Table Of ContentInhaltsverzeichnis. (cid:0);(cid:0),(cid:0)(cid:3)
(cid:0)6(cid:0)H(cid:0)L(cid:0)W(cid:0)H(cid:0)(cid:3)
3.52. Zusammenhang mit 1.7.· . . . . . . . 267
3.53. Die Funktionen (cid:0)A(cid:0)~(cid:0)((cid:0)y(cid:0)2(cid:0))(cid:0).(cid:0) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) 268
3.54. Die Funktionen (cid:0)Q(cid:0)S(cid:0)~(cid:0)((cid:0)Z(cid:0);(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:10)(cid:0)(cid:20)(cid:0) v[ =1= t(mod 1)] 276
3.6. Die Funktionen (cid:0)P(cid:0)s(cid:0)~(cid:0),(cid:0) (cid:0)Q(cid:0)s(cid:0)~(cid:0),(cid:0) (cid:0)p(cid:0)s(cid:0)~(cid:0),(cid:0) (cid:0)q(cid:0)s(cid:0)~(cid:0) und (cid:0)S(cid:0)~(cid:0)((cid:0)i(cid:0))(cid:0) v[ =1= t(mod 1)]. 283
3.61. Definition der Funktionen (cid:0)P(cid:0)s(cid:0)~(cid:0),(cid:0) (cid:0)Q(cid:0)s(cid:0)~(cid:0),(cid:0) (cid:0)p(cid:0)s(cid:0)~(cid:0),(cid:0) (cid:0)q(cid:0)s(cid:0)~(cid:0) 283
3.62. Reihenentwicklungen nach Kugelfunktionen . . . 283
3.63. Haupteigenschaften der Funktionen Ps, Qs, ps, qs 286
3.64. Definition der Funktionen (cid:0)S(cid:0)~(cid:0)((cid:0)i(cid:0))(cid:0) (cid:0);(cid:0)z(cid:0)((cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:10)(cid:0)(cid:20)(cid:0) . . 289
3.65. Haupteigenschaften der Funktionen (cid:0)6(cid:0)W(cid:0)(cid:11)(cid:0)L(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:3) 292
3·66. Verknüpfungsrelationen 295
.7.3 Ein Additionstheorem 300
3.71. Gedankengang. . . 300
3.72. Hilfssätze . . . . 103
3.73. Eine Integralrelatior, 303
3.74. Additionstheorem . . 304
3.8. Weitere Reihenentwicklungen und Integralrelationen . 306
3.81. Entwicklung von Sphäroidwellen nach Kugelwellen . 306
3.82. Folgerungen: Reihen für Sphäroidfunktionen . . . . 307
3.83. Entwicklung von Kugelwellen nach Sphäroidwellen. Zugehörige
Integralrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
3.84. Weitere Integralrelationen. Entwicklung von Zylinderwellen und
ebenen Wellen. . . . . . . . . . . . 313
3.85. Transformation von Reihenentwicklungen . . . . 315
3·9· Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
3.91. Formeln zur y-Asymptotik der Sphäroid funktionen 316
3.92. (cid:0)N(cid:0)u(cid:0)l(cid:0)l(cid:0)s(cid:0)~(cid:0)e(cid:0)l(cid:0)l(cid:0)e(cid:0)n(cid:0) der Sphäroidfunktionen 319
3.93. Numerische Methoden. 123
3.94. Tabellen. . . . . . . . . . . . 322
.4 Anwendungen der MATHIEuschen Funktionen und der Sphäroidfunktionen 324
4.1. Mechanische und elektrische Schwingungen mit periodisch veränder-
lichen Parametern. . . . . . . . . . . . . . . 324
4.11. Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . 324
4.12. Das Pendel mit oszillierendem Aufhängepunkt 326
4.13. Verwandte Probleme . . . . . . . . . . . 329
4.14. Die schwingende unrunde Welle . . . . . . 330
4.15. Die schwingende Saite mit harmonisch veränderlicher Spannung 133
4.16. Biegeschwingungen eines Stabes mit pulsierender Axiallast. 333
4.2. Systeme mit räumlich periodischer Struktur 533
4.21. Die Saite mit periodischer Massenverteilung 533
4.22. Ein Knicklastproblem. . . . . . . . . . 337
4.23. Das stark fokussierende Synchrotron . . . 338
4.3. Mechanische und akustische Eigenschwingungen. 343
4.31. Schwingungen einer elliptischen Membran . 343
4.32. Eigenschwingungen von festen elastischen Körpern 349
4.33. Akustische Eigenschwingungen und akustische Hohlleiter 153
4.34. Hohlraumresonator mit Wandabsorption 354
4.4. Elektromagnetische Eigenschwingungen 356
4.41. Zeitlich periodische Lösungen der MAxwELLschen Gleichungen 356
4.42. Elektromagnetische Eigenschwingungen im elliptischen Zylinder 359
(cid:0);(cid:0),(cid:0),(cid:0)(cid:3) Inhaltsverzeichnis.
Seite
4.43. Elektromagnetische Eigenschwingungen in rotationselliptischen
Hohlräumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.44. Gekoppelte Schwingungen zweier halbellipsoidischer Hohlräume 163
4.45. Hohlleiter von elliptischem Querschnitt 363
4·5. Abstrahlungsprobleme . . . . . . . . . 563
4.51. Allgemeine Bemerkungen . . . . . . 563
4.52. Das Schallfeld der Kolbenmembran . . 366
4.53. Rotationsellipsoidische Ringschlitzantennen 368
4.54. Erzwungene elektromagnetische Schwingungen im Rotations-
ellipsoid. . . . . . . . 370
4.6. Beugungsprobleme . . . . . . . 370
4.61. Allgemeine Bemerkungen . 370
4.62. Die Beugung einer ebenen Schallwelle am schallharten Rota-
tionsellipsoid. . . . . . . . . . .. ...... 173
4.63. Die ehcSHGIELYAR Scheibe . . . .. ...... 473
4.64. Die Beugung elektromagnetischer Dipolwellen an der vollkommen
leitenden Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
4.65. Beugungsprobleme mit solenoidalen elektromagnetischen Feldern 083
4.7. Wellenmechanische Probleme ............ . 183
4.71. (cid:0)=(cid:0)X(cid:0)U(cid:0)(cid:3) Elektronentheorie der Metalle ....... . 183
4.72. Das mathematische Pendel in der Quantenmechanik 683
4.73. Der gehemmte symmetrische Rotator .... 387
4.74. Gehemmte innere Rotationen von Molekülen. 983
Literaturverzeichnis 393
Verzeichnis der wichtigsten Funktionssymbole 409
Namen- (cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)G(cid:0)(cid:3) Sachverzeichnis ....... .
411
(cid:0)((cid:0)L(cid:0)Q(cid:0)O(cid:0)H(cid:0)L(cid:0)W(cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)J(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
(cid:3)(cid:0)H(cid:0)K(cid:0)F(cid:0)V(cid:0)X(cid:0)((cid:0),(cid:0)+(cid:0)7(cid:0)$(cid:0)0(cid:0) (cid:0))(cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)N(cid:0)W(cid:0)L(cid:0)R(cid:0)Q(cid:0)H(cid:0)Q(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)+(cid:0)L(cid:0)V(cid:0)W(cid:0)R(cid:0)U(cid:0)L(cid:0)V(cid:0)F(cid:0)K(cid:0)H(cid:0)V(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
1.
Die Theorie der nehcsuEIHTAM Differentialgleichung
(cid:0)~(cid:0)d(cid:0)~(cid:0)~(cid:0) + A( - (cid:0)2(cid:0)h (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) COS (cid:0))(cid:0)z(cid:0)2(cid:0) (cid:0)\(cid:0)(cid:3) = (cid:0)(cid:19)(cid:0)(cid:3) 1( )
(cid:0)d(cid:0)z (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3)
hat ihren Ausgangspunkt in einer Untersuchung von UEIHTAM J1[ aus
dem Jahr 8681 über die Eigenschwingungen einer homogenen, gleich
mäßig gespannten elliptischen Membran. Die Separation der zwei
dimensionalen Schwingungsgleichung, welcher diese Eigenschwingungen
genügen, führt auf die ehcsuEIHTAM Differentialgleichung )1( und auf die
modifizierte ehcsuEIHTAM Differentialgleichung, welche aus )1( durch
die Substitution (cid:0)z(cid:0)-(cid:0)-(cid:0)+(cid:0)i(cid:0)z(cid:0) entsteht. Fast zur selben Zeit )9681( begegnete
REBEW J1[ dieser Differentialgleichung bei der Analyse der Koordinaten
systeme, in welchen die zweidimensionale Schwingungsgleichung sepa
rierbar ist.
Es war zunächst die Hauptaufgabe, die Parameterwerte (cid:0)$(cid:0)(cid:3) zu finden,
für welche Lösungen von )1( mit der Periode (cid:0)2(cid:0)n(cid:0) existieren und diese
Lösungen! numerisch aus geeigneten Reihenentwicklungen zu berechnen.
Während UEIHTAM die Eigenwerte (cid:0)$(cid:0)(cid:3) und die 2n-periodischen Lösungen
von )1( durch Potenzreihen nach (cid:0)K (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) darstellt und ihre ersten Ent
wicklungskoeffizienten berechnet, gibt ENIEH ]1[ in seinem 8781 er
schienenen Handbuch der Kugelfunktionen die Reihenentwicklungen der
2n-periodischen Lösungen von )1( nach den Funktionen soc (cid:0)(cid:21)(cid:0)U(cid:0)[(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3)
(cid:0)F(cid:0)R(cid:0)V(cid:0)(cid:11)(cid:0)(cid:21)(cid:0)U(cid:0)(cid:14)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:12)(cid:0)[(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) sin2rx, sin(2r+1)x und gewinnt für die Entwicklungs
koeffizienten eine dreigliedrige Rekursion, aus der sich eine transzen
dente Kettenbruchgleichung für die Eigenwerte A ergibt. Sie hat sich
für die numerische Berechnung der Eigenwerte und Entwicklungs
koeffizienten als besonders brauchbar erwiesen und ist von NIETSDLOG 1[ ]
und ECNI ,81[ J91 zur Berechnung der ersten größeren Tafeln für Eigen
werte und Entwicklungskoeffizienten angewandt worden. Entwick
lungen der Lösungen von )1( nach Zylinderfunktionen finden sich zuerst
bei ENIEH [1]; sie sind später ausführlich studiert worden.
1 Sie allein hat man früher ehcsuEIHTAM Funktionen genannt .z( B. in MUH
TREB ,J2[ NOSTAW-REKATTIHW .)J1[ Heute versteht man unter MATHIEuschen
Funktionen alle Lösungen von )1( bei beliebigen Werten von ,1. (cid:0)K (cid:0)(cid:21) (cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) ausgenommen
(cid:0)K (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) (cid:0) (cid:0)(cid:3) .o
Meixner u. Schäfke, Mathieusche u. Sphäroidfunktionen.
(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) Einleitung.
Eine wesentliche Weiterentwicklung findet die Theorie der ··UEIHTAM
schen Funktionen in der Arbeit von REGEIS J1[ über die Beugung
elektromagnetischer Wellen am elliptischen Zylinder. eiS enthält die
Orthogonalitätseigenschaften der 2n-periodischen nehcsuEIHTAM Funk
tionen, den wichtigen Satz über die Integralbeziehungen zwischen
nehcsuEIHTAM Funktionen, die durch Lösungen der zweidimensionalen
Schwingungsgleichung als Kerne vermittelt werden - später auf andere
Koordinatensysteme verallgemeinert von ECNI J4[ und INATOK J1[ -
und auch die Entwicklungen der nehcsuEIHTAM Funktionen nach Pro
dukten von Zylinderfunktionen - von LLAGUOD J1[ wiedergefunden
und erweitert -, die wegen ihrer ausgezeichneten Konvergenzeigen
schaften für viele Zwecke besonders geeignet sind. Mit ihnen ist auch
eines der Hauptprobleme, die Funktionswerte und Ableitungen an der
Stelle (cid:0)](cid:0) (cid:0)2(cid:0)(cid:3) für Lösungen von )1( mit gegebenem z-asymptotischen Ver
halten anzugeben, in vollem Umfang gelöst.
Neben dieser Entwicklung der Theorie, welche sich vornehmlich mit
den 2n-periodischen Lösungen und ihren Eigenwerten beschäftigt, läuft
eine andere Entwicklung lange parallel, die die ehcsuEIHTAM Differen
tialgleichung als eine spezielle ehcsLLIH Differentialgleichung LLIH( ,)J1[
d.h. als Spezialfall einer linearen homogenen Differentialgleichung
zweiter Ordnung mit periodischen Koeffizienten auffaßt. slA solche
spielt sie für viele Anwendungen, für die sich Beispiele in (cid:0)(cid:23)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:23)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
finden, eine wichtige Rolle. Der grundlegende Satz für eseid Entwick
lung ist das Theorem von TEuQOLF J1[ aus dem Jahre 3881 mit dem
Begriff des charakteristischen Exponenten (cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)Y(cid:0) Näherungen für (cid:3)(cid:0)(cid:15)(cid:0)Y(cid:0) die bei
hinreichend kleinen (cid:0)K (cid:0)2(cid:0) und beliebigen (cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)$(cid:0) brauchbar sind, gibt bereits
DNARESSIT [1,2J auf dem Weg über eine transzendente Kettenbruch
gleichung zwischen (cid:3)(cid:0)(cid:15)(cid:0)Y(cid:0) (cid:0)K (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) und (cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:17)(cid:0)$(cid:0) Eine andere Formulierung dieses Zu
sammenhangs findet in der nehcsLLIH Determinante LLIH( )J1[ ihren
Ausdruck; eis hängt eng mit den Produktrelationen aus (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:22)(cid:0)(cid:25)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) zusammen.
Zur Struktur der Stabilitätskarte mit den Eigenwertkurven soc (cid:0)Q(cid:0)(cid:3)(cid:0)Y(cid:0)(cid:3) (cid:0) (cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:147)(cid:0)(cid:3) 1
und den charakteristischen Kurven soc (cid:0)Q(cid:0)Y(cid:0)(cid:3) = const. ist zunächst der Satz
zu nennen, wonach sich iewz Eigenwertkurven (cid:0)A(cid:0) h(cid:0)((cid:0) für (cid:0)h (cid:3)(cid:0) (cid:0)(cid:20)(cid:0) (cid:0) 0 nicht
(cid:0)2 (cid:0))(cid:0) (cid:0)2(cid:0)
schneiden können. Beweise hierfür haben NI EC ,J5[ ELLIH ,J1[ EMERB
PMAK ,J1[ CIVOKRAM J2[ und PMAKwuoB J4[ gegeben. Eine eingehende
Diskussion der Abhängigkeit zwischen soc (cid:0)Q(cid:0)Y(cid:0)(cid:3) undA bei festemh (cid:0)(cid:21) findet sich
bei SREMARK [1J,für große IAl +lh 2 (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:3) auch bei REGNAL J2[ und TTURTS .]61[
Allgemeine Eigenschaften der Stabilitätskarte behandelt EKFÄHCS .]2[
Die beiden genannten Entwicklungen laufen schließlich in der Unter
suchung der Lösungen von )1( und ihrer Eigenschaften für beliebige
Werte des charakteristischen Exponenten zusammen. Ohne uns in
Einzelheiten zu verlieren, geben wir im folgenden zu verschiedenen
Problemen einige der wichtigeren Arbeiten an.
Sphäroidfunktionen. Historisches. 3
ehcsuEIHTAM Funktionen zweiter Art: EcNI ,1[ 13J, RAHD ,1[ ,2 ,3 ,J7
NIETSDLOG ,1[ ,J4 CIVOKRAM .]3[
ehcsuEIHTAM Funktionen gebrochener Ordnung: GNUOY ,J1[ TIHW
REKAT ,J2[ ELOOP ,J1[ NAV RED LOP und TTURTS ,J1[ DRENIARB und
TDNAGYEW ,J1[ NALHcALcM [1,5,8].
Integralbeziehungen: REGEIS ,J1[ REKATTIHW [1,3J, ELOOP ,J1[
EcNI ,J4[ RAHD ,3[ 5 ,J7, NIETSDLOG ,J1[ IYLEDRE ,5[ ,J6 RELUYB ,J1[
SELIM ,J1[ RENXIEM ,J11[ IS SP [1,5, ,J6 EKFÄHCS ,J5[ RRÖD ,J1[ USTAM
OTOM [1].
Reihen nach Zylinderfunktionen und z-Asymptotik: REGNIHCRÄS ,J1[
TREBUHCS ,J1[ NIRUALCAM ,J1[ SRAM LLAH [1,2J, LLAGUOD [2,3J,
RAHD [5,8, ,J9 SYERFFEJ ,J3[ NIETSDLOG ,J1[ RENXIEM .]7[
(cid:0)K (cid:0)(cid:21) -Asymptotik: SYERFFEJ ,1[ ,J2 EcNI ,11[ ,51 ,J61 NIETSDLOG ,1[ ,J5
DNALLOHLUM und NIETSDLOG ,J1[ REGNAL ,J2[ RENXIEM ,J3[ SPIS .]1[
Verfahren sukzessiver Approximationen zur Gewinnung der Funk
tionen (cid:0)c(cid:0)e(cid:0)~(cid:0)"(cid:0) (cid:3)(cid:0)P(cid:0)H(cid:0)V(cid:0) und der Eigenwerte (cid:0)D (cid:0)P (cid:0)(cid:135)(cid:0)(cid:3) (cid:0)b (cid:0)P (cid:0)(cid:29)(cid:0)(cid:3) NOSTAW-REKATTIHW [1],
SPIS .J3[
Konvergenz der Potenzreihen in (cid:0)h (cid:0)2(cid:0) für (cid:0)A (cid:0)Y h(cid:0)((cid:0) (cid:0)2 (cid:0))(cid:0) und für die Lösungen
(cid:3)(cid:0)](cid:0)P(cid:0)H(cid:0)F(cid:0) und (cid:3)(cid:0)](cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:14)(cid:0)P(cid:0)H(cid:0)V(cid:0) von (1): NOSTAW (cid:0)>(cid:0)(cid:20)(cid:0)@(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) EKFÄHCS .]4[
Verzweigungspunkte von (cid:0)n(cid:0)A(cid:0) h(cid:0)((cid:0) (cid:0)2 (cid:0))(cid:0):(cid:0) DLANODCAM (cid:0)>(cid:0)(cid:20)(cid:0)@(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) DNALLOHLUM und
NIETSDLOG ,J1[ PMAKWUOB ,J4[ EKFÄHCS .J4[
Nullstellen der nehcsuEIHTAM Funktionen: ELLIR ,]1[ EcNI ,J91[
LLAHSRAM .]1[
Additionstheorem: IYLEDRE ,J7[ RENXIEM ,J8[ EKFÄHCS .]5[
Verknüpfungsrelationen: NIRUALCAM ,J1[ REGEIS ,J1[ LLAHSRAM ,J2[
NIETSDLOG ,J1[ URC und NOTTARTS ,J1[ YELKCIB [1].
Zusammenfassende Darstellungen: R TREBMU ,J2[ -REKATTIHW TAW
NOS ,J1[ RAHD ,J8[ NIETSDLOG ,J1[ TTURTS ,J01[ EZDARPUK ,J1[ ,NOTTARTS
,ESROM UHC und RENTUR 1[ ,J NALHcALcM ,J5[ HCNALB J2[ in (cid:3)(cid:0)V(cid:0)H(cid:0)O(cid:0)E(cid:0)D(cid:0)7(cid:0) (cid:0)>(cid:0)(cid:22)(cid:0)@(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
(cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)+(cid:0) (cid:0)6(cid:0)S(cid:0)K(cid:0)l(cid:0)U(cid:0)R(cid:0)L(cid:0)G(cid:0)I(cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)N(cid:0)W(cid:0)L(cid:0)R(cid:0)Q(cid:0)H(cid:0)Q(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) (cid:0)+(cid:0)L(cid:0)V(cid:0)W(cid:0)R(cid:0)U(cid:0)L(cid:0)V(cid:0)F(cid:0)K(cid:0)H(cid:0)V(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
Auch die Theorie der Sphäroidfunktionen ging von einem Problem
der mathematischen Physik, der Wärmeleitung im homogenen Rota
tionsellipsoid, aus. NEVIN J1[ hat im Jahre 1881 zu seiner Behand
lung die dreidimensionale Schwingungsgleichung in rotationselliptischen
Koordinaten separiert und die dabei sich ergebende Differentialgleichung
der Sphäroidfunktionen
(cid:0)(cid:14)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:14)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:3) °
(cid:3)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:11)(cid:0) (cid:0)(cid:16) (cid:0)](cid:0)(cid:3) )2 --(cid:0)G(cid:0)G(cid:0)] (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) (cid:0)<(cid:0)(cid:3)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) - (cid:0)(cid:21)(cid:0)](cid:0)(cid:3) (cid:0)<(cid:0)(cid:3)(cid:0)G(cid:0)(cid:3) (cid:0)-G-(cid:0)](cid:0)(cid:3) [ (cid:0)$1 (cid:0)(cid:16) (cid:0)(cid:16)(cid:0)1 (cid:16)-(cid:0)(cid:16)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)(cid:0)P (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3)(cid:3)(cid:0)(cid:5)(cid:0)](cid:0) (cid:0)<(cid:0)(cid:3)( 2 (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:16) (cid:0)](cid:0)(cid:3) )2 (cid:0)\(cid:0)(cid:3) (cid:0) (cid:0)(cid:3) )2(
eingehend untersucht. Während ENIER J1[ etwa zur selben Zeit die
Lösungen der Sphäroiddifferentialgleichung ohne Erfolg in FouRIERsche
Reihen zu entwickeln versucht, hat NEVIN die richtige Analogie zu den
1*
4 Einleitung.
Entwicklungen der nehcsUEIHTAM Funktionen nach trigonometrischen
Funktionen in der Entwicklung der Sphäroidfunktionen nach Kugel
funktionen erkannt. oS finden sich bei ihm bereits die Reihenentwick
lungen ,.26.3 ,)7( aber auch die Reihenentwicklungen nach Zylinder
funktionen ,.46.3 (42),3.82., ,)51( )61( für (cid:0)v(cid:0)=(cid:0)n(cid:0),(cid:0) (cid:0)f(cid:0)l(cid:0)=(cid:0)m(cid:0);(cid:0) (cid:0)n(cid:0),(cid:0) (cid:0)m(cid:0) = ganz;
(cid:0);(cid:0);(cid:0);(cid:0):(cid:0);(cid:0);(cid:0)n(cid:0) (cid:0);(cid:0);(cid:0);(cid:0):(cid:0);(cid:0);(cid:0)m(cid:0) .0 NEVIN gibt ferner die ersten Koeffizienten der Entwicklung
der Eigenwerte (cid:3)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0)(cid:11)(cid:0)(cid:10)(cid:0)(cid:29)(cid:0)(cid:29)(cid:0)$(cid:0) und der Entwicklungskoeffizienten nach Potenzen
von (cid:3)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0) an. Auch NIRUALCAM J1[ beschäftigt sich mit den Reihenent
wicklungen nach Kugelfunktionen und Zylinderfunktionen und mit der
Berechnung der Eigenwerte und wendet seine Ergebnisse auf eine Reihe
praktischer Probleme an. MAHARBA ,1[ J2 stößt bei seinen Unter
suchungen über elektromagnetische Schwingungen um einen stabförmi
gen Leiter auf die Sphäroidfunktionen mit (cid:0)P(cid:0)(cid:3) = 1 und auf Spezialfälle
der Integralbeziehung ,.38.3 .)62( Bei DLEFZREH J1[ finden sich die
richtigen Entwicklungen ,.26.3 )8( nach Kugelfunktionen zweiter Art
für (cid:0)v(cid:0) = (cid:0)n(cid:0),(cid:0) (cid:0)f(cid:0)l(cid:0) = (cid:0)m(cid:0);(cid:0) (cid:0)n(cid:0) (cid:0)~(cid:0) (cid:0);(cid:0);(cid:0);(cid:0):(cid:0);(cid:0);(cid:0)m(cid:0) ,0 die später von verschiedenen Autoren in
unrichtiger Form wieder entdeckt wurden. Einen neuen Anstoß für die
Weiterentwicklung der Theorie der Sphäroidfunktionen gab die Wellen
mechanik, insbesondere mit dem Problem des Wasserstoffmolekülions.
Aber erst mit der erfolgreichen Behandlung gewisser Beugungs
probleme .lgv( (cid:0)(cid:23)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:24)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) und ,).6.4 beginnend mit der Dissertation von
PMAKwuoB ,J1[ und mit der Theorie der Schlitzantennen auf Rotations
ellipsoiden von UHC und NOTTARTS J2[ .lgv( ).35.4 und den daran an
knüpfenden mathematischen Untersuchungen rundete sich die Theorie
der Sphäroidfunktionen ab.
Zu den Integralbeziehungen zwischen Sphäroidfunktionen sind neben
MAHARBA noch EcNI ,J4[ HCILGÖM ,J1[ INATOK ,J1[ PMAKwuoB ,1[ J8
zu nennen. Das Verknüpfungsproblem, d.h. der Zusammenhang der
Sphäroidfunktionen von gegebenem z-asymptotischen Verhalten mit den
Funktionen Ps: (cid:0);(cid:0)z(cid:0)((cid:0) (cid:0))(cid:0)2(cid:0)y(cid:0) und Qs: (cid:0);(cid:0)z(cid:0)((cid:0) (cid:0))(cid:0)2(cid:0)y(cid:0) ist in speziellen Fällen von GÖM
HCIL ,J1[ PMAKwuoB ,1[ ,J7 TREPPEG und DIMHCS ,J1[ allgemein mit
Ausnahme des Falls (cid:0)Y(cid:0)(cid:3) (cid:0) (cid:0)(cid:3) !- (mod )1 von UHC und NOTTARTS J1[ gelöst
worden. Spezielle Fälle der wegen ihrer günstigen Konvergenzeigen
schaften wichtigen Reihen ,.28.3 ,)7( ,)8( )21( kommen bei NosNAH 1[ ,J
bei REBAB und ESSAH ,J1[ bei TREPPEG und DIMHCS ]1[ und bei Bouw
PMAK J8[ vor.
Beiträge zu den asymptotischen Entwicklungen der Eigenwerte
und Eigenfunktionen der Sphäroiddifferentialgleichung für große posi
tive oder negative (cid:3)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0) haben REBAB und ESSAH ,J1[ MLOHTRAVS [1],
.A H. NOSLIW ,J1[ PMAKWUOB ,J1[ RENXIEM J3[ und NIELREBE J1[
gegeben; sie sind im wesentlichen formaler Art; eine strengere Be
gründung verdanken wir SPIS [1]. Asymptotische Entwicklungen für
große (cid:0)P(cid:0)(cid:3) leitet ZTIWOMARBA J1[ her.
Anwendungen der MATHIEU- und Sphäroidfunktionen.
eleiV bekannte Reihenentwicklungen der Sphäroidfunktionen konn
ten von RENXIEM J9[ als Spezialfälle allgemeiner Reihenentwicklungen
von Produkten zweier Sphäroidfunktionen nach Produkten von Zy
linder- und Kugelfunktionen hergeleitet werden. Die Reihenentwick
lungen 3.85., ,)14( welche sich nicht als Spezialfälle der oben genannten
gewinnen lassen, gehen auf REHSIF J1[ zurück und sind von RENTIEL
und ECNEPS 3[ J wiedergefunden und auf Beugungsprobleme angewandt
worden.
NIRUALCAM (cid:3)(cid:0)@(cid:0)(cid:20)(cid:0)>(cid:0) und HCILGÖM J1[ haben die Entwicklungen der
ebenen Welle, ESROM J1[ hat die der Kugelwelle nach Produkten von
Sphäroidfunktionen hergeleitet.
Abschätzungen der Konvergenzradien der Entwicklungen von (cid:0)A(cid:0)~(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0)(cid:11)(cid:0)
und (cid:0)a(cid:0)~(cid:0).(cid:0)2(cid:0)r(cid:0)((cid:0)y(cid:0)2(cid:0))(cid:0) nach Potenzen von (cid:3)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0) finden sich bei DIMHCS ,1[ J2 und
EKFÄHCS .]4[
In ihrer trigonometrischen Form 3.14., )62( wird )2( auch als asso
ziierte ehcsuEIHTAM Differentialgleichung bezeichnet. Ihre Lösungen
heißen dann assoziierte ehcsuEIHTAM Funktionen oder ehcsuEIHTAM
Funktionen höherer Ordnung. Diese Form legen z.B. EcNI ,4[ ,J7 MUH
TREB ,]1[ .M .R LLEBPMAC 1[ bis J21 ihren Untersuchungen zugrunde.
Übersichten oder zusammenfassende Darstellungen zur Theorie der
Sphäroidfunktionen haben TTURTS ,J01[ PMAKWUOB ,1[ ,J8 UHC und
NOTTARTS ,J1[ RENXIEM ,1[ 10J, RENTIEL und ECNEPS (cid:3)(cid:0)@(cid:0)(cid:22)(cid:0)>(cid:0) und MALF
REM J1[ gegeben.
(cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:20)(cid:0) (cid:0)$(cid:0)Q(cid:0)Z(cid:0)H(cid:0)Q(cid:0)G(cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)J(cid:0)H(cid:0)Q(cid:0)(cid:3) (cid:3)(cid:0)U(cid:0)H(cid:0)G(cid:0) (cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)G(cid:0)(cid:3) (cid:0)6(cid:0)S(cid:0)K(cid:0)l(cid:0)U(cid:0)R(cid:0)L(cid:0)G(cid:0)I(cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)N(cid:0)W(cid:0)L(cid:0)R(cid:0)Q(cid:0)H(cid:0)Q(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
(cid:0)0(cid:0)$(cid:0)7(cid:0)+(cid:0),(cid:0)((cid:0)8(cid:0)(cid:16)
Das vierte Kapitel bringt nur einen Ausschnitt aus der Fülle der
bereits durchgeführten Anwendungen der Sphäroidfunktionen. Neben
der dort angegebenen Literatur erwähnen wir noch folgende Arbeiten,
über deren Inhalt die vollen Titel im Literaturverzeichnis meist genaueren
Aufschluß geben.
Mechanische Integration der nehcsuEIHTAM Differentialgleichung:
REGNISUEN [1].
Stabilität und Instabilität von Schwingungen, Frequenzmodulation,
Schwingungskreise mit harmonisch veränderlichen Parametern: W. MoHT
NOS ,1[ ,J2 NOSNEHPETS ,1[ ,J2 NAMAR ,J1[ NOSRAC ,J1[ WORRAB ,1[ ,J2
,WORRAB HTIMS und NNAMUAB ,]1[ TDAWEDÖB ,J1[ DRENIARB [1,2J,
NALHcALcM ,J9[ MAHGNINNUC ,J1[ KEBNUARB .]1[
Windkanal mit elliptischem Querschnitt: IKUNAS und INAT ,]1[
DAEHNESOR [1], zTOL .]1[
Theorie des Rollens von Schiffen: RELEDEV .J1[
6 Einleitung.
Bewegung von elliptischen Zylindern, Rotationsellipsoiden, Kreis
scheiben in zäher Flüssigkeit: NOSIHHAH 1[ ,J AR Y 1[ ,J NYSKEM 1[ ,J
SIWEL [lJ, SEIVAD [lJ, YBHEWOS (cid:0)>(cid:0)(cid:20)(cid:0)@(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) AKITOMOT und IOA [lJ, ISAH
OTOM .]1[
Elastische Schwingungen und Wellen: AHA AWAK [lJ, YKSWOXIOW
REGEIHK ,1[ 2J, RENSSIER und ICOGAS [lJ, ICOGAS [lJ, STGOV [1].
Skin-Effekt, magnetische Feldverdrängung und Eigenzeitkonstanten :
NIRUALCAM [lJ, TTURTS [1,6, ,J7 NALHCALcM [lJ.
Elektromagnetische Wellen, Antennen: .G .A LLEBPMAC [lJ, TARTS
NOT [2J, SAPAP und GNIK [lJ, FFONUKLEHCS [1].
Wärmeleitungsprobleme : (cid:0)1(cid:0)(cid:3) NEVI 1[ ,J NALHCALcM (cid:3)(cid:0)(cid:22)(cid:0)>(cid:0) .J
,J
Wellenmechanische Theorie des Wasserstoffmolekülions: RELLET 1[
SAARELLYH [lJ, A. H. NOSLIW [lJ, EFFAJ [lJ, REBAB und HAssE [lJ,
,J ,J
TLOHSNEETS [1], REHSIF 1[ MLOHTRAVS (cid:0)>(cid:0)(cid:20)(cid:0)@(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) VARKAHC YTRA 1[ J NHO
NOS [1].
Weitere wellenmechanische Probleme: HEITS [lJ, NAMEDNAS [lJ,
RETAWNIAR [lJ, REGNARG und ECNEPS [lJ, NIUOLLIRB [3].
(cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)9(cid:0),(cid:0) (cid:0)=(cid:0)X(cid:0)U(cid:0)(cid:3) (cid:0)’(cid:0)D(cid:0)U(cid:0)V(cid:0)W(cid:0)H(cid:0)O(cid:0)O(cid:0)X(cid:0)Q(cid:0)J(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
Eine befriedigende Theorie spezieller Funktionen ist nur möglich, wenn
man beliebige komplexe Werte der Variablen und der Parameter zu
läßt, sich also von vornherein auf den funktionentheoretischen Stand
punkt stellt und damit auch die Hilfsmittel der Funktionentheorie in
vollem Umfang nutzbar machen kann. Wir glauben, daß dies hier für
die MATHIEuschen Funktionen und Sphäroidfunktionen erstmals in
mathematischer Strenge durchgeführt worden ist.
Ein Hauptproblem hierbei war die Untersuchung des Zusammenhangs
zwischen den Parametern der betreffenden Differentialgleichung und
ihrem charakteristischen Exponenten (cid:0).(cid:0)v(cid:0)
Bezüglich der Abhängigkeit des charakteristischen Exponenten (cid:0)Y(cid:0)(cid:3)
von den Parametern ,A (cid:0)K (cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:3) bzw. "} (cid:0)\(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) (cid:3)(cid:0)(cid:21)(cid:0)O(cid:0)(cid:17)(cid:0)I(cid:0) konnten hier der Satz von
ERAcNIOP [lJ über die Parameterabhängigkeit der Lösungen homogener
linearer Differentialgleichungen und seine von JLEMELP (cid:0)>(cid:0)(cid:20)(cid:0)@(cid:0)(cid:3) und
EKFÄHCS [1,31 bewiesenen Verschärfungen in bezug auf die Wachs
tumseigenschaften der Lösungen herangezogen werden; diese Sätze er
gaben unter anderem Produkt- oder Partialbruchformeln für cos (cid:0)Q(cid:0)Y(cid:0)(cid:3)
bzw. sin (cid:0)Q(cid:0)Y(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3)
Zur Untersuchung des Zusammenhangs zwischen den Parametern
bei gegebenem (cid:0)Y(cid:0)(cid:3) waren weitgehend neue Überlegungen notwendig. Wir
haben versucht, einen allgemeinen Weg zur Behandlung derartiger Pro
bleme aufzuzeigen und daher große Teile der Theorie der MATHIEuschen
Zur Darstellung. (cid:0)(cid:26)(cid:0)(cid:3)
Funktionen und Sphäroidfunktionen als Spezialfälle einer weit um
fassenderen Theorie zweiparametriger Eigenwertprobleme aufgefaßt. eiS
liefert die Definitionen und Haupteigenschaften der Parameterfunktionen
(cid:3)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:15)(cid:0) h(cid:0)((cid:0) (cid:0)(cid:21) (cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:3) bzw. (cid:0)A(cid:0)~(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0)(cid:11)(cid:0) , sowie die eindeutige Festlegung der nehcsuEIHTAM
Funktionen vem (cid:3)(cid:0)(cid:30)(cid:0)](cid:0)(cid:11)(cid:0) (cid:0)h (cid:0)(cid:21) (cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:3) und der Sphäroidfunktionen (cid:0)Q(cid:0)s(cid:0)~(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:30)(cid:0)](cid:0)(cid:11)(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0) Diese
Theorie zweiparametriger Eigenwertprobleme enthält ferner eine natur
gemäße Begründung weitgehender - zum großen Teil neuer - Ent
wicklungssätze für die biorthogonalen Funktionensysteme (cid:3)(cid:0)U(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:14)(cid:0)(cid:17)(cid:0)H(cid:0)P(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:30)(cid:0)](cid:0)(cid:11)(cid:0) (cid:0)h (cid:0)2 (cid:0))(cid:0),(cid:0)
(cid:14)(cid:0)(cid:17)(cid:0)H(cid:0)P(cid:0) U(cid:0)(cid:21)(cid:0) (cid:0)(cid:11)(cid:0)(cid:16)(cid:0)](cid:0)(cid:30)(cid:0)(cid:3) (cid:0)h (cid:0)(cid:21)(cid:3)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:12)(cid:0) bzw. (cid:0)Q(cid:0)S(cid:0)~(cid:0)+(cid:0)2(cid:0)r(cid:0)((cid:0)z(cid:0);(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:30)(cid:0)=(cid:0)(cid:11)(cid:0)O(cid:0)B(cid:0)U(cid:0)(cid:21)(cid:0)B(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:16)(cid:0) (cid:0)(cid:10)(cid:0)6(cid:0)4(cid:0) (cid:3)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:12)(cid:0)(cid:21)(cid:0)\(cid:0) (cid:0)r(cid:0)((cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:5)(cid:0)(cid:10)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3) (cid:0)(cid:16)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:19)(cid:0)(cid:15)(cid:0)(cid:3)
,1 ,2 ... ,) die sich einerseits auf willkürliche Funktionen einer reellen
Variablen, andererseits auf analytische Funktionen im komplexen Gebiet
beziehen.
Auf diesen Entwicklungssätzen aufbauend ließen sich sowohl für die
nehcsuEIHTAM Funktionen als auch für die Sphäroidfunktionen sehr
allgemeine .gos Additionstheoreme beweisen. Aus ihnen haben wir durch
Spezialisierung fast alle wichtigen bekannten Reihenentwicklungen von
und nach diesen Funktionen hergeleitet und os versucht, eine vertiefte
Einsicht in die Zusammenhänge der verschiedenen derartigen Entwick
lungen zu vermitteln.
Auf diese Weise konnten wir stets die Methode des Reihenansatzes
und der nachträglichen Verifikation vermeiden und an ihre Stelle den
allgemeinen Entwicklungssatz setzen.
Die Theorie der nehcsuEIHTAM Funktionen ist ein Spezialfall der
Theorie der Sphäroidfunktionen ; sie ergibt sich für (cid:0)f(cid:0)l(cid:0) = (cid:0)W(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) Wir haben
jedoch aus zwei Gründen darauf verzichtet, die Eigenschaften der
nehcsuEIHTAM Funktionen aus der Theorie der Sphäroidfunktionen
zu gewinnen und vorgezogen, die Theorien dieser bei den Funktionsarten
unabhängig voneinander zu entwickeln. Der erste Grund liegt darin,
daß insbesondere die häufig gebrauchten nehcsuEIHTAM Funktionen
ganzer Ordnung sich als singulärer Grenzfall der noch wenig untersuchten
Sphäroidfunktionen mit halbzahligen charakteristischen Exponenten er
geben. Der zweite Grund ist, dem nur an nehcsuEIHTAM Funktionen
interessierten Leser eine Darstellung zu bieten, bei der er nicht erst die
Theorie der Sphäroidfunktionen studieren muß.
Auf diese Weise entwickelte sich naturgemäß die folgende Gliederung.
Die wichtigeren Grundlagen und Methoden der Theorie der UEIHTAM
schen Funktionen und Sphäroidfunktionen sind in einem umfangreichen
Kap. .1 vorangestellt.
(cid:3)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:20)(cid:0) gibt eine Zusammenstellung der Resultate über die Separation
der Schwingungsgleichung für die elliptischen Koordinatensysteme und
ihre Ausartungen. Auf die jeweils angegebenen Sätze über Integral
relationen wird später an verschiedenen Stellen zurückgegriffen.
8 Einleitung.
(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) enthält einen Abriß der Theorie der ganzen Funktionen von
endlicher Ordnung. eiS ist vor allem im Zusammenhang mit (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:22)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) für
die Theorie der Parameterabhängigkeit der Lösungen von homogenen
linearen Differentialgleichungen von wesentlicher Bedeutung. Daher er
schien eine einfache Herleitung der benötigten Resultate zweckmäßig.
Die sonstigen Darstellungen sind für diesen Zweck unnötig umfangreich.
In (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:23)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) geben wir einen Abriß einer Eigenwerttheorie für Probleme
mit einem Parameter unter Voraussetzungen, die für reguläre Eigen
wertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen meist unmittel
bar zu bestätigen sind. Sie findet Anwendungen vor allem beim Studium
der Stabilitätstheorie der nehcsuEIHTAM Differentialgleichung.
(cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:24)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) bis (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:26)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) geben eine Theorie zweiparametriger Eigenwertprobleme
unter teilweise verschiedenen Voraussetzungen. Auf ihre Bedeutung für
die nehcsuEIHTAM Funktionen und Sphäroidfunktionen wurde schon
oben hingewiesen.
In der Theorie der nehcsuEIHTAM und der Sphäroiddifferential
gleichung treten häufig dreigliedrige Rekursionen auf. (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:27)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) enthält eine
überaus einfache Theorie solcher Rekursionen, insbesondere ihres Zu
sammenhangs mit Kettenbrüchen unter Voraussetzungen, die bei un
seren Anwendungen stets erfüllt sind. Besonders nützlich ist, daß bei
Auftreten von Parametern in der dreigliedrigen Rekursion die Resultate
sofort gleichmäßig im Parameter erhalten werden. Diese Eigenschaft
ist für schwächere Voraussetzungen und für mehr als dreigliedrige Re
kursionen, für welche REsuERK ]1[ wichtige Sätze hergeleitet hat, noch
nicht bewiesen.
Schließlich wird in (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:28)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) ein für Theorie und Anwendungen sehr nütz
licher Satz über die asymptotische Reihe einer Funktion, die selbst als
Reihe nach Zylinder-, ,-UEIHTAM Sphäroid- usw. Funktionen gegeben
ist, bewiesen.
Die in diesem Kapitel wiedergegebenen Grundlagen lassen auch
manche Anwendungen außerhalb des Rahmens dieses Buches zu. Wir
nennen etwa die ehcsLLIH Differentialgleichung, aufgefaßt als zwei- oder
mehrparametriges Eigenwertproblem (hierzu (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:21)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:3) bis 1.8.), die Ent
wicklung analytischer Funktionen nach vollständigen Biorthogonal
systemen (hierzu (cid:0)(cid:20)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:26)(cid:0)(cid:17)(cid:0)(cid:30)(cid:0)(cid:3) für Zylinder- und Kugelfunktionen finden sich
Sätze dieser Art schon in 3.3.), die Herleitung mannigfacher Integral
relationen zwischen den Faktoren separierter Lösungen der Schwingungs
gleichung (hierzu 1.1.) und die Behandlung dreigliedriger Rekursionen
mit Parametern (hierzu 1.8.).
Die Kapitel .2 und 3., welche die Theorie der -UEIHTAM und Sphäroid
funktionen entwickeln, haben den Charakter eines Lehrbuches. Es
kam uns hier vor allem auf einen mathematisch sauberen Aufbau der
Grundlagen an. Später sind aus Gründen des Umfangs und wegen
