Вычисления и приближение данных в MATLAB

299 Pages·7.419 MB·Russian

by  Ануфриев И.Е.

Ануфриев Игорь Евгеньевич

Вычисления и приближение

данных в MATLAB

1
Ануфриев Игорь Евгеньевич

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Прикладная математика" Санкт-
Петербургского государственного политехнического университета.
Автор нескольких учебных пособий по MatLab.

http://amd.stu.neva.ru/anufriev/anufriev.htm

В разделе "Вычисления и приближение данных в MATLAB" размещаются материалы по следующим темам:
 Интерполяция и приближение данных.
 Решение трансцендентных и алгебраических уравнений.
 Решение систем линейных алгебраических уравнений.
 Задачи на собственные значения.
 Вычисление определенных интегралов.
 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.
Для решения перечисленных задач рассматривается применение средств MATLAB, а так же используемые в функциях
MATLAB методы и алгоритмы. Изложение сопровождается теоретическими сведениями и необходимыми знаниями MATLAB.
Разбираются типичные ошибки при решении вычислительных задач.

2
Материалы раздела:
Обзор средств MATLAB и ToolBox'ов для приближения данных.
Средства MATLAB.
Приложение Basic Fitting
Запуск приложения Basic Fitting и его основные компоненты.
Приближение данных полиномами по методу наименьших квадратов и
сплайнами в приложении Basic Fitting.
Сохранение приближений и их значений в рабочей среде MATLAB и
некоторые операции с ними.
Работа с несколькими наборами данных.
Какие функции MATLAB и методы используются в приложении Basic Fitting.
Приближение полиномами в смысле наименьших квадратов.
Задача о приближении данных полиномом в смысле наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов.
Когда функция polyfit выдает предупреждения, плохая обусловленность,
центрирование и масштабирование данных.
Операции с полиномиальными приближениями.
Работа с разбросанными данными.
Нахождение выпуклой оболочки множества точек и ее визуализация
Триангуляция Делоне
Построение диаграммы Вороного
Как связаны выпуклая оболочка, триангуляция Делоне и диаграмма
Вороного
Нахождение площади многоугольника и пересечения четырехугольников
Нахождение ближайшей точки и симплекса, содержащего точку
Приближение разбросанных данных
Основы работы в Curve Fitting Toolbox.
Обзор возможностей и средств Spline Toolbox 3.2.
Функции для аппроксимации и интерполирования.
Функции для конструирования сплайнов.
Функции для выполнения операций над сплайнами и визуализации сплайнов.
Функции для работы с узлами, точками разрыва и полюсами интерполяции.
Функции для метода коллокаций и работы с почти блочно-диагональными
матрицами.
Приложения для изучения сплайнов, интерполяции и аппроксимации.
Назначение и возможности приложения Spline Tool
Запуск приложения Spline Tool. Импорт данных.
Импорт данных из массивов
Импорт данных из текстовых и двоичных файлов
Импорт функций, заданных аналитической зависимостью
Приближение и интерполяция данных
Приближение кубическими сплайнами
Граничные условия not-a-knot (отсутствие узла)
Граничные условия clamped и complete (условия на первую производную)
Граничные условия second (условия на вторую производную)
Граничные условия natural или 'variational' (естественные)
Граничные условия periodic (периодические)
Граничные условия Lagrange
Граничные условия custom (произвольные)
Приближение сглаживающими сплайнами
Интерполяция кубическими сплайнами, функция csape
Задание граничных условий в функции csape
Функция csapi для интерполяции с условиями отсутствия узла (not-a-knot)
Другие типы интерполяции в MATLAB
Интерполяция кусочными полиномами Эрмита
3
Построение интерполяционных сплайнов в B-форме
Интерполирование при помощи функции spapi
B-форма, базисные сплайны
Выбор узлов B-сплайнов
Интерполирование B-сплайнами с заданными значениями производных
Интерполяция функций интерполяционными полиномами
Задача интерполяции функции, интерполяционные полиномы
Интерполяционный полином в форме Лагранжа
Вывод формулы
Вычисление интерполяционного полинома в форме Лагранжа
Ошибка интерполяции, чебышевские узлы
Сходимость интерполяционного полинома
Интерполяционный полином в форме Ньютона
Разделенные разности и некоторые их свойства
Получение интерполяционного полинома в форме Ньютона
Алгоритм вычисления интерполяционного полинома в форме Ньютона
Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов
Получение интерполяционного полинома в символьном виде и его коэффициентов
Вычисление коэффициентов кубических полиномов Эрмита и кубических сплайнов
Вычисление коэффициентов полиномов Эрмита
Вычисление коэффициентов кубического сплайна
Ошибка интерполяции кубическими сплайнами
Ошибка интерполяции функции
Аппроксимация производных
Решение трансцендентных и алгебраических уравнений
Решение уравнений, функции fzero и roots
Почему возникает задача о приближенном нахождении корней
В чем заключается задача о численном решении уравнений
Отделение корней
Основные способы обращения к fzero
Способы задания уравнения для fzero
Решение уравнения, зависящего от параметров
Интерфейс fzero, получение информации о вычислениях,
параметры вычислительного процесса
Выходные аргументы fzero
Входные аргументы fzero
Прерывание работы fzero, пример приложения с кнопкой Stop
Алгоритм, по которому работает fzero
Поиск в fzero интервала, содержащего корень
Алгоритм уточнения корня в fzero
Отличие fzero от fsolve для решения уравнений вида f(x)=0
Поиск корней полиномов
Решение систем линейных алгебраических уравнений и спектральных задач
Обзор возможностей MATLAB для решения систем линейных алгебраических
уравнений
Решение систем при помощи знака обратной косой черты
Матричные разложения Холецкого, LU и QR
Алгоритм решения системы линейных уравнений при помощи знака обратной
косой черты
Функция linsolve для решения систем линейных уравнений
Влияние обусловленности матрицы на точность решения системы с ней
Получение неравенства для ошибки, согласованная норма матрицы, подробнее про norm и
cond
Матричные разложения
Список литературы
MathWorks: Documentation (Release 14) \ Вычисления и приближение данных в MATLAB

4
5
Spline Toolbox
Обзор средств MATLAB и ToolBox'ов для приближения данных
MATLAB и ряд ToolBox'ов предоставляют широкие возможности для приближения и интерполяции одномерных и многомерных
данных. Причем эти возможности реализованы на различных уровнях: от достаточно простых средств графического окна для
приближения уже визуализированных данных, до специальных функций MATLAB и ToolBox'ов, включая среды с графическим
интерфейсом пользователя, которые позволяют импортировать данные, производить их предварительную обработку и
сглаживание, приближать и интерполировать данные различными методами. В состав MATLAB входят функции для решения
некоторых задач вычислительной геометрии. Функции MATLAB и ряда ToolBox'ов позволяют решать следующие задачи:
 приближение полиномами по методу наименьших квадратов;
 интерполяция одномерных данных сплайнами;
 приближение сглаживающими сплайнами;
 приближение сплайнами в смысле наименьших квадратов;
 интерполяция и приближение двумерных и многомерных данных сплайнами, являющимися тензорным
произведением одномерных сплайнов;
 сглаживание сплайнами типа тонких пластин;
 приближение рациональными сплайнами;
 построение выпуклой оболочки двумерных и многомерных данных;
 построение триангуляции Делане на плоскости и в N-мерном пространстве;
 построение диаграммы Вороного на плоскости и в N-мерном пространстве;
 нахождение ближайшей точки;
 приближение разбросанных данных;
 построение линейных и нелинейных параметрических моделей для приближения данных (решение задачи о подборе
параметров в одной из стандартных моделей или заданной пользователем и оценка качества приближения).
Перед приближением данных параметрической или непараметрической моделью возможна их предварительная обработка:
исключение данных вручную или по некоторому критерию, задание различных весов.
Имеются средства для сглаживания данных при помощи фильтрации или локальной регрессии.
Построив интерполянт или параметрическую модель, легко производить с ними различные действия: при помощи функций
MATLAB и ToolBox'ов:
 визуализировать
 интегрировать и дифференцировать
 вычислять значения в различных точках
Мы рассмотрим применение базовых средств и встроенных функций MATLAB, а также Spline ToolBox и Curve Fitting ToolBox
для решения задач о приближении данных. Часть функций и средств MATLAB и перечисленных ToolBox'ов дублируют друг
друга. Например, некоторые задачи, в которых требуется интерполяция сплайнами, могут быть решены как при помощи
встроенных функций MATLAB, так и в Curve Fitting ToolBox и Spline ToolBox.
В справочной системе по MATLAB и ToolBox'ам сведения об интерполяции и приближении данных размещены в следующих
разделах (вкладка Contents):
 MATLAB: Examples: Mathematics: гиперссылки в правом окне в разделе Polynomials and Interpolation - приближение
многомерных данных.
 MATLAB: Examples: Mathematics: гиперссылки в правом окне в разделе Data Analysis and Statistics - приближение
полиномами в смысле наименьших квадратов, приближение экспоненциальными моделями, использование средства
Basic Fitting из графического окна.
 MATLAB: Mathematics: Polynomials and Interpolation: Polynomials: Polynomial Curve Fitting - приближение полиномами
по методу наименьших квадратов.
 MATLAB: Mathematics: Polynomials and Interpolation: Interpolation - обзор функций MATLAB для интерполяции данных,
интерполяция одномерных данных при помощи сплайнов и дискретного преобразования Фурье, интерполяция
двумерных данных и сравнение различных способов (по ближайшему соседу, билинейная и бикубическая
интерполяция), интерполяция разбросанных данных.
 MATLAB: Mathematics: Data Analysis and Statistics: Data Preprocessing - проверка отсутствующих данных и их
удаление, удаление выбросов из данных.
 MATLAB: Mathematics: Data Analysis and Statistics: Regression and Curve Fitting - полиномиальная регрессия,
множественная регрессия (без применения специальных функций MATLAB).
 MATLAB: Mathematics: Data Analysis and Statistics: Case Study: Curve Fitting - приближение полиномиальной и
экспоненциальной моделями в смысле наименьших квадратов.
6
 MATLAB: Functions -- Categorical List: Mathematics: Interpolation and Computational Geometry - интерполяция
одномерных, двумерных и многомерных табличных данных, построение выпуклой оболочки множества точек на
плоскости и в N-мерном пространстве, построение триангуляции Делоне и диаграммы Вороного на плоскости и в N-
мерном пространстве, поиск ближайшей точки и симплекса, содержащего заданную точку, интерполяция
разбросанных данных.
 Spline ToolBox - интерполяция и сглаживание сплайнами в кусочно-полиномиальной и B-форме, переход от одной
форме к другой, выбор "хороших" (это не термин, подробнее написано в разделе, посвященном Spline ToolBox) узлов
и полюсов интерполяции, приближение сплайнами по методу наименьших квадратов, построение сплайнов типа
тонких пластин, рациональных сплайнов, визуализация сплайнов, их интегрирование и дифференцирование,
нахождение их корней и экстремумов, описание графических оболочек, входящих в состав Spline ToolBox.
Подробнее про возможности Spline ToolBox написано в разделе Обзор возможностей и средств Spline Toolbox 3.2.
 Curve Fitting ToolBox - предварительная обработка и сглаживание данных, приближение данных линейными и
нелинейными параметрическими и непараметрическими (интерполяционные и сглаживающие сплайны) моделями,
анализ качества приближений, вычисление их характеристик, визуализация данных и полученных моделей. Описана
работа как в приложении с графическим интерфейсом, так и использование функций Curve Fitting ToolBox.
Подробнее про возможности Curve Fitting ToolBox будет написано в разделе Обзор возможностей и средств Curve
Fitting ToolBox 1.1.
 Statistics ToolBox.
Также полезно посмотреть демонстрации (вкладка Demos в окне справочной системы):
 MATLAB: Mathematics: Optimal Fit of a Non-linear Function - объяснено решение задачи о нахождении параметров,
линейно и нелинейно входящих в параметрическую модель, при помощи построения целевой функции ошибки
приближения и ее минимизации с использованием функции fminsearch пакета MATLAB.
 MATLAB: Mathematics: Tessellation and Interpolation of Scattered Data - рассмотрено построение выпуклой оболочки в
трехмерном случае, триангуляции Делоне, построение диаграммы Вороного и интерполяция трехмерных
разбросанных данных, включая визуализацию.
 MATLAB: Mathematics: Splines in Two Dimensions - разбирается построение двумерных сплайновых кривых при
помощи базовых функций MATLAB.
 ToolBoxes: Curve Fitting - два фильма, демонстрирующих использование графической оболочки Curve Fitting Tool для
импорта и сглаживания данных, а также подбор параметров в заданной пользователем модели.
 ToolBoxes: Spline - пятнадцать демонстраций, включая простые примеры, объяснение кусочно-полиномиальной и B-
формы сплайнов, интерполирование и сглаживание кубическими сплайнами, построение сплайновых кривых,
аппроксимация двумерных данных тензорным произведением сплайнов, применение сплайнов для решения
граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, эксперименты с приближениями различными
сплайнами и эксперименты с узлами B-сплайнов.
Средства MATLAB
В набор базовых функций MATLAB включены функции и средства для решения следующих задач: приближения данных
полиномами в смысле наименьших квадратов, интерполирования одномерных и многомерных данных сплайнами,
интерполяция разбросанных данных и решение некоторых задач вычислительной геометрии. Используя функции
минимизации MATLAB, довольно просто самостоятельно реализовать подбор параметров в нелинейной модели.
Сначала рассмотрим решение задачи о приближении одномерных данных при помощи самого простого, но вполне
функционального средства - Basic Fitting, доступного из меню графического окна.
Приложение Basic Fitting
Это приложение предоставляет простой графический интерфейс к некоторым функциям MATLAB, предназначенным для
приближения данных и позволяет интерполировать одномерные данные кубическими сплайнами, сплайнами, сохраняющими
форму и монотонность данных (кубическими полиномами Эрмита) и приближать данные полиномами в смысле наименьших
квадратов. График полученного приближения выводится на оси графического окна. Кроме того, возможно вычислить норму
ошибки и построить график распределения ошибки, а так же вычислить значение приближающей функции в заданных
точках. Одновременная работа может вестись с несколькими наборами одномерных данных. Разумеется, для оформления
графиков доступны все стандартные средства графического окна. Средства приложения Basic Fitting позволяют
экспортировать информацию о построенном сплайне или полиноме в рабочую среду MATLAB в виде структуры со значениями
коэффициентов полинома или информацией о сплайне. Вычисленные значения сплайна или полинома могут быть также
экспортированы в рабочую среду. Эти данные могут быть использованы в рабочей среде для последующих действий с
построенным приближением функциями MATLAB и ToolBox'ов.
Запуск приложения Basic Fitting и его основные компоненты
Запуск приложения Basic Fitting выполняется из меню Tools графического окна в пункте Basic Fitting. Поэтому для запуска
приложения сначала желательно визуализировать данные. Пусть, например, наши данные заданы двумя массивами x и y
следующим образом:
x = 0:0.25:2;
7
y = sin(exp(x));
Построим их график круглыми маркерами, используя функцию plot:
plot(x, y, 'o')
и запустим приложение Basic Fitting из меню Tools графического окна:

Рядом с графическим окном появляется окно приложения Basic Fitting с панелью Plot Fits, набор данных получает имя data1 и
в графическом окне появляется легенда. Основные элементы окна приложения Basic Fitting приведены на рисунке:
8
Раскрывающийся список Select Data содержит только одну строку, поскольку в графическом окне на осях построен один
набор данных, которому автоматически присвоено имя data1 (его можно изменить, см. Работа с несколькими наборами
данных).
Установка флага Center and Scale X Data позволяет при вычислениях использовать отмасштабированные данные с нулевым
средним и дисперсией равной 1 для уменьшения вычислительной ошибки.
На панели Plot Fits расположены флаги для выбора типа приближения см. Какие функции MATLAB и методы используются в
приложении Basic Fitting:
 spline interpolant - для интерполяции данных кубическими сплайнами с граничными условиями отсутствия узла.
 shape-preserving interpolant - для интерполяции данных кусочными полиномами Эрмита, сохраняющими форму.
 linear, quadratic, qubic, 4th degree polynomial, ... , 10th degree polynomial - для приближения данных полиномами от
первого до 10-го порядка в смысле наименьших квадратов (полиномиальная регрессия).
Установка флага Show equation приводит к отображению в графическом окне формулы полинома с числом значащих цифр в
коэффициентах, указанном в списке Significant digits (это работает только для полиномов при приближении по методу
наименьших квадратов, а при интерполяции сплайнами выводится только тип сплайна).
Для вывода графика ошибки следует установить флаг Plot residuals и определить способ в первом под этим флагом
раскрывающемся списке:
 Bar plot - столбцевой диаграммой.
 Scatter plot - маркерами-точками.
 Line Plot - ломаной линией.
Разумеется, для сплайнов, норма ошибки приближения должна быть нулевой (или очень малой, что связано с погрешностью
вычислений), поскольку как кубический сплайн так и сплайн, сохраняющий форму, являются интерполяционными сплайнами
и их значения совпадают в полюсах интерполяции с значениями данных.
График ошибки приближения выводится в том же самом графическом окне на дополнительные нижние оси, т.к. в нижнем
раскрывающемся списке по умолчанию стоит Subplot. Если требуется получить распределение ошибки приближения в
отдельном окне, то следует выбрать в нем Separate figure.
9
Для отображения численного значения ошибки в евклидовой норме (корень из суммы квадратов разностей значений данных
и приближающего их полинома) на осях с графиком ошибки, следует установить флаг Show norm of residuals.
В правом нижнем углу окна находится кнопка для отображения панели Numerical results, при ее нажатии данная панель
оказывается справа от Plot Fits:

Панель Numerical Results позволяет выбрать тип приближения в раскрывающемся списке Fit и посмотреть на коэффициенты
полинома и ошибку приближения в евклидовой норме в окне Coefficients and norm of residuals.
Полученные результаты можно сохранить в виде переменных в рабочей среде MATLAB при помощи кнопки Save to workspace
(она сейчас недоступна, поскольку пока мы не построили ни одного приближения).
Кнопка служит для скрытия панели Numerical Results, а кнопка предназначена для раскрытия последней панели Find
Y=f(X) приложения Basic Fitting, служащей для вычисления значений построенного сплайна или полинома и сохранения
результатов в переменных рабочей среды MATLAB. При нажатии на эту кнопку справа появляется панели Find Y=f(X) и окно
приложения Basic Fitting приобретает вид:
10