Система MATLAB. Часть 1

73 Pages·2.793 MB·Russian

by  Семченок М.С., Семченок Н.М.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО
ПО КУЛЬТУРЕ И КИНЕМАТОГРАФИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Санкт-петербургский государственный
университет кино и телевидения"
Кафедра математики и информатики
М.С. Семченок, Н.М. Семченок
СИСТЕМА MATLAB
Учебное пособие. Часть 1.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2005
УДК 681.3
Семченок М.С., Семченок Н.М. Система MATLAB. Часть 1.: Учебное по- Введение
собие. — СПб.: изд. СПбГУКиТ, 2004. – 140 с.
ДанноеучебноепособиепосвященоприменениюсистемыMATLABдля
решения различных математических задач. В первой части пособия изло-
жены основы программирования на языке MATLAB, а также достаточно
подробно рассмотрены графические возможности этой системы. Система MATLAB (MATrix LABoratory) — это язык программирования вы-
Учебное пособие предназначено для студентов дневного, вечернего и сокогоуровня, допускающийработу в режимекомандногоинтерпретатора,
заочного отделений. главным предназначением которого является выполнение матричных вы-
числений.
Рецензенты — профессор Попов М.М., Непомнящая Е.Ю. СистемаMATLABбыласозданакомпаниейMathWorksв1984 году как
интерактивная оболочка над пакетами подпрограмм, написанных на язы-
ке FORTRAN, для решения линейных систем (LINPACK) и исследования
проблемы собственных значений (EISPACK). В дальнейшем к MATLAB
были добавлены пакеты подпрограмм для решения других задач вычис-
лительной математики, а также многочисленные графические инструкции,
Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособия кафедрой открывающие перед пользователем широкие возможности для создания
математики и информатики. высококачественой двумерной и трехмерной графики.
Входной язык программирования MATLAB близок по синтаксису к со-
Протокол № от 30.08.05 г. временным системам программирования на базе универсальных алгорит-
мических языков таких как FORTRAN, С или Java. И хотя MATLAB
уступает этим языкам в быстродействии, содержащиеся в нем уникальные
библиотеки численных методов и средств визуализации результатов вы-
числений зачастую позволяют пользователю получить конечный результат
быстрее, чем при использовании традиционных языков программирования.
Система MATLAB обладает возможностями как процедурного, так и
объектноориентированногоязыкапрограммирования.Крометого,онасред-
ствами интерактивной разработки графических интерфейсов, в котором
могут присутствовать такие стандартные элементы, как меню, кнопки, пе-
реключатели, линейки прокрутки и.т.п.
На базе ядра MATLAB созданы многочисленныерасширения,ориенти-
рованные на решение задач в специальных областях науки и техники. Вот
лишь некоторые из них:
(cid:1)c СПбГУКиТ, 2005 • Communications Toolbox — пакет, предназначенный для разработки
(cid:1)c Семченок М.С., Семченок Н.М., 2005 г. цифровых и аналоговых устройств передачи информации.
3
• Data Acquisition Toolbox — пакет, обеспечивающий взаимодействие
системы MATLAB в режиме реального времени с внешними устрой-
ствами ввода/вывода, такими как измерительные приборы, интер-
фейсные платы и датчики.
• Filter Design Toolbox — пакет инструментов для построения и ана-
Глава 1
лиза цифровых фильтров.
• Image Processing Toolbox — пакет, предназначенный для цифровой
обработки растровых изображений.
Начало работы с MATLAB
• Optimization Toolbox — пакет подпрограмм для решения линейных и
нелинейных задач оптимизации с большим числом неизвестных.
• Partial Differential Equation Toolbox — пакет, предназначенный для
численногорешениязадачматематическойфизикиметодомконечных
элементов. ЧтобызапуститьсистемуMATLABнакомпьютере,работающемподуправ-
• Signal Processing Toolbox — пакет программных средст для анализа лением операционнойсистемысемейства Microsoft Windows, нужно щелк-
нуть по кнопке Пуск, выбрать из меню пункт Программы, затем в новом
и обработки сигналов.
меню перейти к пункту MATLAB 6.5 и щелкнуть по ярлыку .
• Symbolic Math Toolbox — пакет, позволяющий проводить в системе Для запуска MATLAB можно также щелкнуть мышью по соответствую-
MATLAB символьные математические преобразования. щей иконке на рабочем столе или выполнить в консоли команду matlab.
ОсобоеместосредипакетоврасширенияMATLABзанимаетSIMULINK,
1.1 Вычисления в командном окне
являющийсятесноинтегрированнойс MATLABграфическойсредой,пред-
назначенной для моделирования и анализа аналоговых и дискретных ди-
намических систем. После запуска системы на экране появляется главное окно рабочей среды
Построение моделей в SIMULINK осуществляется в интерактивном MATLAB. По умолчанию это окно имеет вид, изображенный на рис. 1.1.
графическом конструкторе и заключается в перетаскивании в окно мо- Если на вашем компьютере это окно выглядит по-другому, выберите в
дели элементарных блоков из набора стандартных библиотек и настройки менюданногоокнапоследовательнопунктыView,Desktop Layout иDefault.
связей между ними. При этом автоматически создаются системы диффе- В главном окне рабочей среды системы MATLAB расположены:
ренциальных уравнений, описывающие данную модель.
• Строка меню, содержащая пункты File, Edit, View, Web, Window и
Возможность следить за процессами, происходящими в системе в ходе
Help.
моделирования, обеспечивается специальными устройствами наблюдения,
входящими в состав библиотеки SIMULINK, такими как, например, вир- • Панель инструментов, в которой находятся кнопки, позволяющиесо-
туальные осциллографы и датчики. здавать новые или открывать существующие файлы, выполнять опе-
В данном учебном пособии рассматриваются только основные возмож- рации сбуферомобмена,обращаться ксправочнойсистемеMATLAB
ности системы MATLAB. Дополнительные сведения о работе с MATLAB и т.п.
можно найти в книгах из приведенного списка литературы или на сайте
разработчика этой системы: http://www.mathworks.com/. • Командное окно (Command Window), в котором проводятся вычисле-
ния ивыполняетсязапускпрограмм,написанныхнаязыкеMATLAB.
4 5
6 7
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
>> 2 + 3
ans =
5
>>
Мывидим,чтосистемаMATLABвычислилазначениевыражения,при-
своиларезультатавтоматическисозданнойпеременнойansивывелановое
приглашение командной строки. Кроме того, в окне Workspace появилась
запись, соответствующая переменной ans, а в окне Command History —
набранное нами выражение.
Теперь вычислим значение выражения 2(1 + cosπ/3) и присвоим ре-
зультат переменной с именем x. Обратите внимание, что имя переменной
в MATLAB может быть составлено только из букв латинского алфавита,
цифр и символа подчеркивания(_). При этом большие и маленькие буквы
различаются.
>> x = 2*(1+cos(pi/3))
Рис. 1.1. Главное окно рабочей среды системы MATLAB
x =
3
• Окно с заголовком Workspace, в котором отображается текущее со-
Редактирование выполненных команд в MATLAB невозможно. Однако
стояние рабочего пространства MATLAB1.
всегда можно поместить в новую строку копию ранее введенной команды.
• Окно с заголовком Command History, в котором отображается список Для этого достаточно, находясь в новой строке, пролистатьклавишами [↑]
и [↓] историю ранее введенных команд. Кроме того, можно также скопи-
ранее введенных команд.
ровать необходимую команду из окна Command History.
• Строка состояния, в которой расположена кнопка Start, обеспечива-
>> y = 2*(1+sin(pi/3))
ющая удобный доступ ко всем специальным приложениям MATLAB.
Рядом с этой кнопкой расположен индикатор, отражающий состоя-
y =
ние вычислительного ядра MATLAB. В момент проведения расчетов
3.7321
в этой строке отображается слово Busy (Занято).
Длинные команды, которые не помещаются целиком в одной строке,
В верхнем левом углу командного окна расположено приглашение ко- можно переносить на следующую строку, используя знак переноса в виде
мандной строки (>>) и мигающий курсор. Чтобы выполнить в системе трех идущих подряд точек.
MATLAB какое-либо действие, надо ввести в этой строке соответствую-
>> 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...
щую команду и нажать клавишу [Enter].
11+12+13+14+15+16+17+18+...
В качестве первого примера сложим два числа.
19+20+21+22+23+24+25+26
1Рабочее пространство — это область памяти, в которой MATLAB запоминает значения
переменных. ans =
351
8 9
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
Подавить автоматический режим вывода результатов вычислений можно,
поставив в конце команды точку с запятой.
Создадим, например, переменную R, значением которой является мат-
рица размера 100×100, составленная из случайных чисел.
>> R = rand(100);
В том, что такая переменная действительно создана, можно убедиться,
взглянув в окно с заголовком Workspace. Щелкнув же по иконке пере-
менной в этом окне, вы сможете не только просмотреть, но и изменить
значения элементов матрицы R.
Вовремяпроведениявычисленийкомандноеокноблокируетсядоихза-
вершения. Обычно это незаметно для пользователя, так как вычисления в
MATLABвыполняются очень быстро. Но иногда получается так, что из-за
ошибок в построении вычислительного алгоритма, переоценки машинных
ресурсов компьютера или по какой-либо другой причине, время вычисле-
ний становится либо неприемлемо большим, либо вообще бесконечным.
Втакойситуациивычислениянеобходимопрервать,нажавкомбинацию
клавиш[Ctrl-Break].Попробуйте,например,прерватьследующийбесконеч-
ный цикл.
Рис. 1.2. Первые вычисления в MATLAB.
>> while true end
Очиститькомандноеокноможноспомощьюкомандыclc. Однакосле-
Лишние пробелы в командной строке игнорируются, если они не нару-
дует помнить, что при этом значения всех переменных, которые были со-
шают синтаксис языка MATLAB.
зданы с момента запуска MATLAB,сохранятся в памяти компьютера. Для
>> x =2+ 3 *sin( pi /3 ) очистки памяти следует выполнить команду clear.
x = 1.1.1 Арифметические вычисления
4.5981
Основумногихрасчетовсоставляютвычислениязначенийарифметических
Если же попытаться поставить пробел внутри синтаксической кон-
выражений. В качестве операндов этих выражений могут выступать кон-
струкции, MATLAB выведет сообщение об ошибке и укажет позицию, в
станты, вещественные и комплексные переменные, элементарные и спе-
которой эта ошибка была допущена.
циальные функции. Одной из главных особенностей MATLAB является
то, что, в отличие от большинства других языков программирования, эта
>> ex p(1)
система допускает непосредственное использование массивов в качестве
операндов и аргументов функций.
??? ex p(1)
Основным типом данных, с которыми работает MATLAB, являются
|
массивы. Чаще всего в математических вычислениях используются одно-
Error: Missing operator, comma, or semicolon.
мерные (векторы) и двумерные массивы (матрицы).
ПриработесMATLABчастоприходитсяоперироватьсконструкциями, Чтобы задать вектор-строку, то есть массив размера 1×n, необходимо
распечатка которых в командном окне потребовала бы не одного десятка заключить ее элементы в квадратные скобки, разделив их запятыми или
экранных страниц. В таком случае выводить их на экран бессмысленно. пробелами.
10 11
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
>> a = [1 2 3] С помощью функции eye можно построить единичную матрицу.
a = >> eye(3)
1 2 3
ans =
Вектор-столбец задается похожим образом, только в качестве раздели- 1 0 0
теля следует использовать точку с запятой. 0 1 0
0 0 1
>> b = [1; 2; 3]
Функция magic строит магический квадрат — матрицу, у которой
b =
сумма элементов каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали
1
одинакова.
2
3 >> magic(3)
Вектор-столбец может быть преобразован в вектор-строку с помощью
ans =
операции транспонирования символом которой является апостроф (’).
8 1 6
>> b’ 3 5 7
4 9 2
ans =
Элементами массивов могут быть вещественные и комплексные числа
1 2 3
с плавающей точкой.
Для формирования матрицы применяются оба типа разделителей. В MATLAB используется аппаратно реализованная арифметика двой-
ной точности для десятичных чисел с плавающей точкой.
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
Десятичное число с плавающей точкой — это число, представленное в
виде x×10n, где x называется мантиссой, а n — показателем. Для дости-
A =
жения однозначности представления требуется, чтобы первая цифра ман-
1 2 3
тиссы была ненулевой. Поскольку на каждое число с плавающей точкой
4 5 6
в памяти компьютера отводится заранее фиксированное число разрядов (в
7 8 9
случае чисел с двойной точностью количество этих разрядов равно 64, то
есть 8 байт по 8 бит), то имеется лишь конечное множество чисел с пла-
В MATLAB имеется много функций, предназначенных для построения
вающей точкой и существуют наибольшее и наименьшее число, зависящее
как стандартных, так и специальных матриц.
от аппаратной реализации арифметики с плавающей точкой.
Функция zeros, например, используется для создания матриц, запол-
В MATLAB вещественные числа по модулю могут находится в интер-
ненных нулями.
вале [10−308,10308].
>> zeros(3) Числа с плавающей точкой распределены в интервале между наимень-
шим и наибольшимпредставимым числом.Причемв окрестностинуля они
ans = расположены значительно гуще, чем по краям интервала.
0 0 0 Очевидно, что однозначно отобразить континуальное множество веще-
0 0 0 ственных чисел на конечное множество чисел с плавающей точкой невоз-
0 0 0 можно. Поэтому любые операции, проводимые над числами с плавающей
12 13
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
точкой, в принципе не могут быть точными, так как всегда приходится Независимо от выбранного формата вывода результатов вычисления в
производить округление до ближайшего числа с плавающей точкой. MATLAB всегда проводятся с максимально возможной точностью. Но при
Вещественное число в MATLAB состоит из целой части со знаком или этом всегда следует помнить, что количество верных значащих цифр в
без знака, десятичной точки, дробной и степенной части. Степенная часть полученном ответе далеко не всегда будет совпадать с тем количеством
должна состоять из буквы e и целого числа со знаком или без знака. цифр, что видны на экране. Иногда при неустойчивости задачи или при
Такимобразом,правильнаязаписьвMATLABчисла−1234.5678долж- неудачном выборе вычислительного алгоритма верные значащие цифры в
на иметь следующий вид. результате могут отсутствовать вообще.
Если происходит переполнениеразрядной сетки, то есть результат опе-
>> -1.2346e+003 рации выходит за рамки диапазона, допустимого для чисел с плавающей
точкой, то MATLAB возвращает в качестве результата внутреннее пред-
Допустимы,однако,идругиевариантызаписивещественныхчисел,ко-
ставление бесконечности (Inf).
торые,впрочем,все равно автоматическиприводятсяк стандартной форме.
>> 1/0
>> -1234.5678
ans =
ans =
Inf
-1.2346e+003
Втехслучаях,когдарезультатнеопределен,чтопроисходит,например,
>> -1.2346*10^3 при делении 0 на 0, возвращается специальная константа NaN (Not a
Number).
ans =
>> 0/0
-1.2346e+003
Количество значащих десятичных цифр при вычислениях в MATLAB ans =
может достигать 15-16. Однако для большей компактности результата при NaN
выводе в командное окно часть значащих цифр обычно отбрасывается.
Комплексные числа в MATLAB представляются в памяти компьюте-
По умолчаниюсистемаиспользуеткомпактныйформат,задаваемый ко-
ра парой чисел с плавающей точкой и записываются в форме a+bi (или
мандой format short. Переключиться в режим вывода большего числа
a+bj), где символом i (или j) обозначается мнимая единица. Обрати-
знаков после десятичной точки можно, выполнив команду format long.
те внимание, что символ операции умножения между мнимой единицей и
>> format long мнимой частью комплексногочисла ставить не следует. Это связано с тем,
>> pi что система MATLAB допускает переобозначениепеременных i и j,
>> z = 5+7i
ans =
3.14159265358979
z =
5.0000 + 7.0000i
>> format short
>> pi С помощью функций real и imag можно выделить вещественную и
мнимую части комплексного числа.
ans =
3.1416 >> real(z)
14 15
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
ans = >> x = 2;
5 >> y = 1-i;
>> a = [1 2 3];
>> imag(z) >> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
>> whos
ans =
7 Name Size Bytes Class
Функция complex позволяет сконструировать комплексное число из
A 3x3 72 double array
упорядоченной пары вещественных чисел.
a 1x3 24 double array
>> complex(3, 5)
x 1x1 8 double array
y 1x1 16 double array (complex)
ans =
3.0000 + 5.0000i
Grand total is 26 elements using 216 bytes
Функция conj возвращает комплексно-сопряженное число (символом
Кроме того, при выполнении арифметическихопераций MATLAB стре-
комплексного сопряжения в MATLAB является также апостроф).
мится,насколькоэтовозможно,выполнитьприведениеоперандовкодному
>> z’ размеру.
Поэтому первой особенностью арифметики MATLAB является возмож-
ans = ность, наряду со стандартной операцией умножения массива на скаляр,
5.0000 - 7.0000i выполнить сложение или вычитание массива и скаляра. Скаляр в этом
Модуль и аргумент комплексного числа можно вычислить при помощи случае автоматически преобразуется в массив, размер которого совпадает
функций abs и angle. с размером соседнего операнда, а все элементы равны исходному скаляру.
>> abs(z) >> a + x
ans = ans =
8.6023 3 4 5
>> angle(z) >> A - x
ans = ans =
0.9505 -1 0 1
2 3 4
При работе в MATLAB необходимо учитывать две существенные осо-
5 6 7
бенности реализации арифметическихвычислений в этой системе.
Во-первых,в MATLABвсе скалярныепеременныетрактуются как мас- Второй особенностью арифметики MATLAB является наличие в этой
сивы размера 1×1. Действительно, если присвоить следующие значения системе двух комплектов символов для операций умножения, деления и
переменнымиспомощьюкомандыwhosвывести вкомандноеокноинфор- возведения в степень. Один набор операций имеет традиционную симво-
мациюобэтихпеременных,томожноувидеть,чтообескалярныеперемен- лику(*,/,^) ивыполняетсядлямассивовпо правиламлинейнойалгебры.
ные рассматриваются системой MATLAB как одноэлементные векторы из Второй набор имеет ту же символику, перед которой ставится точка
чиселсплавающейточкой(double arrayиdouble array(complex)). (.*, ./, .^), при этом операции выполняются поэлементно.
16 17
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
Необходимость в поэлементных операциях диктуется тем, что при про- Влинейнойалгебревозведениевстепеньможетбытьосуществленотолько
граммировании на языке MATLAB эти операции зачастую позволяют из- в случае квадратной матрицы.
бежать чрезмерного использования операторов цикла.
Различия между традиционными и поэлементными операциями удобно >> A^3
рассмотреть на примерах.
ans =
>> A = [1 2; 3 4]; 37 54
>> B = [2 4; 6 8]; 81 118
>> b = [5; 6];
>> C = [1 2 3; 4 5 6]; Операцию поэлементого возведения в степень можно применить к любой
>> D = [-4 5 -6; 1 -2 3]; матрице.
Умножение матриц и векторов в линейной алгебре возможно только в >> A.^3
том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк
второго. Операция правого деления двух матрицэквивалентна умножению ans =
делимой матрицы на обратную матрицу делителя (A/B = AB−1). 1 8
27 64
>> A*b
>> C.^2
ans =
17
ans =
39
1 4 9
16 25 36
>> B/A
В системе MATLAB определены все элементарные и большая часть
ans =
специальных функций.
2 0
0 2 • sqrt(x) — квадратный корень;
Поэлементное умножение или деление массивов осуществимо только • exp(x), log(x) — экспонента и натуральный логарифм;
тогда, когда они имеют одинаковые размеры.
• sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) — тригоно-
>> C.*D
метрические функции;
ans = • asin(x), acos(x), atan(x),acot(x), asec(x), acsc(x) — об-
-4 10 -18 ратные тригонометрическиефункции;
4 -10 18
• sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), sech(x), csch(x) — ги-
перболическиефункции;
>> C./D
• asinh(x),acosh(x),atanh(x),acoth(x),asech(x),acsch(x)
ans =
— обратные гиперболическиефункции;
-0.2500 0.4000 -0.5000
4.0000 -2.5000 2.0000 • erf(x) — функция ошибок;
18 19
Глава 1. Начало работы с MATLAB 1.1. Вычисления в командном окне
• gamma(z) — гамма-функция; 1.1.2 Символьные вычисления в MATLAB
• airy(z), airy(2,z)—функцииЭйрипервогоивторого порядка; СистемаMATLABсамапосебеспособнавыполнятьтолькочисленныерас-
четы. Поэтому если попытаемся вычислить выражение, в которое входят
• besselj(k,z), bessely(k,z), besseli(k,z), besselk(k,z)
переменные, не имеющие числового значения, то получим сообщение об
— функции Бесселя первого и второго рода и модифицированные
ошибке.
функции Бесселя.
>> (x-1)^2
Аргументами любой математической функции в MATLAB могут быть
как вещественные, так и комплексные числа. В случае комплексногоаргу-
??? Undefined function or variable ’x’.
мента возвращается главное значение функции.
Возможностьпроведения символьных вычислений в MATLABобеспечива-
>> atan(1)
ется подключением к этой системе пакета компьютерной алгебры Maple.
Реализовано это подключение при помощи пакета Symbolic Math Toolbox.
ans =
Символьные операции можно выполнять только в том случае, если все
0.7854
операнды в выражении имеют символьный тип (sym). Приведение число-
вых констант и переменных к символьному типу осуществляется посред-
>> sqrt(1+i)
ством функции sym.
В MATLAB осуществляется перегрузка2 арифметических операций и
ans =
основных функций в том случае, если их операнды или аргументы имеют
1.0987 + 0.4551i
символьный тип.
Векторы и матрицы могут также являться аргументами элементарных Воспользуемся перегрузкой операции сложения и просуммируем два
и специальных функций. В этом случае значения функции вычисляются рациональных числа.
для всех элементов массива.
>> a = sym(1/2);
>> exp( [1 2 3 4 5] ) >> b = sym(1/3);
>> c = a + b
ans =
2.7183 7.3891 20.0855 54.5982 148.4132 c =
5/6
>> A = [ pi/2 pi/3; pi/6 -pi/2] Обратите внимание, что результат операции наследует тип операндов.
>> whos
A =
1.5708 1.0472
Name Size Bytes Class
0.5236 -1.5708
>> sin(A) 2Перегрузкой функции в программировании называется автоматическая смена
вычислительного алгоритма в зависимости от типа фактических значений ее фор-
мальных параметров. Перегрузка функций позволяет использовать одни и те же
ans =
имена функций и символы операций для проведения вычислений с объектами,
1.0000 0.8660
имеющимисущественно различное внутреннее представление структуры.
0.5000 -1.0000