Table Of ContentМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Пермский национальный исследовательский
политехнический университет»
А.Л. Гольдштейн
ОПТИМИЗАЦИЯ В СРЕДЕ MATLAB
Утверждено
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Издательство
Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2015
УДК 004.422.8:519.873(075.8)
Г63
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, директор по корпоративному обучению
и научной деятельности А.Н. Румянцев
(ООО «Парма-Телеком»)
д-р техн. наук, профессор Ю.Н. Хижняков
(Пермский национальный исследовательский
политехнический университет)
Гольдштейн, А.Л.
Г63 Оптимизация в среде MATLAB: учеб. пособие / А.Л. Гольд-
штейн. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. –
192 с.
ISBN 978-5-398-01361-0
Рассмотрены возможности системы компьютерной математики
MATLAB в части решения оптимизационных задач. Достаточно под-
робно описаны функции пакетов расширения Toolbox Optimization и
Toolbox Global Optimization. Приведены многочисленные примеры ре-
шения задач оптимизации в режиме командной строки, иллюстрирован-
ные двумерными и трехмерными графиками, а также задания для вось-
ми лабораторных работ.
Предназначено для студентов (бакалавров и магистров), изучаю-
щих курс «Методы оптимизации». Также может быть полезно тем, кто
сталкивается с необходимостью решать задачи оптимизации.
УДК 004.422.8:519.873(075.8)
ISBN 978-5-398-01361-0 © ПНИПУ, 2015
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................................................................5
1. Одномерная минимизация в MATLAB..................................................7
2. Безусловная минимизация функций многих
переменных.................................................................................................11
2.1. Функция fminunc.............................................................................11
2.2. Функция fminsearch.........................................................................17
Лабораторная работа № 1. Одномерная и безусловная
оптимизация............................................................................................20
3. Условная оптимизация..........................................................................21
Лабораторная работа № 2. Условная оптимизация.............................40
4. Глобальная оптимизация.......................................................................41
4.1. Метод GlobalSearch.........................................................................41
4.2. Метод MultiStart...............................................................................50
Лабораторная работа № 3. Исследование методов GlobalSearch
и MultiStart..............................................................................................69
4.3. Метод Direct Search.........................................................................70
4.4. Метод Simulated Annealing.............................................................87
Лабораторная работа № 4. Исследование методов
прямого поиска и отжига.......................................................................98
4.5. The Genetic Algorithm....................................................................100
4.6. Сравнительная характеристика решателей.................................116
Лабораторная работа № 5. Генетический алгоритм..........................117
5. Многокритериальная оптимизация....................................................119
5.1. Функция gamultiobj.......................................................................119
5.2. Метод достижения цели. Функция fgoalattain............................128
5.3. Функция fminimax.........................................................................135
Лабораторная работа № 6. Решение многокритериальных
задач.......................................................................................................137
6. Линейное программирование. Функция linprog................................139
7. Целочисленное программирование. Функция bintprog ...................148
3
8. Квадратичное программирование. Функция quadprog.....................152
Лабораторная работа № 7. Решение задач математического
программирования...............................................................................157
9. Другие функции пакета Toolbox Optimization...................................159
9.1. Нахождение корней функции одной переменной......................159
9.2. Решение системы нелинейных уравнений..................................160
9.3. Нелинейная задача наименьших квадратов................................164
9.4. Задача аппроксимации..................................................................166
9.5. Неотрицательный линейный метод
наименьших квадратов........................................................................168
9.6. Линейная задача наименьших квадратов
с ограничениями...................................................................................170
Лабораторная работа № 8. Решение уравнений
и метод наименьших квадратов .........................................................172
Список рекомендуемой литературы.......................................................174
Приложение 1. Параметры fminunc........................................................175
Приложение 2. Параметры fmincon........................................................177
Приложение 3. Параметры GlobalSearch и MultiStart...........................180
Приложение 4. Параметры Direct Search...............................................182
Приложение 5. Параметры Simulated Annealing...................................184
Приложение 6. Параметры Genetic Algorithm
(ga и gamultiobj)........................................................................................185
Приложение 7. Параметры fgoalattain и fminimax................................187
Приложение 8. Параметры quadprog......................................................189
Приложение 9. Параметры fsolve...........................................................190
4
ВВЕДЕНИЕ
MATLAB (MATrix LABoratore) – одна из наиболее мощных сис-
тем компьютерной математики, построенная на расширенном приме-
нении матричных вычислений. Она включает пакеты расширения
Simulink, Toolbox и Blockset, ориентированные на самые разнообраз-
ные задачи, где требуются математические расчеты, глубокий анализ и
моделирование.
MATLAB имеет развитый высокоуровневый язык программирова-
ния и прекрасную двумерную и трехмерную графику, позволяющую
наглядно представлять результаты расчетов, экспериментов и процес-
сы моделирования.
Пакеты расширения Toolbox (ящик инструментов) специализи-
руются на решении задач в различных предметных областях: в физике
и астрономии, в специальных разделах математики и математическом
моделировании, в проектировании и управлении технических систем
и т.д. Основным инструментом MATLAB являются функции, которые
реализуют определенные операции и алгоритмы. Имеются встроенные
функции, в том числе все элементарные, и внешние, оформленные в
виде так называемых m-файлов. Внешние функции могут пополняться
собственными функциями пользователя.
В расширения Toolbox входят два пакета, предназначенные для
решения задач оптимизации: Toolbox Optimization и Toolbox
Global Optimization. Настоящее пособие посвящено описанию
этих пакетов.
Первый пакет включает набор функций, в которых реализованы
методы и алгоритмы одномерной и многомерной безусловной и услов-
ной минимизации, линейного, булевого и квадратичного программи-
рования, наименьших квадратов и решения уравнений, а также алго-
ритмы многокритериальной оптимизации.
Функции пакета Global Optimization ориентированы на поиск
глобального минимума или многих минимумов. Здесь используются
методы прямого поиска, мультистарта, моделирования отжига, генети-
ческий алгоритм. В этот пакет также включена функция многокрите-
риального генетического алгоритма.
Пакеты предлагают два способа решения задач: с использованием
командной строки и с использованием графического пользовательско-
5
го интерфейса (GUI). Второй способ проще, но уступает первому
в гибкости и функциональности. Режим командной строки предостав-
ляет пользователю всю мощь системы MATLAB, поэтому в пособии
описывается использование именно этого режима решения задач. При
умении решать задачи в командном окне использование GUI не вызо-
вет никаких затруднений (для обращения к нему в меню соответст-
вующего Toolbox следует выбрать Optimtool).
MATLAB, включая рассматриваемые пакеты, имеет мощную и
удобную систему помощи, содержащую многие тысячи страниц доку-
ментации. Для быстрого доступа к интересующему объекту достаточно
набрать help и имя объекта, например оператора или функции.
В пособии рассматриваются функции обоих пакетов, приводятся
многочисленные примеры их использования, во многих случаях они
сопровождаются наглядным графическим представлением результатов.
Для практического освоения и использования методов оптимизации,
реализованных в пакетах, предлагается выполнить восемь лаборатор-
ных работ, охватывающих большинство функций пакетов.
Для тех, кто не работал с MATLAB, обратим внимание на два ва-
рианта некоторых арифметических операторов: традиционный опера-
тор (*, ^, /), определяющий матричную операцию, и оператор с точкой
впереди (.*, .^, ./), задающий поэлементные действия с операндами.
6
1. ОДНОМЕРНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ В MATLAB
Toolbox Optimization содержит специальные функции, каждая
из которых ориентирована на определенный тип задачи оптимизации.
Для одномерной минимизации непрерывных функций предназначена
функция пакета fminbnd. Решаемая задача имеет вид
min f(x), a < x < b.
Алгоритм минимизации базируется на методах золотого сечения и
квадратичной аппроксимации (параболической интерполяции).
Варианты обращения к функции fminbnd:
x = fminbnd(fun,x1,x2)
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)
x = fminbnd(problem)
[x,fval] = fminbnd(...)
[x,fval,exitflag] = fminbnd(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)
Слева от знака равенства записываются выходные величины, и ес-
ли их больше одной, то они перечисляются через запятую в квадрат-
ных скобках. Справа от имени функции в круглых скобках указывают-
ся входные величины (аргументы функции). В приведенных записях
приняты следующие обозначения:
x – значение x, соответствующее локальному минимуму функции f(x);
fval – значение f(x) в точке найденного локального минимума;
exitflag – признак, идентифицирующий причину завершения ал-
горитма, его возможные значения:
1 – сходимость алгоритма к минимуму;
0 – число итераций превысило максимально установленное;
–1 – причина в функции вывода (решение не достигнуто);
–2 – границы несовместны.
Output – структура, содержащая информацию о процессе, имеет поля:
Iterations – число итераций;
funcCount – число вычислений целевой функции;
algorithm – используемый алгоритм;
message – конечное сообщение.
7
Входные аргументы:
fun – целевая функция, может быть определена как m-файл (m-фун-
кция), например:
function f = myfun(x)
f = sin(x^2);
(файл сохраняется под именем myfun.m), и тогда на месте fun записы-
вается @myfun, где myfun – имя функции и соответствующего ей
m-файла; также fun можно представить непосредственно формулой
(без использования имени) как конструкцию @(x)sin(x^2) или как
строковое выражение ‘sin(x^2)’;
x1,x2 – значения левой и правой границ переменной x;
options – опции алгоритма, исходно все установлены по умолчанию;
применяетcя, если необходимо изменить какие-либо параметры опти-
мизации; при этом перед обращением к функции fminbnd вносятся
изменения в настройки опций options с помощью функции optim-
set, аргументами которой являются пары «имя параметра, устанавли-
ваемое значение параметра», например установка
options=optimset(‘Display’, ‘off’)
исключит вывод на экран (в командное окно) промежуточных данных.
При значении 'iter' будут выводиться результаты каждой итерации.
Другие значения параметра – 'final' и 'notify' (вывод итогов и
вывод только при отсутствии сходимости). Указание параметра 'Out-
putfcn', в качестве значения которого записывается имя функции,
приводит к вызову этой функции на каждой итерации алгоритма. Зна-
чение параметра 'PlotFcn' определяет функцию вывода графики.
В пакете это функции @optimplotx (рисует текущую точку),
@optimplotfunccount (выводит количество вычислений функции),
@optimplotfval (выводит текущее значение целевой функции).
Функции вывода и графики могут быть написаны пользователем. При
включении параметра FunValCheck ('on') выводится сообщение при
возврате целевой функцией комплексного значения или Inf и NaN.
Problem – сохраненное из GUI Optimization Tool описание зада-
чи, а именно:
f – целевая функция,
x1 – левая граница,
x2 – правая граница,
8
solver – 'fminbnd',
options – структура параметров, создается optimset.
Результатом выполнения функции fminbnd является локальное
решение (локальный минимум).
Пример 1.
Найти минимум функции y = x + 25/x в интервале 2 < x < 9.
Для решения задачи в командное окно записываем программу:
>> x=2:0.1:9;y=x+25./x; plot(x,y);xlabel('x'); ylabel('y');...
title('Minimization by fminbnd');hold on; ...
options=optimset('Outputfcn', @outmy);...
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('x+25./x',2,9,options)
Примечание. Многоточие позволяет перейти на следующую стро-
ку, иначе при нажатии Enter выполнится введенная перед ним часть
программы. Также многоточие позволяет разрывать выражение для
переноса на следующую строку.
Пояснения к программе: в 1-й строке выводится график функции и
обозначения осей, во 2-й выводится заголовок и дается указание на
удержание графического окна, в 3-й функция outmy во время работы
алгоритма выводит точки, соответствующие итерациям, в то же графи-
ческое окно. Эта функция записана в виде m-файла
function stop = outmy(x,optimValues,state)
stop = false;
switch state
case 'init'
hold on
case 'iter'
y=x+25./x;
plot(x,y,'red.');
% Label points with iteration number.
text(x,y+.15,num2str(optimValues.iteration+1));
case 'done'
hold off
end
end
Результаты выполнения программы, выводимые в командное и
графическое окна, представлены ниже и на рис. 1.
9
Рис. 1. Поиск минимума одномерной функции
x =
5.0000
fval =
10.0000
exitflag =
1
output =
iterations: 9
funcCount: 10
algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation'
message: [1x112 char]
10
