСОВА
© Èçäàòåëüñòâî «Ëàíü», 2016
© Á. È. Êâàñîâ, 2016
© Èçäàòåëüñòâî «Ëàíü»,
õóäîæåñòâåííîå îôîðìëåíèå, 2016
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Глава 1. Компьютернаяарифметика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1.1. Арифметика чисел с плавающей запятой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1.2. Ошибки, их источники и распространение . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 1.3. Интервальный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 1.4. Корректностьи устойчивость вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Глава 2. Решение одногонелинейного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.1. Задача о погружениишара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 2.2. Отделение корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 2.3. Метод деления отрезка пополам(метод проб) . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2.4. Метод хорд (метод ложного положения) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2.5. Обобщенныйметод хорд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 2.6. Метод Ньютона (метод касательных или линеаризации) . . . . . . . . . 31
§ 2.7. Модифицированный метод Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 2.8. Метод секущих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 2.9. Скорость сходимостиитерационных методов . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§ 2.10. Метод Ньютона для поиска кратных корней . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§ 2.11. Метод простойитерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§ 2.12. Метод Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 2.13. Метод Эйткена построения итераций высших порядков. . . . . . . . . . 43
§ 2.14. Вычисление многочленов.Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§ 2.15. Метод параболМюллера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Глава 3. Интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 3.1. Постановказадачи интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§ 3.2. Многочлены Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 3.3. Многочлены Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 3.4. Обобщенная схема Горнера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 3.5. ИнтерполяцияЭрмита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
§ 3.6. Сходимостьинтерполяционногопроцесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
§ 3.7. Многочлены Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Оглавление
Глава 4. Сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 4.1. Кусочно-линейная интерполяция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 4.2. Интерполяциякубическими лагранжевыми сплайнами . . . . . . . . . . 70
§ 4.3. Локальная аппроксимациякубическимисплайнами . . . . . . . . . . . . 72
§ 4.4. Сплайн Гриффина и эрмитовыкубические сплайны . . . . . . . . . . . . 73
§ 4.5. Интерполяционныйкубический сплайн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
§ 4.6. Алгоритм построения интерполяционногокубическогосплайна . . . . . 76
§ 4.7. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§ 4.8. Существование и единственность решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 4.9. Метод трехточечной прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 4.10. Корректностьи устойчивость метода прогонки. . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 4.11. Метод фронтальной прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
§ 4.12. Примерпостроения кубическогосплайна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
§ 4.13. Инвариантность интерполяционныхкубических сплайнов . . . . . . . . 87
§ 4.14. Оценки погрешностиинтерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
§ 4.15. Монотонные кубические сплайны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§ 4.16. Аппроксимация кубическимиВ-сплайнами . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Глава 5. Метод наименьших квадратов и сплайн-сглаживание . . . . . . . . . . . 99
§ 5.1. Постановказадачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
§ 5.2. Критерийнаименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
§ 5.3. Нормальная система методанаименьших квадратов . . . . . . . . . . . . 101
§ 5.4. Приближение многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
§ 5.5. Решение несовместных систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§ 5.6. Нелинейные зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 5.7. Приближение сплайнами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 5.8. Оптимизация приближения по МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 5.9. Формосохраняющаяаппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 5.10. МНК и регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
§ 5.11. Экстремальные свойства кубических сплайнов . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 5.12. Минимум регуляризирующегофункционала . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§ 5.13. Построениесглаживающего сплайна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 5.14. Метод пятиточечной прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 5.15. Корректностьи устойчивость пятиточечной прогонки . . . . . . . . . . . 120
§ 5.16. Выбор весовыхмножителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§ 5.17. Выбор параметра сглаживания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Глава 6. Численное дифференцирование и интегрирование . . . . . . . . . . . . . 125
§ 6.1. Некорректностьзадачи численного дифференцирования . . . . . . . . . 125
§ 6.2. Методы численного дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 6.3. О выборе шага численного дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 6.4. Простейшиеквадратурные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 6.5. ФормулыНьютона–Котеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 6.6. Оценки погрешностиквадратурных формул . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 6.7. Метод неопределенныхкоэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
§ 6.8. Квадратурные формулыГаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
§ 6.9. Специальные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Оглавление 5
§ 6.10. ФормулыГаусса–Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 6.11. Правило Рунге выбора шага численного интегрирования . . . . . . . . . 141
§ 6.12. Адаптивные квадратурные формулы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Глава 7. Решение систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 7.1. Методы решения систем линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 7.2. Нормывекторов и матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
§ 7.3. Плохо обусловленныесистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 7.4. Метод исключения Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 7.5. Матричная формулировкагауссова исключения . . . . . . . . . . . . . . 156
§ 7.6. Исключение с выборомведущего элемента . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
§ 7.7. Метод Холесского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 7.8. Поведение числа обусловленностиприматричных преобразованиях . . . 168
§ 7.9. Метод вращений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 7.10. Метод ортогонализации Грама–Шмидта . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 7.11. Метод отражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 7.12. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Глава 8. Итерационные методы решения систем линейных уравнений . . . . . . . 183
§ 8.1. Предобуславливание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 8.2. Метод одновременныхсмещений Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 8.3. Метод последовательныхсмещений Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§ 8.4. Метод верхней релаксации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 8.5. Метод простойитерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
§ 8.6. Метод Ричардсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
§ 8.7. Метод наискорейшего градиентногоспуска. . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 8.8. Регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Глава 9. Системы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§ 9.1. Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона . . . . . . . . . 202
§ 9.2. Метод простойитерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Глава 10. Решение задач на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 10.1. Задачина собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 10.2. Устойчивость задачи на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . 214
§ 10.3. Степенной метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§ 10.4. Метод исчерпывания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
§ 10.5. Метод вращений Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
§ 10.6. Метод вращений Гивенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
§ 10.7. Метод отражений Хаусхолдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
§ 10.8. QR-алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
§ 10.9. Метод Ланцоша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
§ 10.10.Сингулярноеразложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6 Оглавление
Ответы, указания, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Приложение 1. Краткое введение в Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
1. Начальные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2. Операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
3. Два вида арифметических операций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4. Операции над матрицам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5. Некоторые полезныефункции и циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6. Графика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Приложение 2. Краткая инструкция для работы в Scilab . . . . . . . . . . . . . . 267
1. Основыработы в Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
1.1. Элементарные математические выражения . . . . . . . . . . . . . 268
1.2. Элементарные математические функции . . . . . . . . . . . . . . 268
2. Программированиев Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
2.1. Операторприсваивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
2.2. Условныйоператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
2.3. Операторальтернативного выбора . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.4. Операторwhile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
2.5. Операторfor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3. Функции, определенныепользователем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
4. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5. Построение двумерныхграфиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6. Примерынаписания программв Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Приложение 3. Лабораторные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
№ 1. Решение одногонелинейного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
№ 2. Интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
№ 3. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
№ 4. Сглаживание кубическимисплайнами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
№ 5. Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
№ 6. Прямыеметоды решения систем линейных уравнений. . . . . . . . . . . . 297
№ 7. Итерационные методы решения систем линейных уравнений . . . . . . . . 301
№ 8. Решение задач на собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Приложение 4. Тесты для письменногоэкзамена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
ПРЕДИСЛОВИЕ
В течение многих лет автор читал лекции, проводил семинарские занятия
и руководил компьютерным практикумом по численным методам на механико-
математическом и физическом факультетах Новосибирского госуниверситета и
в Высшем колледже информатики НГУ. Данное пособие отражает накопленный
опыт преподавания курса численных методов и соответствует программе такого
курса в НГУ. Выбор материала сделан с учетом программы курса «Вычислитель-
ные методы линейной алгебры», читаемого на механико-математическом факуль-
тете НГУ. Большое внимание уделено примерам, иллюстрирующим применение
различных вычислительных процедур, с тем, чтобы облегчить студентам и аспи-
рантам понимание теоретического материала и привить им навыки квалифициро-
ванного использования численных методов.
Гл.1являетсявводной.Внейрассматриваютсявопросыкомпьютернойарифме-
тики.Изучаются некоторыеосновныепонятия,относящиесяк вычислениямс пла-
вающей запятой. Вначале обсуждается обычный способ аппроксимации системы
действительных чисел в компьютере, т.е. числа с плавающей запятой. Остальная
часть главы посвящена источникам ошибок в вычислениях с плавающей запятой,
интервальному анализу, корректности и устойчивости вычислительных алгорит-
мов, а также чувствительности задач к ошибкам округления.
Гл.2–6посвященычисленномуанализу,авгл.7,8и10описанывычислитель-
ные методы линейной алгебры. Книга содержит приложения с кратким введением
в интерактивные системы Matlab и Scilab. Приведено описание восьми лаборатор-
ных работ. Даны тесты для письменного экзамена и библиографический список.
Все рассматриваемые в пособии методы могут быть эффективно распараллелены
и использованы на многопроцессорных компьютерных системах [31].
В гл. 2 рассматриваются численные методы решения одного нелинейногоурав-
нения.Такиеуравнениявозникаютво многихфизическихзадачах.Излагаютсяос-
новные итерационные методы решения нелинейных уравнений, проводится анализ
их сходимости, дается их геометрическая интерпретация. Методы сравниваются
поскоростиихсходимости.Хотя большинствочисленныхметодоврешенияодного
нелинейного уравнения может быть интерпретировано как частные случаи метода
простой итерации, последний излагается позже с тем, чтобы вначале познакомить
студентов с методами, наиболее распространенными на практике. Таким образом,
изложение ведется от простого к сложному. Методы Чебышева и Эйткена постро-
ения итераций высших порядков описаны на основе метода простой итерации.
8 Предисловие
Рассмотрена процедура синтетического деления Горнера для вычисления значе-
ний многочленов и их производных. В заключение гл. 2 описан метод парабол
Мюллера, пзволяющий находить комплексные корни нелинейных уравнений при
выполнении вычислений в комплексной арифметике.
Гл. 3 дает описание интерполяции классическими многочленами Лагранжа,
Ньютона и Эрмита. Приводится обобщенная схема Горнера, позволяющая вы-
числять значения интерполяционного многочлена Ньютона и его производных за
минимальное число арифметических действий. Многочлены Эрмита излагаются
как обобщение многочленов Лагранжа. Рассмотрен вопрос сходимости интерпо-
ляционных процессов и приведены классические теоремы Вейерштрасса, Фабера
и Марцинкевича. Пример Рунге демонстрирует расходимость интерполяционного
процесса Лагранжа на равномерной сетке. Для улучшения ситуации предлагается
использовать интерполяцию по нулям многочленов Чебышева. Последние позво-
ляют минимизировать ошибки приближения многочленами Лагранжа.
Гл. 4 посвящена гладким кусочно-многочленным функциям, называемым
сплайнами. Рассмотрены кусочные многочлены Лагранжа, называемые лагран-
жевыми сплайнами. Подробно изучаются наиболее употребительные в приложе-
ниях лагранжевы сплайны, такие как кусочно-линейная интерполяция и кусочно-
кубические многочлены Лагранжа. Показано, как с помощью простых приемов
можно получить из последних их гладкие аналоги, известные как локально-
аппроксимационные сплайны. Рассмотрены сплайны Гриффина и эрмитовы сплай-
ны.Центральноеместовгл.4занимаетописаниеалгоритмовпостроенияинтерпо-
ляционныхкубическихсплайнов, играющих важнейшуюрольв приложениях.По-
казанаинвариантностькубическихсплайнов относительнопреобразований сдвига
и растяжения (сжатия). Получены оценки приближения интерполяционными ку-
бическими сплайнами. Для построения монотонных кубических сплайнов исполь-
зуются сплайны с весом, где последний выбирается обратно пропорциональным
дискретному градиенту сеточной функции. В заключение гл. 4 рассматривается
аппроксимация кубическими базисными сплайнами.
Вгл.5излагаетсяметоднаименьшихквадратов(МНК)полученияаппроксима-
ций в случае задания неточных данных. Рассмотрены нормальные системы МНК
наосновекак многочленов,таки базисныхсплайнов.Последниеприменяютсяпри
большом числе данных, когда затруднительно использовать для описания данных
одну формулу. На практике часто возникает задача проведения кривой в задан-
ном коридоре ошибок при известной допустимой погрешности исходных данных.
Для решения этой задачи применяетсясглаживающий сплайн, который возникает
при регуляризации МНК. Дано описание алгоритмов построения сглаживающих
сплайнов, включая выбор весовых множителей и параметра регуляризации (сгла-
живания).
В гл. 6 изучаются методы численного дифференцирования и интегрирования,
которые не только важны сами по себе, но и существенно используются при кон-
струировании методов численного решения дифференциальных и интегральных
уравнений. Рассмотрены наиболее употребительные на практике составные фор-
мулыпрямоугольников,трапецийиСимпсона.ПриводитсяобщийметодНьютона–
Котесапостроенияквадратурныхформулинтерполяционноготипа.Даютсяоценки
Предисловие 9
погрешности для этих методов. Квадратурные формулы Гаусса позволяют суще-
ственно повысить точность получаемых аппроксимаций за счет выбора неравно-
отстоящих узлов. Такие формулы также могут быть успешно использованы при
вычислении несобственных интегралов. Рассмотрено вычисление интегралов с
особенностями в подынтегральной функции. Приведены квадратурные формулы
Гаусса–Чебышева.Практическоеповышениеточностиполучаемыхаппроксимаций
достигается применением правила Рунге. Для построения адаптивных квадратур-
ныхформулавторомпредложенметод,основанныйнаконечно-разностнойаппрок-
симации нелинейной двухточечной краевой задачи.
Гл. 7 посвящена численному решению систем линейных алгебраических урав-
нений (СЛАУ). Излагается основной аппарат численных методов линейной алгеб-
ры.Вводятсяпонятиявекторнойиматричнойнорм,приведеныопределенияподчи-
ненной и согласованной матричных норм. Дается понятие обусловленности СЛАУ
и выводятся оценки числа обусловленности. Подробно изучается гауссово исклю-
чение, включая его матричную формулировку и алгоритм с выбором ведущих эле-
ментов. Для симметрических положительно определенных матриц изложен метод
квадратных корней (Холесского) и описаны особенности его работы для разре-
женных матриц. Исследовано поведение числа обусловленности при матричных
преобразованиях и показана несостоятельность гауссова исключения. Подробно
излагаются более устойчивые методы, основанные на ортогональных преобразова-
ниях: вращений, ортогонализации Грама–Шмидта и отражений. Отмечается, что
модифицированный метод Грама–Шмидта не всегда устойчив. Рассмотрено ис-
пользование ортогональных преобразований при решении задач МНК.
Вгл.8рассматриваютсяитерационныеметодырешенияСЛАУ.Дляподготовки
линейных систем к итерациям предлагается использовать предобуславливатели и
описана специфика таких преобразований. Изучаются итерационные методы Яко-
би, Зейделя и верхней релаксации. Дано описание методов простой итерации и
Ричардсона, метода наискорейшего градиентного спуска. Исследуется сходимость
этих методов. Для решения плохо обусловленных систем предлагается использо-
вать метод регуляризации.
Гл.9 посвященачисленномурешению систем нелинейныхуравнений.Рассмот-
рены методы Ньютона и простой итерации.
В гл. 10 излагаются методы решения задач на собственные значения. Вначале
изучается устойчивость задачи на собственные значения. Затем рассматриваются
классический степенной метод, а также обратный степенной метод со сдвигами и
метод исчерпывания. Для отыскания всех собственных значений и собственных
векторов симметрическихматриц средней размерностипредлагается метод враще-
ний Якоби. Доказывается сходимость этого метода. Для нахождения собственных
значений произвольной квадратной матрицы предлагается предварительно приве-
сти ее к верхней форме Хессенберга (или к трехдиагональной форме в случае
ее симметричности) с помощью вращений Гивенса или используя метод отраже-
нийХаусхолдера.ДалееприменяетсяклассическийQR-алгоритмсосдвигами.Для
приведениясимметрическойматрицыктрехдиагональнойформепредлагаетсятак-
же использовать метод Ланцоша, реализуемый по явным формулам. Этот метод
10 Предисловие
эффективнее применения матриц вращения и отражения. В заключение гл. 10
дается понятие сингулярного разложения произвольной прямоугольной матрицы.
В конце каждой главы приводятся задачи, которые могут быть использованы
как для проведения семинарских занятий, так и для самостоятельной работы чи-
тателей.Длябольшинствазадачприведеныответыикомментарии,адлянаиболее
трудных — подробные решения.
В прил. 1 и 2 дается краткое описание интерактивных систем Matlab и Scilab,
позволяющих организовать весьма эффективный компьютерный практикум по ме-
тодам вычислений. Практикум является неотъемлемой частью курса методов вы-
числений и должен привить студентам навыки их практического использования.
В прил. 3 дано описание восьми лабораторных работ по решению одного нелиней-
ногоуравнения,интерполяциимногочленамиЛагранжаиНьютона и кубическими
сплайнами, МНК и сплайн-сглаживанию, численному интегрированию, решению
систем линейных уравнений прямыми и итерационными методами, нахождению
собственных значений и собственных векторов матриц. Тесты для письменного
экзамена в прил. 4 могут быть использованы на экзамене по курсу численных
методов в качестве дополнительных вопросов к основному билету, содержащему,
как правило, теоретические вопросы.
Интерактивные технологии очень важны для эффективного обучения. Однако
чудеса техники еще не гарантируют этого. Необходима методическая поддержка
и повышение квалификации преподавателей. Данное пособие призвано в какой-то
степени восполнить этот пробел.
Автор выражает признательность профессорам А.В. Старченко, Г.С. Хаким-
зянову, С.П. Шарому и доценту В.Н. Берцуну, внимательно прочитавшим ру-
копись и сделавшим ряд полезных замечаний, позволивших существенно улуч-
шить изложение материала. Весьма полезны были обсуждения с В.И. Паасоне-
ным. О сплайнах Гриффина автор впервые узнал от академика А.Н. Коновалова.
Краткая инструкция для работы в интерактивнойсистемеScilab написанапрофес-
сором А.Д. Рычковым.
Выражаю глубокую благодарность моему учителю академику Николаю Нико-
лаевичу Яненко, который умел находить нехоженые тропинки в мире науки и
указал мне на некоторые из них: метод расщепления, схемы повышенной точно-
сти, сплайны, метод конечных элементов, алгоритмы распараллеливания вычис-
лений. Я выбрал тропинку с названием сплайны и иду по ней всю мою жизнь.
На начальном этапе этого пути моим проводником в мире сплайнов был профес-
сор Ю.С. Завьялов. Я благодарен всем моим коллегам за благожелательность и
сотрудничество.
Новосибирск, март 2015